（暑假作业）基础与拔高专题：相交线与平行线-2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

**基本信息** 以基础概念为起点，通过分层闯关整合相交线与平行线性质、模型应用及动态问题，提炼辅助线添加、分类讨论等解题方法，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础闯关|17题（如第1-17题）|垂线段最短应用、对顶角辨析、平行线性质与判定|从概念（对顶角、垂线）到性质（平行线性质），再到简单应用（角平分线结合）| |拔尖闯关|3题（第18-20题）|猪蹄模型构建与拓展、动态旋转分类讨论、辅助线（作平行线）|从静态模型（猪蹄模型）到动态问题（三角板旋转），实现知识迁移与综合应用|

（暑假作业）基础与拔高专题：相交线与平行线-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024） 01 基础闯关 1．下列实际操作依据的数学道理是“垂线段最短”的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 3．如图，直线与交于点平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，被直线，所截，，下列结论一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．小亮从图1的电动伸缩门抽象出图2所示的几何图形，已知，，平分，交于点G．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，下列说法不正确的是（     ） A．和互为补角 B．与是对顶角 C．与是直线，被所截得的内错角 D．与是直线被直线所截得的同旁内角 7．校园开放日当天，学校为参加游园活动的学生和家长设计了一款留影板（如图），这块留影板由长方体底座和一副三角尺形状（两个直角三角形，其中一块含角，另一块含角）的板搭建出一高一低的两个拍照框，那么图中的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，点是直线外的一点，现有直线上可任意移动的线段（在的右侧）和（在的右侧），连接，，，，已知，，当的最小值为8时，的面积是（     ） A．20 B．16 C．8 D．4 9．为了充分利用水资源，某村计划从农田的点处挖一条水渠将河水引到农田，以便灌溉农作物，现设计如图所示的三条水渠，最后村委会选择了渠，其中蕴含的数学道理是__________． 10．如图，请你观察，的度数约为____________． 11．如图，已知直线，为平面内一点，连接，．若，，则的度数为________． 12．如图1，桔槔是我国古代劳动人民发明的一种利用杠杆原理取水的机械，图2是其示意图，若，则的度数为________． 13．如图，，点E，F分别在直线，上，点P为直线、间一动点，若、的平分线交于点Q，且，则的度数为_________． 14．如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为______． 15．如图，直线相交于点O，将一个直角三角板的直角顶点放置在点O处，且平分． (1)若，求的度数； (2)判断是否平分，并说明理由． 16．如图，直线与交于点O，点E在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点E画，垂足为H； ②过点E画直线，使； (2)线段与的大小关系是 ，依据是 ． 17．如图，平分交于点，，，，求的度数．补全下面的解答过程，并在括号内填写相应的内容或理论依据． 解：因为平分（已知） 所以① （② ） 因为（已知） 又因为（平角定义） 所以（③ ） 所以（④ ） 所以⑤ （⑥ ） 又因为（已知） 所以⑦ （等量代换） 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（⑧ ） 02 拔尖闯关 18．劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状 (1)如图1，已知，，若，求的度数； (2)若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，说明：； (3)再拿出另外一根铁丝弯折成，与如图2中的铁丝叠放成如图3的形状，当，仍有，且，求的度数 19．如图1，按指定方式放置一副三角板与，点D在上，，．三角板可绕点C以每秒顺时针旋转一周． (1)求的度数； (2)当时，求旋转的时间； (3)如图2，在三角板旋转的同时，若三角板也绕点C以每秒顺时针旋转，平分，平分，问的度数是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由． 20．某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，是之间的一点，连接，则有．请你证明这个结论； (2)如图2，是之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出三者之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，点分别在上，分别平分和，且．若，求的度数． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《（暑假作业）基础与拔高专题：相交线与平行线-2025-2026学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B B A D D 1．D 【分析】根据“垂线段最短”的定义进行解答即可． 【详解】解：A．将弯曲的河道改直的依据是两点之间线段最短，不符合题意； B．公园建九曲桥为了增加游客的观赏性，与 “垂线段最短”无关，不符合题意； C．建筑工人砌墙拉线的依据是“两点确定一条直线” ，不符合题意； D．测量跳远成绩的依据是“垂线段最短”， 符合题意． 2．D 【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角． 【详解】解：A. 与的两边不是互为反向延长线，不是对顶角，故本选项不符合题意； B. 与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； C. 与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项不符合题意； D. 与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项符合题意． 3．A 【分析】根据角平分线得，结合题意即可求得，由对顶角得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 4．B 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：如图， A．无法判断和的大小，故本选项错误，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故本选项正确，符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴，但无法判断与相等，故本选项错误，不符合题意； D．无法判断与的大小，故本选项错误，不符合题意． 5．B 【分析】利用平行线的性质、角平分线平分角即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6．A 【分析】根据直线之间的位置关系逐一判断即可． 【详解】解：选项A：互补的两个角和为，本题没有给出，不等于，说法错误，符合题意； 选项B：和是直线、相交得到的相对的角，说法正确，不符合题意； 选项C：直线，被所截，和在截线的两侧，且夹在两条被截线之间，符合内错角的定义，说法正确，不符合题意； 选项D：直线，被直线所截，和在截线的同侧，且夹在两条被截线之间，符合同旁内角的定义，说法正确，不符合题意． 7．D 【详解】解：由题意可知，，， ， 长方形底座对边平行， ． 8．D 【分析】设点到直线的距离为，垂足为，作出的最小值为8时的图形，计算即可． 【详解】解：设点到直线的距离为，垂足为， 、都在直线上， ， ， 当且仅当 、、重合时取等号，如图所示， 的最小值为8， ，解得， 即点 到直线的距离为4， ，且在右侧，在右侧， ， 此时的底边，高为， ， 选 D． 9．垂线段最短 【分析】根据垂线段最短解答即可； 【详解】略； 10． 【分析】因为的两条边对应量角器上的两个刻度，所以先分别读取两条边对应的刻度值并求差值，因为和这个夹角是对顶角，即可得到的度数． 【详解】解：观察量角器，的两条边对应量角器半圆内的两条射线，两条射线分别对应刻度和， 因此半圆内两条射线的夹角为 ． 和这个夹角是对顶角， ． 11． 【分析】先过点C作，再结合平行线的性质得出，，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴． 12．/36度 【详解】解：由对顶角相等得：． 13． 或 【分析】分两种情况讨论，点P在直线的右侧和左侧，过点作，过点作，利用平行线的内错角相等或同旁内角互补的性质，得到与、的数量关系。根据角平分线的定义，得到的一半、的一半与两个角平分线分出来的角的对应关系．再次利用平行线内错角相等的性质，推导和上述两个半角的数量关系，结合已知的度数计算结果． 【详解】解：①如图，点P在直线的右侧，过点作，过点作， ， ． ，， ． 平分，平分， ，， ． 同理，由得 ． ②如图，点P在直线的左侧，过点作，过点作， ， ． ，， 又， ， 平分，平分， ，， ， 同理可得 ． 综上，的度数为或． 14．/20度 【分析】过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．(1) (2)平分，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 【分析】（1）根据对顶角的性质可得，再由角平分线的定义可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）略 16．(1)①；②； (2)，垂线段最短． 【分析】（1）①根据题意画垂线即可； ②根据题意画平行线即可； （2）根据垂线段最短进行判断求解，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：线段与的大小关系是，依据是垂线段最短． 17．①；②角平分线的定义；③同角的补角相等；④内错角相等，两直线平行；⑤；⑥两直线平行，同旁内角互补；⑦；⑧两直线平行，同位角相等 【分析】先求出的度数，再得出，则，进而可得，然后得出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：略． 18．(1) (2)解：过D作，过C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 又， ∴； (3) 【分析】（1）由平行线的性质及已知即可求得结果； （2）过D作，过C作，由平行线的判定与性质即可证得； （3）利用（2）中得到的结论，结合已知即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）中的结论，得， ∵，， ∴． ∵，， ∴，，， ∴， 同理可得， ∴． 19．(1) (2)或 (3)的度数为定值，或 【分析】（1）根据求解； （2）如图1，作，根据两直线平行，同旁内角互补得到，再根据，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，再根据角的和差可得答案； （3）设表示初始位置，分三种情况讨论：①当时，设旋转后如图2①；②当时，设旋转后如图2②；③当时，设旋转后如图2③；分别求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由已知，， ∵， ∴； （2）解：如图1，作， ， ， 当时，， ， ， 此时，旋转时间为； 显然，再旋转时，仍有， 则旋转时间为； 综上所述，旋转时间为或； （3）解：的度数为定值．理由如下： 设表示初始位置，分以下三种情况讨论： ①当时，设旋转后如图2①． 则，． ， ， ． 平分，平分， ，． ． ． ． 即的度数为，是定值； ②当时，设旋转后如图2②， 则，， ，，， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的度数为，是定值； ③当时，设旋转后如图2③． 则，， ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的度数为，是定值． 综上，的度数为定值． 20．(1)证明：如图，过点作． ， ， ； (2)三者之间的数量关系为． 理由：如图，过点作，过点作，则，． 由（1）知， ， ． 又， ； (3)． 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点作，过点作，由（1）,再得出，得，结合，即可得到结论． （3）由角平分线定义得，求出，由“猪蹄模型”得，再利用平行线的性质计算出即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：． ， 分别平分和， ． 由（1）知 ． ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $