（暑假作业）基础与拔高专题：四边形-2025-2026学年人教版 数学八年级下册

**基本信息** 以四边形性质判定为核心，通过基础巩固与拔高训练构建从单一性质到综合应用的逻辑体系，渗透几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|15题（如2、5、7题）|性质判定直接应用、辅助线添加（连对角线）、动态问题参数分析|平行四边形→特殊四边形（矩形/菱形/正方形）性质判定递进，概念生成与应用结合| |拔高训练|5题（如18、19、20题）|综合证明（全等/中位线）、最值问题（垂线段最短）、实际应用建模（升降平台）|性质判定与勾股定理、函数等跨知识整合，培养推理能力与创新意识|

(暑假作业)基础与拔高专题：四边形-2025-2026学年数学八 年级下册人教版（2024) 基础巩固 1.在口ABCD中，一定正确的是() A.AD=BD B.AC=BD C.AB=CD D.CD=BC 2.如图，在ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点P.若AB=5,BC=8,则PD的长为 () A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,不添加其它的字母和辅助线， 则图中的等腰直角三角形有() A.10个 B.8个 C.6个 D.4个 4.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于() A H A.4.8 B.2.4 C.2.5 D.1.2 试卷第1页，共3页 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6,点P为斜边AB上一动点，过点 P作PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则线段EF的最小值为() A.4.8 B.2.4 C.6 D.5 6.如图，△ABC中，D为BC边上一点，作DE∥AC,DF∥AB,若四边形AEDF为矩形， 则△ABC应添加条件() A.AB=AC B.BC=AC C.∠C=90° D.∠A=90° 7.如图，在矩形ABCD中，AD=12cm,AB=3cm,点E在边BC上，且BE=4cm,点 2 cm/s P从点A出发，以 的速度沿1D向点D运动，同时点Q从点C出发，以 .4 cm/s 的速 度沿CB向点B运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设点P的运动时间为s 下列判断不正确的是() P D A当=音时.四边形AOP是平行四边形 5 B.当I=2s时，四边形AQEP是菱形 C.当1=2s时，四边形ABOP是矩形 D.无论t为何值，四边形AECP都不可能是菱形 试卷第2页，共3页 8.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC,BD的交点，E,F分别为边BC,CD上 一点，且OE⊥OF,连接EF.若∠COE=30°，DF=2,则EF的长为() B E A.2 B.2+V2 c.22 D.4 9.在菱形ABCD中，对角线AC=IO,BD=5,则菱形ABCD的面积为 10.如图，将一张平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为BD,折叠后，点A的对应点为点 E,DE交BC于点F.若AB=4,AD=8,∠A=120°，则EF的长为 1L.如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点 E、F.请添加一个条件 ,使四边形BEDF为菱形. C 12.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,∠BAC=90°，点E为边BC上一点， 且BE=3CE,若BC=8,则OE的长为 13.如图，在正方形4BCD中，B=5,点E在边CD上，CFLBE于点F,连接4F, DF,若AF=AB,则△ADF的面积为 试卷第3页，共3页 D 14.如图1是移动式电动剪叉升降平台，整套升降平台共有三层剪叉支架上下叠放.其剪 叉支架结构可简化为如图2所示，支架由两个全等等腰三角形与中间一个菱形拼接而成， 等腰三角形的腰长与菱形的边长相等，均为0cm,当平台上升时，菱形的内角∠ABC由 120°变为60°，则平台台面上升了 cm H 图1 图2 15.如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE,点F为DE的中点，且 CF⊥DE,点M为线段CF上一点，使DM=BE,CM=BC. D E B (1)若AB=13,CF=12,求DE的长度： (2求证∠DCM=;∠DMF 试卷第4页，共3页 16.如图，在ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，AE=CF D F C E B (I)求证：DE=BF: (2)求证：四边形DEBF是平行四边形. 17.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE交对角线AC于点E,EM⊥AB于点M, EN⊥BC于点N,求证：四边形BMEN是正方形. D 试卷第5页，共3页 拔高训练 试卷第6页，共3页 《（暑假作业)基础与拔高专题：四边形-2025-2026学年数学八年级下册人教版 (2024)》参考答案 题号 1 3 5 6 7 8 答案 B A D B D 1.C 【分析】根据平行四边形的性质，对各选项进行分析判断即可. 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， A、AD是边长，BD是对角线，没有相等关系，A错误； B、AC和BD是平行四边形对角线，只有矩形这类特殊平行四边形才相等，普通平行四边 形不成立，B错误： C、由平行四边形的对边相等，可得AB=CD,C正确： D、CD和BC是邻边，只有菱形这类特殊平行四边形邻边相等，普通平行四边形不成立， D错误： ∴.正确选项为C 2.B 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线得出内错角相等，进而证 得△ABP为等腰三角形，求出AP的长，最后利用线段的和差关系求出PD 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， .ADI BC,AD=BC=8 .·.∠APB=∠CBP 'BP平分∠ABC, .∠ABP=∠CBP, ∠ABP=∠APB, .AP=AB, AB=5, .AP=5, .PD=AD-AP=8-5=3 3.B 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，OB=OC=OA=OD 答案第1页，共2页 AC⊥BD. ∴.等腰直角三角形有△ABO,aBCO,aDCO,△AOD,△ABC,△BCD,△ADC,△ABD 一共有8个等腰直角三角形 4.A 【详解】解：如图，记AC与BD交点为O, D B 直支形性话得o1=4C=40B=D=3,AC1OB: 在Rt1OB中，由勾股定理得B=VO+08=5 由菱形面积计算公式得SBD= 2AC-BD=AB-DH ÷DH=1.AC-BD-16x8 =4.8 2 AB 25 【点睛】· 5.A 【分析】先根据勾股定理可得AC=8,连接CP,根据矩形的判定与性质可得CP=EF,再 根据垂线段最短可得当CP⊥AB时，CP取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即 可得 【详解】解：∠C=90°，AB=10,BC=6, ..AC=AB2 BC2=8 如图，连接CP, B:∠ACB=90,PE⊥AC,PF⊥BC 答案第2页，共2页 ∴四边形PECF是矩形， ∴CP=EF, 由垂线段最短可知，当CP⊥AB时，CP取得最小值， 此时x-2AB-Cn-4C-BC. 2 :CP=4C:BC_8x6=4.8 AB 10 即线段EF的最小值为4.8. 6.D 【详解】解：DE∥AC,DF∥AB, ∴.四边形AEDF为平行四边形， 若添加AB=AC,BC=AC,∠C=90°，均无法证明四边形AEDF为矩形： 若添加∠A=90°，可证四边形AEDF为矩形. 7.B 【分析】将选项的1值代入，计算AP,C的值，再逐一判断即可解答。 【详解】解：在矩形ABCD中，AD=BC=12cm,AD‖BC,AB=DC=3cm, AB∥DC 4 3cm 如图， D E 此时E0=BC-BE-CQ=12-4-16-8。 :.AP=EQ, .AP∥EQ AEOP 四边形 是平行四边形，A正确，不符合题意： 答案第3页，共2页 B当=时，P- 5。 x2=5cm,C0=2 x4=10cm, 如图， D EQ=CQ+BE-BC=10+4-12=2(cm) 此时 ∵AP≠EQ 小四边形 AOEP 不是菱形，B错误，符合题意： C、当1=2s时， AP=2×2=4(cm）C9=2×4=8(cm) 如图， D D B C EO ∴.BQ=BC-CQ=4cm AP=BO ·四边形 BOP 是平行四边形， ∠B=90°， 四边形 BOP 是矩形，C正确，不符合题意； D、根据勾股定理可得E=VAB+BE=5(cm), :CE=BC-BE=12-4=8(cm) ∴.AE≠EC, ∴·无论t为何值，四边形AECP都不可能是菱形，D正确，不符合题意. 8.D 答案第4页，共2页 【分析】先证明 BO≌aCOF(4SM得OE=OF如图：过点R作FG1OD,解三角形 OFD即可得出OF的长，进而可求出EF的长. 【详解】解：：在正方形ABCD中，O为对角线AC,BD的交点， .LD0C=LBOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°=LODC,OB=OC, ∠C0E=30°， :∠B0E=90°-∠C0E=90°-30°=60°， ,OE⊥OF. .∠EOF=∠BOC=90° ∴.∠COF=60°=∠B0E. 在△BOE和aCOF中， ∠BOE=∠COF OB=OC ∠OBE=∠OCF' ABOE≌ACOF(ASA) ..OE=OF 如图：过点F作FG⊥OD, .∠OGF=∠DGF=90°」 :∠0DC=45°，DF=2, .∠DFG=45°=∠ODC, .GF=DG, 2-DF-DG+GF-GR+GF2-2GF :DG=GF- .∠G0F=90°-∠C0F=90°-60°=30°， 答案第5页，共2页 :0F=2GF=2xV2=2V2 :.EF=0E2+0F2=22+(22=4 9.25 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果. 【详解】解：·四边形ABCD是菱形，AC=10,BD=5, 菱形ABCD的面积-24C-BD=)×10x5=25 1 2 10.5 【分析】作DH1BC,交BC的延长线于点政求出∠CDM=30得CH=CD=2,由勾 股定理求出 DH=2 ,由折叠的性质得，AD=DE,∠ADB=∠BDE,得出BF=DF 28 设BF=DF=x,根据FH?+DH?=DF2求出x=5,进而可求出EF的长. 【详解】解：如图，作DH⊥BC,交BC的延长线于点H, A ,四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=4,BC=AD=8,∠BCD=∠A=120°，ADI‖BC, .∠DCH=60°，∠ADB=∠CBD, .∠CDH=30°， 401-3c0=2 DH=CD2-CHP=2 由折叠的性质得，AD=DE,∠ADB=∠BDE, .∠CBD=∠BDE,DE=BC=8, ∴BF=DF. 答案第6页，共2页 设BF=DF=x, .CF=8-x, .FH=8-x+2=10-x .FH2+DH2=DF2. :.(10-x}+(232=x 解得28 5, .EF=DE-DF=8-28=12 5=5 11.∠ABD=60°（答案不唯一） 【分析】由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得 ∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED,即可得证. 【详解】解：当∠ABD=60°时，四边形BEDF是菱形， ,四边形ABCD是矩形， .ABI/CD :.∠BDC=∠ABD=60° :BE平分∠ABD,DF平分∠CDB ÷∠ABD=2∠ABE=60,∠EBD=∠ABE=30,∠BDF=)∠BDC=30, 2 ∴.∠EBD=∠BDF, .BElDF, 又·BFI∥ED ∴.四边形BEDF是平行四边形， ,四边形ABCD是矩形， .∠A=90° ∴.∠EDB=90°-∠ABD=30°， .∠EDB=∠EBD=30°， ∴EB=ED, 又，四边形BEDF是平行四边形， ∴.四边形BEDF是菱形. 答案第7页，共2页 12.2 【分析】取BC的中点F,连接OF，根据平行四边形的性质得到O是AC的中点，利用三 角形中位线定理证明OF∥AB,进而得到∠FOC=90°，通过计算线段长度证明E是CF的 中点，利用直角三角形斜边上的中线性质求解. 【详解】解：如图，取BC的中点F,连接OF D 四边形 是平行四边形，对角线， 交于点 B ABCD AC BD 0, ∴.O是AC的中点， ∴.OF是△ABC的中位线， OF∥AB .∠FOC=∠BAC=90°. :BC=8,F是BC的中点， .CF-C-4 BE=3CE .BC=BE+CE=4CE=8」 :.CE=2, .CE=CF,即E是CF的中点. 2 在Rt△COF中，OE是斜边CF上的中线， .OE-CF-2 3 13. 【分析】过点A作AH⊥BF于点H,过点F作AD的垂线，交AD于点P,交BC于点， 根据AF=AB得BH=FH,设BH=FH=a,则BF=2a,证明aBCF和△ABH全等得 CF=BH=a,在RtABCF中，由勾股定理得a=1,则CF=a=1,BF=2a=2,再证明四 边形P0CD是矩形得P2=CD=5,∠F0C=90 由三角形面积公式得 答案第8页，共2页 FO=BF.CF_25 P35 D-FP= BC 5,则 5,据此可得△ADF的面积为2 2 【详解】解：如图，过点A作AH⊥BF于点H,过点F作AD的垂线，交AD于点P,交 BC于点O, .∠AHB=∠FPD=90°. ,AF=AB,AH⊥BF, .BH=FH 设BH=FH=a,则BF=2a, .CF⊥BE. .∠BFC=90°， ∴.∠BFC=∠AHB=90° :.∠CBF+∠BCF=90°， ,四边形ABCD是正方形， :.BC=AB=AD=CD=V5.∠ABC=∠BCD=∠ADC=90e .∠CBF+∠ABH=∠ABC=90°， ∴，∠BCF=∠ABH ÷△BCF≌aABH(AMS) ..CF=BH=a, 在RIABCF中，BC=VBF2+CF2=V(2a}'+a2=N5a=V5 ∴.a=1, .CF=a=1,BF=2a=2, .∠FPD=∠BCD=∠ADC=90°」 答案第9页，共2页 四边形POCD是矩形， PO=CD=5 5.C.FQ-F.CF :O--C25 BC 5, :P=P0-F0=V5253w5 55 2 2 52. 14.(60W5-60 【分析】根据题意，将平台总高度分解为上层等腰三角形的高、中间菱形的对角线长、下 层等腰三角形的高三部分.利用等腰三角形、菱形的性质以及或勾股定理，分别计算 ∠ABC=120°和∠ABC=60°时的总高度，两者之差即为上升高度. 【详解】解：连接DB,延长BD交EF于点P,延长DB交GH于点Q,连接AC,交BD 于点0，如图， G H B A<--- C E∠ F 由题意及图，得GB=BH=AB=BC=AD=CD=DE=DF=30, ~四边形ABCD是菱形， 4CLBD:MBCD:BCAD,∠aBC=∠ADC,∠BAC=∠DAC-∠BAD, ..BO=DO. 当∠ABC=120°时，∠ABC=∠ADC=∠GBH=∠EDF=120°， ∴∠G=∠H=∠HAC=∠FAC=∠E=∠F=2xI80°-120)=30P, 答案第10页，共2页 .GH∥AC∥EF, ∴.P⊥GH,PQ⊥EF, B0=0B=15,s0=D0=4D=15,Pm=号0E=5, 2 ∴P2=15×4=60 当∠ABC=60°时，如图， G H B 同理可得∠G=∠BAC=∠DAC=∠E=60°，P2⊥GH，.PQ⊥EF, .∠GBQ=∠ABO=∠PDE=90°-60°=30° ÷G0=40=PE=x30=15】 2 B0=B0=D0=PD=V302-152=15V3 ∴.P9=15V3×4=60W5 .平台上升高度为 60√3-60jcm 15.(1)10 (2)证明：如图所示，连接CE, D M A E B .CF⊥DE, .∠CFD=∠CFE=90°， 答案第11页，共2页 :点F为DE的中点， .DF=EF, 又，CF=CF, 、△CFD≌ACFE(SAS) .∠DCF=∠ECF,CD=CE 又，CM=CB,DM-BE, :aCDM≌aCEB(SS) .∠DMC=∠B,∠DCM=∠ECB, .∠DCM=∠ECB=∠ECF, &<CM-写<acn, :四边形ABCD是平行四边形， .ABII CD ,∠B+∠BCD=180°， .∠DMC+∠BCD=180°， 又：∠DMC+∠DMF=180°， ∴.∠DMF=∠BCD. &∠DCM=SDMF, 【分析】(I)由平行四边形的性质得到CD=AB=13,由勾股定理可求出DF的长，再由 线段中点的定义可得答案： (2)连接CE,证明△CFD≌aCFE,得到∠DCF=∠ECF,CD=CE,再证明 ACDM2ACEB,得到∠DMC=∠B,∠DCM=∠ECB,则可证明∠DCM=}∠BCD,可证 3 明∠DM=∠BCD,则∠DCM=3∠DMF, 答案第12页，共2页 【详解】(1)解：，四边形ABCD是平行四边形， .CD=AB=13, ,CF⊥DE. ∴.∠CFD=90°. :DF=VCD2-CF2=V132-12=5 ,点F为DE的中点， .DE=2DF=10: (2)略 16.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD .AE=CF .AB-AE=CD-CF, :BE =DF. 又BE DF .四边形DEBF是平行四边形， .DE BF (2)证明：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD AE=CF .·.AB-AE=CD-CF ..BE=DF 又BEDF, ∴四边形DEBF是平行四边形 【分析】(I)先利用平行四边形的性质得出AB‖CD,AB=CD,进而求出BE=DF,进 而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证出四边形DEBF为平行四边形，最 后利用平行四边形的性质得出对边相等即可： (2)先利用平行四边形的性质得出ABCD,AB=CD,进而求出BE=DF,进而利用一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证出四边形DEBF为平行四边形. 答案第13页，共2页 【详解】(1)略 (2)略 17.证明：，四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90° EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N, ∴.∠BME=∠BNE=90°， .四边形BMEN是矩形， :BE是∠ABC的平分线，且EM⊥AB,EN⊥BC, .EM =EN, .四边形BMEN是正方形 【分析】先推出∠BME=∠BNE=∠ABC=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形，证 明四边形BMEN是矩形，再由角平分线的性质，得到EM=EN,即可证明四边形BMEN 是正方形. 【详解】略 18.(1)证明：·四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,ABII CD ,E、F分别为边AB、CD的中点， 1 DF -2CD,BE-24B 2 ∴.DF=BE, 又AB∥CD ∴.四边形DEBF是平行四边形 (2)①证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC,即AD∥BG AG∥DB ∴四边形ADBG是平行四边形， 又：∠G=90° ∴四边形ADBG是矩形， .∠ADB=90° 答案第14页，共2页 E为边AB的中点， :DE=AB=BE】 由(I)可知，四边形DEBF是平行四边形， ∴.四边形DEBF为菱形： ②15」 ③5. 【分析】(1)根据平行四边形的性质得到DF=BE，AB‖CD,根据平行四边形的判定定 理证明四边形DEBF是平行四边形； (2)①根据平行四边形的性质及矩形的判定定理得到四边形ADBG是矩形，根据直角三 角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE=BE,即可得出四边形DEBF是菱形； ②市四边形4D8G是矩形案易求出m号4DDB=15,进酒可得8m一8m一受 2 根据平行四边形的对角线平分平行四边形面积即可得出菱形DEBF =2S,BDE=15 的面积 ③连接EF交BD于O,根据两点之间线段最短即可得出最小值. 【详解】(1)略 (2)①略： ②解：由①可知：四边形ADBG是矩形，∠ADB=90°， .'DB=AG=6,AD=BG=5, SRARD=2 4D:DB=)×5×6=15 ,E是AB的中点， 1 1 、SE=万S4DB=)X15=5 2 ·菱形DEBF的面积=2Se=2x5=15 2 ③连接EF交BD于O, 答案第15页，共2页 ,同理(1)可得：四边形ADFE是平行四边形， .'EF AD=5, 又PE+PF≥EF, .当点P、E、F三点共线时，即点P与点O重合时，PE+PF最小，最小值为EF=5. 19.(1)22.5° (2CD=2+2v2 △ADG (3)猜想： 是等腰直角三角形 ,A4 证明：：BE垂直平分AA, AA⊥BEBA=BA ∠ABG=∠ABG ABG=LABG=a 设 ∴.∠ABC=90°-2a .BC=BA=BA ∠BC4=∠B4C.180-,48C_180-90-2a）-45+a, 2 ∴.∠ACD=90°-∠BCA=90°-(45°+a)=45°-a .CG=CB .∠CBG=∠CBA+∠ABG=90°-2a+a=90°-a=∠CGB ∠BCG=180°-∠CBG-∠CGB=180°-(90°-a)-(90°-a)=2a 答案第16页，共2页 .∠DCG=90°-∠BCG=90°-2a, ∴.∠ACG=∠DCG-∠DCA=(90°-2a)-(45°-a)=45°-a ..LACG=LACD CG=CB=CD,CA=CA aDCA≌aGCA(SAS) .AD=AG,∠CAG=∠CAD ∠CAF=45° ∠CAG=∠CAD=180°-45°=135° .∠D4G=360°-135°-135°=90° ÷4G=40,D4G=0,款△4DC 为等腰直角三角形 BA=BA∠ADB=∠ABD=45° BA4=∠BAA=67.5 【分析】(1)先得出 ,求出 ,即可 求出结论： （2)连i接45，证明△BEAOBEA(SS）,得出BAB=∠BMB=90 再求出 EA=DA=2 根据勾股定理得出DE=2V2 即可求出结论： (3)设4BG=∠ABG=a,证明∠4CG=∠ACD,进而证明DC4GCA(SAS）, 得出 AD=AG,∠CAG=∠CAD ,即可证明G=4DD4G=90心 AA 【详解】(1)解：：BE垂直平分M4, BA=BA 在正方形中，BA=AD=CD=BC,∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，BD对角线， 答案第17页，共2页 .∠ADB=∠ABD=45° :∠B4=∠BAA=180,45°=67.50 ∠AAD=∠BAD-∠BA4=90°-67.5°=22.5° AE (2)解：连接 E 图1 :BE垂直平分M 、EA=AE=2 BA=BA .BE=BE, :∴△BEA≌△BEA(SSS) ∴∠BAE=∠BAE=90° :∠ADB=45°， ∴.∠AED=90°-∠ADE=90°-45°=45° ∠ADE=∠AED EA=DA=2 .DE=4D2+4E2=22 .CD=AD=2+22 (3)略 答案第18页，共2页 20.05 DF=√2(AB-CE) (2)解： 证明：如图2，过点F作FG⊥BC的延长线于点G,作FH⊥CD于点H, B E 图2 .∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠FEG=90°， :FG⊥BC,FH⊥CD .∠ABE=∠EGF=90°，∠EFG+∠FEG=90°， .LAEB=∠EFG, ,在△ABE和△EGF中， I∠AEB=∠EFG ∠ABE=∠EGF AE=EF △ABE≌△EGF(AAS) .'EG=AB=CD,BE=GF, :点E为线段BC的中点， .'BE=CE, .EC=FG .'∠CHF=∠CGF=∠GCH=90°. .四边形FHCG是矩形， .CH=FG,FH=CG」 .DH =CD-CH AB-FG=EG-CE=CG, .DH=FH, 答案第19页，共2页 .△DHF为等腰直角三角形， DF-DI+F-2DDH-(CD-CH)-(4B-CE) (3)解： 4F+DF存在最小值：最小值为4而 ;理由如下： 如图3，在AB的延长线上截取BG=BE,连接EG,在BC上截取BM=AB=6,连接FM, G 图3 BG=BE,BM=AB=6,BC=8 .AB+BG=BM+BE,CM=BC-BM=8-6=2,∠BEG=∠G=45°， ∴.AG=EM :∠ABE=90°， ∴.∠AEB+∠EAG=90° :∠AEF=90°，AE=EF, .∠AEB+∠FEM=90°， ∴.∠EAG=∠FEM, 在△AEG和△EFM中， AG=EM ∠EAG=∠FEM AE=EF △AEG≌AEFM(SAS) ∴.∠G=∠EMF=45°」 .∠NMC=∠EMF=45°， .∠NMC=∠MWC=45, .CM=CN=2. ∴.点F轨迹在如图4与CD夹角为45°的直线1上，作点D关于直线1的对称点D',延长 答案第20页，共2页 AD交直线I于点P,连接D'P,D'F, M 图4 .DF =DF',PD=PD', 在△DFP和△D'FP中， DF =DF PD=PD' PF=PF 、△DFP≌aD'FP(SSS) .∠DPF=∠D'PF, AF+DF=AF+D'F, .当AF+DF取最小值时，A,F,D三点共线，最小值为AD, :DN=CD-CN=6-2=4,∠MNC=∠DNP=45°， .∠DNP=∠DPF=∠D'PF=45°， .DN=DP=4,∠DPD'=∠DPF+∠D'PF=45°+45°=90°， .PD'=PD=4,AP=AD+DP=8+4=12, :在Rt△APD中，AD'=VAP2+PD=i2+4=4i0 【分析】(1)利用含30°角直角三角形的性质设BE=x,则AE=2BE=2x,即可利用勾 股定理解出△ABE各边的长，过点F作FG⊥BC于点G,证明△AEB≌aEFG,得到 EG=AB,即可求出CG的长，再由三角形面积公式运算即可： (2)过点F作FG⊥BC的延长线于点G,作FH⊥CD于点H,证明△ABE≌aEGF, 得到EG=AB=CD,BE=GF,证明四边形FHCG是矩形，得到CH=FG,FH=CG,即 可证出△DHF为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； (3)在AB的延长线上截取BG=BE,连接EG,在BC上截取BM=AB=6,连接FM, 证明△AEG≌aEFM可得到∠G=∠EMF=45°，即可推出点F轨迹在如图4与CD夹角为 答案第21页，共2页 45° D D AD P 的直线上，作点”关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，由 AF+DF=AF+D'F,可得到当AF+DF取最小值时，A,F,D'三点共线，最小值为 AD,利用勾股定理运算求解即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， ,AB=CD=V3∠ABE=∠ABC=∠BCD=90° .∠BAE=30°， .在Rt△ABE中，设BE=x,则AE=2BE=2x, AB2+BE2=AE2, :（5+x2=(2x, 解得：x=1, .BE=1,AE=2, :EF=AE=2, 过点F作FG⊥BC于点G,如图1所示： G B 图1 .∠FGE=90°， .∠FGE=∠ABE ·∠AEF=90°， .∠AEB+∠FEG=90°， ,∠AEB+∠BAE=180°-∠ABE=90°， .∠FEG=∠BAE, ∴.在△AEB和△EFG中， 答案第22页，共2页 ∠ABE=∠EGE AE=EF ∠BAE=∠GEF' △AEB≌△EFG(AAS) EG=AB=3 :BC=EB+BC=1+3+1=2+V5 CG=EC-EG=2+3-3=2 :5g-xCDxCG=-×5x2=5, 2 2 (2)略 (3)略 答案第23页，共2页