2.1.1有理数的加法 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数加法核心知识点，构建从意义理解到法则掌握（分同号、异号、相反数、与0相加四种情况），再到运算律（交换律、结合律）应用及实际场景解决的学习支架，形成完整知识脉络。 资料通过题型分类（运算、符号、应用、运算律）配解题技巧与典例变式，培养运算能力（数学思维）、模型意识（数学语言，如温度变化等实际应用）和抽象能力（数学眼光，符号判断口诀），课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

2.1.1有理数的加法 目录 知识点1 有理数加法的意义 1 知识点2 有理数加法法则 2 知识点3 有理数加法的运算律 2 知识点4 有理数加法的实际应用 2 题型1 有理数加法运算 2 题型2 有理数加法中的符号问题 4 题型3 有理数加法在生活中的应用 6 题型4 有理数加法运算律 8 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则。 2. 能熟练进行有理数的加法运算，正确确定和的符号。 3. 理解有理数加法运算律，能运用运算律简化计算。 4. 能运用有理数加法解决生活中的实际问题。 知识点1 有理数加法的意义 把两个有理数合并成一个数的运算叫做有理数的加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。有理数的加法是在小学正数加法基础上的扩展，加数可以是正数、负数或0。 知识点2 有理数加法法则 有理数加法法则分四种情况： ① 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。如(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。 ② 异号两数相加（绝对值不等）：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如(+5)+(-3)=+2，(-5)+(+3)=-2。 ③ 互为相反数的两个数相加得0。如(+5)+(-5)=0。 ④ 一个数同0相加，仍得这个数。如(+5)+0=+5，(-5)+0=-5。 知识点3 有理数加法的运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b＝b＋a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 运算律的作用：通过交换和结合，将便于计算的数组合在一起，使运算简便。 知识点4 有理数加法的实际应用 有理数加法在生活中应用广泛，常见场景包括：温度变化（初始温度＋变化量＝最终温度）、收支计算（收入为正、支出为负，求和得结余）、位移合成（规定正方向，各段位移相加得总位移）、海拔变化（上升为正、下降为负）等。解题关键是正确规定正负方向，将实际量转化为有理数后再相加。 题型1 有理数加法运算 【解题技巧】 ① 运算三步法：一定类型 → 二定符号 → 三算绝对值。先判断是同号相加、异号相加、互为相反数相加还是与0相加，再按对应法则计算。 ② 同号相加：符号不变（两个正数相加得正，两个负数相加得负），绝对值直接相加。如(-7)+(-4)，同负，结果为负，7+4=11，所以=-11。 ③ 异号相加：先比绝对值大小，取绝对值较大的加数的符号，再用大绝对值减小绝对值。如(-9)+(+4)，|-9|＞|+4|，取负号，9-4=5，所以=-5。 ④ 互为相反数相加直接得0，不用算绝对值。 ⑤ 与0相加直接等于原数。 ⑥ 易错点：异号相加时符号取反（应取绝对值大的符号）；负数加正数时只算绝对值不管符号；同号负数相加结果漏写负号。 【常见考法】直接计算两个有理数的和；多个有理数连加；判断计算是否正确并改错。 【典例1】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 【变式1】．计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 【变式2】．计算：． 【答案】10 【详解】． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型2 有理数加法中的符号问题 【解题技巧】 ① 符号判断口诀：同号相加不变号，异号相加取大号（绝对值大的符号），相反数相加等于0，加0不变号。 ② 和的符号规律：两个正数相加和为正；两个负数相加和为负；一正一负相加，和的符号与绝对值较大的加数相同。 ③ 判断和的正负技巧：不计算具体值，只比较绝对值大小即可判断和的符号。如a＞0，b＜0，若|a|＞|b|则a+b＞0；若|a|＜|b|则a+b＜0。 ④ 含字母的符号判断：根据字母的正负和绝对值大小关系分类讨论。 ⑤ 易错点：异号两数相加时，误认为"正加正得正、负加负得负、正加负得0"；忽略绝对值大小对符号的决定作用。 【常见考法】判断和的符号；已知和的符号反推加数的关系；含字母的符号判断；符号判断类选择题。 【典例2】．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 【变式1】．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 【变式2】．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴． 【变式3】．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型3 有理数加法在生活中的应用 【解题技巧】 ① 温度问题：最终温度＝初始温度＋上升温度（正）＋下降温度（负）。如气温从-3℃上升5℃，列式(-3)+(+5)=2℃。 ② 收支问题：规定收入为正、支出为负，结余＝所有收入＋所有支出。如收入200元、支出80元，(+200)+(-80)=120元。 ③ 位移问题：先规定正方向（如向东为正），各段位移带符号相加，结果的正负表示最终方向，绝对值表示总位移大小。 ④ 海拔/水位变化：上升为正、下降为负，最终高度＝初始高度＋各次变化量。 ⑤ 解题步骤：审清题意 → 规定正负方向 → 将实际量转化为带符号的有理数 → 列出加法算式 → 计算结果 → 结合实际情境解释结果（必须带单位和实际意义）。 ⑥ 易错点：正负方向规定错误；忘记带单位；结果只写数字不说明实际意义。 【常见考法】温度变化计算；收支结余计算；行程位移合成；海拔/水位变化；比赛得分累计。 【典例3】．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 【详解】因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 【变式1】．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“变化后的温度等于初始温度加上上升的温度”，据此列式求出上升后的温度，再结合各选项即可解答． 【详解】解：，即选项C符合题意． 【变式2】．（时间问题）备受瞩目的巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日19时30分开幕，巴黎处于夏令时，与北京时间相比，巴黎时间晚6个小时，这意味着中国的观众在7月27日__________时__________分开始欣赏这场开启于塞纳河的奥运开幕式． 【答案】 【分析】已知巴黎时间比北京时间晚个小时，因此北京时间为巴黎时间加上时差，再根据1日小时换算日期和时间即可． 【详解】解：由题意可知，巴黎开幕时间为7月26日时分，巴黎时间比北京时间晚小时， 因此计算北京时间得：19时30分时时30分， ∵1日时， ∴25时30分日时30分， 即日期加1日变为7月27日，对应时间为时分． 【变式3】．二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 【答案】 3000 【分析】规定存入为正，则取出为负，再根据有理数加法计算存折剩余金额即可． 【详解】解：由题意得，存入记为正，取出记为负，因此三月份取出2000元，存折上记作元； 存折上现有金额为元． 题型4 有理数加法运算律 【解题技巧】 ① 交换律a+b=b+a：用于调整加数顺序，把便于计算的数移到一起。 ② 结合律(a+b)+c=a+(b+c)：用于分组，把能凑整、同号、同分母或互为相反数的数结合在一起先算。 ③ 简便计算四大技巧： 技巧一：相反数结合——互为相反数的两个数先相加，和为0。如(+5)+(-3)+(-5)，先算(+5)+(-5)=0，再算0+(-3)=-3。 技巧二：同号结合——所有正数一组、所有负数一组，分别相加后再求总和。避免符号反复变化出错。 技巧三：凑整结合——能凑成整数的数先相加。如(+3.2)+(+1.8)+(-5)，先算3.2+1.8=5，再算5+(-5)=0。 技巧四：同分母结合——分数相加时，同分母的先结合，减少通分次数。 ④ 解题步骤：观察算式中各数的特点 → 选择合适的结合策略（相反数/同号/凑整/同分母）→ 用交换律和结合律重新分组 → 逐步计算。 ⑤ 易错点：移动加数时忘记带走符号（如-3移位置时负号不能丢）；结合时括号使用错误；为了简便而改变运算顺序导致错误。 【常见考法】运用运算律进行简便计算；判断简便计算的方法是否正确；多个有理数连加的简便运算；实际问题中的简便计算。 【典例4】．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的加法，根据加法结合律进行解答即可． 将正负数分组结合，利用加法结合律简化计算过程． 【详解】解： 故选：A 【变式1】．下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法运算律是解本题的关键．利用加法交换律及结合律判断即可得到结果． 【详解】解：、，故错误，不符合题意； 、，故正确，符合题意； 、，故错误，不符合题意； 、，故错误，不符合题意． 故选：． 【变式2】．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用． （1）利用加法交换律求解； （2）利用加法结合律求解； （3）利用加法交换律和结合律求解． 【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 因此，， 故答案为； （2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 为了计算简便，将负数结合：， 故答案为，； （3）观察发现，与相加得，与相加得， 因此， 故答案为,． 【变式3】．（1）计算：________． （2）计算：________． 【答案】 1012 1013 【分析】本题考查有理数的加法，掌握加法结合律是解题的关键． （1）利用加法结合律计算即可； （2）利用加法结合律计算即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：1012； （2） ， 故答案为：1013． 1．下面的数中，与的和为0的是（     ） A．2022 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 2．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 【答案】D 【分析】需注意绝对值等于的数有两个，分两种情况计算和. 【详解】解：∵绝对值等于的数是或， ∴当这个数为时，； 当这个数为时，， ∴所求的和为或. 3．点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案． 【详解】解：点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，表示， 再向右移动7个单位，表示为， 即点P最终表示的数是6． 4．下列说法正确的是（     ） A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数之和一定大于每一个加数 D．有最小的非负整数 【答案】D 【详解】解：对于选项A：全体有理数包括正有理数、、负有理数，故A错误； 对于选项B：互为相反数的定义是只有符号不同的两个数互为相反数，例如和符号不同，但不是相反数，故B错误； 对于选项C：例如，但，因此两数之和可能小于其中一个加数，故C错误； 对于选项D：非负整数是和正整数，最小的非负整数是，故D正确． 5．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 6．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 【答案】A 【分析】通过定义判断、举反例、分类讨论验证每个说法的正误即可． 【详解】解：①若，则与互为相反数，故①正确； ②若，举反例：取，，满足，但、同为负，是同号，故②错误； ③若且两数同号，根据同号两数相加的法则：同号相加取相同符号，若两数同为负，和一定为负，无法满足和大于0，因此两数只能同为正，即，故③正确； ④若且两数异号，举反例：取，，满足且两数异号，，不符合结论，故④错误； ⑤若，因为， 因此可得， 分类讨论：若，则，可得； 若，则，整理得， 因此无论取何值，都有，故⑤正确． 综上，正确的说法共3个． 7．电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 【答案】C 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 8．某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目规定的正负意义，将初始温度和两次温度变化转化为正确的有理数加法算式，即可选出正确选项. 【详解】解：∵题目规定温度下调记为负，上调记为正，初始温度为， ∴下调记为，上调记为， ∴调整后冷库的温度为：. 9．如图，小王某日收到微信红包20元，在超市扫码支付15元，此时收支情况是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：由题意得（元）， 此时收支情况是元． 10．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 11．若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 【答案】2或 【分析】本题考查了有理数的加法，相反数，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．根据有理数的加法，相反数，绝对值的运算法则进行计算． 【详解】解：∵x的相反数是6，y的绝对值是8， ∴，， ∴或． 故答案为：或． 12．某日早晨气温是，到中午时气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据有理数加法法则，计算上升后的气温，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵某日早晨气温是，到中午时气温上升了， ∴中午的气温是， 故答案为：． 13．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 【答案】收入元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减的应用，将所有收支数据相加，最后根据结果的符号和数值确定最终结果，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：， 故王老师当天微信收支的最终结果是收入元， 故答案为：收入元． 14．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的加法，在进制中，数位上能显示的数字从0到，因此最大数字与最小数字之和为，当时，和为5，即可得出结果，熟练掌握在进制中，数位上能显示的数字从0到是解此题的关键． 【详解】解：∵在6进制中，数位上能显示的最大数字是5，最小数字是0， ∴它们的和为； 故答案为：5． 15．小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是，那么她12月1日的体重是_______． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，理解题中正负数的意义是解题的关键． 根据表格中每月体重变化值，计算从6月1日到12月1日的总变化量，再与6月1日体重相加． 【详解】解：∵6月1日体重为， 由表格可知7月1日至12月1日的体重的总变化量为： ， ∴12月1日体重为． 故答案为：． 16．计算： 【答案】 【分析】先省略加号，化简原式符号，再通分计算即可． 【详解】解： ． 17．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 18．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 19．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 20．某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 21．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 22．南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 【答案】(1)1.2 (2)六，2.7 (3)这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式是解题的关键： （1）用上周日的人数加上表格中前三个数据，求和即可； （2）求出每天的人数，比较大小即可； （3）（2）中每天的数据求和即可． 【详解】（1）解：（万人）； 故答案为：1.2； （2）解：星期一人数为（万人）； 星期二人数为（万人）； 星期三人数为（万人）； 星期四人数为（万人）； 星期五人数为（万人）； 星期六人数为（万人）； 星期日人数为（万人）； 故人数最多的是星期六，有2.7万人； 故答案为：六，2.7 （3）解：（万人）； 答：这一星期内南湖公园一共接待了11.7万名游客． 23．一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：，，，，，，，（单位：米）． (1)求该机器狗跑动的总路程； (2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？ 【答案】(1)机器狗跑动的总路程是550米 (2)机器狗最终的位置位于起点的北方10米处 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法混合运算，绝对值，掌握相应的运算法则是关键． （1）求出各段路程的绝对值，再求出它们的和，即可作答； （2）理解题意，求出各段路程的和，即可作答． 【详解】（1）解： （米） 答：机器狗跑动的总路程是550米． （2）解： （米） 答：机器狗最终的位置位于起点的北方10米处． 24．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.1有理数的加法 目录 知识点1 有理数加法的意义 1 知识点2 有理数加法法则 2 知识点3 有理数加法的运算律 2 知识点4 有理数加法的实际应用 2 题型1 有理数加法运算 2 题型2 有理数加法中的符号问题 3 题型3 有理数加法在生活中的应用 4 题型4 有理数加法运算律 5 1. 理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则。 2. 能熟练进行有理数的加法运算，正确确定和的符号。 3. 理解有理数加法运算律，能运用运算律简化计算。 4. 能运用有理数加法解决生活中的实际问题。 知识点1 有理数加法的意义 把两个有理数合并成一个数的运算叫做有理数的加法。相加的两个数叫做加数，加得的数叫做和。有理数的加法是在小学正数加法基础上的扩展，加数可以是正数、负数或0。 知识点2 有理数加法法则 有理数加法法则分四种情况： ① 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。如(+3)+(+5)=+8，(-3)+(-5)=-8。 ② 异号两数相加（绝对值不等）：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如(+5)+(-3)=+2，(-5)+(+3)=-2。 ③ 互为相反数的两个数相加得0。如(+5)+(-5)=0。 ④ 一个数同0相加，仍得这个数。如(+5)+0=+5，(-5)+0=-5。 知识点3 有理数加法的运算律 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b＝b＋a。 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。 运算律的作用：通过交换和结合，将便于计算的数组合在一起，使运算简便。 知识点4 有理数加法的实际应用 有理数加法在生活中应用广泛，常见场景包括：温度变化（初始温度＋变化量＝最终温度）、收支计算（收入为正、支出为负，求和得结余）、位移合成（规定正方向，各段位移相加得总位移）、海拔变化（上升为正、下降为负）等。解题关键是正确规定正负方向，将实际量转化为有理数后再相加。 题型1 有理数加法运算 【解题技巧】 ① 运算三步法：一定类型 → 二定符号 → 三算绝对值。先判断是同号相加、异号相加、互为相反数相加还是与0相加，再按对应法则计算。 ② 同号相加：符号不变（两个正数相加得正，两个负数相加得负），绝对值直接相加。如(-7)+(-4)，同负，结果为负，7+4=11，所以=-11。 ③ 异号相加：先比绝对值大小，取绝对值较大的加数的符号，再用大绝对值减小绝对值。如(-9)+(+4)，|-9|＞|+4|，取负号，9-4=5，所以=-5。 ④ 互为相反数相加直接得0，不用算绝对值。 ⑤ 与0相加直接等于原数。 ⑥ 易错点：异号相加时符号取反（应取绝对值大的符号）；负数加正数时只算绝对值不管符号；同号负数相加结果漏写负号。 【常见考法】直接计算两个有理数的和；多个有理数连加；判断计算是否正确并改错。 【典例1】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算 【变式2】．计算：． 【变式3】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 题型2 有理数加法中的符号问题 【解题技巧】 ① 符号判断口诀：同号相加不变号，异号相加取大号（绝对值大的符号），相反数相加等于0，加0不变号。 ② 和的符号规律：两个正数相加和为正；两个负数相加和为负；一正一负相加，和的符号与绝对值较大的加数相同。 ③ 判断和的正负技巧：不计算具体值，只比较绝对值大小即可判断和的符号。如a＞0，b＜0，若|a|＞|b|则a+b＞0；若|a|＜|b|则a+b＜0。 ④ 含字母的符号判断：根据字母的正负和绝对值大小关系分类讨论。 ⑤ 易错点：异号两数相加时，误认为"正加正得正、负加负得负、正加负得0"；忽略绝对值大小对符号的决定作用。 【常见考法】判断和的符号；已知和的符号反推加数的关系；含字母的符号判断；符号判断类选择题。 【典例2】．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【变式1】．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【变式3】．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 题型3 有理数加法在生活中的应用 【解题技巧】 ① 温度问题：最终温度＝初始温度＋上升温度（正）＋下降温度（负）。如气温从-3℃上升5℃，列式(-3)+(+5)=2℃。 ② 收支问题：规定收入为正、支出为负，结余＝所有收入＋所有支出。如收入200元、支出80元，(+200)+(-80)=120元。 ③ 位移问题：先规定正方向（如向东为正），各段位移带符号相加，结果的正负表示最终方向，绝对值表示总位移大小。 ④ 海拔/水位变化：上升为正、下降为负，最终高度＝初始高度＋各次变化量。 ⑤ 解题步骤：审清题意 → 规定正负方向 → 将实际量转化为带符号的有理数 → 列出加法算式 → 计算结果 → 结合实际情境解释结果（必须带单位和实际意义）。 ⑥ 易错点：正负方向规定错误；忘记带单位；结果只写数字不说明实际意义。 【常见考法】温度变化计算；收支结余计算；行程位移合成；海拔/水位变化；比赛得分累计。 【典例3】．某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（时间问题）备受瞩目的巴黎奥运会于当地时间2024年7月26日19时30分开幕，巴黎处于夏令时，与北京时间相比，巴黎时间晚6个小时，这意味着中国的观众在7月27日__________时__________分开始欣赏这场开启于塞纳河的奥运开幕式． 【变式3】．二月份，爸爸在银行新办了一本存折，存入5000元，存折上记作元．三月份爸爸取出2000元，存折上记作________元，现在存折上还有________元． 题型4 有理数加法运算律 【解题技巧】 ① 交换律a+b=b+a：用于调整加数顺序，把便于计算的数移到一起。 ② 结合律(a+b)+c=a+(b+c)：用于分组，把能凑整、同号、同分母或互为相反数的数结合在一起先算。 ③ 简便计算四大技巧： 技巧一：相反数结合——互为相反数的两个数先相加，和为0。如(+5)+(-3)+(-5)，先算(+5)+(-5)=0，再算0+(-3)=-3。 技巧二：同号结合——所有正数一组、所有负数一组，分别相加后再求总和。避免符号反复变化出错。 技巧三：凑整结合——能凑成整数的数先相加。如(+3.2)+(+1.8)+(-5)，先算3.2+1.8=5，再算5+(-5)=0。 技巧四：同分母结合——分数相加时，同分母的先结合，减少通分次数。 ④ 解题步骤：观察算式中各数的特点 → 选择合适的结合策略（相反数/同号/凑整/同分母）→ 用交换律和结合律重新分组 → 逐步计算。 ⑤ 易错点：移动加数时忘记带走符号（如-3移位置时负号不能丢）；结合时括号使用错误；为了简便而改变运算顺序导致错误。 【常见考法】运用运算律进行简便计算；判断简便计算的方法是否正确；多个有理数连加的简便运算；实际问题中的简便计算。 【典例4】．计算的结果是（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式1】．下列对加法运算律的运用正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【变式3】．（1）计算：________． （2）计算：________． 1．下面的数中，与的和为0的是（     ） A．2022 B． C． D． 2．与绝对值等于的数的和等于（     ） A． B．1 C． D．或1 3．点P从数轴上表示2的点出发，先向左移动3个单位，再向右移动7个单位，则点P最终表示的数是（     ）． A．2 B．4 C．6 D．8 4．下列说法正确的是（     ） A．正有理数和负有理数组成全体有理数 B．符号不同的两个数互为相反数 C．两数之和一定大于每一个加数 D．有最小的非负整数 5．将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 6．对于有理数，下列说法正确的有（     ） ①若，则与互为相反数； ②若，则一定异号； ③若且两数同号，则； ④若，两数异号，则； ⑤若，则． A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 7．电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（     ） A．公里 B．公里 C．公里 D．公里 8．某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，小王某日收到微信红包20元，在超市扫码支付15元，此时收支情况是（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 10．有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 11．若x的相反数是6，y的绝对值是8，则的值为______． 12．某日早晨气温是，到中午时气温上升了，则中午的气温是___________． 13．手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 14．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在6进制中，数位上能显示的最大数字与最小数字之和为______． 15．小爱同学有每月1日称体重的习惯，并和上个月作比较，下面的表记录下她的体重变化情况，已知她6月1日的体重是，那么她12月1日的体重是_______． 7月1日 8月1日 9月1日 10月1日 11月1日 12月1日 16．计算： 17．计算： (1)； (2)； (3)； 18．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 19．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 20．某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 21．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 22．南湖公园，全称南湖城市中央生态公园，是唐山市国家4A级景区，是集自然生态、历史文化和现代文化为一体的大型城市中央生态公园．某星期日，南湖公园共接待游客约1.7万人，接下来的一星期中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数变化（万人） (1)星期三的人数为________万人； (2)这一星期内，游客人数最多的是星期________，是________万人； (3)请求出这一星期内南湖公园一共接待了多少名游客． 23．一只机器狗从起点出发，在一条南北走向的直线道路上来回跑动，规定从起点出发向南跑动记为正数，向北跑动记为负数．该机器狗跑动的各段情况依次为：，，，，，，，（单位：米）． (1)求该机器狗跑动的总路程； (2)请问该机器狗最终处于起点的什么位置？ 24．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $