专题3.2 利用导函数研究函数的单调性 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦“利用导函数研究函数的单调性”专题，涵盖判断单调性、求单调区间（含参与不含参）、由单调性求参数、比较大小及解不等式等7大核心考点，按“基础应用—综合提升—拓展迁移”逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法归纳、真题精析、分层训练四环节，帮助学生系统突破导数应用难点。 讲义突出数学思维与创新意识培养，如在含参函数单调区间讨论中，引导学生通过分类整合思想构建解题框架，在比较大小问题中训练构造函数的数学眼光。设置基础巩固、能力拔高、高考模拟三级练习，配合解题策略即时总结，助力学生高效掌握导数工具，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题3.2 利用导函数研究函数的单调性 【考点1：用导数判断或证明已知函数的单调性】 2 【考点2：利用导数求函数的单调区间（不含参）】 4 【考点3：由函数的单调区间求参数】 7 【考点4：由函数在区间上的单调性求参数】 11 【考点5：利用导数求函数（含参）的单调区间】 13 【考点6：利用单调性比较大小】 19 【考点7：利用单调性解不等式】 22 【考点1：用导数判断或证明已知函数的单调性】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数在上的单调情况是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】A 【分析】借助导数计算即可得. 【详解】恒成立， 故函数在上单调递增. 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由题意得，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由题意得，则在上单调递增，故B正确； 对于C，由题意得，而， 则不可能在上单调递增，故C错误， 对于D，由题意得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，故D错误. 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数存在单调递减区间，则其导函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，易知；对于B，令，再利用导数可得，然后结合题意判断即可；对于C，易知，则有解即可判断；对于D，分、即可判断恒成立． 【详解】对于A，，则函数单调递增，不存在单调递减区间，故A不符合题意； 对于B，令，， 则时，，单调递减，时，，单调递增， ，即， 则函数单调递增，不存在单调递减区间，故B不符合题意； 对于C，，则有解， 则函数存在单调递减区间，故C符合题意； 对于D，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，恒成立， 则函数单调递增，不存在单调递减区间，故D不符合题意． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，是定义在上的增函数，A正确； 对于B，，是定义在上的增函数，B正确； 对于C，，当时，， 在上单调递减，C错误； 对于D，，是定义在上的增函数，D正确. 5．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】求导后利用导数正负即可判断原函数单调性. 【详解】， 当时，，当时，， 故在区间、上单调递增，在上单调递减， 故A、B、D正确，C错误. 【考点2：利用导数求函数的单调区间（不含参）】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是_______________． 【答案】 【详解】由已知，， 由，可得，解得， 即函数的递增区间为． 2．（2026高三·全国·专题练习）设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，． (2)在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】（1）对原函数求导得到导函数表达式，利用切点列出方程组，解出参数值即可. （2）通过已知参数写出导函数表达式，再解和得到单调区间即可. 【详解】（1）根据题意，求导得． 由于的图象与直线相切于点， 所以，，即，解得，． （2）由（1）可得，， 则， 令，解得或； 令，解得． 综上，在和上单调递增，在上单调递减. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递减区间是，单调递增区间是． 【分析】（1）根据导数的几何意义，列出方程组求得， （2）求得，进而求得函数的单调区间． 【详解】（1）点在切线上，则， ，则， 由题意得，解得， 所以； （2）由（1）得， 由得或；由得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． 4．（25-26高二下·四川雅安·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2) 单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）函数定义域为. 由求导得， ，，切线方程为，即. （2），. 令，则， 故函数单调递增区间为，单调递减区间为. 5．（25-26高二下·河南三门峡·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为． (3)最小值． 【分析】（1）先求处函数值得切点，用乘积求导法则算出导函数并代入得切线斜率，再用点斜式整理出切线方程； （2）因式分解导函数，依据恒正只解二次不等式，分别得到导函数正负对应的单调增减区间； （3）先由单调性求出极大、极小值，再因式分解原函数判断函数正负分布，对比得出函数最小值. 【详解】（1），函数定义域为， ，即切点坐标为． ， 切线斜率． 切线方程为， 整理得． （2）由（1）得， 对任意，恒成立， 得，解得或， 得，解得， 的单调递增区间为和，单调递减区间为． （3）由（2）知极大值为，极小值为， 又， 当或时，，当，时， 当时，取得最小值． 【考点3：由函数的单调区间求参数】 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求导，将区间存在递减区间转化为在有解，构造函数求其区间最大值，再验证临界值得到的取值范围. 【详解】由，得 ， 因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使得，即在上有解， 所以， 设，则，令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又，，，因此在上的最大值为， 当时，在上恒成立（仅端点处导数为0，区间内导数恒正）， 函数单调递增，不存在递减区间，因此， 即的取值范围是. 4．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 5．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先对函数求导，利用极值点处导数为求出参数，再通过导数正负判断函数单调性，进而得到单调区间； （2）方法一：对求导，将导数恒非负的不等式分离参数，构造函数求其在对应区间的最大值得到的范围；方法二：根据单调递增函数的性质，让区间最小值满足不等式，直接解出的取值范围； （3）方法一：将不等式分离参数，结合构造函数在区间的单调性求出最大值，得到的上限；方法二：利用函数单调性求出区间最小值，令最小值小于 解出的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，则，得， 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则在处取得极值，故. （2），则， 由题意得，在上恒成立，即在上恒成立. （方法一）整理得在上恒成立， 所以， 因为在上单调递减，最大值为，所以， 即的取值范围是. （方法二）因为，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以，即， 即的取值范围是. （3）由题意得在上有解. （方法一）需在上有解. 因为在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. （方法二）函数在上单调递增，所以， 在上有解，所以， 所以，即的取值范围为. 【考点4：由函数在区间上的单调性求参数】 1．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题可知时，恒成立，分离常数后得，构造函数，利用函数的导数得到函数的单调性，从而求得函数最小值，即可求得实数的取值范围. 【详解】函数定义域，导数， 由题意可知当时，导数恒成立， 即，所以在时恒成立. 令函数， 则， 令函数，则导数， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以当，，所以函数在上单调递增， 所以， 所以. 2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递增，则，可得， 所以实数的取值范围是. 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 【答案】 【分析】先对函数求导，根据函数在区间上存在单调递减区间得到关于的不等式，再通过对函数的最值来确定取值范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在区间上存在使得， 即在有解，即， 令，即， 因为对称轴为，所以， 所以，所以实数的范围是. 4．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】依题意将函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式能成立问题，通过参变分离，构造函数，求其值域即得参数范围. 【详解】由求导得， 因函数在上存在减区间，则在上有解区间，即在上能成立. 设，则，则函数在上单调递增， 故，即，故可得， 即实数的取值范围为. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是_____. 【答案】 【分析】由题意可得在上恒成立，进而得到，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题可知，函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 而，则在上恒成立， 即，则， 将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为和，样本空间中样本点个数为36个， 不满足条件的有共6种情况， 则满足条件的共有30种情况， 所以函数在上单调递增的概率为． 【考点5：利用导数求函数（含参）的单调区间】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，其中．当时，求函数的单调区间． 【答案】当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 【分析】求导，分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】由，，定义域是， 则， 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，，此时， 则函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，， 令，得或，令，得， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 【答案】时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 【分析】先对函数求导，再由求出方程的两个根，然后根据两根的大小关系对参数进行分类讨论． 【详解】的定义域是， ， 由，得或， 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，，在单调递增； 当，即时，时，，或时，， 在单调递增，在单调递减，在单调递增； 当，即时，时，，时，， 在单调递减，在单调递增； 综上，时，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递增； 时，在单调递增，在单调递减，在单调递增； 时，在单调递减，在单调递增. 3．（25-26高二下·北京延庆·期末）求下列函数的单调区间． (1)； (2)． 【答案】(1)增区间为，单调减区间为． (2)当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来确定函数的单调区间； （2）同样先对函数求导，再根据的取值范围讨论导数的正负性，进而确定函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为． 因为， 令，可得，因为恒成立， 所以，即解得或， 因此可知函数的单调增区间为， 令，可得，解得． 因此函数的单调减区间为． （2）函数的定义域为． 因为， 当时， 在区间，，则此时函数在上单调递减； 在区间，，则此时函数在上单调递增； 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， 在区间，，函数为增函数； 在区间，，函数为减函数； 在区间，，函数为增函数. 当时， ，恒成立，函数在为增函数. 综上可知，当时，函数的减区间为，函数的增区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间. 4．（导数与函数的单调性—考点专练（通用版））已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和 【分析】（1）先求导，再由导数的几何意义即可求解； （2）先求导，根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得：，所以，解得； （2）由题意得：，又， 令，解得或， 当时，由，解得或，由，解得， 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，由，解得，由，解得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为和， 综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和. 5．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）对函数求导，判断函数的单调性，计算极值； （2）对函数求导，分类讨论参数，确定函数的单调性. 【详解】（1），， ， 令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值. （2），， 当时，，，在上单调递增； 当时，令，解得， ，，，在上单调递增； ，，，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【考点6：利用单调性比较大小】 1．（2026·江西赣州·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明不等式和，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】设，则， 当时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立，故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而，故. 2．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 3．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，构造函数，利用导数求取单调性可得、之间大小关系，再由，即可得解. 【详解】由，令， 即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 则有，即， 令， 则在上恒成立， 故在上单调递减， 则有，即， 故，又， 所以. 故选：B. 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设，，，则（    ） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【答案】B 【分析】构造函数证明b＞c，构造函数证明，构造函数证明，从而得结论. 【详解】令函数，则，当时，，当x＞1时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当x＝1时取等号， 即．， 所以，故，即b＞c． 令函数，x＞0，则，在上单调递增，所以，故，即，故． 令函数，则，故当x＞1时，，所以，即，所以c＞a． 综上b＞c＞a． 故选：B． 5．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依次构造函数和，利用导数研究其单调性即可分析求解. 【详解】令，则， 所以在上单调递减，则，即， 所以，即，故； 令， 则， 因为，所以， 又时， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 则，即， 所以，即，故. 综上可得. 【考点7：利用单调性解不等式】 1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数的导函数为，对任意的实数x都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的解析式，然后再探究其奇偶性和单调性，最后将原不等式转化，进而求解. 【详解】由可得， 即，所以（其中c为常数）， 因此，，由可得，故， 显然，是上的偶函数．当时，， 所以，在上是增函数， 因为，所以，所以解集为． 2．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造新函数，求出后由导函数确定，注意可得，从而得出的解析式，然后解不等式即可． 【详解】设，， 因为，所以， 所以． 因此，，所以， ， 不等式即为 ，，解得或． 故选：D． 3．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数,由得的单调性,再将不等式转化为, 又由，得，所以，由构造函数的单调性,即可求解． 【详解】设，则, , , 又， 所以, 在定义域上单调递增, 对于不等式可转化成， , 又，, , 而在定义域上单调递增, ， 故选A. 【点睛】本题考查构造函数，利用其导函数取得正负的范围得出构造函数的单调性区间，从而求解不等式的问题，此类问题的关键是根据已知条件构造出合适的新函数，并且分析其单调性和特殊点的函数值，属于中档题． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即可解得的取值范围. 【详解】构造函数，则， 所以，函数为上的增函数，， 由可得，所以，. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 5．（25-26高二下·河北·期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)，值域为 (2) 【分析】（1）由，求得，，并代回，用偶函数的性质检验其正确性；再结合二次函数 的值域求得函数的值域； （2）写出的解析式，判断其奇偶性及单调性，再利用奇偶性及单调性求解不等式. 【详解】（1）由题意知，即，解得，， 当，时，， 此时定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以是偶函数， 所以． 因为，所以，所以， 所以函数的值域为． （2）由题意知，. 因为， 所以是偶函数， 当时，， 显然当时，， 所以在上单调递增， 所以函数在上单调递减. 所以， 所以，解得． 故实数的取值范围是． 一、单选题 1．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，根据导数与0的关系得出减区间. 【详解】函数的定义域为， ，令， 则单调递减区间为. 故选：B 2．（25-26高二·全国·课后作业）若函数在上是单调函数，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，由条件函数是单调函数，分类讨论或，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后求出函数的最值，可得的取值范围． 【详解】由题意得，．因为在上是单调函数， 所以或在上恒成立， 所以或，即或在上恒成立． 设，因为，所以．   所以或，即． 故选：D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(0，2π)上增 【答案】A 【分析】求出导函数f′(x)＝1－cosx>0在(0，2π)上恒成立，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出选项. 【详解】∵f′(x)＝1－cosx>0在(0，2π)上恒成立， ∴f(x)在(0，2π)上为增函数. 故选：A 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，利用导数可知在区间上单调递减，结合单调性分析判断. 【详解】令，可得， 即的定义域为， 取，可得， 且， 可知在区间上单调递减， 又因为，所以． 故选：B. 5．（第一章导数及其应用【专项训练】-2025-2026学年高二数学（理）下学期期末专项复习（人教A版选修2-2））若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 【答案】A 【分析】利用导数研究函数的极值性，令极值点属于已知区间即可. 【详解】显然函数的定义域为，． 由，得函数的单调递增区间为； 由，得函数单调递减区间为． 因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得，又因为为定义域内的一个子区间，所以，即． 综上可知实数k的取值范围是． 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，其中考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.本题解题的关键在于结合已知条件，得，进而求解. 6．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知定义在R上的函数满足.若，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而即可比较函数值的大小关系. 【详解】解：因为，所以， 构造函数， 则，所以函数在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 故选：A. 二、多选题 7．（25-26高二·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在上是减函数 B．在，上是减函数 C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数 【答案】BCD 【分析】求出函数的定义域与导函数，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解. 【详解】的定义域为. ， 令，得或， 所以的单调递增区间为和， 在和上是增函数. 令，得或. 所以在和上是减函数， 故选：BCD. 8．（25-26高二上·湖南·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由对数函数单调性知；令，根据幂函数单调性知A正确；令，利用导数确定单调性，确定，结合和换底公式可确定B正确；由反例可知CD错误. 【详解】由得：. 对于A，令，又，在上单调递增，，A正确； 对于B，令，则， 当时，；当时，； 当时，单调递减；当时，单调递增； ，，， ， ，，， ，即，B正确； 对于C，等价于， 当，时，，，此时， 令，由知：在上单调递增，， 即，，C错误； 对于D，若，，，则，， 此时，D错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性确定不等关系的问题，解题关键是能够根据每个选项不同的特点构造出不同的函数，根据初等函数单调性或利用导数确定函数单调性，进而确定选项所给的不等关系的正误. 三、填空题 9．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由得， 由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为， 若在区间上单调递增，则，解得， 故答案为： 10．（2026·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________. 【答案】 【分析】构造函数，由已知条件得在上是偶函数，然后根据其单调性从而可求解. 【详解】令，所以， 因为，所以，化简得， 所以在上是偶函数， 因为， 因为当，，所以，在区间上单调递增， 又因为为偶函数，所有在上单调递减， 由，得，又因为，所以， 所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】通过构造函数，结合已知函数求出函数为偶函数和其单调性，从而求解. 四、解答题 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递减区间是，单调递增区间是． 【分析】（1）根据导数的几何意义，列出方程组求得， （2）求得，进而求得函数的单调区间． 【详解】（1）点在切线上，则， ，则， 由题意得，解得， 所以； （2）由（1）得， 由得或；由得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． 12．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性. 【详解】（1）， 由已知， ∴得 又 ∴曲线在点处的切线方程为 化简得： （2）定义域为R， ，令得或 ①当即时， 令得或，令得， 故在单调递减，在，上单调递增； ②当即时，恒成立， 故在R上单调递增； ③当即时， 令得或，令得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 利用导函数研究函数的单调性 【考点1：用导数判断或证明已知函数的单调性】 2 【考点2：利用导数求函数的单调区间（不含参）】 2 【考点3：由函数的单调区间求参数】 5 【考点4：由函数在区间上的单调性求参数】 6 【考点5：利用导数求函数（含参）的单调区间】 6 【考点6：利用单调性比较大小】 9 【考点7：利用单调性解不等式】 9 【考点1：用导数判断或证明已知函数的单调性】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数在上的单调情况是（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 2．（25-26高二下·山东青岛·期末）下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数存在单调递减区间，则其导函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·四川成都·期中）（多选）下列函数在定义域上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知函数，下列说法正确的是（　　） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【考点2：利用导数求函数的单调区间（不含参）】 1．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间是_______________． 2．（2026高三·全国·专题练习）设函数的图象与直线相切于点． (1)求、的值； (2)讨论函数的单调性． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 4．（25-26高二下·四川雅安·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 5．（25-26高二下·河南三门峡·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)求的最小值． 【考点3：由函数的单调区间求参数】 1．（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北·期末）已知函数，，. (1)若在x=1处取得极值，求a的值； (2)若在上单调递增，求a的取值范围； (3)若在上存在单调递减区间，求a的取值范围. 【考点4：由函数在区间上的单调性求参数】 1．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆北碚·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围为__________. 3．（25-26高二下·河南郑州·期末）已知函数，若函数在区间上存在单调递减区间，则实数的范围是______. 4．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知函数在上存在减区间，则实数的取值范围为______. 5．（26-27高三·全国·一轮复习）将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是_____. 【考点5：利用导数求函数（含参）的单调区间】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数，其中．当时，求函数的单调区间． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数．讨论的单调性． 3．（25-26高二下·北京延庆·期末）求下列函数的单调区间． (1)； (2)． 4．（导数与函数的单调性—考点专练（通用版））已知函数. (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性. 5．（25-26高二下·内蒙古锡林郭勒·期末）已知函数 (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性． 【考点6：利用单调性比较大小】 1．（2026·江西赣州·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·山东烟台·阶段检测）已知，，.则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）设，，，则（    ） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c 5．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点7：利用单调性解不等式】 1．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数的导函数为，对任意的实数x都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）已知是函数的导数，且对任意的实数都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段检测）定义在上的函数满足：，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河北·期末）已知函数是定义在上的偶函数，其中、且． (1)求函数的解析式及值域； (2)若，实数满足，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高三上·甘肃·阶段检测）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·课后作业）若函数在上是单调函数，则的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(0，2π)上增 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（第一章导数及其应用【专项训练】-2025-2026学年高二数学（理）下学期期末专项复习（人教A版选修2-2））若函数在定义域内的一个子区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C．(1，2] D．[1，2) 6．（25-26高三上·四川绵阳·阶段检测）已知定义在R上的函数满足.若，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 二、多选题 7．（25-26高二·全国·课后作业）已知函数，则（    ） A．在上是减函数 B．在，上是减函数 C．的单调递增区间为和 D．在和上是增函数 8．（25-26高二上·湖南·期中）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（25-26高三上·江苏淮安·阶段检测）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________. 10．（2026·河南·模拟预测）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________. 四、解答题 11．（26-27高三·全国·一轮复习）已知在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间． 12．（25-26高三上·湖北·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $