练习78-81 根与系数的关系 易错专题训练-【实验班】 2026-2027学年九年级全一册数学计算高手（北师大版·新教材）

计算高手数学八年级 练习78根与系数的关系(1】 建议用时：15分钟 实际用时： 做对 题 答案见P14 1,若x1,x2是一元二次方程x2一3x一5=0的两个根. (1)直接填空：x1十x2= ,x1x2= (2)求(x1-3)(x2-3)的值 2.已知关于x的一元二次方程x2一(2m一2)x十(m2-2m)=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x十x=10,求m的值. 3.(随州中考)已知关于x的一元二次方程x2十（2k十1)x十2+1=0有两个不等实数根x1,x2· (1)求k的取值范围； (2)若x1x2=5,求k的值. 4.已知关于x的一元二次方程x2-(m+6)x十3m十9=0的两个实数根分别为x1,x2. (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若n=x十x号一9，判断动点P(m,n)所形成的函数图象是否经过点A(一1,4)，并说 明理由. 90 一元二次方程第八部分 练习79根与系数的关系(2) 建议用时：15分钟实际用时： 做对 题 答案见P15 1.若x1,x2是关于x的方程x2十ax一2b=0的两实数根，且x1十x2=一2，x1x2=1,求ab的值. 2.若关于x的方程x2十x十7=0的一个根为3一√2，求方程的另一个根及m的值. 3.已知关于x的一元二次方程x2十(2k一1)x十k2十1=0，如果方程的两根之和等于两根之积，求 k的值. 4.已知关于x的一元二次方程x2一6x十(2m十1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且2x1x2十x1十x2≥20，求m的取值范围. 5.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2一8x+7=0的两个根，求这个直角三角形 的斜边长。 91 计算高手数学八年级 练习80根与系数的关系(3) 建议用时：15分钟实际用时： 做对 题答案见P15 1.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2一5x十a=0的两个实数根，且x一x2=10,求a的值. 2.若α，3是方程x2十2x一6=0的两个不相等的实数根，试求下列各式的值： (2)a-B. 3.已知关于x的方程2x+3x十m=0的两根为G1,x2且上十】=3，求m的值 x1 x2 4.(南充中考)已知关于x的一元二次方程：x2一（2m一1)x一3m2十m=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有实数根； 2)若x1是方程的两个实数根，且+一9求m的值。一 5.已知关于x的一元二次方程x2一2x十m十2=0有两个不等的实数根x1和x2. (1)求m的取值范围并证明x1x2=m+2; (2)若|x1-x2=2,求m的值. 92 一元二次方程第八部分 练习81易错专题训练 建议用时：15分钟 实际用时： 做对 题答案见P15 1.解下列方程 (1)x2-2x-1=0; (2)(5x-2)(x-7)=9(7-x). 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0的两根分别为2和3，求方程ax2一bx一c=0的根. 3.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x十m2+5=0的两个实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值； (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的 周长 中考计算新考法 [解题方法型阅读理解题☐问题：解方程(x2一1)2一5(x2一1)十4=0. 明明的做法是：将x2-1视为一个整体，然后设x2-1=y,则(x2一1)2=y2,原方程可化为y2- 5y+4=0,解得y1=1,y2=4. ①当y=1时，x2-1=1,解得x=土2；②当y=4时，x2-1=4,解得x=土√5. 综合①②，可得原方程的解为x1=√2，x2=一√2，x3=√5，x4=一√5. 请你参考明明同学的思路，解方程x4一x2一6=0. 93烈aa2 (2)移项，得x2-6x=6,配方，得(x一3)2=15， x-3=土√15，x1=3+√/15，x2=3-√15. (3)化简，得x2+2x=10,配方，得(x十1)2=11， 则x+1=士√I,所以x1=-1+√页，x2=-1-√11. (0二次项系数化为1，得”-号号=-0， 顿得=园方得(-）-() 则一=士子所以=3：= (5)二次项系数化为1，得2-2x十号=0， 移项，得2-2x=了配方得一1=号， 则z一1=±号所以=1+9=1 (6)二次项系数化为1，得y2+4y-3=0, 移项，得y2+4y=3,配方，得(y十2)2=7， 则y+2=±√7，所以y1=-2+√7，y2=-2-√7. (移项，得+5x=6,配方，得(+》广-9则x十 土子，所以1=1，=一6 (8)x1=1十√7，x2=1-√7. (9)x1=2,x2=-10. (10)x1=4-42,x2=4+4V2. (11)x1=4,x2=-2. 13x=1+9=1-9 练习74用公式法解一元二次方程(1) 3,x=110 1(1)x=1+ 3 09+平9厘 4 81-7-1y 2 （0a号-22 (5)x1=2十√6，x2=2-√6 (6)y1=2+V2,y2=2-√2 2(1)△=[-(3m+2)]2-4m·(2m+2)=m2+4m+4= (m+2)2. m>0,∴.(m+2)2>0,即△>0， 方程有两个不相等的实数根。 :x=3m+2生m+2,方程有-个根为1. 2m .方程有两个不相等的实数根且其中一根为定值1. 2:z-3n+26m+2,x1=1x,=2+g 2m 'm y=7a=7-n(2+)=-2m+5, 当y≤3m时，-2m+5≤3m,.m≥1. 1 练习75用公式法解一元二次方程(2) 1a=24=号@z1==号 2 ③=1+罗1-四 2 (4)x,=3+177 12,x2=3-17 12 (5)x1=-3+√14，x2=-3-√14 (6)z,-5+2=3-V2I -1℃2= 3 3 (7)x1=-5-V33 4°z,=-5+33 4 (8)x,=-3+V4红 8y41,x2=-3-V4红 8 9-57-57 3 10x,-9+四，x,=9-西 6 6 练习76用因式分解法解一元二次方程(1) 0=-号4=1(8=为-9 1 (3)x1=1,x2=5(4)x1=x2=2 (61=-5,=-1(0z1=2=-号 1 (7)x1=3z2=-1(8)x1=3,x2=9 5 (9)x1=7x2=-1(10)x1=-6,z2=-2 (11)x1=-4,x2=0 (12)x1=a十b,x2=a-b 练习77用因式分解法解一元二次方程(2) (1)x1=0,x2=-5(2)x1=-2,x2=6 3 (3)x1=2x2=1（4)x1=3,x2=-1 (5)x1=-3,x2=1(6)x1=x2=√3 (7)x1=-7,x2=5(8)x1=-3,x2=子 (9)x1=-19,x2=-2.2 (10)x1=-2,x2=3 练习78根与系数的关系(1) 1.(1)3-5 (2)x1十x2=3,x1x2=-5,.(x1-3)(x2-3)=x1x2- 3(x1+x2)+9=-5-3X3+9=-5. 2.(1)由题意，知△=(2m-2)2-4(m2-2m)=4>0,.方程有 两个不相等的实数根. (2)x1十x2=2m-2,x1x2=m2-2m, .x十x2=(x1十x2)2-2x1x2=10, .∴.(2m-2)2-2(m2-2m)=10, .m2-2m-3=0,.m=-1或m=3. 3.(1)根据题意，得△=(2k十1)2-4(k2+1)>0, 解得心是 (2)根据题意，得x1x2=2+1. ,x1x2=5,.k2+1=5,解得k1=-2,k2=2. :>子，k=2 4.(1).△=[-(m+6)]2-4×1×(3m+9) =m2+12m+36-12m-36=m2≥0， 该一元二次方程总有两个实数根 (2).x1十x2=m十6，x1x2=3m十9， .n=x+x-9=(x1十x2)2-2x1x2-9=(m+6)2 2(3m+9)-9=m2+12m+36-6m-18-9=m2+6m+9 =(m十3)2. 当m=-1时，n=(m十3)2=(-1+3)2=4， ∴.动点P所形成的函数图象经过点A(一1,4). -题多解(1)x2-(m十6)x十3m十9=0， x2-(m+6)x+3(m十3)=0， (x-3)[x-(m+3)]=0, 解得x1=3,x2=m十3， 该一元二次方程总有2个实数根 (2)由(1)，知x1=3,x2=m十3，则 n=32+(m+3)2-9=(m十3)2， :当m=-1时，n=(-1+3)2=4, .动点P所形成的函数图象经过点A(一1,4) 练习79根与系数的关系(2) 1由根与系数关系，得x1十x2=一a,x1x2=一2b,所以a= 26=-号，所以b=-1 2设方程的另一个根为t,根据题意，得(3一√2)t=7, 7 所以t= =3+√2. 3-√2 所以-m=3-√2+3+√2=6，即m=-6. 即方程的另一个根为3十√2，m的值为一6. 3.设方程的两根为x1,x2,根据题意， 得△=(2k-1D2-4+1D≥0，解得k≤- 由题意，得x1十x2=-(2k-1)=1-2k,x1x2=k2+1, .1-2k=k2+1,即k2+2k=0, k=0,k:=-2而k≤-是，k=-2 4(1)根据题意，得b2-4ac=(-6)2-4(2m十1)≥0， 解得m≤4. (2)由根与系数的关系，得x1十x2=6, x1x2=2m+1.因为2x1x2十x1+x2≥20， ∴.2(2m+1)+6≥20，解得m≥3. 由(1)知，m≤4，∴.m的取值范围为3≤m≤4. 5.设两直角边长为a,b,斜边长为c, 由勾股定理，得a2+b2=c2. 由题意，得a,b是一元二次方程2x2一8x十7=0的两个根，则 由根与系数的关系，得a十6=4，b=了由a2+6=c,得 a+b-2b=e2.把a+b=4ab-名代人，得c2=9,即c=3 练习80根与系数的关系(3) 1.由根与系数的关系，得x1十x2=5,x1x2=a, 由x一x2=10,得(x1十x2)(x1-x2)=10. x1十x2=5,x1-x2=2,∴(x1-x2)2=(x1十x2)2 21 4x1x2=25-4a=4,.a=4 2(1):a,B是关于x的一元二次方程x2+2x一6=0的两个 不相等的实数根，∴a十B=一2,8=一6， (2)la-Bl=√(a-B)7=√(a+B)2-4a3=√4+24 =2√7 3 m 3由题意，得x十x2=一2x1=2, 3 1+1-十=3，即2=3，解得m=-1 m 当m=-1时，△=b2-4ac=9+8=17>0, .m=一1满足题意，故m=一1. 4.(1),△=[-(2m-1)]2-4×1×(-3m2+m)=4m2-4m +1+12m2-4m=16m2-8m+1=(4m-1)2≥0， 方程总有实数根 (2)由题意知，x1十x2=2m-1,x1x2=-3m2十m. 山西-i十z-工十z2三号 (2m-1D -3m2+m 2=一号整理得5m-71m十2=0， 解得m=1皮州=号 5.(1),关于x的一元二次方程x2-2x十m十2=0有两个不 等的实数根，.△=(-2)2-4(m十2)=一4m一4>0，解得 m<-1. 由求根公式，得x1=1+√一m一1， x2=1-√-m-I,x1x2=1-(√-m-1)2=m十2. (2)由根与系数的关系，得x1十x2=2,x1x2=m十2， |x1-x2=2,.(x1-x2)2=4, .(x1+x2)2-4x1x2=4,.4-4(m+2)=4, 解得m=一2. 练习81易错专题训练 1(1)x1=1+2,x2=1-√2 (2)x1=1,x2=-5 7 2.,关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0的两根分别为2 和3，∴.a(x-2)(x-3)=0,整理，得a.x2-5ax十6a=0, .b=-5a,c=6a. 把b=-5a,c=6a代人方程a.x2-bx-c=0, 得a.x2+5ax-6a=0,a(x十6)(x-1)=0,.x1=-6, x2=1. 题名解 2+3=- 由题意，得 解得/B=一5a, 2X3=, c=6a. 将b=-5a,c=6a代入方程a.x2-bx-c=0, 得ax2-(-5a)x-6a=0, x2+5x-6=0,(x+6)(x-1)=0, .x1=-6,x2=1. 月 3.(1)由题意，得x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5. ,(x1-1)(x2-1)=28,.x1x2-(x1十x2)+1=28, .m2+5-2(n十1)+1=28，解得m1=-4,m2=6. 由题意，得b2-4ac=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16 ≥0，解得m≥2，.m=6. (2)当x1=x2时，b2-4ac=0,则m=2, x1=x2=3.,3十3<7，不符合三角形三边关系定理， ∴.m=2舍去. 当x1=7时，72-2(m十1)×7十m2+5=0, 解得m=4或m=10. 当m=4时，x2=3,.周长为3+7+7=17； 当m=10时，x2=15.,7+7<15,不符合三角形三边关系 定理，.m=10舍去. 综上所述，△ABC的周长为17. (注：x2=7的情况与x1=7的情况相同.) 揭秘新考法 【全解】设x2=y,则原方程可化为y2-y一6=0，解得y1= 3,y2=-2. ①当y=3时，x2=3,解得x1=√3，x2=一√3. ②当y=一2时，x2=一2，此方程无实数根. 综合①②，可得原方程的解为x1=√3，x2=一√3， 方法精解】对于给定的数学问题，按常规求解不易时，可打 破常规，将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体，从 宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特点，全面关注 题目的条件和结论，使问题得到简捷、明快的解决方法.解答本 题就是利用整体的思想方法，例题中是先以x2一1作为一个整 体求解，参照例题，真题中可以先以x2作为一个整体求解. 第九部分二次函数 练习82二次函数的图象与性质(1) 1将y=x2+4x-1配方，得y=(x+2)2-5, 顶点坐标：（一2，一5），对称轴：直线x=一2. 题多解对于y=ax2十bx十c, 顶，点横坐标工=一品纵坐标y如。 Aa 将a=1,b=4,c=-1代入，得 2X7=-2,y=4X1X(-1)-4 4 =-5, 4×1 .该抛物线的顶点坐标为（一2，一5）， :对称轴为直线x=一2. 2.y=ax2+2ax十3a2+3=a(x+1)2+3a2-a+3,∴.对称 轴是直线x=一1.，当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴.a>0..一2x≤1时，y的最大值为9， .x=1时，y=3a2+3a+3=9,.3a2+3a-6=0,解得 a=1或a=一2（不合题意，舍去），.a=1. 3.二次函数y=a.x2+bx一1(a≠0)的图象经过点(1,1)， .a+b-1=1,.a+b=2, ∴.1-a-b=1-(a+b)=1-2=-1. 4.分为两种情况： ①当函数是二次函数时，m≠0， ,函数y=mx2十(m+2)x十m十1的图象与x轴只有一 个交点，∴4=(m+2)2-4m(m十1D=0,解得m=土2， ②当函数是一次函数时，m=0,此时函数关系式是y=2x +1,与x轴只有一个交点. 2W3 综上所述，m的值为0或3 2W3 或一3 练习83二次函数的图象与性质(2) 1.,A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2十bx十c上两点， ∫c=3, 1b=2, -4+2b+c=3, 解得 c=3, .y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 其顶点坐标为(1,4). 一题多解因为A,B两，点纵坐标相同，所以对称轴为x -0+2=1. 2 =1,得b=2. 由对称轴公式x=一2a 将A(0,3)代入y=一x2+bx十c,得c=3,当x=1时，y= 一1+2+3=4. :故该抛物线的顶点坐标为(1,4) 2..抛物线y=ax2十bx一3(a≠0)经过点（一1,0），(3,0)， 中解得份 b=-2, 即a,b的值分别是1，-2. 3,抛物线y=x2十mx的对称轴是x=3, .-受-3，解得m=-6,关于x的方程x2+x=7可化 为x2-6x一7=0，即(x十1)(x一7)=0， 解得x1=一1，x2=7. 4.当y=1时，有x2-2x十1=1，解得x1=0,x2=2. 当a≤x≤a十1时，函数有最小值1， ∴.a=2或a十1=0，.a=2或a=一1. 5.依题意，得△=4a2-4(a十6)≥0， 即a-a一60，∴.a≤一2或a≥3. 由根与系数的关系，得m十n=2a,mm=a十6， ∴.y=(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+n)+2=(m+ m）-2m-2m+n)+2=4a2-6a-10=4(a-)- 12},当a=3时y的最小值为8 练习84确定二次函数的关系式(1) 1.由题设抛物线的函数关系式为y=a(x+1)2-2,又(1,10) 在抛物线上，∴.4a-2=10, .a=3,即抛物线的函数关系式为y=3(x+1)2一2. 2把(1,0)，(0，多)代人y=-是x+a+c,得 1 1 2 十b十c=0, b=-1, 心 解得3 c=2’ 、抛物线的函数关系式为3y=一2x一x十2：一 3.,点C在直线x=2上，且到抛物线的对称轴的距离等于 1,.抛物线的对称轴为直线x=1或x=3. 当对称轴为直线x=1时，设抛物线的函数关系式为y=a(x 1)2+k(a≠0)，