25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），系统梳理定理及逆定理内容，以公式法推导为基础，衔接一元二次方程解法，搭建从根的存在性（判别式Δ≥0）到求对称式、参数、构造方程等应用的学习支架。 资料通过“重点标注+易错警示+方法总结”三维梳理，结合6类典例（如求对称式、已知根求参数等），培养学生抽象能力与推理意识。中考模拟题与同步练习结合，助力课中教学效率提升，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化应用意识。

初中数学（RJ）九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解韦达定理（根与系数的关系），能用其求对称式、已知根求参数、判别根的符号等。 二、知识梳理 知识点 1 　根与系数的关系（韦达定理） 1.定理：若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两个根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。 2.逆定理：若两数 x₁、x₂ 满足x₁+x₂ =，x₁·x₂ =，则 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 的两根。 3.常见应用：①不解方程求 x₁+x₂、x₁·x₂ 及对称式的值；②已知一根求另一根及方程中的参数；③构造以已知两数为根的一元二次方程；④由根的符号求参数范围。 4.判别式与韦达定理联用：根的存在性（Δ≥0）必须先判断，否则讨论无意义。 ★ 重点　若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。其推导过程基于公式法求出两个根。 ⚠ 易错　①使用韦达定理前必须验证 Δ≥0（否则两根不存在）；②符号易混（，）；③由"已知和与积反推原方程"时易忘记 a 的处理。 ◆ 方法　常见应用三件套：①求 x₁+x₂、x₁·x₂ 的对称式；②已知一根求另一根及参数；③求与根有关的参数范围（结合根的判别式与根的符号）。 三、典例精析 题型 1 　利用根与系数的关系求两个的和与积　 ★ 点拨　直接套x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。 1．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用计算即可． 【解答】解：方程的两根之积为． 故选：B． 2．（2026•钦北区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若方程的两个根为 x1，x2，则 ，据此求解即可． 【解答】解：∵a＝1，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 3．（2026•广西二模）设方程2x2+4x﹣1＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】C 【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两实数根为x1，x2， ∴． 故选：C． 题型 2 　利用根与系数的关系求变形拓展式子的值　 ★ 点拨　先把所求式子用 x₁²+x₂²、x₁³+x₂³ 等对称式表示，再代换。 1．（2026•阳泉二模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，代入计算即可得到结果． 【解答】解：由条件可知两根满足，， 在方程x2﹣4x+3＝0中，a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴，， 又∵， 代入x1+x2＝4，x1x2＝3， 得． 故选：C． 2．（2026•石家庄二模）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　） A．﹣3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出a+b＝1，ab＝﹣3，再把所求式子变形后整体代入计算即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴a+b＝1，ab＝﹣3， ∴， 故选：C． 题型 3 　利用根与系数的关系求代数式的值　 ★ 点拨　把所求代数式化为 x₁+x₂、x₁·x₂ 的多项式，整体代换求值。 1．（2025秋•江岸区校级月考）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值是（　　） A．0 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根， 所以， 所以x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣2）＝4． 故选：C． 2．（2026•袁州区模拟）若α，β是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根，则α﹣2αβ+β＝　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】先将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，代入变形后的代数式进行计算即可． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根， ∴α+β＝5，αβ＝3， ∴α﹣2αβ+β＝（α+β）﹣2αβ＝5﹣2×3＝5﹣6＝﹣1． 3．（2026春•上城区校级期中）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　 ． 【答案】2025． 【分析】把所给代数式整理成（a2+a）+（a+b），那么根据a符合一元二次方程及两根之和等于计算即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2026＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2026， ∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2026+（﹣1）＝2025， 故答案为：2025． 题型 4 　根据已知根及根与系数的关系求方程的另一个根　 ★ 点拨　已知 x₁ 时，由x₁+x₂ =，x₁·x₂ = 之一求 x₂。 1．（2026•邹城市二模）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的其中一个根是x1＝﹣3，则另一个根x2＝　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【解答】解：根据根与系数的关系可得：， 将x1＝﹣3代入等式得：﹣3+x2＝﹣2， 解得：x2＝1． 故答案为：1． 2．（2026•新市区校级模拟）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4，则另一个根为　 　 ． 【答案】2． 【分析】设另一个根为m，根据两根系数关系可知m+4＝6，求出m的值即可求出． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4， ∴设另一个根为m，则有m+4＝6， ∴m＝2， 故答案为：2． 3．（2026春•拱墅区校级期中）关于x的方程x2﹣2mx+3＝0的一个解是x1＝1，则方程的另一个解x2＝ 　 　 ． 【答案】3． 【分析】先利用根与系数的关系得x1x2＝3，然后把x1＝1代入可得x2的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝3， 而x1＝1， 所以x2＝3． 故答案为：3． 题型 5 　根据根与系数的关系满足的式子求未知参数　 ★ 点拨　由 x₁+x₂、x₁·x₂ 的已知表达式建立方程组求参数。 1．（2026•东营区校级三模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝m+3，x1x2＝2m+1． 因为， 则， 所以（m+3）2﹣2（2m+1）＝10， 解得m＝1或﹣3． 当m＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0， 则Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝4＞0， 所以m＝1符合题意； 当m＝﹣3时，方程为x2﹣5＝0， 则Δ＝02﹣4×（﹣5）＝20＞0， 所以m＝﹣3符合题意， 综上所述，m的值为1或﹣3． 故选：C． 2．（2026春•济宁期末）已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的根为x1，x2，若，则b的值为 　 　 ． 【答案】4． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再把已知条件通分得到2，所以2，从而可求出b的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵， ∴2， ∴2， 解得b＝4． 故答案为：4． 题型 6 　根与系数的关系与根的判别式的综合　 ★ 点拨　联用 Δ≥0 和韦达定理；同时讨论根的符号、不等关系等问题。 1．（2026春•瑞安市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求m的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见下面解答过程；（2）m＝3；﹣2． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把x＝3代入方程，求出m的值，再解方程即可． 【解答】（1）证明：∵x2+（m﹣4）x﹣2m＝0， ∴Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣2m）＝m2+16＞0， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由条件可得9+3（m﹣4）﹣2m＝0， 解得m＝3， ∴方程化为x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2； 故方程的另一个根为﹣2． 2．（2026春•姑苏区校级期中）（1）已知：当x＝﹣2时，二次三项式2x2+mx+4的值等于18，求当x为何值时2x2+mx+4的值是4． （2）已知：关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是、，求b+c的值． 【答案】（1）x为0或时，这个二次三项式的值是4．（2）﹣21． 【分析】（1）根据题意得出方程2×（﹣2）2﹣2m+4＝18，求出m的值，代入后得出方程2x2﹣3x+4＝4，求出方程的解即可； （2）根据根与系数的关系求出b、c的值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，二次三项式2x2+mx+4的值等于18， ∴代入得：2×（﹣2）2﹣2m+4＝18， m＝﹣3， 当m＝﹣3时，2x2﹣3x+4＝4， 解得：x1＝0，x2， x为0或时，这个二次三项式的值是4． （2）∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是1、1， ∴11＝﹣b，（1）（1）＝c， ∴b＝﹣2，c＝1， ∴b+c＝﹣21． 3．（2026春•宁阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3x+m＝3． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求m的值以及另一个根． 【答案】（1）见下面解答过程；（2）m＝﹣5，另一个根为﹣2 【分析】（1）先把原方程化为一般式，再利用判别式证明即可； （2）把x＝4代入到原方程中求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 【解答】（1）证明：∵x2+mx+3x+m＝3， ∴x2+（m+3）x+m﹣3＝0， ∴Δ＝（m+3）2﹣4•1•（m﹣3） ＝m2+6m+9﹣4m+12 ＝m2+2m+21 ＝（m2+2m+1）+20 ＝（m+1）2+20， ∵（m+1）2≥0， ∴Δ＝（m+1）2+20≥20＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的一个根为4， ∴把x＝4代入x2+mx+3x+m＝3得42+4m+12+m＝3， 解得m＝﹣5， ∴原方程为x2﹣5x+3x﹣5＝3，即x2﹣2x﹣8＝0， ∴（x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， ∴原方程的另一个根为﹣2． 四、同步练习 1．（2026•巴楚县二模）已知一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为2，则另一个根为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 2．（2026•桐城市模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则mn+m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 3．（2026•太和县模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 4．（2026•太和县模拟）把方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，则的值是（　　） A．10 B．2 C．﹣8 D．﹣16 5．（2026春•嘉兴期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4（a≠0）的两个根分别为x1＝﹣4，x2＝6，小范有以下两种说法：①b＝﹣2a；②关于x的方程a（x+4）（x﹣6）+4＝0和ax2+bx+c＝0的解相同，下列判断正确的是（　　） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 6．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c＝0；②cx2+bx+a＝0（a≠c≠0）．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程①有一个解为x＝m（m≠0），则方程②一定有一个解为， 乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1＝1，x2＝﹣1， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 7．（2026•深圳一模）设x1，x2是方程x2﹣6x+7＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 　 　 ． 8．（2026•眉山）若方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x2+x1的值为　 　 ． 9．（2025秋•鹿邑县月考）设a、b是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）＝　 　 ． 10．（2025•泸州三模）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值为　 ． 11．（2026春•上城区校级期中）对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0； ②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 其中正确是　 　 ． 12．（2026春•颍州区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）＝29，求k的值． 13．（2024秋•怀来县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两根分别为x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 14．（2026春•同步）已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 15．（2026•南充模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 16．（2026•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 17．（2025秋•扬中市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”是　 　 ；（填序号） ①x2﹣2x＝0； ②4x2﹣1＝0； ③2x2+5x+2＝0； ④x2+3x+2＝0． （2）若关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0（b，c均为常数）是“邻根方程”，请探究b与c之间的数量关系． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）九年级上册 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解韦达定理（根与系数的关系），能用其求对称式、已知根求参数、判别根的符号等。 二、知识梳理 知识点 1 　根与系数的关系（韦达定理） 1.定理：若 x₁、x₂ 是一元二次方程 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两个根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。 2.逆定理：若两数 x₁、x₂ 满足x₁+x₂ =，x₁·x₂ =，则 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 的两根。 3.常见应用：①不解方程求 x₁+x₂、x₁·x₂ 及对称式的值；②已知一根求另一根及方程中的参数；③构造以已知两数为根的一元二次方程；④由根的符号求参数范围。 4.判别式与韦达定理联用：根的存在性（Δ≥0）必须先判断，否则讨论无意义。 ★ 重点　若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0 (a≠0) 的两根，则 x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。其推导过程基于公式法求出两个根。 ⚠ 易错　①使用韦达定理前必须验证 Δ≥0（否则两根不存在）；②符号易混（，）；③由"已知和与积反推原方程"时易忘记 a 的处理。 ◆ 方法　常见应用三件套：①求 x₁+x₂、x₁·x₂ 的对称式；②已知一根求另一根及参数；③求与根有关的参数范围（结合根的判别式与根的符号）。 三、典例精析 题型 1 　利用根与系数的关系求两个的和与积　 ★ 点拨　直接套x₁+x₂ =，x₁·x₂ =。 1．（2026•南充模拟）一元二次方程2x2+x﹣2＝0两根之积为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，利用计算即可． 【解答】解：方程的两根之积为． 故选：B． 2．（2026•钦北区模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．2 D．﹣2 【答案】A 【分析】对于一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0），若方程的两个根为 x1，x2，则 ，据此求解即可． 【解答】解：∵a＝1，c＝﹣5， ∴． 故选：A． 3．（2026•广西二模）设方程2x2+4x﹣1＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】C 【分析】直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【解答】解：∵方程2x2+4x﹣1＝0的两实数根为x1，x2， ∴． 故选：C． 题型 2 　利用根与系数的关系求变形拓展式子的值　 ★ 点拨　先把所求式子用 x₁²+x₂²、x₁³+x₂³ 等对称式表示，再代换。 1．（2026•阳泉二模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，代入计算即可得到结果． 【解答】解：由条件可知两根满足，， 在方程x2﹣4x+3＝0中，a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴，， 又∵， 代入x1+x2＝4，x1x2＝3， 得． 故选：C． 2．（2026•石家庄二模）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根，则的值为（　　） A．﹣3 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】求出a+b＝1，ab＝﹣3，再把所求式子变形后整体代入计算即可． 【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的两个根， ∴a+b＝1，ab＝﹣3， ∴， 故选：C． 题型 3 　利用根与系数的关系求代数式的值　 ★ 点拨　把所求代数式化为 x₁+x₂、x₁·x₂ 的多项式，整体代换求值。 1．（2025秋•江岸区校级月考）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2的值是（　　） A．0 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，然后代入表达式计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根， 所以， 所以x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣2）＝4． 故选：C． 2．（2026•袁州区模拟）若α，β是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根，则α﹣2αβ+β＝　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】先将所求代数式变形，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的值，代入变形后的代数式进行计算即可． 【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2﹣5x+3＝0的两根， ∴α+β＝5，αβ＝3， ∴α﹣2αβ+β＝（α+β）﹣2αβ＝5﹣2×3＝5﹣6＝﹣1． 3．（2026春•上城区校级期中）设a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　 ． 【答案】2025． 【分析】把所给代数式整理成（a2+a）+（a+b），那么根据a符合一元二次方程及两根之和等于计算即可． 【解答】解：∵a，b是方程x2+x﹣2026＝0的两个实数根， ∴a2+a﹣2026＝0，a+b＝﹣1， ∴a2+a＝2026， ∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2026+（﹣1）＝2025， 故答案为：2025． 题型 4 　根据已知根及根与系数的关系求方程的另一个根　 ★ 点拨　已知 x₁ 时，由x₁+x₂ =，x₁·x₂ = 之一求 x₂。 1．（2026•邹城市二模）关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的其中一个根是x1＝﹣3，则另一个根x2＝　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【解答】解：根据根与系数的关系可得：， 将x1＝﹣3代入等式得：﹣3+x2＝﹣2， 解得：x2＝1． 故答案为：1． 2．（2026•新市区校级模拟）已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4，则另一个根为　 　 ． 【答案】2． 【分析】设另一个根为m，根据两根系数关系可知m+4＝6，求出m的值即可求出． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为4， ∴设另一个根为m，则有m+4＝6， ∴m＝2， 故答案为：2． 3．（2026春•拱墅区校级期中）关于x的方程x2﹣2mx+3＝0的一个解是x1＝1，则方程的另一个解x2＝ 　 　 ． 【答案】3． 【分析】先利用根与系数的关系得x1x2＝3，然后把x1＝1代入可得x2的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝3， 而x1＝1， 所以x2＝3． 故答案为：3． 题型 5 　根据根与系数的关系满足的式子求未知参数　 ★ 点拨　由 x₁+x₂、x₁·x₂ 的已知表达式建立方程组求参数。 1．（2026•东营区校级三模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根，若，则m的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．不存在 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+1＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝m+3，x1x2＝2m+1． 因为， 则， 所以（m+3）2﹣2（2m+1）＝10， 解得m＝1或﹣3． 当m＝1时，方程为x2﹣4x+3＝0， 则Δ＝（﹣4）2﹣4×3＝4＞0， 所以m＝1符合题意； 当m＝﹣3时，方程为x2﹣5＝0， 则Δ＝02﹣4×（﹣5）＝20＞0， 所以m＝﹣3符合题意， 综上所述，m的值为1或﹣3． 故选：C． 2．（2026春•济宁期末）已知一元二次方程ax2+bx﹣2＝0的根为x1，x2，若，则b的值为 　 　 ． 【答案】4． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2，x1x2，再把已知条件通分得到2，所以2，从而可求出b的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2，x1x2， ∵， ∴2， ∴2， 解得b＝4． 故答案为：4． 题型 6 　根与系数的关系与根的判别式的综合　 ★ 点拨　联用 Δ≥0 和韦达定理；同时讨论根的符号、不等关系等问题。 1．（2026春•瑞安市校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣2m＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为3，求m的值和方程的另一个根． 【答案】（1）见下面解答过程；（2）m＝3；﹣2． 【分析】（1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把x＝3代入方程，求出m的值，再解方程即可． 【解答】（1）证明：∵x2+（m﹣4）x﹣2m＝0， ∴Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣2m）＝m2+16＞0， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由条件可得9+3（m﹣4）﹣2m＝0， 解得m＝3， ∴方程化为x2﹣x﹣6＝0， ∴（x﹣3）（x+2）＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2； 故方程的另一个根为﹣2． 2．（2026春•姑苏区校级期中）（1）已知：当x＝﹣2时，二次三项式2x2+mx+4的值等于18，求当x为何值时2x2+mx+4的值是4． （2）已知：关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是、，求b+c的值． 【答案】（1）x为0或时，这个二次三项式的值是4．（2）﹣21． 【分析】（1）根据题意得出方程2×（﹣2）2﹣2m+4＝18，求出m的值，代入后得出方程2x2﹣3x+4＝4，求出方程的解即可； （2）根据根与系数的关系求出b、c的值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，二次三项式2x2+mx+4的值等于18， ∴代入得：2×（﹣2）2﹣2m+4＝18， m＝﹣3， 当m＝﹣3时，2x2﹣3x+4＝4， 解得：x1＝0，x2， x为0或时，这个二次三项式的值是4． （2）∵关于x的方程x2+bx+c＝0的两根分别是1、1， ∴11＝﹣b，（1）（1）＝c， ∴b＝﹣2，c＝1， ∴b+c＝﹣21． 3．（2026春•宁阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3x+m＝3． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为4，求m的值以及另一个根． 【答案】（1）见下面解答过程；（2）m＝﹣5，另一个根为﹣2 【分析】（1）先把原方程化为一般式，再利用判别式证明即可； （2）把x＝4代入到原方程中求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 【解答】（1）证明：∵x2+mx+3x+m＝3， ∴x2+（m+3）x+m﹣3＝0， ∴Δ＝（m+3）2﹣4•1•（m﹣3） ＝m2+6m+9﹣4m+12 ＝m2+2m+21 ＝（m2+2m+1）+20 ＝（m+1）2+20， ∵（m+1）2≥0， ∴Δ＝（m+1）2+20≥20＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的一个根为4， ∴把x＝4代入x2+mx+3x+m＝3得42+4m+12+m＝3， 解得m＝﹣5， ∴原方程为x2﹣5x+3x﹣5＝3，即x2﹣2x﹣8＝0， ∴（x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x＝4或x＝﹣2， ∴原方程的另一个根为﹣2． 四、同步练习 1．（2026•巴楚县二模）已知一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为2，则另一个根为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【解答】解：设方程x2﹣3x+a＝0另一个根为x1， 则， 解得：x1＝1， 故选：D． 2．（2026•桐城市模拟）若m，n是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则mn+m+n的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】先利用根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得m+n＝1，mn＝﹣1， 所以mn+m+n＝﹣1+1＝0． 故选：C． 3．（2026•太和县模拟）已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则m2+4m+2n＝（　　） A．1 B．10 C．﹣1 D．﹣10 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得m2+2m﹣5＝0，根据根与系数的关系求得m+n＝﹣2，再整体代入求解即可． 【解答】解：由题知， 因为m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根， 所以m+n＝﹣2，m2+2m﹣5＝0， 则m2+2m＝5， 所以m2+4m+2n＝m2+2m+2（m+n）＝5﹣4＝1． 故选：A． 4．（2026•太和县模拟）把方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n，则的值是（　　） A．10 B．2 C．﹣8 D．﹣16 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣12，代入计算即可． 【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣12＝0的两个实数根分别记为m，n， ∴m+n＝4，mn＝﹣12， ∴． 故选：A． 5．（2026春•嘉兴期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝4（a≠0）的两个根分别为x1＝﹣4，x2＝6，小范有以下两种说法：①b＝﹣2a；②关于x的方程a（x+4）（x﹣6）+4＝0和ax2+bx+c＝0的解相同，下列判断正确的是（　　） A．①正确，②正确 B．①不正确，②正确 C．①正确，②不正确 D．①不正确，②不正确 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义得到ax2+bx+c﹣4＝a（x+4）（x﹣6），把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 a（x+4）（x﹣6）+4＝0和ax2+bx+c＝0 是同一个方程，据此可判断②． 【解答】解：由条件可知方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的两根为x1＝﹣4，x2＝6，a≠0， ∴ax2+bx+c﹣4＝a（x+4）（x﹣6）， ax2+bx+c﹣4＝a（x2+4x﹣6x﹣24）＝ax2﹣2ax﹣24a， ∴b＝﹣2a，因此①正确； ∵ax2+bx+c﹣4＝a（x+4）（x﹣6）， ∴ax2+bx+c＝a（x+4）（x﹣6）+4， ∴方程 a（x+4）（x﹣6）+4＝0和ax2+bx+c＝0 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 故选：A． 6．（2026春•拱墅区校级期中）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c＝0；②cx2+bx+a＝0（a≠c≠0）．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点： 甲同学，若方程①有一个解为x＝m（m≠0），则方程②一定有一个解为， 乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x1＝1，x2＝﹣1， 正确的结论为（　　） A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误 B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确 C．甲、乙同学的观点均正确 D．甲、乙同学的观点均错误 【答案】C 【分析】根据方程的解的定义可知x＝m（m≠0）是ax2+bx+c＝0的解，则有am2+bm+c＝0，因为m≠0，方程两边同时乘以，可得：，所以方程②一定有一个解为，所以可知甲同学的观点正确；如果方程①②有公共解，则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，可得解为：x＝1或﹣1，即这两个方程的公共解是x＝1或x＝﹣1中的一个． 【解答】解：由条件可知am2+bm+c＝0， 方程两边同时乘以， 可得：， ∴方程②一定有一个解为， 故甲同学的观点正确； ∵方程①②有公共解， ∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a， 整理得：（a﹣c）x2＝a﹣c， ∴方程的公共解为：x＝1或﹣1， 故乙同学的观点正确． 故选：C． 7．（2026•深圳一模）设x1，x2是方程x2﹣6x+7＝0的两个根，则x1+x2﹣x1x2＝ 　 　 ． 【答案】﹣1． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝7，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝6，x1x2＝7， 所以x1+x2﹣x1x2＝6﹣7＝﹣1． 故答案为：﹣1． 8．（2026•眉山）若方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2，则x2+x1的值为　 　 ． 【答案】﹣12． 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根是x1，x2， 则x1+x2＝4，x1x2＝﹣3， 所以3×4＝﹣12． 故答案为：﹣12． 9．（2025秋•鹿邑县月考）设a、b是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）＝　 　 ． 【答案】﹣2025． 【分析】利用根与系数的关系，可得出a+b＝1，ab＝﹣2025，再将其代入原式＝ab﹣（a+b）+1中，即可求出结论． 【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根， ∴a+b1，ab2025， ∴原式＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2025﹣1+1＝﹣2025． 故答案为：﹣2025． 10．（2025•泸州三模）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值为　 ． 【答案】49． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，再将转化为，然后代入求值即可． 【解答】解：由条件可知x1+x2＝3，x1x2＝﹣5， ∴． 故答案为：49． 11．（2026春•上城区校级期中）对于一元二次方程ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0），下列说法： ①若方程的两个根是x1＝﹣1和x2＝2，则2a﹣c＝0； ②若x＝c是方程的一个根，则一定有ac﹣b﹣1＝0成立； ③若a+b﹣c＝0，则它有一个根是x＝﹣1； ④若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0一定有一个实数根． 其中正确是　 　 ． 【答案】①③④． 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【解答】解：若方程的两个根是﹣1和2，则（﹣1）×2＝﹣2， ∴c＝2a， ∴2a﹣c＝0，故①正确； 若c是方程的一个根，则ac2﹣bc﹣c＝c（ac﹣b﹣1）＝0， ∴c＝0或ac﹣b﹣1＝0，故②错误； 若a+b﹣c＝0，则a×（﹣1）2﹣b×（﹣1）﹣c＝a+b﹣c＝0， 即ax2﹣bx﹣c＝0（a≠0）有一个根是x＝﹣1，故③正确； 若方程有一个根是x＝m（m≠0），则am2﹣bm﹣c＝0（a≠0）， 当时，， ∴若方程有一个根是x＝m（m≠0），则方程cx2+bx﹣a＝0．一定有一个实数根，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故答案为：①③④． 12．（2026春•颍州区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2+2＝0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）＝29，求k的值． 【答案】（1）；（2）k＝4． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（k+1）]2﹣4（k2+2）≥0， ∴； （2）∵（α+1）（β+1）＝αβ+（α+β）+1＝29，αβ＝k2+2，α+β＝2（k+1）， ∴k2+2+2（k+1）+1＝29， 整理得k2+2k﹣24＝0， 解得k＝﹣6或k＝4， ∵， ∴k＝4． 13．（2024秋•怀来县校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0的两根分别为x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1）；（2）k＝2． 【分析】（1）根据题意原方程有两个实数根，则Δ＝（﹣3）2﹣4•1•k≥0，据此求解即可； （2）由根与系数的关系可得x1+x2＝3，x1x2＝k，则可推出，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝（﹣3）2﹣4•1•k≥0， ∴； （2）由条件可知x1+x2＝3，x1x2＝k， ∴， ∵， ∴9﹣2k＝5， ∴k＝2， ∵， ∴k＝2符合题意． 14．（2026春•同步）已知x1，x2是方程2x2﹣5x+1＝0的两个实数根，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2， （1）利用因式分解法变形得到原式＝x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算； （2）利用完全平方公式得到原式＝（x1+x2）2﹣4x1x2，然后利用整体代入的方法计算； （3）利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2， （1）原式＝x1x2（x1+x2）； （2）原式＝xx2x1x2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4； （3）原式． 15．（2026•南充模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k﹣3＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 【答案】（1）；（2）0或±2． 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣k﹣3，再求出，根据为整数，推出﹣k﹣1＝±3或﹣k﹣1＝±1，据此可得答案． 【解答】解：（1）由条件可知Δ＝（﹣1）2﹣4•1•（﹣k﹣3）＞0， ∴； （2）由条件可知x1+x2＝1，x1x2＝﹣k﹣3， ∴原式 ， ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴﹣k﹣1＝±3或﹣k﹣1＝±1， ∴k＝2或k＝﹣4（舍去）或k＝﹣2或k＝0， ∴k的值为0或±2． 16．（2026•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 【答案】（1）因为关于x的一元二次方程为x2﹣（k+3）x+3k＝0， 所以Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×3k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）k＝1或k＝﹣1． 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）根据韦达定理求出，再由进行计算即可． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2﹣（k+3）x+3k＝0， 所以Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×3k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）解：因为方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两个实数根为x1，x2， 所以， 则． 因为， 所以k2+9＝10， 解得k＝1或k＝﹣1． 17．（2025秋•扬中市期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，是“邻根方程”是　 　 ；（填序号） ①x2﹣2x＝0； ②4x2﹣1＝0； ③2x2+5x+2＝0； ④x2+3x+2＝0． （2）若关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程x2﹣bx+c＝0（b，c均为常数）是“邻根方程”，请探究b与c之间的数量关系． 【答案】（1）②④；（2）m＝6或4；（3）b2﹣4c＝1． 【分析】（1）分别解出方程，然后根据“邻根方程”即可求解； （2）由题意可设方程的两个根为t，t+1，根据根与系数的关系可得t+t+1＝m﹣3，t（t+1）＝m﹣4，则t+t+1＝t（t+1）+1，整理得：t2﹣t＝0，求出t＝0或t＝1，然后代入即可求解； （3）由题意可设方程的两个根为s，s+1，根据根与系数的关系可得s+s+1＝b①，s（s+1）＝c②，由①得，，代入②得，然后整理即可． 【解答】解：（1）分别解出方程，然后根据“邻根方程”判断如下： ①x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2，不是“邻根方程”； ②4x2﹣1＝0， 解得：，，是“邻根方程”； ③2x2+5x+2＝0， 解得：，x2＝﹣2，不是“邻根方程”； ④x2+3x+2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2，是“邻根方程”； 故选：②④； （2）由题意可设方程的两个根为t，t+1， ∴t+t+1＝m﹣3，t（t+1）＝m﹣4， ∴t+t+1＝t（t+1）+1， 整理得：t2﹣t＝0， ∴t＝0或t＝1， ∴1＝m﹣3或3＝m﹣3， 解得m＝6或4； （3）由题意可设方程的两个根为s，s+1， ∴s+s+1＝b①，s（s+1）＝c②， ∴由①得，，代入②得：， 整理得：b2﹣4c＝1， ∴b2﹣4c＝1． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $