25.2.3 因式分解法解一元二次方程讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦因式分解法解一元二次方程核心知识点，系统梳理其核心思想（化为两个一次式乘积为0）、分解手段（提公因式、公式法、十字相乘法）、解法步骤（右化0、左分解、求根），并对比直接开方、配方、公式法的选择，构建从原理到方法的知识支架。 资料特色在于典例结合中考模拟题与期末题，通过易错点警示（如右未化0）培养数学思维的推理严谨性，同步练习融入几何（等腰三角形、矩形）和实际问题，发展数学眼光的抽象能力与几何直观。课中辅助教师方法教学，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化应用意识。

初中数学（RJ）九年级上册 25.2.3 因式分解法解一元二次方程 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会用因式分解法解一元二次方程。 二、知识梳理 知识点 1 　因式分解法 1.核心思想：把 ax²+bx+c=0 化为两个一次式乘积为0（ (mx+n)(px+q)=0） 的形式，再由"两个因式之积为 0 ⟺ 至少一个为 0"得根。 2.常用分解手段：①提取公因式；②公式法（完全平方公式/ 平方差公式）；③十字相乘法（x 项系数为 1 时尤其快捷）。 3.解法步骤：①将方程右边化为 0；②将左边因式分解；③令每个因式分别为 0，得到一元一次方程求解。 4.适用题型：能直接看出因式分解形式、或系数较小可十字相乘的方程。 ★ 重点　因式分解法：将 ax²+bx+c=0 化为 (mx+n)(px+q)=0，由"AB=0 ⟹ A=0 或 B=0"求根。 ⚠ 易错　①右边没有化为 0（必须先移项使右边=0，再因式分解左边）；②分解后只写一个因式=0；③含字母系数时忽略"a≠0"前提。 ◆ 方法　常用手段：提公因式、平方差 (a²-b²)、完全平方 (a±b)²、十字相乘。x 项系数为 1 时十字相乘最快；系数为 2/3/-1 等简单整数时优先考虑。 知识点 2 　解一元二次方程方法的选择 直接开方法：方程型如（mx+n）²=p（m≠0，p≥0）时，可用直接开方法。 配方法：当二次项系数为1，一次项系数为偶数时用配方法。 公式法：当直接开方、配方、因式分解三种方法都不简单时，用公式法。 因式分解法：当方程的一边等于0，另一边易于因式分解时，可用因式分解法。 三、典例精析 题型 1 　用因式分解法解一元二次方程　 ★ 点拨　化右边化为 0 → 左边因式分解 → 令各因式=0 求根。 1．（2026•阜阳模拟）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】x1＝3，x2＝﹣1． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1． 2．（2026春•上城区校级期中）解方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2． 【分析】（1）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）∵x2+4x+3＝0， ∴（x+3）（x+1）＝0， x+3＝0或x+1＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）∵2x（x﹣3）+x＝3， ∴2x（x﹣3）+x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（2x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或2x+1＝0， ∴x1＝3，x2． 3．（2025秋•奈曼旗期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝1；（2）x1，x2． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 题型 2 　用合适的方法解一元二次方程　 ★ 点拨　能直接开平→配方→公式→因式分解；先看能否直接开平或因式分解。 1．（2026春•肥城市期末）解下列方程： （1）（x﹣2）2＝2﹣x； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】（1）x1＝2，x2＝1；（2），． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝2﹣x， （x﹣2）2+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2+1）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝2，x2＝1； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24， ∴， ∴，． 2．（2025秋•武侯区校级期末）解方程： （1）2x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 【答案】（1）x1，x2；（2）x1＝2，x2＝5． 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）2x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 则x， 即x1，x2； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， 整理得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， 即（x﹣2）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝2，x2＝5． 3．（2026春•池州期末）解方程： （1）x2﹣2x＝5． （2）2x2﹣x＝2﹣4x． 【答案】（1），；（2），x2＝﹣2． 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程配方可得： x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， 或， 解得，； （2）原方程整理得： 2x2+3x﹣2＝0， （x+2）（2x﹣1）＝0， x+2＝0或2x﹣1＝0， 解得，x2＝﹣2． 四、同步练习 1．（2026春•长武县校级期末）方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 【答案】C 【分析】先求出方程的解，根据等腰三角形的性质得出两种情况，①当等腰三角形的三边为4，4，5，②当等腰三角形的三边为4，5，5，再求出答案即可． 【解答】解：x2﹣9x+20＝0， （x﹣4）（x﹣5）＝0， x﹣4＝0或x﹣5＝0， 解得：x＝4或5， ①当等腰三角形的三边为4，4，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+4+5＝13， ②当等腰三角形的三边为4，5，5时，符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+5+5＝14， 所以等腰三角形的周长是13或14， 故选：C． 2．（2026•合江县校级一模）x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 【答案】C 【分析】根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：x2+5x＝0， x（x+5）＝0， x1＝0，x2＝﹣5． 故选：C． 3．（2025秋•滨湖区期末）一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 【答案】C 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2＝3x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， 则x﹣3＝0或x＝0， 所以x1＝3，x2＝0． 故选：C． 4．（2025•四川校级自主招生）若，则xy的值为（　　） A．6或0 B．﹣6或0 C．5或0 D．﹣8或0 【答案】B 【分析】把方程转化成x2+2x＝0，y﹣3＝0，求出方程的解，代入xy即可求出答案． 【解答】解：∵， ∴x2+2x＝0，y﹣3＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2，y＝3， ∴①xy＝0×3＝0， ②xy＝﹣2×3＝﹣6． 故选：B． 5．（2024秋•夏邑县期末）若二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+3）（x﹣7），则方程x2+mx﹣n＝0的两根为（　　） A．3和7 B．﹣3和﹣7 C．3和﹣7 D．﹣3和7 【答案】D 【分析】利用因式分解法求出方程的根即可． 【解答】解：∵二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+3）（x﹣7）， ∴x2+mx﹣n＝0分解因式得：（x+3）（x﹣7）＝0， 解得x＝﹣3或7， 故选：D． 6．（2025秋•宝安区校级期中）如表是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍． 深度思考中… A．2 B．2或1 C．﹣1 D．2或﹣1 【答案】B 【分析】根据题意建立方程，再利用因式分解法对所得方程进行求解即可． 【解答】解：设这个数为x， 则x2+（﹣x）+2＝2x， x2﹣3x+2＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， 则x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝1，x2＝2． 故选：B． 7．（2026春•缙云县期末）已知矩形的两条邻边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则矩形的周长是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由x2﹣10x+24＝0得， x1＝4，x2＝6， 则2×（4+6）＝20， 所以矩形的周长是20． 故选：C． 8．（2026春•龙口市期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．26 B．16 C．28 D．16或26 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【解答】解：原方程因式分解得（x﹣12）（x+2）＝0， 解得x1＝12，x2＝﹣2， ∵三角形边长为正数， ∴第三边长为12， ∵6+8＞12，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为6+8+12＝26． 故选：A． 9．（2026春•浙江期中）对于实数a，b，c，我们用符号mid{a，b，c}表示a，b，c三数的中位数，如mid{0，3，﹣1}＝0．若mid{x2，4，x+2}＝6x2+2x，则x的值是　 　 ． 【答案】或． 【分析】根据题意可分为：当x2是这三个数的中位数时，当x+2是这三个数的中位数时，当4是这三个数的中位数时，然后分类进行求解即可． 【解答】解：∵符号mid{a，b，c}表示a，b，c三数的中位数，mid{x2，4，x+2}＝6x2+2x， ∴当x2是这三个数的中位数时，则有x2＝6x2+2x， 解得：，分别代入检验此时都不符合题意； 当x+2是这三个数的中位数时，则有x+2＝6x2+2x， 解得：， 当时，此时这三个数为，符合题意； 当时，此时这三个数为，符合题意； 当4是这三个数的中位数时，则有4＝6x2+2x， 解得：，分别代入检验发现都不符合题意； 综上所述：x的值为或． 故答案为：或． 10．（2025秋•扬州期末）关于x的一元二次方程x2＝3x的解为 　 ． 【答案】x1＝0，x2＝3． 【分析】利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2＝3x， x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， 解得：x1＝0，x2＝3． 故答案为：x1＝0，x2＝3． 11．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 【答案】﹣1或2． 【分析】由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【解答】解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根； 当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件； 若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件， 若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意， 综上，n＝﹣1或n＝2． 故答案为：﹣1或2． 12．（2026•龙江县一模）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用因式分解法解出方程． 【解答】解：x2﹣4x+3＝0 （x﹣1）（x﹣3）＝0 x﹣1＝0或x﹣3＝0 x1＝1，x2＝3． 13．（2025秋•闵行区校级期末）解方程：2（x﹣4）2＝x2﹣16． 【答案】x1＝4，x2＝12． 【分析】把方程化为一元二次方程的一般形式，利用因式分解解一元二次方程即可． 【解答】解：2（x﹣4）2＝x2﹣16， x2﹣16x+48＝0， （x﹣4）（x﹣12）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣12＝0， ∴x1＝4，x2＝12． 14．（2026•依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】x1＝1，x2． 【分析】先求出判别式的值，判断是否是非负数，再代入求根公式可得答案 【解答】解：∵a＝5，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣1）＝36＞0， 则x， 即x1＝1，x2． 15．（2026春•南关区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x2﹣x﹣1＝0． 【答案】（1），；（2），． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）直接利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， ， 解得：，； （2）x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴， ∴，． 16．（2026春•青阳县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4，c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 【答案】（1）b＝﹣8，c＝2；（2）2028． 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出x2+x＝1，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【解答】解：（1）由条件可知， ∴（x﹣2）2＝3， ∴x2﹣4x+4＝3，即x2﹣4x+1＝0， 两边同时乘以2得2x2﹣8x+2＝0． ∴b＝﹣8，c＝2； （2）由条件可知， ∴（2x+1）2＝5， ∴4x2+4x+1＝5， 即x2+x＝1， ∴原式＝3x（x2+x）+3x2+2025 ＝3x×1+3x2+2025 ＝3x2+3x+2025 ＝3（x2+x）+2025 ＝3×1+2025 ＝2028． 17．（2026•紫金县校级二模）在解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4时，小明的解法如下： 第一步：3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 第二步：3（x﹣2）＝x+2， 第三步：3x﹣6＝x+2， 第四步：x＝4． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以（x﹣2）时，没有考虑x﹣2＝0的情况，x1＝2，x2＝4． 【分析】由方程两边都除以（x﹣2），没有考虑（x﹣2）＝0的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，再利用因式分解的方法解方程即可． 【解答】解：小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以（x﹣2）时，没有考虑x﹣2＝0的情况， 正确的解答过程： 第一步：3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 第二步：3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， 第三步：（x﹣2）[3（x﹣2）﹣（x+2）]＝0，即（x﹣2）（2x﹣8）＝0， 第四步：x﹣2＝0或2x﹣8＝0， 第五步：x1＝2，x2＝4． 18．（2026春•鲤城区校级期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程x2+2x﹣3＝0即x（x+2）＝3的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2＝3×4+22，解得正根 　 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：　 　 ，解得正根 　 ； （2）实际上，对关于x的方程x（x+m）＝n，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n＝　 　 ，求得方程的正根为 　 ； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x＝3的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，写出新的方程，并解出其正根． 5 【答案】方法（I）x＝1； 方法（Ⅱ）（1）（x+1）2＝3+12；x＝1；（2）5，x＝1； （3）① ②（2x）2＝4（）2，． 【分析】方法（I）根据（x+x+2）2＝3×4+22结合图象，得出正根x＝1； 方法（Ⅱ）（1）解（x+1）2＝3+12得到正根x＝1； （2）根据每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36，求解即可； （3）结合（1）（2）的启发得出． 【解答】解：方法（I）∵（x+x+2）2＝3×4+22， ∴说明一个矩形的面积是3，正方形的边长是2， ∴x＝1， 故答案为：x＝1； 方法（Ⅱ）（1）∵（x+1）2＝3+12，解得正根x＝1， 故答案为：（x+1）2＝3+12；x＝1； （2）∵若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴n＝5， ∵每个矩形面积是5，小正方形面积面积是16，得出大正方形面积是36， ∴正方形的边长x+x+4＝6， ∴x＝1， ∴方程的正根为x＝1， 故答案为：5，x＝1； （3）①∵2x2+5x＝3， ∴x（x）， ∴图中四个完全相同的矩形边长如图，面积为， ②根据图5，得出新方程 （2x）2＝4（）2， ∵方程的右边， ∵（）2， ∴2x＝1， ∴x． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 25.2.3 因式分解法解一元二次方程 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】会用因式分解法解一元二次方程。 二、知识梳理 知识点 1 　因式分解法 1.核心思想：把 ax²+bx+c=0 化为两个一次式乘积为0（ (mx+n)(px+q)=0） 的形式，再由"两个因式之积为 0 ⟺ 至少一个为 0"得根。 2.常用分解手段：①提取公因式；②公式法（完全平方公式/ 平方差公式）；③十字相乘法（x 项系数为 1 时尤其快捷）。 3.解法步骤：①将方程右边化为 0；②将左边因式分解；③令每个因式分别为 0，得到一元一次方程求解。 4.适用题型：能直接看出因式分解形式、或系数较小可十字相乘的方程。 ★ 重点　因式分解法：将 ax²+bx+c=0 化为 (mx+n)(px+q)=0，由"AB=0 ⟹ A=0 或 B=0"求根。 ⚠ 易错　①右边没有化为 0（必须先移项使右边=0，再因式分解左边）；②分解后只写一个因式=0；③含字母系数时忽略"a≠0"前提。 ◆ 方法　常用手段：提公因式、平方差 (a²-b²)、完全平方 (a±b)²、十字相乘。x 项系数为 1 时十字相乘最快；系数为 2/3/-1 等简单整数时优先考虑。 知识点 2 　解一元二次方程方法的选择 直接开方法：方程型如（mx+n）²=p（m≠0，p≥0）时，可用直接开方法。 配方法：当二次项系数为1，一次项系数为偶数时用配方法。 公式法：当直接开方、配方、因式分解三种方法都不简单时，用公式法。 因式分解法：当方程的一边等于0，另一边易于因式分解时，可用因式分解法。 三、典例精析 题型 1 　用因式分解法解一元二次方程　 ★ 点拨　化右边化为 0 → 左边因式分解 → 令各因式=0 求根。 1．（2026•阜阳模拟）解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】x1＝3，x2＝﹣1． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， 则x+1＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1． 2．（2026春•上城区校级期中）解方程： （1）x2+4x+3＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝﹣1；（2）x1＝3，x2． 【分析】（1）把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可； （2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）∵x2+4x+3＝0， ∴（x+3）（x+1）＝0， x+3＝0或x+1＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣1； （2）∵2x（x﹣3）+x＝3， ∴2x（x﹣3）+x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（2x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或2x+1＝0， ∴x1＝3，x2． 3．（2025秋•奈曼旗期末）解方程： （1）x2+6x﹣7＝0； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【答案】（1）x1＝﹣7，x2＝1；（2）x1，x2． 【分析】（1）利用因式分解法（十字相乘）求解比较简便； （2）把2x+1看成一个整体，运用因式分解法（提公因式）求解比较简便． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， ∴x+7＝0或x﹣1＝0． ∴x1＝﹣7，x2＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 移项，得4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， ∴（2x+1）（4x﹣3）＝0． ∴2x+1＝0或4x﹣3＝0． ∴x1，x2． 题型 2 　用合适的方法解一元二次方程　 ★ 点拨　能直接开平→配方→公式→因式分解；先看能否直接开平或因式分解。 1．（2026春•肥城市期末）解下列方程： （1）（x﹣2）2＝2﹣x； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】（1）x1＝2，x2＝1；（2），． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝2﹣x， （x﹣2）2+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣2+1）＝0， （x﹣2）（x﹣1）＝0， x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝2，x2＝1； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， ∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝16+8＝24， ∴， ∴，． 2．（2025秋•武侯区校级期末）解方程： （1）2x2﹣2x﹣1＝0； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6． 【答案】（1）x1，x2；（2）x1＝2，x2＝5． 【分析】（1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）2x2﹣2x﹣1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 则x， 即x1，x2； （2）（x﹣2）2＝3x﹣6， 整理得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）＝0， 因式分解得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）＝0， 即（x﹣2）（x﹣5）＝0， 解得：x1＝2，x2＝5． 3．（2026春•池州期末）解方程： （1）x2﹣2x＝5． （2）2x2﹣x＝2﹣4x． 【答案】（1），；（2），x2＝﹣2． 【分析】（1）根据配方法解方程即可； （2）根据因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程配方可得： x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， 或， 解得，； （2）原方程整理得： 2x2+3x﹣2＝0， （x+2）（2x﹣1）＝0， x+2＝0或2x﹣1＝0， 解得，x2＝﹣2． 四、同步练习 1．（2026春•长武县校级期末）方程x2﹣9x+20＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则等腰三角形的周长为（　　） A．13 B．14 C．13或14 D．不能确定 2．（2026•合江县校级一模）x2+5x＝0的解为（　　） A．x＝0 B．x＝﹣5 C．x1＝0，x2＝﹣5 D．x1＝0，x2＝5 3．（2025秋•滨湖区期末）一元二次方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．， 4．（2025•四川校级自主招生）若，则xy的值为（　　） A．6或0 B．﹣6或0 C．5或0 D．﹣8或0 5．（2024秋•夏邑县期末）若二次三项式x2+mx﹣n可以分解为（x+3）（x﹣7），则方程x2+mx﹣n＝0的两根为（　　） A．3和7 B．﹣3和﹣7 C．3和﹣7 D．﹣3和7 6．（2025秋•宝安区校级期中）如表是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（　　） 新对话 有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再加上这个数的相反数，再加2，运算结果等于这个数的两倍． 深度思考中… A．2 B．2或1 C．﹣1 D．2或﹣1 7．（2026春•缙云县期末）已知矩形的两条邻边长是方程x2﹣10x+24＝0的两个根，则矩形的周长是（　　） A．10 B．12 C．20 D．24 8．（2026春•龙口市期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣10x﹣24＝0的解，则这个三角形的周长是（　　） A．26 B．16 C．28 D．16或26 9．（2026春•浙江期中）对于实数a，b，c，我们用符号mid{a，b，c}表示a，b，c三数的中位数，如mid{0，3，﹣1}＝0．若mid{x2，4，x+2}＝6x2+2x，则x的值是　 　 ． 故答案为：或． 10．（2025秋•扬州期末）关于x的一元二次方程x2＝3x的解为 　 ． 11．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 12．（2026•龙江县一模）解方程：x2﹣4x+3＝0． 13．（2025秋•闵行区校级期末）解方程：2（x﹣4）2＝x2﹣16． 14．（2026•依安县校级三模）用公式法解方程：5x2﹣4x﹣1＝0． 15．（2026春•南关区校级期中）解方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x2﹣x﹣1＝0． 16．（2026春•青阳县期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2﹣4x﹣1＝0．故b＝﹣4，c＝﹣1． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知关于x的方程2x2+bx+c＝0，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式3x3+6x2+2025的值． 17．（2026•紫金县校级二模）在解方程3（x﹣2）2＝x2﹣4时，小明的解法如下： 第一步：3（x﹣2）2＝（x+2）（x﹣2）， 第二步：3（x﹣2）＝x+2， 第三步：3x﹣6＝x+2， 第四步：x＝4． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 18．（2026春•鲤城区校级期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程x2+2x﹣3＝0即x（x+2）＝3的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以x和x+2为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为x+x+2的大正方形（如图1）； 根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：（x+x+2）2＝3×4+22，解得正根 　 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以x和x+2为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为x+1的正方形（如图3、4）； （1）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：　 　 ，解得正根 　 ； （2）实际上，对关于x的方程x（x+m）＝n，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的n＝　 　 ，求得方程的正根为 　 ； （3）类比图1、图4，请选择一种方法求方程2x2+5x＝3的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，写出新的方程，并解出其正根． 5 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $