2026--2027学年人教版七年级数学上册第一次月考 基础卷（第二十五章、二十六章)

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，以篮球投篮轨迹、足球联赛销售等真实情境设计问题，强化数学眼光观察现实世界与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、抛物线对称轴、函数图像与不等式|结合菱形性质（第5题），辨析基础概念| |填空题|5/15|方程应用、抛物线交点、动点面积|两数和积问题（第11题），渗透数学思维| |解答题|8/75|解方程、抛物线平移、销售利润、动点综合|篮球轨迹建模（第19题）、足球联赛利润最值（第22题），体现数学语言表达现实世界|

九年级数学新教材第一学期第二十五章二十六章 第一次月考 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 参考答案与评分标准 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C B B D A C C 2、 填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11． 5 12. 15 13． ， 14． 秒或秒 15． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分 （1）解：， ， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）解：， ， ， ， ， ，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 17.本小题分)解：（1）抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 18.本小题8分 解： （1）①， ， ，， ，；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 ②：， ， ， ．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 19.本小题8分) 解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 （2） 将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 20本小题10分解：（1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 (2)花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 21.本小题10分）解： （1）由题知，点为抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分 22.本小题12分解：（1）（件）． 故答案为：230．┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 （2）设该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 整理，得， 解得（不合题意，舍去），．   ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 答：当“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）不能，理由如下：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 设“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，  ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 整理，得． 因为， ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 所以该方程无实数根，即“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润不能达到3700元． 23本小题12分 解：（1）∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （2）存在；┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉3分 （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ②当时，则 ；解得：┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴；.┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉1分 —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十五章二十六章 第一次月考 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3.方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 5．菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 6.在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 7.如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 8.如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的序号是（ ） A． ①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． ．12以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 13．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 第14题 第15题 15.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2（用配方法）； 17.本小题分在已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 18.本小题8分阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 19.本小题8分某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 20本小题10分如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 21.本小题10分某蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 22本小题12分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23本小题12分）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $※※请※※※不※※※要※※※在※※※装※※※订※※※线※※※内※※※答※※※题※※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十五章二十六章 第一次月考 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3.方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 5．菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 6.在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 7.如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 8.如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的序号是（ ） A． ①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． ．12以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 13．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 第14题 第15题 15.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2（用配方法）； 17.本小题分在已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 18.本小题8分阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 19.本小题8分某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 20本小题10分如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 21.本小题10分某蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 22本小题12分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23本小题12分）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． —　2　— —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 九年级数学新教材第一学期第二十五章二十六章 第一次月考 基础卷 【人教版2026】 考试范围：人教版 第二十五章二十六章，试卷总分：120分；考试时间：90分钟 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在规定的位置上。 2．答题时要求字迹清楚，书写工整，保持卷面清洁，不要折叠，不要破损。 3．有作图的请用2B铅笔，并且注意力度；请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．请仔细审题，认真作答。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：A. ，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，当时，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 3.方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 4．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 5．菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．15 D．12 【答案】B 解：方程， 分解因式得：， 可得或， 解得：或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，设菱形对角线相交 于O，如图， ∵菱形， ∴，， 由勾股定理，得， ∴ ∴菱形面积为； 故选：B． 6.在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 7.如图，点，在二次函数的图象上，则方程的一个根的近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵点，在二次函数的图象上， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∴选项符合， 故选：． 8.如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 9．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设出发时间为．有下列结论：①当时，；②的面积可以为；③时的四边形的面积大于时的四边形的面积．其中，正确结论的是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 解：由题意得，， ∴， 当时，则， ∵， ∴，故①说法正确； ， 当的面积为时，则， 整理得，解得或， ∵， ∴的面积可以为，故②符合题意； 当时，， 当时，， ∴当时和当时，的面积相等， 又∵四边形的面积， ∴当时和当时，四边形的面积相等，故③错误； 故选：C． 10．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的序号是（ ） A． ①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当时，是二次函数的最大值， ∴（为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为C ． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ． 【答案】5 解：设其中一个正数为，则另一个正数为， 由题意得， 整理得，即， 解得，， ∴较大的正数是5， 故答案为：5． ．12以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 【答案】 解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，则分别从同时出发，经过 秒钟，使的面积等于． 【答案】秒或秒 解：设经过秒钟，的面积等于，由题意得， ， ，， ∴经过秒或秒时，的面积等于， 故答案为：秒或秒． 15.二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【答案】 解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 3、 解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．本小题分解方程： (1)； (2（用配方法）； （1）解：， ， ，． （2）解：， ， ， ， ， ，． 17.本小题分在已知抛物线（，为常数）． (1)如图，若抛物线的顶点坐标为，求，的值． (2)将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线．若抛物线与的交点坐标为，求抛物线的函数表达式． 解：（1）抛物线（，为常数）的顶点坐标为， ，， 解得，． （2）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线； 将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线． 由，得． 抛物线与的交点坐标为， ，解得． 把代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． 18.本小题8分阅读下列材料： (1)将分解因式，我们可以按下面方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法． (2)根据乘法原理：若，则或． ①； ②． 解： （1）①， ， ，， ，； ②：， ， ， ． 19.本小题8分某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2） 将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 20本小题10分如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 解：（1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． 花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 21.本小题10分某蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间，如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中点为抛物线的拱顶且高，，，取中点，过点作线段的垂直平分线交抛物线于点，若以点为原点，所在直线为轴，为轴建立如图所示平面直角坐标系． 解决下列问题： (1)如图，求抛物线的解析式； (2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，若，求两个正方形装置的间距的长； (3)如图，在某一时刻，太阳光线太阳光线为平行线透过点恰好照射到点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 解： （1）由题知，点为抛物线顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，    ∴， ∴， ∵，当时，， 解得：， ∴，， ∴， ∴； （3）∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 22本小题12分2026年4月，伴随着”城市荣耀，绿茵争锋“的口号江苏城市足球联赛正式开赛，全省十三个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让江苏球迷的足球梦想绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显江苏“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“苏嘟嘟”的苏超球服深受球迷的喜爱，该商店推出促销活动，已知“苏嘟嘟”的苏超球服服每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， (1)若“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； (2)当该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； (3)该“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 解：（1）（件）． 故答案为：230． （2）设该“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ，    整理，得， 解得（不合题意，舍去），．    答：当“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）不能，理由如下： 设“苏嘟嘟”的苏超球服的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得，   整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即“苏嘟嘟”的苏超球服的当天销售利润不能达到3700元． 23本小题12分）如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 解：（1）∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $