第11讲 多边形的面积（讲义）2026-2027学年五年级下册奥数人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第11讲 多边形的面积 【学习目标】 熟练运用平移、割补把不规则图形转化为基本图形； 理解“同底等高”与“等高共底”的等积变形思想； 会用面积比与线段比的关系（等高三角形面积比等于底的比）解决复杂问题； 体会“差不变”“设而不求”等巧思，提升数形结合能力。 【知识地图】 本讲围绕“多边形的面积”展开，从基础图形出发，通过五大方法把不规则或组合图形的面积问题，转化为可直接计算的基本图形。掌握这些方法，是打通平面几何面积问题的金钥匙。 (一)基本图形面积公式 图形 面积公式 长方形 S = 长 × 宽 正方形 S = 边长 × 边长 平行四边形 S = 底 × 高 三角形 S = 底 × 高 ÷ 2 梯形 S = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 (二)本讲五大方法锦囊 1.平移法 把分散的图形通过平移拼成规则图形，适用于“路、带、缺口”问题。 2.割补法 切下、重新拼组，或利用整体减空白，适用于“求阴影、重叠”问题。 3.等积变形 同底等高的三角形（或平行四边形）面积相等——形状变，面积不变。 4.等高共底 等高三角形面积比等于底的比；共底三角形面积比等于高的比。 5.整体思想 设而不求、差不变、整体代换——跳出局部，从全局角度列方程。 一、经典例题 　例1 ★★☆☆☆ 方法标签：平移法 【题目】十字小路算草地 学校有一块长30米、宽20米的长方形草地，草地中间修了两条互相垂直的小路，一条与长边平行，一条与宽边平行，路宽都是1米。求草地（除小路外）的面积。 （如下图所示） 思路点拨：用“平移法”把被小路分割的四块草地拼成一个完整的大长方形，注意两条路交叉处重叠了。 详细解答：把草地分别向中间平移，拼成新的长方形。新长方形的长 = 30 − 1 = 29（米），宽 = 20 − 1 = 19（米），面积 = 29 × 19 = 551（平方米）。 验证：草地总面积 = 30 × 20 = 600（平方米），两条路面积 = 30×1 + 20×1 − 1×1 = 49（平方米），剩余 = 600 − 49 = 551（平方米）。 【方法点睛】平移法的本质是“把分散拼成整体”，交叉重叠处只减一次，防止多算。 例2 ★★☆☆☆ 方法标签：割补法 【题目】中点连成正方形 正方形ABCD的边长是10厘米。E、F、G、H分别是四条边的中点，依次连结E、F、G、H，得到一个新的四边形EFGH。求四边形EFGH的面积。 （如下图所示） 思路点拨：整体减空白——从正方形中减去四个直角三角形的面积。 详细解答：每个小直角三角形的两条直角边都是 5 厘米，面积为 5×5÷2 = 12.5（平方厘米）。四个角总面积 = 12.5 × 4 = 50（平方厘米）。所以四边形 EFGH 的面积 = 10×10 − 50 = 50（平方厘米）。 方法点睛：“正方形中连中点”的结论是——内部四边形面积等于原正方形的一半。这是一个非常好用的结论，可以当作“公式”记住。　 例3 ★★★☆☆ 方法标签：等积变形 【题目】平行四边形中的“动点” 平行四边形ABCD的底边AD长12厘米，AD边上的高是8厘米。P是底边BC上任意一点，连结PA、PD。三角形ADP的面积是多少？如果P点在BC边上左右移动，三角形的面积会变吗？ （如下图所示） 思路点拨：不管P点在BC上哪里，三角形ADP以AD为底，高始终等于平行四边形AD边上的高。 详细解答：三角形ADP的底 AD = 12（厘米），高 = 8（厘米）。面积 = 12×8÷2 = 48（平方厘米）。 因为P点在BC上移动时，P到直线AD的垂直距离始终等于平行四边形AD边上的高（8厘米），所以底和高都不变，面积始终不变。 【方法点睛】同底等高——形状不同，面积相同。这就是“等积变形”的核心思想，动点定值是典型题型。 　 例4 ★★★☆☆ 方法标签：等高共底 【题目】面积比等于底之比 在三角形ABC中，D是边BC上的一点，且BD : DC = 2 : 3。已知三角形ABD的面积是12平方厘米。 （1）求三角形ABC的总面积；（2）如果E是BC边的中点，求三角形ABE的面积。 思路点拨：三角形ABD与三角形ABC“同高”——以A为顶点，高是A到BC的垂线。等高三角形的面积比等于底的比。 详细解答：（1）因为△ABD与△ABC同高，面积比 = BD : BC = 2 : (2+3) = 2 : 5。所以S△ABC = 12 ÷ 2 × 5 = 30（平方厘米）。 （2）E是BC的中点，所以BE : BC = 1 : 2。S△ABE = 30 × 1/2 = 15（平方厘米）。 【方法点睛】等高三角形面积比 = 对应底的比。这个结论在几何中用得极多，要会一眼识别“同高”模型。 　 例5 ★★★★☆ 方法标签：整体思想 【题目】长方形内的“面积密码” 长方形ABCD的长为15厘米，宽为10厘米。P是长方形内部任意一点，连结PA、PB、PC、PD。已知S△PAB = 30平方厘米，S△PAD = 20平方厘米，求S△PBC和S△PCD。 （如下图所示） 思路点拨：观察“对边三角形”——以AB和CD为底的两个三角形，它们的面积之和等于长方形面积的一半；同样以AD和BC为底的两个三角形之和也等于长方形面积的一半。 详细解答：因为AB∥CD，所以S△PAB + S△PCD = 长方形面积的一半 = 15×10÷2 = 75（平方厘米）。因此S△PCD = 75 − 30 = 45（平方厘米）。 同理，S△PAD + S△PBC = 75（平方厘米），所以S△PBC = 75 − 20 = 55（平方厘米）。 验证：四个小三角形面积之和 = 30 + 20 + 45 + 55 = 150 = 15×10，正好等于长方形面积。 【方法点睛】“对边三角形”之和恒等于长方形面积的一半，这是整体思想中的经典“设而不求”——不需要知道P点的具体位置。 　 例6 ★★★★☆ 方法标签：割补 + 数学文化 【题目】外弦图里的勾股秘密 用四个完全相同的直角三角形纸片（两条直角边分别是 6 厘米和 8 厘米，斜边 10 厘米）拼成如图所示的大正方形（该拼法为外弦图，和历史赵爽弦图拼法不同），中间恰好围出一个正方形。 （1）大正方形的边长是多少？ （2）中间小正方形的面积是多少？ （3）对比 6² + 8² 与（2）的结果，你发现了什么？ （如下图所示） 思路点拨：本拼法外框大正方形的边长 = 两条直角边之和；中间小正方形的面积 = 大正方形面积 − 四个直角三角形面积之和。 详细解答： （1）大正方形的边长 = 6 + 8 = 14（厘米）。 （2）每个直角三角形面积 = 6×8÷2 = 24（平方厘米），四个共 24×4 = 96（平方厘米）。 中间小正方形的面积 = 14² − 96 = 196 − 96 = 100（平方厘米）。 又注意到小正方形的边长就是直角三角形的斜边（10厘米）， 所以面积 = 10×10 = 100（平方厘米），计算结果互相印证。 （3）6² + 8² = 36 + 64 = 100，恰好等于中间小正方形的面积，也就是斜边的平方。 这就是勾股定理：a² + b² = c²。 【方法点睛】割补法可以借助图形面积探究勾股关系。⚠注意：本图是外弦图，并非历史上的赵爽弦图；赵爽弦图是把直角三角形向内摆放，斜边作为外框大正方形的边。 例7 ★★★★☆ 方法标签：中位线 + 面积 【题目】中点四边形的面积 任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。顺次连结E、F、G、H，得到一个新的四边形EFGH。 （1）请你猜想：四边形EFGH是什么图形？ （2）请你猜想：四边形EFGH的面积与原四边形ABCD的面积有什么关系？ （如下图所示） 观察提示：先连结对角线AC，观察EF和GH的位置关系，你有什么发现？ 思路点拨：连结对角线AC，利用三角形中位线定理，证明EF与AC平行且等于AC的一半；同理GH与AC平行且等于AC的一半。 从而EFGH是平行四边形。面积则可以通过“四个角”计算：四个角上的三角形各占所在大三角形面积的1/4，合起来占原四边形面积的一半。 详细解答： （1）在△ABC中，E、F是AB、BC中点，所以EF∥AC且EF = AC÷2。 在△ADC中，G、H是CD、DA中点，所以GH∥AC且GH = AC÷2。 因此 EF∥GH 且 EF = GH，四边形EFGH是平行四边形。 （2）连结对角线AC。 在△ABC中，E、F 是中点，△BEF面积 = S△ABC÷4； 在△ADC中，G、H 是中点，△DGH面积 = S△ADC÷4。 同理， 在△ABD 中，H、E 是中点，△AEH面积 = S△ABD÷4， 在△BCD 中，F、G 是中点，△CFG面积 = S△BCD÷4。 四个角面积之和 = (S△ABC + S△ADC + S△ABD + S△BCD)÷4 = S四边形ABCD÷2。 所以，四边形EFGH的面积 = S四边形ABCD – S四边形ABCD÷2 = S四边形ABCD÷2。 【方法点睛】 “中点四边形”面积恒等于原四边形面积的一半，与形状无关！ 　 例8 ★★★★★ 方法标签：格点探秘（皮克定理） 【题目】数格点，求面积 请你观察下面两个方格图中的多边形，每个格点都是边长为1的小正方形的顶点。 图(a)是一个长方形，长5、宽2；图(b)是一个直角三角形，两条直角边分别是6和4。 （如下图所示） （1）数一数：每个多边形的边上（包括顶点）有多少个格点？内部有多少个格点？记录下来。 （2）计算它们的面积，并尝试寻找 S、B（边界格点数）、N（内部格点数）之间的数量关系。 （3）一个格点多边形，边界上有16个格点，内部有9个格点，它的面积是多少？ 思路点拨：先列出（a）和（b）的S、B、N，再对比三个数据，归纳规律。验证：S = N + B/2 − 1。 详细解答： （1）图(a)：长方形面积 = 5×2 = 10，边界格点数 B = 14，内部格点数 N = 4。图(b)：直角三角形面积 = 6×4÷2 = 12， 边界格点数 B = 12，内部格点数 N = 7。 （2）对比：10 = 4 + 14÷2 − 1；12 = 7 + 12÷2 − 1。 于是得到规律：S = N + B/2 − 1（即“皮克定理”）。 （3）代入公式：S = 9 + 16÷2 − 1 = 9 + 8 − 1 = 16。 【方法点睛】 皮克定理是数格点求面积的最强公式，记住 。 ⚠重要前提：该定理只适用于顶点全部落在格点上、不自交的简单多边形。 　 二、【牛刀小试】 课堂限时练习（15分钟）——请独立完成，核对后听讲解。 1. 一块长 40 米、宽 25 米的长方形草坪上，有一条平行四边形小路斜穿草坪；小路的底长为 1 米，平行四边形小路的高等于草坪的宽 25 米。求草坪的种植面积。（提示：用平移法） 2. 三角形ABC中，D是AB边的中点，连结CD。若三角形ACD的面积是15平方厘米，求三角形ABC的面积。 3. 正方形边长为8厘米，取各边中点依次连成一个新的正方形，求这个新正方形的面积。 4. 在三角形ABC中，面积是45平方厘米，D在BC边上，且BD = 2DC。求三角形ABD的面积。 5. 长方形的长12厘米，宽8厘米。P是长方形内部一点，已知S△PAB = 18平方厘米，S△PAD = 12平方厘米，求S△PBC和S△PCD。 　三、【课后闯关】 基础关（★★） 1. 一个平行四边形底边15厘米，底边上的高10厘米，与它同底等高的三角形面积是多少？ 2. 一个边长12厘米的大正方形，从其中一个角剪去一个边长5厘米的小正方形，求剩余部分的面积。 提高关（★★★） 3. 四个全等的直角三角形，直角边为5厘米和12厘米，斜边13厘米，拼成一个赵爽弦图。求中间小正方形的面积，并验证：5² + 12² = 13²。 4. 一个任意四边形的面积是100平方厘米，顺次连接各边中点得到一个新的四边形，求新四边形的面积。 5. 一个长50米、宽30米的长方形场地上，有两条宽2米的小路（一条横、一条竖）互相交叉。若将道路外的部分绿化，求绿化面积是多少？ 挑战关（★★★★★） 6. 一个格点多边形，边界上有16个格点，内部有9个格点，求面积是多少？ 7. 边长10厘米的大正方形中，放入一个边长6厘米的小正方形（任意位置，边相互平行），求两个正方形未重叠部分的面积差。 8. 三角形ABC的面积是30平方厘米，D、E、F分别是三边的中点。依次连接中点得到的小三角形，面积是多少？如果再把每个小三角形的中点连接起来，得到16个更小的三角形，每个小三角形的面积是多少？ 四、【参考答案】 牛刀小试 1. 答案：975平方米（平移法：40×25 − 25×1 = 975；或(40−1)×25 = 975） 2. 答案：30平方厘米（中线平分面积） 3. 答案：32平方厘米（8×8÷2 = 32） 4. 答案：30平方厘米（45 × 2/3 = 30） 5. 答案：S△PBC = 36平方厘米，S△PCD = 30平方厘米（12×8÷2 = 48，48−18=30，48−12=36） 五、课后闯关参考答案 1. 答案：75平方厘米（15×10÷2 = 75） 2. 答案：119平方厘米（144−25 = 119） 3. 答案：49平方厘米。 解析：正宗赵爽弦图中，外框大正方形的边长等于直角三角形的斜边 13，外框面积：面积 = 13² = 169(平方厘米)，每个直角三角形面积 : 5×12÷2 = 30（平方厘米），四个三角形总面积:30×4 = 120 平方厘米。 中间小正方形面积 = 外框大正方形面积 − 四个直角三角形面积 = 169 − 120 = 49（平方厘米）。 同时，小正方形边长 = 12 – 5 = 7 厘米。 验证了 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓。 4. 答案：50平方厘米（中点四边形面积 = 原四边形面积÷2） 5. 答案：1344平方米（(50−2)×(30−2) = 48×28 = 1344） 6. 答案：16（9+16÷2−1 = 16） 7. 答案：64平方厘米（100−36 = 64，与重叠面积无关，差不变） 8. 答案：7.5平方厘米；1.875平方厘米 解析：三角形三边中点相连，把大三角形平均分成 4 个全等小三角形，每个面积：30÷4=7.5平方厘米。 再将每一个小三角形连接中点，每个又被平均分成 4 份，一共得到 4×4=16个最小三角形。 每个最小三角形面积：7.5÷4 = 1.875 平方厘米。 六、【方法总结】 方法 核心口诀 适用情形 平移法 移分散，拼整体 路、带、缺口 割补法 切后补，或整体减空白 阴影、重叠、不规则 等积变形 同底等高，形状变面积不变 动点定值、高不变 等高共底 面积比 = 底的比（或高的比） 三角形分块、面积方程 整体思想 设而不求，差不变，整体代换 对边模型、重叠差 中点四边形 面积 = 原四边形÷2 任意四边形中点连线 皮克定理 S = N + B/2 − 1 顶点在格点上的多边形 　 七、【数学文化角】 赵爽，三国时期数学家，他在注解《周髀算经》时，用四个全等的直角三角形拼成一幅“弦图”，仅用一张图就简洁而优美地证明了“勾三股四弦五”——这就是著名的勾股定理。 赵爽弦图不仅是中国古代数学的骄傲，也是“割补法”的登峰造极之作。今天我们用面积的眼光再看弦图，仍能体会到“以形证数”的独特魅力。 ________________________________________________________________ 祝贺你完成了本讲的学习，给努力的自己一个奖励吧💪！ 　 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $