江苏省海门中学2027届高三零模阶段测试（2）数学试题

**基本信息** 融合杨辉三角文化传承与射击概率现实情境，覆盖函数、数列、几何等核心知识，梯度设计适配高三周测基础巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数据特征、集合运算、函数增长|基础概念辨析，如标准差与方差关系| |多选题|3/18|复数性质、立体几何二面角、杨辉三角|数学文化融入，如杨辉三角第28行数字比值| |填空题|3/15|圆锥侧面积、分段函数、分层抽样|实际应用，如分层抽样男生抽取人数| |解答题|5/77|立体几何证明与体积、解三角形、概率分布、椭圆方程、导数单调性|逻辑推理与数学语言表达，如导数单调性的参数范围论证|

2027届高三零模阶段测试（2）数学 【答案】 1. C  2. C  3. A  4. A  5. D  6. B  7. B  8. C  9. CD  10. AC  11. AB  12.   13.  ；   14. 65  15. 解：证明：连接AC，交BD于点，连接， 四棱锥为正四棱锥， 四边形ABCD是正方形， 是AC中点， 是SC中点，是的中位线， ， 平面BDE，平面BDE， 平面BDE； 由知， ，， ，， 由四棱锥为正四棱锥， 得≌， 为SC中点， ， ，即， ， 所以，，，， 所以三棱锥的表面积 ， ，四边形ABCD是正方形， 所以， ，平面， 平面，   16. 解：，即， ， 又， ； ，， ， 由正弦定理，得， ， ， 解得：， ， ， 则  17. 解：两次都命中8环的概率为， 两次都命中9环的概率为， 两次都命中10环的概率为， 设该运动员两次命中的环数相同的概率为P， 的可能取值为8，9，10， ， ， ， 的分布列为： 8 9 10 P   18. 椭圆的焦点在x轴上． 由椭圆C的一个顶点为，得，则 设椭圆的焦距为2c，由，解得 所以椭圆C的标准方程为 由得，所以椭圆的右焦点为， 设直线l交椭圆于点，，直线l的方程为， 联立，得， ， ，， 由是线段为坐标原点上一个动点，可得 则， 因为，所以， 所以， 则，解得， 解得 故实数m的取值范围为  19. 解：当时，，求导得， 则，而，于是，即， 所以的图象在点处的切线方程是 函数定义域为，求导得， 由题意，得， 令，求导得， 令函数，，显然函数在上单调递增， 而，则当时，，， 当时，，， 故函数在上递减，在上递增，， 因此，解得， 所以实数a的取值范围是  【解析】 1. 解：，，⋯，的平均数为， 方差为 故选： 根据平均数和方差的计算方法，即可得解． 本题考查平均数和方差的计算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 2. 试题分析：对于选项A，模长相等的向量不一定是相等的向量，所以错误。 对于B，由于向量不能比较大小，错误。对于选项C，由于向量相等，则可以知道他们必定共线，成立，对于D，由于单位向量方向不相同，则不相等，错误，选 考点：向量相等，平行向量 点评：本题考查向量相等的定义：模相等，方向相同；平行向量的定义：方向相同或相反． 3. 解：由，， 则， 则， 故选： 利用交集运算可求得答案． 本题主要考查了交集的运算，属于基础题． 4. 解：指数函数以爆炸性速度增长， 故函数增长速度最快的是 故选： 结合指数函数的性质，即可求解． 本题主要考查函数的性质，属于基础题． 5. 解：根据题意，，，假设，根据，可以得到： ，两边平方，化简可以得到，又因为，且， 所以：动点M的轨迹，是一条射线，起点是，方向同x轴正方向． 故选D 先根据椭圆方程求得焦点坐标，设出M的坐标，利用两点间的距离公式和题设等式建立方程，平方后化简整理求得，同时，可推断出动点 M的轨迹，是一条射线，起点是，方向同x轴正方向． 本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力． 6. 解：， 令，则是奇函数， 的值域为对称区间，设，则， ，， ， 故选： 先将函数变形，再结合函数的单调性和奇偶性求出答案． 本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查解题能力，是一道中档题． 7. 解：设等差数列的公差为x，等差数列的公差为 因为，所以， 设，则 因为等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0， 所以要使m最小，尽可能小． 同时满足：， ，， ⟹ 若，则，，需满足：，， 所以， 两式相加：， 所以，所以， 因为x为整数且， ，则舍去，公差不为 舍去，公差不为，所以不可行； 若，，， 需满足：，，相加得， 所以，x为非零整数，故，满足 取，恒成立 因为，恒成立 验证前16项为正． ：，，所以， ，前16项：，，全部为正整数． ，， 因为，所以，， 这里需要，即⟹ 取，则 ，， ，且前16项均为正整数，公差不为0，符合条件． 若，则，比16大，不是最小值，所以的最小值为 故选： 利用等差数列的通项公式，结合条件即可求解． 本题考查等差数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于难题． 8. 解：因为随机变量的分布列为， 由分布列的性质可知，，解得， ， ， 故选： 9. 【分析】 本题考查复数的概念，共轭复数以及复数运算，属较易题. 根据复数的概念及运算规则逐项运算即可. 【解答】 解：设复数， ，，，A正确; 设复数，，，，B正确; ，，或，此时不一定成立，故C错误; 设，， 则， ，取，，，故D错误. 10. 【分析】 本题考查了空间几何体中的二面角、线面角、线线角，属于中档题. 根据线面角和二面角的性质来沟通侧棱长和底边长的关系，从而可得不同角的关系，从而可得正确的选项. 【解答】 解：设底面边长为2，则侧棱长为，如图，记斜高PS，则， 过B作，垂足为M，连接DM，则且， 故为相邻两个侧面的二面角， 而，故， 故，而，均为锐角， 故， 则 则 即， ，则 ， 则 故选：AC 11. 【分析】对于A：根据杨辉三角即可得结果；对于BC：根据组合数的性质分析求解；对于D：根据组合数公式分析求解. 【详解】对于选项A：由杨辉三角可得：第n行的第个位置的数是，故A正确； 对于选项B：因为 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为第2024行的第个位置的数是， 由组合数性质可知：为的最大值， 所以第2024行的第1013个数最大，故C错误； 对于选项D：第28行中第5个数与第6个数的比值为，故D错误； 故选： 12. 解：设圆锥的底面半径为r，母线为l， 则圆锥的侧面积为，解得 故答案为： 根据圆锥的侧面积公式计算计算即可． 本题考查了圆锥的侧面积计算，是基础题． 13. 解： 则， ， ， ， ，， ，， 满足条件的x的集合为 故答案为：， 代值计算即可，根据正弦函数的图象和性质得到，，化简即可． 本题考查了三角函数值的求法和不等式的解法，掌握正弦函数的图象和性质是关键． 14. 解：根据分层抽样的定义可得：男生应抽取的人数为 故答案为： 根据分层抽样的定义进行求解． 本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题． 15. 详细解答和解析过程见【答案】 16. 本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，即可确定出A的度数； 由的值，求出的值，再由，b的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b代入已知等式求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 17. 先计算两次命中8环，9环，10环的概率，然后可得结果． 列出的所有可能结果，并分别计算所对应的概率，然后列出分布列，并依据数学期望的公式，可得结果． 本题考查离散型随机变量的分布列以及数学期望，属基础题． 18. 解：椭圆的焦点在x轴上． 由椭圆C的一个顶点为，得，则 设椭圆的焦距为2c，由，解得 所以椭圆C的标准方程为； 由得，所以椭圆的右焦点为， 设直线l交椭圆于点，，直线l的方程为， 联立，得， ， ，， 由是线段为坐标原点上一个动点，可得 则， 因为，所以， 所以， 则，解得， 解得 故实数m的取值范围为 由椭圆C的一个顶点为，求出b，根据离心率及求得a，从而得到椭圆C的标准方程； 设直线l的方程为，并与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示，得到m，k的关系式，利用，得到实数m的取值范围． 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题． 19. 利用导数的几何意义即可求出切线方程． 求出，分离参数，构造函数并利用导数求出最值即可． 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题． 第12页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2027届高三零模阶段测试（2）数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一组数据，，⋯，的平均数为，标准差为s，则数据，，⋯，的平均数和方差分别为(    ) A. ， B. ，2s C. ， D. ， 2.下列命题中正确的是(    ) A. B. C. D. 单位向量都相等 3.已知集合，集合，则(    ) A. B. C. D. 4.下列函数增长速度最快的是(    ) A. B. C. D. 5.已知、是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足，则动点M的轨迹是(    ) A. 双曲线 B. 双曲线的一个分支 C. 两条射线 D. 一条射线 6.已知，函数，设函数的最大值是M，最小值是N，则(    ) A. B. C. D. 7.已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0，若，则的最小值为(    ) A. 31 B. 16 C. 12 D. 8 8.设随机变量的分布列为分别为随机变量的数学期望与方差，则     A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列四个命题中，假命题为    A. 若复数z满足，则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数z满足，则 D. 若复数，满足，则 10.若某个正四棱锥的相邻两个侧面所成二面角的大小为，侧棱与底面所成线面角的大小为，侧棱与底边所成的角为，则    A. B. C. D. 11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是(    ) A. 第n行的第个位置的数是 B. C. 第2024行的第1012个数最大 D. 第28行中第5个数与第6个数的比值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知一个圆锥的母线长为4，侧面积，则此圆锥的底面半径为        . 13.已知则      ；若，则满足条件的x的集合为      . 14.某校高一年级有男生520人，女生680人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体高一年级学生中抽出一个容量为150的样本.如果样本按比例分配，那么男生应抽取的人数为        . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，正四棱锥中，，，E为SC中点. 求证：平面BDE； 求三棱锥的表面积和体积. 16.本小题15分 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 求A的大小； 如果，，求的面积． 17.本小题15分 某运动员射击一次所得环数X的分布列如下： X 8 9 10 P 现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 求该运动员两次命中的环数相同的概率； 求的分布列和数学期望 18.本小题17分 已知椭圆方程为，椭圆的一个顶点为，离心率，过椭圆的右焦点F的直线l与坐标轴不垂直，且交椭圆于A，B两点. 求椭圆的标准方程； 设是线段为坐标原点上一个动点，且，求实数m的取值范围. 19.本小题17分 已知函数 当时，求的图象在点处的切线方程； 若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $