奥数培优 第12讲 等量代换与差不变（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第12讲 等量代换与差不变 —— 转化·等量·求面积 —— 【学习目标】 1. 理解"等量公理"：相等的量可以相互代换，把未知转化为已知； 2. 掌握"差不变性质"：被减数与减数同加（或同减）同一个数，差不变； 3. 学会用"加同一块"或"减同一块"的方法求阴影部分面积； 4. 体会"转化思想"在几何面积问题中的妙用，提升数形结合能力。 【知识地图】 本讲围绕"等量代换"与"差不变"两大法宝展开。它们像一对兄弟： 前者负责"代换"——把不规则的图形换成规则的、熟悉的图形； 后者负责"变形"——给两个图形同时加/减同一部分，它们的差保持不变。 掌握这两条思路，再刁钻的面积问题也能找到突破口。 【一、两条核心原理】 原理 含义与几何意义 等量公理 若 a = b, b = c，则 a = c。 在几何中：面积相等的图形可以互相代换。 差不变性质 若 a − b = d，则 (a + k) − (b + k) = d。 在几何中：给两个图形同时加（或减）同一个图形，差保持不变。 【二、三大典型应用场景】 场景 思路要点 和差转化 已知"和"与"差"，可求两个未知量——这是代数中的经典思路，几何中同样适用。 整体代换 不规则图形 = 整体 − 空白；两个图形的差 = (整体1+共部分) − (整体2+共部分)。 叠加合并 两个相同图形并集 = 2×单图 − 重叠部分；常用"乘2再减1"避免重复计算。 一、经典例题 本部分精选 6 道例题，从基础到综合，从规则图形到曲线图形，逐一解锁"等量代换"与"差不变"的威力。 【例1 ★★☆☆☆ 差不变·比较型】 ★★☆☆☆ 📌 【题目】长方形里的"对点"之谜 长方形ABCD中，AB = 16 厘米，BC = 12 厘米。E 是 AD 的中点，F 是 BC 上一点。 已知 △AEF 的面积比 △CEF 的面积大 24 平方厘米，求 BF 的长度。 （如图：长方形 ABCD，E 为 AD 中点（AE = 6 厘米），F 为 BC 上一点，浅橙△AEF 与浅蓝△CEF 共顶点 E、F） 【思路点拨】 本例的关键不是"并起来"，而是发现"两个三角形同高"！ ① 在长方形里，对边互相平行：AD ∥ BC。两条平行线之间的距离处处相等，都是 AB = 16 厘米。 ② △AEF 的顶点 F 落在对边 BC 上，所以它的高 = 平行线之间的距离 = 16 厘米； △CEF 的顶点 E 落在对边 AD 上，它的高同样 = 16 厘米。 —— 两个三角形"同高"！ ③ 同高时，面积差完全由"底的差"决定：S差 = (1/2) × 高 × (AE − CF)。AE = 6 固定不变，问题就转化为"求 CF"！ 【详细解答】 因为 E 是 AD 的中点，所以 AE = 12 ÷ 2 = 6（厘米）。 △AEF 以 AE 为底，AB 为高：S△AEF = 6 × 16 ÷ 2 = 48（平方厘米）。 设 CF = x（厘米），则 △CEF 的面积 = x × 16 ÷ 2 = 8x（平方厘米）。 由"差不变"——大三角形减小三角形 = 24： 48 − 8x = 24 8x = 24，x = 3（厘米） 所以 CF = 3 厘米，BF = BC − CF = 12 − 3 = 9（厘米）。 验证：S△CEF = 3 × 16 ÷ 2 = 24；S△AEF − S△CEF = 48 − 24 = 24 ✓ 💡 【方法点睛】"等量代换"是几何中的代数化——把图形关系转化为等式，未知数自然浮出水面。AE 是固定的半边长，让问题瞬间简化。 【例2 ★★☆☆☆ 等量代换·整体减空白】 ★★☆☆☆ 📌 【题目】"口"字框的等量妙算 一块长 30 厘米、宽 20 厘米的长方形纸板，从中间挖去一个长 20 厘米、宽 8 厘米的小长方形， 剩余部分就是一个"口"字形框架。求这个框架的面积。 （若再从框架里挖去一个半径 3 厘米的圆孔，则剩余部分的面积又是多少？π 取 3.14） 【思路点拨】 直接数"口"字框架的小块很麻烦——四个角、上下两条边。 但只要用"等量代换"反过来想：框架 = 大长方形 − 小长方形。 再加一个圆孔，就再减一个圆——三步减法，一气呵成！ 【详细解答】 （1）"口"字框架的面积： S框架 = S大长方形 − S小长方形 = 30 × 20 − 20 × 8 = 600 − 160 = 440（平方厘米） （2）再挖圆孔后的剩余面积： S剩余 = S框架 − S圆 = 440 − 3.14 × 3² = 440 − 28.26 = 411.74（平方厘米） 💡 【方法点睛】"等量代换"的核心口诀：减法能省心，框架 = 大 − 小 − 圆。挖几次就减几次，再多挖也不怕！ 【例3 ★★★☆☆ 差不变·曲线推广】 ★★★☆☆ 📌 【题目】同心圆里的"扇环" 同心圆中，大圆半径 R = 10 厘米，小圆半径 r = 4 厘米。 以两圆的圆心为顶点、圆心角 90° 画一个扇形（该扇形同时与大圆、小圆同心）。 求"扇形与圆环重叠"的区域面积。 【思路点拨】 把"扇环"想象成"大扇形"被"小扇形"挖去一块的剩余—— 大扇形和小扇形的圆心角相同（都是 90°），形状一模一样，只是半径不同！ 用"差不变"：S扇环 = S大扇形 − S小扇形 = (1/4)π R² − (1/4)π r² = (1/4)π (R² − r²)。 【详细解答】 大扇形面积 = (1/4) × π × 10² = (1/4) × 3.14 × 100 = 78.5（平方厘米） 小扇形面积 = (1/4) × π × 4² = (1/4) × 3.14 × 16 = 12.56（平方厘米） S扇环 = S大扇形 − S小扇形 = 78.5 − 12.56 = 65.94（平方厘米） 巧算法：S扇环 = (1/4)π (R² − r²) = (1/4) × 3.14 × (100 − 16) = (1/4) × 3.14 × 84 = 65.94（平方厘米） 结论一致。 💡 【方法点睛】"差不变"在曲线上同样适用——只要两图形相似（同心同角），它们的差就是"环"！ 【例4 ★★★★☆ 等量代换·中点四边形】 ★★★★☆ 📌 【题目】对角线互相垂直的四边形 四边形 ABCD 中，对角线 AC ⊥ BD，且 AC = 10 厘米，BD = 14 厘米。 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，依次连接得到四边形 EFGH。 求四边形 EFGH 的面积。 （如图：四边形 ABCD，对角线 AC、BD 在点 O 处互相垂直；E、F、G、H 分别为四条边的中点，浅蓝色四边形 EFGH 嵌在内部） 【思路点拨】 关键两步—— ① 四边形 ABCD 的面积 = AC × BD ÷ 2 = 10 × 14 ÷ 2 = 70（平方厘米） （对角线互相垂直的四边形，面积等于对角线乘积的一半） ② 中点四边形面积恒等于原四边形面积的一半！ —— 这是因为 4 个"角三角"各占所在大三角的 1/4，合起来正好是原面积的一半。 【详细解答】 S四边形ABCD = (1/2) × AC × BD = (1/2) × 10 × 14 = 70（平方厘米） 由"等量代换"——中点四边形面积 = 原四边形面积 ÷ 2： S四边形EFGH = 70 ÷ 2 = 35（平方厘米） 答：四边形 EFGH 的面积是35平方厘米。 💡 【方法点睛】这是"等量代换" + "差不变"的组合拳！先把异形转化为规则（用对角线求面积），再用中点性质"减半"。两步衔接，一目了然。 【例5 ★★★★★ 综合·一题多解】 ★★★★★ 📌 【题目】正方形里的"内接正方形" 正方形 ABCD 边长为 8 厘米。E、F、G、H 分别是四条边的中点，依次连接得到一个内接正方形 EFGH。 （1）求内接正方形 EFGH 的面积； （2）若 E、F、G、H 改为每边上的任意点（不再是中点），AE=BF=CG=DH，求四边形EFGH 面积最大是多少？ （3）用至少 3 种方法验证（1）的结论。 【思路点拨】 "一题多解"是奥数的灵魂——用不同路径抵达同一终点。 下面给出 4 种解法，体会"等量代换"的不同切入口。 【详细解答（4 种方法）】 【方法一：直接算】 内接正方形 EFGH 的对角线 = 正方形 ABCD 的边长 = 8 厘米。 S内接正方形 = (1/2) × 对角线² = (1/2) × 8² = 32（平方厘米）。 【方法二：整体减空白（差不变）】 S正方形ABCD = 8 × 8 = 64。 4 个角三角形的面积 = 4 × (1/2 × 4 × 4) = 32。 S内接正方形 = S正方形 − 4个角 = 64 − 32 = 32（平方厘米）。 【方法三：对半分（等积代换）】 连接 EG、FH —— 这两条线段是内接正方形 EFGH 的两条对角线。 它们互相垂直，又分别平行于正方形的两条对边，所以恰好把大正方形 ABCD 分成 4 个完全相同的小正方形。 每个小正方形边长 = 8 ÷ 2 = 4 厘米，面积 = 4 × 4 = 16（平方厘米）。 再看内接正方形 EFGH：在每个小正方形里，它都"占一半"——例如左下角小正方形中，EFGH 占的部分是直角三角形 EOH（见下图）， 两条直角边都是 4 厘米，面积 = 4 × 4 ÷ 2 = 8（平方厘米）= 16 ÷ 2。 （图中虚线小方格 = 被中线分成的 4 个小正方形；四种颜色的三角形拼成 EFGH） 所以：S内接正方形 = 4 × (16 ÷ 2) = 4 × 8 = 32（平方厘米）。 （2）面积范围分析： 当 E、F、G、H 都是中点时，EFGH 面积最大 = 32。 所以 四边形EFGH最大面积是 32（平方厘米）。 💡 【方法点睛】"一题多解"是奥数训练的金钥匙——它能让你看到不同工具背后的相同本质。例5 涉及直接计算、整体减空白、对半分四种思路，每一种都是"等量代换"的不同表达。 二、【牛刀小试】 课堂限时练习（15 分钟）——请独立完成，核对后听老师讲解。 【题目1】平行四边形 ABCD 中，AD = 10 厘米，AD 边上的高 = 6 厘米。E 是 BC 的中点，连接 AE、DE。求 △AED 的面积。 【题目2】等腰梯形 ABCD 中，AD ∥ BC，AD = 4 厘米，BC = 10 厘米，高 = 6 厘米。△ABC 比 △ACD 的面积大多少平方厘米？ 【题目3】一张半径 6 厘米的圆形纸板，上面任意剪掉一个半径 2 厘米的小圆孔（要求小圆孔完全在纸板内）。 ① 求剩余纸板的面积（π 取 3.14）； ② 想一想：小圆孔剪在不同位置，答案会变吗？为什么？ 【题目4】长方形 ABCD 中，AB = 12 厘米，BC = 8 厘米。P 是长方形内部任意一点，连接 PA、PB、PC、PD。已知 S△PAB = 24 平方厘米，S△PAD = 16 平方厘米，求 S△PBC 和 S△PCD。 【题目5】甲、乙两个完全相同的正方形（边长 6 厘米），并排放在桌面上，中间没有缝隙。求合并后图形的总面积和周长。 三、【课后闯关】 本闯关分三关：基础关（★★）——掌握核心方法； 提高关（★★★）——综合运用； 挑战关（★★★★★）——一题多解，融会贯通。 【★ 基础关（★★）】 1. 一个长方形长 18 厘米、宽 10 厘米。挖去一个边长 6 厘米的小正方形（位于一角），求剩余图形的面积。 2. 把两张完全相同的正方形纸片（边长 5 厘米）部分重叠地放在桌面上，重叠部分恰好是一个边长 2 厘米的小正方形（如图）。 【★★ 提高关（★★★）】 3. 一个圆环，外圆半径 5 厘米，内圆半径 3 厘米。求圆环的面积。 4. 长方形 ABCD 长 16 厘米、宽 4 厘米。P 是长方形内一点，连接 PA、PB、PC、PD。已知 S△PAB + S△PCD = 50 平方厘米，求 S△PAD + S△PBC 的和。 5. 半圆的半径是 4 厘米。在半圆上画一个圆心角 60° 的扇形（圆心在半圆的圆心），求扇形与半圆重叠部分的面积。 6. 同心圆中，大圆半径 5 厘米，小圆半径 2 厘米。一个 10×6 厘米的长方形以圆心为中心放置，矩形内属于圆环（不含小圆）的面积是多少？（π 取 3.14） 【★★★ 挑战关（★★★★★）】 7. 菱形 ABCD 的对角线 AC = 12 厘米，BD = 8 厘米。E、F、G、H 分别是四条边的中点，顺次连接得到一个矩形。求这个矩形的面积，并说明为什么是矩形。 8. 探究题：长方形 ABCD 中，AB = 12 厘米，BC = 8 厘米。P 是长方形内的点，连接 PA、PB、PC、PD。 （1）S△PAB + S△PCD 是否为定值？如果是，求出这个定值； （2）S△PAD + S△PBC 是否为定值？如果是，求出这个定值； （3）请你用至少两种方法证明（1）的结论。 四、【参考答案】 【牛刀小试参考答案】 【参考答案】 1. 解：△AED 的底 = AD = 10 厘米，高 = 平行四边形的高 = 6 厘米， 所以 S△AED = 10 × 6 ÷ 2 = 30（平方厘米）。（等底等高的三角形面积 = 平行四边形面积的一半） 【参考答案】 2. 解：△ABC 的底 = BC = 10 厘米，高 = 6 厘米，S△ABC = 10 × 6 ÷ 2 = 30。 △ACD 的底 = AD = 4 厘米，高 = 6 厘米，S△ACD = 4 × 6 ÷ 2 = 12。 差 = 30 − 12 = 18（平方厘米）。 【参考答案】 3. 解： ① 剩余面积 = 大圆面积 − 小圆面积 = 3.14 × 6² − 3.14 × 2² = 3.14 × (36 − 4) = 3.14 × 32 = 100.48（平方厘米）。 ② 答案不变！把大圆和小圆都"看做"两个数，它们一减，圆的"位置"被减法消掉了——这就是"差不变"在几何里的威力。 【参考答案】 4. 解：长方形面积的一半 = 12 × 8 ÷ 2 = 48（平方厘米）。 因为 S△PAB + S△PCD = 48， 所以 S△PCD = 48 − 24 = 24（平方厘米）； 因为 S△PAD + S△PBC = 48， 所以 S△PBC = 48 − 16 = 32（平方厘米）。 验证：24+16+24+32 = 96 = 12×8 ✓ 【参考答案】 5. 解：总面积 = 2 × 6² = 72（平方厘米）； 合并后图形是一个长 6+6=12 厘米、宽 6 厘米的长方形,周长 = (6 + 12) × 2 = 36（厘米）。 【课后闯关参考答案】 【参考答案】 1. 18 × 10 − 6 × 6 = 180 − 36 = 144（平方厘米）。【等量代换：剩余 = 整体 − 挖去】 【参考答案】 2. 合并图形的总面积 = 2 × S单图 − S重叠 = 2 × 5 × 5 − 2 × 2 = 50 − 4 = 46（平方厘米）。【等量代换：合并图形 = 2 个完整正方形 − 1 个重叠正方形】 【参考答案】 3. 圆环面积 = π × (R² − r²) = 3.14 × (5² − 3²) = 3.14 × 16 = 50.24（平方厘米）。【差不变：大圆 − 小圆 = 圆环】 【参考答案】 4. 长方形面积的一半 = 16 × 4 ÷ 2 = 32（平方厘米）。对边三角形面积之和恒等于长方形面积的一半，所以 S△PAD + S△PBC = 32（平方厘米）。【差不变 + 等积变形：P 点任意，结论不变】 【参考答案】 5. 扇形面积 = (60/360) × π × 4² = (1/6) × 3.14 × 16 ≈ 8.37（平方厘米）。【等量代换：扇形 = 圆的一部分】 【参考答案】 6. 矩形面积 = 10 × 6 = 60（平方厘米）。小圆半径 2，完全在矩形内（圆心到矩形短边 = 3 > 2，长边 = 5 > 2），所以矩形内属于圆环的面积 = 矩形面积 − 小圆面积 = 60 − 3.14 × 2² = 60 − 12.56 = 47.44（平方厘米）。【等量代换 + 差不变：圆环部分 = 矩形 − 小圆部分】 【参考答案】 7. 中点四边形 EFGH 的面积 = 菱形 ABCD 面积 ÷ 2 = (1/2 × AC × BD) ÷ 2 = (1/2 × 12 × 8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24（平方厘米）。因为 AC ⊥ BD（菱形对角线互相垂直），所以 EFGH 是矩形（三角形中位线平行于底边且等于底边一半；两组对边分别平行 + 一个角是直角 = 矩形）。 【参考答案】 8. （1）是定值：S△PAB + S△PCD = 12 × 8 ÷ 2 = 48（平方厘米）。 证明方法一：AB ∥ CD。设 △PAB 以 AB 为底的高为 h₁，△PCD 以 CD 为底的高为 h₂。因为 P 在长方形内部，所以 h₁ + h₂ 等于长方形宽 BC = 8 厘米。因此： S△PAB + S△PCD = ½ × AB × h₁ + ½ × CD × h₂ 又因为 AB = CD = 12，所以： = ½ × 12 × (h₁ + h₂) = ½ × 12 × 8 = 48（平方厘米）。 证明方法二：等积变形，连接 PA、PB、PC、PD，把 P 点“压平”到 AB 上，两个三角形拼成长方形面积的一半。 【参考答案】 （2）是定值：48（平方厘米）。同理，S△PAD + S△PBC = 12 × 8 ÷ 2 = 48。 【参考答案】 （3）证法已写在（1）里。提示：还可考虑用坐标法（设 P(x, y) 代入面积公式求和），或用三角形面积公式 S = (1/2) × 底 × 高。 五、【方法总结】 本讲围绕"等量代换"和"差不变"两条主线展开。下面用表格梳理，方便你随时查阅。 方法 核心公式 适用场景 等量公理 a = b ⇒ 用 b 代替 a 把异形换成规则形；把未知换成已知 差不变性质 (a + k) − (b + k) = a − b 同加/同减同一部分，差保持不变 整体减空白 S异形 = S整体 − S空白 框架 = 大 − 小；阴影 = 大 − 空 叠加合并 S并集 = 2S单图 − S重叠 两个相同图形并集计算 和差转化 已知和与差 → 解出两个量 把几何问题代数化 一题多解 至少 3 种方法解同一题 深化理解，触类旁通 【思维导图：本讲知识网络】 维度 内容 核心原理 等量公理 ＋ 差不变性质 应用方向① 求阴影面积（整体减空白） 应用方向② 求两图形面积差（和差转化） 应用方向③ 把异形转化为规则形（等积变形） 拓展场景 曲线图形（圆环、扇形）、旋转对称（风车） 思想升级 从"形"到"数"再回"形"——数形结合 六、【数学文化角】 等量代换——人类最早的"代数思想" 早在 3800 年前的古埃及，人们就在莎草纸上记录着这样的题目： "一个数加上它的 1/7 等于 19，求这个数。" 古埃及人没有用字母 x，他们的方法叫"假设法"：先猜一个答案（比如 7），算一下—— 7 + 7/7 = 8，离 19 还差 19 − 8 = 11； 于是把答案乘以 19/8 = 19 × 7/8 = 133/8…… 你看，这里面就藏着"等量代换"和"差不变"的影子——用相等量代换，化未知为已知。 后来，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中把"等量公理"写进了开篇： "等量间彼此相等；等量加等量，和仍相等；等量减等量，差仍相等……" 这四条"公理"看似简单，却支撑起了整座几何大厦。 今天我们用"差不变"求面积、用"等量代换"转化图形，其实就在使用 2300 年前欧几里得的智慧。 【小知识】 中国古代的"方程术"（出自《九章算术》）也大量使用等量代换： "方程"的"方"指方形阵列，"程"指计算——把未知数列成方阵，通过"直除法"消元， 本质上就是不断用"等量代换"把多变量化为单变量。比欧洲的同类方法早 1500 年！ ✨ 祝贺你完成了第12讲的学习！ ✨ 记住："等量代换"是桥梁，"差不变"是魔法。 保持你的好奇心学习下一讲，让我们继续用智慧解锁新招式！ — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — 加油，你是最棒的👍 学科网（北京）股份有限公司 $