专题5.6 一元一次方程（章节复习）（知识梳理+30个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共75题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

该初中数学讲义通过知识框架图系统构建一元一次方程章节体系，从“算式到方程”“解法步骤”“实际问题应用”三大模块展开，以思维导图呈现解方程五步流程，用表格归纳12类实际问题等量关系，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于30个考点讲练的精准设计，如“配套问题”“环形追及”培养模型意识，“已知解求参数”提升推理能力，中考真题与分层练习（基础夯实、培优拔高）满足不同学生需求，易错点拨助力运算能力提升，既支持学生自主复习，也为教师分层教学提供抓手。

专题5.6 一元一次方程（章节复习） （知识梳理+30个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共75题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：从算式到方程 2 知识点梳理02：解一元一次方程 3 知识点梳理03：实际问题与一元一次方程 4 优选题型 考点讲练 7 考点1：判断各式是否是方程 7 考点2：列方程 7 考点3：判断是否是方程的解 8 考点4：已知方程的解，求参数 9 考点5：等式的性质1 10 考点6：等式的性质2 11 考点7：判断是否是一元一次方程 12 考点8：判断是否是一元一次方程解 13 考点9：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 14 考点10：解一元一次方程(二)——去括号 15 考点11：解一元一次方程(三)——去分母 17 考点12：绝对值方程 18 考点13：利用平方根解方程 19 考点14：已知一元一次方程的解，求参数 20 考点15：一元一次方程解的关系 21 考点16：配套问题(一元一次方程的应用) 23 考点17：工程问题(一元一次方程的应用) 23 考点18：销售盈亏(一元一次方程的应用) 24 考点19：比赛积分(一元一次方程的应用) 26 考点20：方案选择(一元一次方程的应用) 27 考点21：数字问题(一元一次方程的应用) 29 考点22：几何问题(一元一次方程的应用) 30 考点23：动点问题(一元一次方程的应用) 33 考点24：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 37 考点25：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 39 考点26：行程问题(一元一次方程的应用) 40 考点27：比例分配(一元一次方程的应用) 42 考点28：日历问题(一元一次方程的应用) 43 考点29：古代问题(一元一次方程的应用) 44 考点30：其他问题(一元一次方程的应用) 45 中考真题 实战演练 48 难度分层 拔尖冲刺 51 基础夯实 51 培优拔高 54 知识点梳理01：从算式到方程 1．方程的概念 含有未知数的等式叫方程． 【易错点拨】 方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数． 2．方程的解与解方程 ①一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ②求方程的解的过程，叫做解方程. 3．一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 【易错点拨】 一元一次方程具有如下共同特点： ①只含有一个未知数． ②所含未知数的项的最高次数为1． ③方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数． 4．等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：如果，那么． 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即：如果，那么；如果，那么． 【易错点拨】 ①等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系． ②等式两边都除以同一个数时，这个除数不能是零． 知识点梳理02：解一元一次方程 1．解一元一次方程——合并同类项 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变． 2．解一元一次方程——移项 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 【易错点拨】 ①移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边． ②移项要变号． ③移项与加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号． 3．解一元一次方程——去括号 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【易错点拨】 运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项． 4．解一元一次方程——去分母 根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化为整数． 【易错点拨】 ①各项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项． ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号． 5．解一元一次方程的一般步骤 ①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母（依据：等式的性质2） ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）（依据：乘法分配律；去括号法则） ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1） ④合并同类项：把方程化为的形式（依据：合并同类项的法则） ⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解（依据：等式的性质2） 知识点梳理03：实际问题与一元一次方程 1．列一元一次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． ②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）． ③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程． ④解：解所列出的方程，求出未知数的值． ⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案． 2．常见问题中的等量关系： ①和差倍分问题： 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几． （1）当较大量是较小量的几倍多几时，； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，． ②数字问题： （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为． 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为． ③年龄问题： “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. ④日历问题： （1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7． （2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数． （3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的． ⑤行程问题： 基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈. ⑥工程问题： （1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1; （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和. ⑦商品销售问题： 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 利润=售价－进价 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 ⑧配套问题： “配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程） 一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解． ⑨积分问题： 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分． ⑩利息问题： （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数） ⑪方案决策问题： 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案． ⑫分段计费问题： 常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同. 考点1：判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查方程的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程是含有未知数的等式，根据定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A． ，无等号，不是方程； B． ，含不等号，不是方程； C． ，有等号且含未知数，是方程； D． ，无未知数，不是方程． 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·假期作业）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 【答案】 、、； 、． 【思路点拨】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【规范解答】解：用等号表示相等关系的式了叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 考点2：列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了列方程，将文字描述转化为数学方程，注意“y的7倍”为，“x减去y的7倍”即，列出方程即可 【规范解答】解：的7倍为，x减去y的7倍为，等于8，即， 方程为， 故选：A 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了列方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． （1）x的2倍与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可； （3）根据已知，首先表示出这个数的，再减3，等于最大的一位数9，得出方程即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得． 考点3：判断是否是方程的解 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·月考）是下列方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边相等的未知数的值，理解定义是关键．根据方程解的定义， 将代入各选项方程，验证是否成立即可解答． 【规范解答】A．方程左边：，右边为2，，不成立，故本选项不符合题意． B．方程左边：，右边为，，不成立，故本选项不符合题意． C．方程左边：，右边为1，，不成立，故本选项不符合题意． D．方程左边：，右边为4，，成立，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力． （1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程； （2）通过代入数值验证是否为方程的解． 【规范解答】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为， ∴长为， ∵长方形的周长(长+宽)，周长为， ∴方程为； （2）解：当时， 代入方程左边：， ∴左边=右边， ∴是该方程的解． 当时， 代入方程左边：， ∴左边≠右边， ∴不是该方程的解． 考点4：已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【思路点拨】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【规范解答】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）已知是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了方程解的定义，根据一元一次方程的解的定义，将代入方程求解m． 【规范解答】解：∵是关于x的一元一次方程的解， ∴，即， ∴． 故答案为：． 考点5：等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期末）下列根据等式的基本性质变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了等式的基本性质，熟练准确运用等式的基本性质是解题的关键．等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个等式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数(除数不为零)，所得结果仍是等式另外，根据等式性质逐项进行判断即可． 【规范解答】解：A．如果，那么等式两边同时加上1得：仍然成立，故该选项正确，不符合题意； B．如果，那么等式两边同时减去3得：仍然成立，故该选项正确，不符合题意； C．已知，那么等式两边同时乘以得：仍然成立，故该选项正确，不符合题意； D．如果，那么等式两边除以3得：，故该选项变形不正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·河北张家口·月考）方程，处被盖住了一个数字，已知方程的解为，那么处的数字是（   ） A．7 B．5 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将已知解代入方程，解出被盖住的数字． 【规范解答】解：∵ 方程的解是， ∴代入方程为：， 即， 两边乘以得， ∴， ∴， 故选：B． 考点6：等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路点拨】本题考查等式的基本性质． 选项A、B、D符合等式性质，正确；选项C由得出，忽略的情况，错误． 【规范解答】解：A：若，两边加2得，正确； B：若，两边乘2得，正确； C：若，则，即，解得或，错误； D：若，两边乘c得，正确； 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·月考）若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立．同时除以同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立．根据等式的性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、若，当，则不成立，故变形不一定正确，符合题意； B、若，则成立，不符合题意； C、若，则，进而得到成立，不符合题意； D、若，则成立，不符合题意． 故选：A． 考点7：判断是否是一元一次方程 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邢台·月考）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一元一次方程的定义；根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的方程. 【规范解答】解：A、含有一个未知数x，且x的次数为1，是一元一次方程，故A符合题意； B、，x的次数为2，不是一次方程，故B不符合题意； C、是代数式不是等式，不是方程，故C不符合题意； D、含有两个未知数x和y，不是一元方程，故D不符合题意. 故选：A. 【变式训练】（25-26七年级上·广东茂名·月考）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程是只含有一个未知数且未知数的次数是1的方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列关于a的方程求解即可． 【规范解答】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，解得：． 故答案为3． 考点8：判断是否是一元一次方程解 【典例精讲】（24-25七年级上·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【变式训练】（2025七年级上·河南·专题练习）写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【规范解答】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 考点9：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 【典例精讲】（25-26七年级上·广东茂名·月考）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】本题考查解一元一次方程、有理数混合运算，熟练掌握一元一次方程的解法和有理数运算法则是解题的关键． （1）先移项、合并同类项，再将系数化为1，解出的值即可； （2）先计算乘方，再去绝对值、乘法运算，最后计算加法即可． 【规范解答】解：（1）， 移项得， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2） ． 【变式训练】（25-26七年级上·广东梅州·月考）已知，，并且，则x的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了整式的化简，解一元一次方程，将已知的和的表达式代入方程，通过化简和求解一元一次方程得到的值即可求解． 【规范解答】解：由，代入和得： 整理得： 解得：． 故答案为：． 考点10：解一元一次方程(二)——去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·月考）解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可； （3）根据解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【规范解答】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解： 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式训练】（25-26七年级上·山西运城·期中）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）根据移项、合并同类项可进行求解； （2）先去括号，然后再进行求解即可； （3）先去分母，然后再进行求解即可． 【规范解答】（1）解： 移项，得：， 合并同类项，得：， 未知数系数化为1，得． （2）解： 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：． 未知数系数化为1，得． （3）解： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 未知数系数化为1，得． 考点11：解一元一次方程(三)——去分母 【典例精讲】（25-26七年级上·广东湛江·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是关键． （1）通过去括号，移项，合并同类项，一次项系数化为1等步骤求解即可； （2）通过去分母，去括号，移项，合并同类项等步骤求解即可． 【规范解答】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边同时除以2，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的步骤进行计算即可． （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的步骤进行计算即可． 【规范解答】（1）解：， ． （2）解：， ， ， ， ． 考点12：绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）定义新运算，如；那么 ，若，则x可以取的值有 ． 【答案】 和 【思路点拨】本题考查有理数的加减运算，去绝对值，绝对值方程的解法等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．对于第一部分，根据新运算定义，先计算，再计算结果与3的运算；对于第二部分，先根据定义将方程化简为，再分区间讨论求解． 【规范解答】∵， ∴， ∵， ∴， 当时，方程化为，解得 ，符合条件， 当时，方程化为，无解， 当时，方程化为，解得 ，符合条件， 故x可以取的值为和， 故答案为：；和． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽六安·期中）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 【答案】A 【思路点拨】本题考查数轴，绝对值方程。根据点到原点的距离等于3，可列出绝对值方程，解方程即可． 【规范解答】解：点A到原点的距离等于3， ∴ 或， 解得或， 故选：A． 考点13：利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【思路点拨】本题考查利用平方根，立方根解方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程的步骤，逐步计算即可； （2）根据立方根解方程的步骤，逐步计算即可． 【规范解答】（1）解： ， ， 或， 解得或． （2）， ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·月考）方程的解是 ． 【答案】 或 【思路点拨】本题考查了利用平方根解方程，通过移项将方程化为，再根据平方根的定义求解即可． 【规范解答】解：， 移项得，即， ∴ 或 ， 即或， 故答案为：或． 考点14：已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解的情况求参数，代数式求值，先根据方程与均无解，求出m，n的值，再将m，n代入式子求解即可 【规范解答】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以，． 解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以， 所以 【变式训练】（25-26七年级上·四川·月考）若方程有无数个解，则 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 方程有无数个解的条件是化简后为恒等式，即x的系数和常数项分别相等，据此解答即可． 【规范解答】解：原方程为， 两边同乘6得：， 展开得：， 即． 移项得：， 即． ∵方程有无数个解， ∴， 解得． 故答案为：． 考点15：一元一次方程解的关系 【典例精讲】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于的方程与方程是“集团方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程和是“集团方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查解一元一次方程，根据一元一次方程的解求参数，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）求出两个方程的解，再根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （2）求出的解，根据新定义求出的解，换元法求出方程的解即可． 【规范解答】（1）解：解，得； 解，得， ∵关于的方程与方程是“集团方程”， ∴， 解得； （2）解：解，得， ∵关于的一元一次方程和是“集团方程”， ∴的解为， ∵可化为， ∴的解为， ∴． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 通过将关于y的方程进行变形，使其与关于x的方程形式一致，然后利用已知解进行求解即可． 【规范解答】解：∵，即， 又∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 故答案为：． 考点16：配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南周口·月考）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用立方米钢材可做个部件或个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 【答案】立方米做部件，立方米做部件．共配成套 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的实际应用（配套问题），熟练掌握“根据配套比例建立等量关系”是解题的关键． 设用立方米钢材做部件，立方米做部件，根据“部件数量是部件的倍”列方程求解． 【规范解答】解：设用立方米钢材做部件，则用立方米钢材做部件，由题意可得 ， 解得， ∴做部件的钢材为（立方米）， 配套套数：（套）， 答：用立方米做部件，立方米做部件．共配成套． 【变式训练】（25-26七年级上·山东日照·月考）某车间有19名工人，每人每天可以生产1200个A产品或2000个B产品．2个A产品与3个B产品配成一套，为使每天生产的A产品与B产品刚好配套，应安排生产A产品与B产品的工人各多少名？ 【答案】应安排生产A产品10名，生产B产品9名 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用等知识﹒设应安排x名工人生产A产品，则安排名工人生产B产品﹒根据“每天生产的A产品与B产品刚好配套”列方程，解方程即可求解﹒ 【规范解答】解：设应安排x名工人生产A产品，则安排名工人生产B产品﹒ 由题意得， 解得， ﹒ 答：应安排生产A产品工人10名，生产B产品工人9名﹒ 考点17：工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·山东日照·月考）修一条排水渠，甲队独做需10天，乙队独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成。在这个过程中，甲、乙两队合修了 天． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的等量关系是解题的关键．设甲、乙两队合修了x天，根据整个工程量为1，列出方程求解． 【规范解答】解：甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，两队合修的工作效率为． 设甲乙两队合修x天完成的工作量为，甲队单独修5天完成的工作量为． 根据题意，得 ， 解得． 故答案为：3． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·月考）（列方程解应用题）一项工程，甲单独做需要8小时完成，乙单独做需要10小时完成．现在先让甲、乙一起工作4小时，再由乙单独完成剩下的部分，问乙单独完成剩下的部分需要多少小时？ 【答案】乙单独完成剩下的部分需要1小时 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用题，工程问题将总工程量视作单位“1”是解题的关键． 根据题意，甲、乙单独每小时完成总工程量的、，由题意可得方程，解出方程即可． 【规范解答】解：设乙单独完成剩下的部分需要小时， ， 解得， 故乙单独完成剩下的部分需要1小时． 考点18：销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）【课本再现】 （1）某商店出售两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件赔，卖这两件衣服总的是赚还是赔？ 【拓展应用】 （2）某校六年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【答案】（1）卖这两件衣服总的是赔；（2）降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程： （1）设赚钱的那件衣服的进价为元，赔钱的那件衣服的进价为元，根据题意列方程求解； （2）设降价之前销售的衬衫数量为件，则降价之后销售的衬衫数量为件，根据题意列方程求解． 【规范解答】（1）解：设赚钱的那件衣服的进价为元，赔钱的那件衣服的进价为元， 根据题意得，， 解得，， 所以（元）， 答：卖这两件衣服总的是赔． （2）解：设降价之前销售的衬衫数量为件，则降价之后销售的衬衫数量为件， 根据题意得， 解得． 答：降价之前销售的衬衫数量为件时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·月考）据市场调查，个体服装商店做生意，只要销售价高出进货价的20%便可盈利；假如你准备买一件标价为200元的服装．个体服装商店若以高出进价的50%～100%要价，为保证商家盈利，你应在什么范围内还价？ 【答案】为保证商家盈利，一般应在120元～160元之间还价 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据“标价进价×加价率”求出进价，再根据“盈利价进价”确定还价范围． 分“高出进价要价”和“高出进价要价”两种情况，先求出对应的进价，再计算出保证商家盈利的最低售价，从而确定还价范围． 【规范解答】解：当老板以高出进价的要价时： 设进价为元，由标价，解得． 商家盈利的最低售价为元； 当老板以高出进价的要价时： 设进价为元，由标价，解得． 商家盈利的最低售价为元． 综上，为保证商家盈利，应在120元～160元之间还价． 考点19：比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江西南昌·月考）受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【答案】(1)3，1，0 (2)钢铁队胜7场 【思路点拨】本题考查一元一次方程解决实际问题； （1）由表中蓝天队的胜场和总积分可得胜一场的积分，再由光明队的总积分可得平一场的积分，最后由雄鹰队的总积分可得负一场的积分； （2）设钢铁队胜x场，根据积分是23分，可列出一元一次方程求解即可. 【规范解答】（1）解：∵蓝天队胜了6场，积分为18分， ∴胜1场的积分为分 ∵光明队胜5场，平1场，积分为16分， ∴平1场的积分为分， ∵雄鹰队胜3场，平2场，负1场，积分为11分， ∴负1场的积分为分. 故答案为：3，1，0. （2）解：设钢铁队胜场，则平了场． 由（1）知，胜1场积分为3分，平1场积分为1分，负1场积分为0分， ∴，解得． 答：钢铁队胜7场． 【变式训练】（25-26七年级上·河南周口·月考）某市中学生足球联赛共8轮（即每队需要比赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学生足球代表队的平场数是负场数的2倍，共得17分，则该队胜了 场 【答案】5 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用. 设负的场数为x，表示出该队胜的和平的场数，根据总分找到等量关系求解即可． 【规范解答】解：设负的场数为x，则平的场数为，则胜的场数为， 由题意，得， 解得， 则． 故答案为：5． 考点20：方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【答案】(1)这个公司要加工960件新产品． (2)由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解答本题的关键． （1）设这个公司要加工x件新产品，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）根据题意分别求出3种方案需要的费用，然后比较求解即可． 【规范解答】（1）设这个公司要加工x件新产品， 由题意得：， 解得： (件)， 答：这个公司要加工960件新产品； （2）①由红星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ②由巨星厂单独加工：需要耗时为天，需要费用为：元； ③由两厂共同加工：需要耗时为天，需要费用为：元． 因为， 所以，由两厂共同加工时，既省钱，又省时间． 【变式训练】（25-26七年级上·河南周口·月考）某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若直接在市场上销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元． 该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售加工完毕．为此，该厂设计了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天加工完毕.你认为选择哪种方案获利较多？为什么？ 【答案】方案1：获利10000元；方案2：获利11200元．方案2获利最多． 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：根据制成奶片，每天可加工 ，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案二：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【规范解答】解：方案一：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案二：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， （元）， 所以第二种方案获利较多． 考点21：数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在如图的九宫图的每个格子中填一个数，使得每行，每列以及斜对角的三个数之和都相等．当时， ，和之间的数量关系可用等式 表示． 【答案】 【思路点拨】本题考查了等式的性质解一元一次方程，整式的加减的应用；根据幻方的性质，设幻和为，利用已知条件、、，通过行列和对角线的和相等，逐步求出、，并得到与的关系，进而推导出、、的关系式． 【规范解答】解：设每行，每列以及斜对角的三个数之和为S， 由第一行：，代入、，得，即． 由第一列：，代入、，得，即． 由和，得，故． 由副对角线：，代入，得．代入，得，解得． 由主对角线：，代入、，得，即．代入，得，故． 由第三列：，代入、，得，即．代入，得，故． 由和，得，即． 故答案为：，． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏镇江·月考）将正整数1至 1000 按一定规律排列如下表，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2033 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用一元一次方程解决有规律的数列问题”是解题的关键. 设表格中三个数下面的数为 则左上的数为，右上的数为，所以三个数的和为：，再分别列方程求解，再检验即可. 【规范解答】解：设表格中三个数下面的数为 则左上的数为，右上的数为， 所以三个数的和为：， 当，则，故A不符合题意； 当，则，故B不符合题意； 当，则， 而，是数列中第85行最后1个数，故C不符合题意 当，则，是数列中第86行第3个数，故D符合题意； 故选：D． 考点22：几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）要锻造直径为，高为的圆柱毛坯，需要截取边长为的方钢多长？ 解：设需要截取边长为的方钢，根据题意得方程(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程，关键在于理解体积不变原则． 根据锻造前后体积不变，圆柱体积等于方钢体积，列方程求解． 【规范解答】解：∵圆柱直径， ∴半径，高， ∴圆柱体积． ∵方钢边长， ∴方钢横截面积，长度， ∴方钢体积． 又∵锻造前后体积相等， ∴． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆万州·月考）已知a是最大的负整数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度；动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒1个单位长度．求运动几秒后，点P与Q的距离为3个单位长度？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，；见解析 (2)运动秒或秒时，点P与Q的距离为3个单位长度 (3)或3 【思路点拨】此题考查一元一次方程的应用，在数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识，解题关键在于能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值． （1）根据最大的负整数是，据此可得a的值，再根据非负数的性质求出b、c的值，并在数轴上表示出A、B、C三个点即可； （2）设运动t秒后，点P与Q的距离为3个单位长度，根据题意列出方程求解即可； （3）设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离等于这两点表示数的差的绝对值得出，再分四种情况讨论即可求解． 【规范解答】（1）解：∵是最大的负整数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； 数轴表示如下所示： （2）解：设运动t秒后，点P与Q的距离为3个单位长度， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P与Q的距离为3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴运动秒或秒时，点P与Q的距离为3个单位长度； （3）解：设点M表示的数为m， ∵点M到A，B，C，三点的距离之和等于12， ∴， ∴； ∴； 当时，，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴， 解得(不合题意舍去) 当时，，，， ∴， 解得， 当时，，，， ∴， 解得(不合题意舍去)， 综上所述，或， ∴点对应的数是或3． 考点23：动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【答案】(1)①，② (2)①②③ (3)① 经过秒或秒 ②或 【思路点拨】（1）①利用平方和绝对值的非负性求得的值；②折线与数轴的交点为重合两点的中点，利用数轴上两点间的距离找到中点所表示的数，进而可求得与B点重合的点所表示的数； （2）①利用绝对值的几何意义进行求解；②利用绝对值的几何意义进行求解；③利用绝对值的几何意义进行求解； （3）① 秒点表示的数为，根据P与C的距离是2个单位长度，列方程求解即可②运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意列方程，求得符合题意的解即可． 【规范解答】（1）解：① ， 解得 ，， 故答案为：，； ②点与表示的点重合，则此两点间的距离为， ∵折线与数轴的交点为这两个点的中点， ∴中点与A的距离为， ∴中点表示的数为， 点B与中点的距离为， 则与B点重合的点表示的数为． 故答案为：5； （2）解：① 表示数轴上点到与的距离之和， 当 时，该和最小，为． 故答案为； ② 表示点到与的距离之和等于， ∵， ∴当时等式恒成立， 整数有 ， 和为 故答案为：； ③ 表示点到2，3，4三点的距离之和， 由绝对值几何意义，当 时该和最小． 故答案为：； （3）解：① 由题意，运动 秒点表示的数为， P与C的距离是2个单位长度， 则， 解得 或 ， 即 或 ． 答：经过秒或秒，P与C的距离是2个单位长度； ② 运动秒后，点表示的数为，点表示的数为 ．依题意： 当 时，， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， ； 当 时， ， 得 ， ， （舍）． 故答案为：或． 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知数轴上点对应的数为，点对应的数为，且满足． (1)求、的值． (2)点，分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，点以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发，与点，同时开始移动，在之间以每秒个单位长度的速度往返移动．设移动时间为秒． ①用含的代数式表示点对应的数为，点对应的数为． ②当点，相遇时，求点移动的总距离． ③当时，判断是否等于，并说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)①点对应的数为，点对应的数为；②点移动的总距离为12；③当时，等于 【思路点拨】本题考查了非负数的性质（用于求解、）、数轴上点的移动规律、相遇问题的等量关系及往返运动中距离的计算．解题关键是准确把握各点的运动状态，结合公式建立等式或计算距离． （1）依据非负数的性质（平方数与绝对值均为非负数，其和为时各自为）求解、的值； （2）①利用“数轴上点向右移动后表示的数=初始数+速度时间”确定点、对应的数； ②先通过、相遇时对应数相等求出时间，再结合“路程=速度时间”计算点移动的总距离； ③当时，分别求出、、的位置，进而计算与的距离并比较． 【规范解答】（1）因为任何数的平方和绝对值都是非负数，即，． 又因，所以只有当且时等式成立． 由，解得；由，解得． （2）①点从（对应数）出发，以每秒个单位长度向右移动，秒后移动的距离为3t，故点对应的数为． 点从（对应数）出发，以每秒个单位长度向右移动，秒后移动的距离为，故点对应的数为． 故答案为：，． ②当点、相遇时，它们对应的数相等，即． 移项得，合并同类项得，解得． 点的速度为每秒个单位长度，移动时间为秒，根据“路程=速度时间”，点移动的总距离为． ③当时， 点对应的数：； 点对应的数：； 点移动的距离为，移动个单位后到达． ， 所以． 考点24：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）某新能源车企今年5月交付新车30500辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可求解． 【规范解答】解：设该车企去年5月交付新车x辆， 今年交付数量为去年数量的1.2倍还多1100辆， ． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·月考）列方程解应用题： (1)某校三年共购计算机台，去年购买的数量是前年的倍，今年购买的数量又是去年的倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ (2)有一列数，，，，，，，其中第个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ (3)某工厂的产值连续增长，年是年的倍，年是年的倍，这三年的总产值为万元，年的产值是多少万元？ (4)某洗衣机厂今年计划生产型、型、型洗衣机共台，其中型、型、型洗衣机的数量之比为．洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 【答案】(1)前年这所学校购买了台计算机； (2)这三个数是，，； (3)年的产值是万元； (4)型、型、型洗衣机的数量分别是台，台，台． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设前年这所学校购买了台计算机，则去年购买的数量为台，今年购买的数量是台，根据题意得，然后解方程即可； （）设所求的三个数中的第个数是，则后两个数分别是，，由三个数的和是，得，然后解方程即可； （）设年的产值为万元，则年的产值为万元，年的产值为万元，根据题意得，然后解方程即可； （）设型洗衣机的数量为台，则型、型洗衣机分别为台，台，根据题意得，然后解方程即可． 【规范解答】（1）解：设前年这所学校购买了台计算机，则去年购买的数量为台，今年购买的数量是台， 根据题意，得，解得：， 答：前年这所学校购买了台计算机； （2）解：设所求的三个数中的第个数是，则后两个数分别是，， 由三个数的和是，得， 解得：， 所以，， 答：这三个数是，，； （3）解：设年的产值为万元，则年的产值为万元，年的产值为万元， 根据题意，得，解得， 答：年的产值是万元； （4）解：设型洗衣机的数量为台，则型、型洗衣机分别为台，台， 根据题意，得，解得， 所以，， 答：型、型、型洗衣机的数量分别是台，台，台． 考点25：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【答案】(1)小辰家8月应缴的电费金额是元 (2)她家8月份用电350度 【思路点拨】本题考查了列代数式，有理数的混合运算，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，结合8月份用电量属于第2档，进行列式计算化简，即可作答． （2）分别算出第一档和第二档的电费最大值，再结合8月份所缴电费是190元，进行分析，列出方程，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵小辰家8月份用电量属于第2档， ∴元． ∴小辰家8月应缴的电费金额是元； （2）解：依题意，（元）， （元）， ∵小辰家8月份所缴电费是190元，且， ∴小辰家8月份用电量属于第2档， ∴设她家8月份用电度 ∴， 解得：， 故她家8月份用电350度． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 【答案】6月用电200千瓦·时，7月用电320千瓦·时 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，由题意，6月份在第一档消费，7月份在第二档消费．设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时．构建方程求解． 【规范解答】解：∵已知6、7月总用电量520千瓦·时，7月用电量月，且两月用电量均千瓦·时， ∴6月用电量千瓦·时（因为），7月用电量千瓦·时， 设6月份用电x千瓦·时，则7月份用电千瓦·时． ①当时，根据题意得： ， 解得， 则7月份用电量：（千瓦·时）． ②当时，根据题意得： ， 整理后得：（不合题意，此情况不成立） 答：该用户6月份用电200千瓦·时，则7月份用电320千瓦·时． 考点26：行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）某校师生从学校去革命烈士纪念馆开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车的速度为米/分，张老师先行小时后，其余师生乘汽车出发，已知汽车速度是自行车速度的倍，结果张老师和其余师生同时到达纪念馆，则乘坐汽车到达纪念馆所用的时间是（   ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，设汽车所用时间为分钟，根据张老师和汽车同时到达纪念馆，距离相等列方程求解． 【规范解答】解：∵张老师骑自行车速度米/分，汽车速度是自行车速度的倍， ∴汽车速度为（米/分）， 设乘坐汽车到达纪念馆所用时间为分钟，则张老师所用时间为分钟， ∵距离相等， 解得． ∴乘坐汽车到达纪念馆所用的时间是分钟． 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）李军同学打算寒假骑一辆新自行车从家里到韶山，然后去拉萨． (1)若他以每小时8千米的速度骑车，中午12点到达韶山，若以每小时12千米的速度骑车，那么10点到达韶山，李军准备几点从家里出发？ (2)李军发现，一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废，若安装在后轮，则行驶3000千米后报废，李军骑自行车行驶多少千米时，应互换前后轮胎，让自行车走更多的路？ 【答案】(1)6点 (2)1875千米 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并列出方程是解题的关键． （1）设李军准备x点从家里出发，根据家到韶山的距离不变列出一元一次方程即可求解； （2）设自行车行驶x千米交换前后轮胎，轮胎的寿命为1，要使行驶里程最长，交换轮胎后两轮胎应同时报废；则可表示出前轮与后轮的寿命，前轮换到后轮能行驶及后轮换到前轮行驶可再行驶的里程，根据交换前后轮胎后的行驶里程不变列出方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设李军准备x点从家里出发， 由题意得：， 解得：； 答：李军准备6点从家里出发； （2）解：设自行车换轮胎时行驶了x千米，轮胎的寿命为1，要使行驶里程最长，交换轮胎后两轮胎应同时报废； 此时前轮的寿命为，后轮的寿命为， 前轮换到后轮再行驶千米就报废，后轮换到前轮再行驶千米就报废， 由题意得：， 解得：； 答：李军骑自行车行驶1875千米时，应互换前后轮胎，让自行车走更多的路． 考点27：比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·云南昭通·月考）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【规范解答】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 【变式训练】（23-24七年级上·江苏南京·月考）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 【答案】②③ 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，考查列方程解应用题的能力，寻找相等关系是关键．根据总的人数不变及总的客车数量，分别列方程，然后逐一判断即可． 【规范解答】解：根据人数相等列方程为：； 根据车数相等列方程为：， 即正确的是②③， 故答案为：②③． 考点28：日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·天津·月考）如图是2025年1月的月历，任意移动图中“”形框可以遮盖七个数，则这七个数的和不可能是（   ） A．63 B．77 C．105 D．175 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设中间的数为x，则另外六个数分别为，将七个数相加，可得出这七个数的和是，代入各选项中的数，可求出x的值，取不符合题意的选项即可． 【规范解答】解：设中间的数为x，则另外六个数分别为， ∴这七个数的和是. A．根据题意得：， 解得：， ∴这七个数的和可能是63，选项A不符合题意； B．根据题意得：， 解得：， ∴这七个数的和可能是77，选项B不符合题意； C．根据题意得：， 解得：， ∴这七个数的和可能是105，选项C不符合题意； D．根据题意得：， 解得：， ∴，舍去， ∴这七个数的和不可能是175，选项D符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁营口·月考）如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【答案】C 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，设中间的数字为，进而表示出其余6个数字，求和后，使其分别等于选项中的各数，进行求解即可． 【规范解答】解：设中间的数字为，则其余6个数字分别为， ∴这7个数的和为， A、当时，，存在“”型，不符合题意； B、当时，，存在“”型，不符合题意； C、当时，，不存在“”型，符合题意； D、当时，，存在“”型，不符合题意； 故选C． 考点29：古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江西南昌·月考）中国古代有这样的一道题：“今有邻里共购布，每人出五尺，缺三十尺；每人出七尺，余六尺．问：购布者几何人？布价几何尺？”题意是：若干人共同出资购布，每人出5尺，则差30尺；每人出7尺，则多余6尺．求购布人数和布的尺数各是多少？设购布人数为人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查古代问题(一元一次方程的应用)，读懂题意是解决问题的关键． 根据题意，布的总尺数不变，根据两种购买方式列方程即可． 【规范解答】解：由每人出5尺缺30尺得布的尺数，由每人出7尺余6尺得布的尺数， 故列方程． 故选B． 【变式训练】（25-26七年级上·山东济宁·月考）把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图①），是世界上最早的“幻方”图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解． 【规范解答】解：因为任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等， 且， 则第一列第二行的数字是“6”即； 则第二行：， 解得， 故答案为1. 考点30：其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）对于从左到右依次排列的三个有理数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号，，，组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对有理数x、y、z进行“四则操作”，例如：对有理数1、2、3的“四则操作“可以是：，也可以是， …： 对有理数、、的一种“四则操作”可以是． 给出下列说法： ①对有理数、0、2进行“四则操作”后有5种不同的运算结果． ②对于有理数2、3、进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是17． ③对有理数、2、3 进行“四则操作”后的结果为2025，则的值共有16个． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握运算法则和解方程的方法是解题关键．根据“四则操作”的定义列式，计算有理数的四则混合运算、解一元一次方程，据此即可得出答案． 【规范解答】解：①列出所有的运算结果：，，，，，，，，，，，， 则共有6种不同的运算结果：，则说法①错误； ②列出所有的运算结果：，，，，，，，，，，，，，，，， 则所有的结果中最大的是17，说法②正确； ③由题意得：，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， 则的值共有16个，说法③正确； 综上，正确的个数是2个， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）编织大、小两种中国结共8个．已知编织1个大号中国结需用绳4m，编织1个小号中国结需用绳3m．设大中国结编织了x个． (1)直接写出编织大中国结共需用绳________m，编织小中国结共需用绳________m； (2)若编织大、小两种中国结总计用绳27m，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【思路点拨】本题主要考查了用代数式表示，一元一次方程的应用， 对于（1），根据1个大中国结需用绳，进而得出x个大中国结需用绳子的总长，再表示出小中国结的个数为，进而得出小中国结需用的绳子长； 对于（2），根据绳子长的和为27列出一元一次方程，求出解即可． 【规范解答】（1）解：大中国结共需用绳，小中国结共需用绳． 故答案为：，； （2）解：根据题意，得， 解得， 所以x的值是3． 1．（2024·江西南昌·中考真题）若关于的方程的解为整数，则满足条件的正整数的值为 ． 【答案】或1或11 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．先解关于x的一元一次方程，然后根据解为整数得到关于的一元一次方程，再求出正整数即可． 【规范解答】解： ∴ ∵关于的方程的解为整数， ∴， ∴或1或11或（舍）， 故答案为：或1或11． 2．（2024·陕西西安·中考真题）已知关于的方程的解是整数，且也是非负整数，则的值为 ． 【答案】0或1或3 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．通过求解方程得到的表达式，根据为整数且为非负整数，确定的可能值． 【规范解答】解：解方程， 两边同乘6得， 移项整理得， 所以； ∵关于的方程的解是整数，且也是非负整数， ∴必须是5的约数， 即， 解得，1，3，， ∵为非负整数， 故不合题意， 故答案为：0或1或3． 3．（2024·河南安阳·中考真题）某车间有30名工人，每人每天可以生产部件12个或部件18个，一个部件需要配两个部件，应该如何安排工人进行生产，才能让部件和部件正好配套？设有名工人生产部件，其余工人生产部件，依题意列方程(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列一元一次方程．设有名工人生产部件，其余工人生产部件，根据配套条件，A部件数量的2倍等于B部件数量，由此列方程． 【规范解答】解：一个部件需配两个部件， 部件数量部件数量， 部件数量为，部件数量为， ， 故选：B． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（   ） A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设商品的成本价为元，商品的成本价为元，根据题意建立方程，分别求出的值，再比较总售价与总成本价的大小，由此即可得． 【规范解答】解：设商品的成本价为元，商品的成本价为元， 由题意得：，， 解得，， ∴， ∵两种商品的总售价为，即总售价小于总成本价， ∴这个商店在本次交易中亏损， 故选：A． 5．（2024·广东中山·中考真题）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， 【操作探究】如图，在数轴上，点M表示，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，P、Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所表示的数______； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，经过多少秒时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【深入思考】 （3）我们进一步研究，的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即若任意点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为我们也可以探究出数轴上A、B两点之间的距离 ①数轴上表示x和3的两点之间的距离为4，那么x的值是______； ②表示的是数轴上表示x的点到表示和5的两点的距离之和，若有最小值，请求出最小值． 【答案】（1）30   （2） 秒或22秒  （3）①或7；②的最小值为9 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用．绝对值以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用点表示的数点表示的数线段的长度，即可求出结论； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）①解关于的含绝对值符号的一元一次方程，即可得出结论； ②分，及三种情况，求出的取值范围或值，此题得解． 【规范解答】解：（1）根据题意得：点N所表示的为． 故答案为：30； （2）当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或 答：经过18秒或22秒时，P、Q两点相距4个单位长度； （3）①根据题意得：， 即或， 解得：或， 的值是或 故答案为：或7； ②当时，； 当时，； 当时，， 的最小值为． 基础夯实 1．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）下列说法中，不正确的个数是（   ） ①若，则有a，b互为相反数，且； ②若，则有是正数； ③三个五次多项式的和也是五次多项式； ④方程（a，b为常数）是关于的一元一次方程． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【思路点拨】本题考查了相反数的定义、绝对值的性质、多项式的加法以及一元一次方程的定义，根据相反数的定义、绝对值的性质、多项式的加法以及一元一次方程的定义进行判断． 【规范解答】解：①∵若，则与互为相反数，但当时，无意义，∴说法①不正确． ②根据绝对值的意义得，若， 则或或或， 当时，则有是正数， 当时，则有是正数， 当时，则有是正数， 当时，则有是正数， 综上所述，是正数， ∴说法②正确． ③∵三个五次多项式相加时，最高次项可能相互抵消，导致和低于五次，∴说法③不正确． ④∵方程，当时，不是关于的一元一次方程，∴说法④不正确． ∴不正确的说法有①、③、④，共3个． 故选：D． 2．（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义解答即可． 【规范解答】解：A. ，含有两个未知数，不是一元方程，不符合题意； B. ，是一元一次方程，符合题意； C. ，未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； D. ，是分式，故该方程不是一元一次方程，不符合题意； 故选B． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值．则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 3 0 【答案】 【思路点拨】本题考查了方程解的定义．将整理为，再根据表格数据分析，即可解题． 【规范解答】解：由， 得：，即， 由表可知：当时，， ∴方程的解为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若是关于x的方程的解，则 ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是将方程的解代入原方程，构建关于的方程求解． 将代入方程，得到关于的方程，解此方程即可得的值． 【规范解答】解：∵是方程的解， ∴将代入得：， 解得． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）（1）化简：； （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【思路点拨】本题考查整式的加减运算，解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则，解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数法化1，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 培优拔高 6．（25-26七年级上·河北邢台·月考）假设“、、”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】 本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是2个， 故选：B． 7．（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）将方程去分母，去括号，得到，错在（    ） A．最简公分母找错 B．去分母时，常数项1漏乘公分母 C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，去分母时，分子部分是多于一项的多项式，需要加括号，否则会导致符号错误． 【规范解答】解∵ 方程两边同乘最简公分母6，得 ，即 ． 故错误步骤中未对分子加括号，将 误算为 ，而正确结果应为 ， 故选：C． 8．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 【答案】1 【思路点拨】此题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，解题的关键是：正确理解一元一次方程的定义． 先根据一元一次方程的定义求出k，从而得出这个一元一次方程，再解这个一元一次方程即可． 【规范解答】解：根据题意得：，， 且， 所以：， ， ． 故答案为：． 9．（2025七年级上·重庆·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的指数为1且系数不为0，列出条件求解． 【规范解答】解：由题意得， 且， ∴或，即或， 又∵，即， ∴， 故答案为：3． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）定义：已知分别是关于的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”． 例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“1属方程”． (1)下列方程是方程的“1属方程”的是___________（请填写正确的序号）， ①，②，③； (2)若关于的方程是关于的方程的“4属方程”，求整数的值： (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 【答案】(1)①②③ (2)2 (3) 【思路点拨】本题考查解一元一次方程，新定义，理解新定义，正确解一元一次方程是关键； （1）分别求出各方程的解，根据“1属方程”的定义判断即可； （2）求出关于的方程与关于的方程的解，根据题意建立方程即可求解； （3）求出关于的方程与关于的方程的解，由题意得 【规范解答】（1）解：解得：； 解得：；解得：；解得：， ∵， ∴、、都是方程的“1属方程”， 故答案为：①②③； （2）解：解关于x的方程得：； 解关于的方程得：， 由于关于的方程是关于的方程的“4属方程”， 则， 解得：或， 由于a为整数，则不符合题意， 所以； （3）解：解关于的方程得：； 解关于的方程得：； 由题意得：， 即或， 即或 对于， 由题意知，且， 解得：且，矛盾； 对于， 由题意知，且， 解得：且； ∴． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.6 一元一次方程（章节复习） （知识梳理+30个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共75题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：从算式到方程 2 知识点梳理02：解一元一次方程 3 知识点梳理03：实际问题与一元一次方程 4 优选题型 考点讲练 7 考点1：判断各式是否是方程 7 考点2：列方程 7 考点3：判断是否是方程的解 7 考点4：已知方程的解，求参数 8 考点5：等式的性质1 8 考点6：等式的性质2 8 考点7：判断是否是一元一次方程 9 考点8：判断是否是一元一次方程解 9 考点9：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 9 考点10：解一元一次方程(二)——去括号 9 考点11：解一元一次方程(三)——去分母 10 考点12：绝对值方程 10 考点13：利用平方根解方程 11 考点14：已知一元一次方程的解，求参数 11 考点15：一元一次方程解的关系 11 考点16：配套问题(一元一次方程的应用) 12 考点17：工程问题(一元一次方程的应用) 12 考点18：销售盈亏(一元一次方程的应用) 13 考点19：比赛积分(一元一次方程的应用) 13 考点20：方案选择(一元一次方程的应用) 14 考点21：数字问题(一元一次方程的应用) 15 考点22：几何问题(一元一次方程的应用) 15 考点23：动点问题(一元一次方程的应用) 16 考点24：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 17 考点25：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 18 考点26：行程问题(一元一次方程的应用) 19 考点27：比例分配(一元一次方程的应用) 20 考点28：日历问题(一元一次方程的应用) 20 考点29：古代问题(一元一次方程的应用) 21 考点30：其他问题(一元一次方程的应用) 21 中考真题 实战演练 22 难度分层 拔尖冲刺 23 基础夯实 23 培优拔高 24 知识点梳理01：从算式到方程 1．方程的概念 含有未知数的等式叫方程． 【易错点拨】 方程必须具备两个条件：①是等式；②含有未知数． 2．方程的解与解方程 ①一般地，使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ②求方程的解的过程，叫做解方程. 3．一元一次方程的概念 方程中只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程． 【易错点拨】 一元一次方程具有如下共同特点： ①只含有一个未知数． ②所含未知数的项的最高次数为1． ③方程是由整式组成的，即方程中分母不含未知数． 4．等式的性质 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．即：如果，那么． 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即：如果，那么；如果，那么． 【易错点拨】 ①等式两边的变形必须完全相同，等式才成立，否则就会破坏相等关系． ②等式两边都除以同一个数时，这个除数不能是零． 知识点梳理02：解一元一次方程 1．解一元一次方程——合并同类项 合并同类项法则：同类项的系数相加，字母连同它的指数不变． 2．解一元一次方程——移项 移项：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项． 【易错点拨】 ①移项的依据是等式的性质1，在方程的两边加（或减）同一个适当的整式，使含未知数的项在方程的一边，常数项在另一边． ②移项要变号． ③移项与加法交换律的区别：移项是把某些项从等式的一边移到另一边，移动的项要变号；而加法交换律中加数交换位置只是改变排列的顺序，不改变符号． 3．解一元一次方程——去括号 解方程中的去括号法则与整式运算中的去括号法则相同，括号外的因数是正数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；括号外的因数是负数时，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【易错点拨】 运用乘法分配律去括号时，不要漏乘括号内的任何一项． 4．解一元一次方程——去分母 根据等式的性质2，方程各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化为整数． 【易错点拨】 ①各项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项． ②如果分子是一个多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号． 5．解一元一次方程的一般步骤 ①去分母：在方程两边乘各分母的最小公倍数，当分母是小数时，要先利用分数的基本性质把小数转化为整数，然后再去分母（依据：等式的性质2） ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）（依据：乘法分配律；去括号法则） ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，常数项都移到方程的另一边（依据：等式的性质1） ④合并同类项：把方程化为的形式（依据：合并同类项的法则） ⑤系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a，得到方程的解（依据：等式的性质2） 知识点梳理03：实际问题与一元一次方程 1．列一元一次方程解应用题的步骤： ①审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系． ②设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）． ③列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程． ④解：解所列出的方程，求出未知数的值． ⑤答：检验所求解是否符合题意，写出答案． 2．常见问题中的等量关系： ①和差倍分问题： 和、差、倍问题关键要分清是几倍多几和几倍少几． （1）当较大量是较小量的几倍多几时，； （2）当较大量是较小量的几倍少几时，． ②数字问题： （1）多位数字的表示方法： 一个两位数的十位数字、个位数字分别为a、b，（其中a、b均为整数，，）则这个两位数可以表示为． 一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，（其中均为整数，且，，）则这个三位数表示为：． （2）奇数与偶数的表示方法：偶数可表示为2k，奇数可表示为（其中k表示整数）． （3）三个相邻的整数的表示方法：可设中间一个整数为a，则这三个相邻的整数可表示为． ③年龄问题： “年龄问题”的基本规律是不管时间如何变化，两人的年龄差总是不变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键. ④日历问题： （1）在日历问题中，横行相邻两数相差1，竖列相邻两数相差7． （2）日历中一个竖列上相邻3个数的和的最小值是24，最大值是72，且这个和一定是3的倍数． （3）一年中，每月的天数是有规律的，一、三、五、七、八、十、十二这七个月每月都是31天，四、六、九、十一这四个月每月都是30天，二月平年28天，闰年29天，所以，日历表中日期的取值是有范围的． ⑤行程问题： 基本关系：路程=速度×时间 相遇路程=速度和×相遇时间 追及路程=速度差×追及时间 （1）直线形相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=两地之间的路程 （2）直线形追及问题：快者走的路程=慢者走的路程+两人初始路程差 快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程 （3）环形相遇问题：同起点、同时间、背向出发，首次相遇时，等量关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间=环形周长/二者速度和；第n次相遇时，二者合走了n圈. （4）环形追及问题：同起点、同时间、同向出发，首次相遇时，等量关系是快者比慢者多走了1圈；追及所用时间=环形周长/二者速度差；第n次相遇时，快者比慢者多走了n圈. ⑥工程问题： （1）基本相等关系：工作量=工作效率×工作时间； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整体1; （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和. ⑦商品销售问题： 在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系： 利润=售价－进价 利润=进价×利润率 实际售价=标价×打折率 ⑧配套问题： “配套”型应用题中有三组数据：（1）车间工人的人数；（2）每人每天平均能生产的不同的零件数；（3）不同零件的配套比．（利用（1）（3）得到等量关系，构造方程） 一般地说，（2）、（3）两个数据可以预先给定．例如，在给出（2）、（3）两组数据的基础上，如何确定车间工人人数，使问题有整数解． ⑨积分问题： 比赛场数=胜的场数+平的场数+负的场数，比赛分数=胜场得分+平场得分负场扣分． ⑩利息问题： （1）本金×利率×期数=利息（若未特别说明，银行定期存款的利率是指年利率，期数是年数） （2）本金+利息=本息和；本息和=本金×（1+利率×期数） ⑪方案决策问题： 在实际生活中，做一件事情往往会有多种选择，这就需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用，到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，把每一种方案的结果先算出来，进行比较后得出最佳方案． ⑫分段计费问题： 常见类型：为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、煤气费实行分段价格收费标准；某些运营商的话费、出租车费实行分段计费；商家为促销商品，实行分段优惠销售等，解决这些分段讨论问题的关键是理顺部分与整体的关系：各段费用之和=总费用；每一段的计费标准不同. 考点1：判断各式是否是方程 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·假期作业）在， ， ，， ，中等式有： 方程有： （填序号） 考点2：列方程 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）根据“减去的7倍等于8”的数量关系可得方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3； (3)x的与3的差等于最大的一位数． 考点3：判断是否是方程的解 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·月考）是下列方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍． (1)设宽为，请列出关于x的方程． (2)说明是该方程的解，而不是它的解． 考点4：已知方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】（25-26七年级上·陕西咸阳·月考）已知是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 考点5：等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·期末）下列根据等式的基本性质变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】（25-26七年级上·河北张家口·月考）方程，处被盖住了一个数字，已知方程的解为，那么处的数字是（   ） A．7 B．5 C． D． 考点6：等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】（25-26七年级上·福建厦门·月考）若，则下列变形不正确的是（   ） A． B． C． D． 考点7：判断是否是一元一次方程 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邢台·月考）下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东茂名·月考）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 考点8：判断是否是一元一次方程解 【典例精讲】（24-25七年级上·四川巴中·期中）如果是一元一次方程，那么 ，则 ． 【变式训练】（2025七年级上·河南·专题练习）写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 考点9：解一元一次方程(一)——合并同类项与移项 【典例精讲】（25-26七年级上·广东茂名·月考）（1）解方程：； （2）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·广东梅州·月考）已知，，并且，则x的值为 ． 考点10：解一元一次方程(二)——去括号 【典例精讲】（25-26七年级上·山西运城·月考）解方程： (1)． (2)． (3)． 【变式训练】（25-26七年级上·山西运城·期中）解方程 (1)； (2)； (3)． 考点11：解一元一次方程(三)——去分母 【典例精讲】（25-26七年级上·广东湛江·期末）解方程： (1) (2) 【变式训练】（25-26七年级上·湖北·期中）解方程： (1)； (2)． 考点12：绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·四川成都·期中）定义新运算，如；那么 ，若，则x可以取的值有 ． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽六安·期中）点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于3，则的值为（    ） A．或1 B．或2 C．或1 D．或2 考点13：利用平方根解方程 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·月考）方程的解是 ． 考点14：已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【变式训练】（25-26七年级上·四川·月考）若方程有无数个解，则 ． 考点15：一元一次方程解的关系 【典例精讲】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于的方程与方程是“集团方程”，求的值； (2)若关于的一元一次方程和是“集团方程”，求关于的一元一次方程的解． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 考点16：配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南周口·月考）一套仪器由一个部件和三个部件构成．用立方米钢材可做个部件或个部件．现要用立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件，才能恰好配成整数套这种仪器？共配成多少套？ 【变式训练】（25-26七年级上·山东日照·月考）某车间有19名工人，每人每天可以生产1200个A产品或2000个B产品．2个A产品与3个B产品配成一套，为使每天生产的A产品与B产品刚好配套，应安排生产A产品与B产品的工人各多少名？ 考点17：工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·山东日照·月考）修一条排水渠，甲队独做需10天，乙队独做需15天，现由两队合修，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做，又修了5天后完成。在这个过程中，甲、乙两队合修了 天． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·月考）（列方程解应用题）一项工程，甲单独做需要8小时完成，乙单独做需要10小时完成．现在先让甲、乙一起工作4小时，再由乙单独完成剩下的部分，问乙单独完成剩下的部分需要多少小时？ 考点18：销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）【课本再现】 （1）某商店出售两件衣服，每件元，其中一件赚，另一件赔，卖这两件衣服总的是赚还是赔？ 【拓展应用】 （2）某校六年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件元的价格购进了某品牌衬衫件，并以每件元的价格销售了一部分，因市场原因，为回笼资金，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完．请你帮商场计算一下，降价之前销售的衬衫数量为多少时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标？ 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·月考）据市场调查，个体服装商店做生意，只要销售价高出进货价的20%便可盈利；假如你准备买一件标价为200元的服装．个体服装商店若以高出进价的50%～100%要价，为保证商家盈利，你应在什么范围内还价？ 考点19：比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江西南昌·月考）受到“赣超”影响，某校开展了“校园足球联赛”运动，鼓励同学们在课余时间参与足球竞技，感受团队协作与足球运动的魅力．李华同学课后游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息如下表： 球队名称 场次/场 胜/场 平/场 负/场 积分/分 光明 6 5 1 0 16 蓝天 6 6 0 0 18 雄鹰 6 3 2 1 11 (1)本次比赛中，胜一场积___________分，平一场积___________分，负一场积___________分； (2)参加此次比赛的钢铁队完成10场比赛后，只输了一场，积分是23分．请你求出钢铁队的胜场数． 【变式训练】（25-26七年级上·河南周口·月考）某市中学生足球联赛共8轮（即每队需要比赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分．某校中学生足球代表队的平场数是负场数的2倍，共得17分，则该队胜了 场 考点20：方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）某开发公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场，现有红星和巨星两个加工厂都想加工这批产品，已知红星厂单独加工这批产品比巨星厂单独加工这批产品多用20天，红星厂每天可加工16件产品，巨星厂每天可加工24件产品，公司需付红星厂每天加工费80元，巨星厂每天加工费120元． (1)这个公司要加工多少件新产品？ (2)在加工过程中，公司需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费，公司制定产品加工方案如下：可由一个厂单独加工完成，也可由两厂合作同时完成，请你帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案． 【变式训练】（25-26七年级上·河南周口·月考）某牛奶加工厂现有鲜奶8吨，若直接在市场上销售鲜奶，每吨可获利润500元；制成酸奶销售，每吨可获利润1200元；制成奶片销售，每吨可获利润2000元． 该厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨，受人员限制，两种加工不能同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售加工完毕．为此，该厂设计了两种可行方案： 方案1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜奶； 方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天加工完毕.你认为选择哪种方案获利较多？为什么？ 考点21：数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏南通·期中）在如图的九宫图的每个格子中填一个数，使得每行，每列以及斜对角的三个数之和都相等．当时， ，和之间的数量关系可用等式 表示． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏镇江·月考）将正整数1至 1000 按一定规律排列如下表，平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2033 考点22：几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广西崇左·月考）要锻造直径为，高为的圆柱毛坯，需要截取边长为的方钢多长？ 解：设需要截取边长为的方钢，根据题意得方程(　　) A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆万州·月考）已知a是最大的负整数，，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数． (1)求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，速度是每秒3个单位长度；动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，速度是每秒1个单位长度．求运动几秒后，点P与Q的距离为3个单位长度？ (3)在数轴上是否存在点M，使点M到A，B，C，三点的距离之和等于12？若存在，请求出所有点M对应的数，若不存在，请说明理由． 考点23：动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·广东佛山·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，请同学们解决下面有关数轴的问题： (1)如图已知数轴上点A、B分别表示a、b，且与互为相反数，O为原点． ①______，______； ②将数轴沿某个点折叠，使得点A与表示的点重合，则此时与点B重合的点所表示的数为______； (2)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为．例如，5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则的最小值______． ②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______． ③当______时，取得最小值． (3)数轴上点C、D表示的数分别为4、． ①动点P从D出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒P与C的距离是2个单位长度． ②在①的条件下，动点P出发的同时，动点Q从C出发，沿着数轴负方向以每秒1个单位长度的速度运动，经过______秒，点Q到点D的距离是点P到点C距离的2倍？ 【变式训练】（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知数轴上点对应的数为，点对应的数为，且满足． (1)求、的值． (2)点，分别从点，同时出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，点以每秒个单位长度的速度向右移动；点从点出发，与点，同时开始移动，在之间以每秒个单位长度的速度往返移动．设移动时间为秒． ①用含的代数式表示点对应的数为，点对应的数为． ②当点，相遇时，求点移动的总距离． ③当时，判断是否等于，并说明理由． 考点24：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）某新能源车企今年5月交付新车30500辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·月考）列方程解应用题： (1)某校三年共购计算机台，去年购买的数量是前年的倍，今年购买的数量又是去年的倍．前年这所学校购买了多少台计算机？ (2)有一列数，，，，，，，其中第个数是，如果这列数中某三个相邻数的和是，那么这三个数各是多少？ (3)某工厂的产值连续增长，年是年的倍，年是年的倍，这三年的总产值为万元，年的产值是多少万元？ (4)某洗衣机厂今年计划生产型、型、型洗衣机共台，其中型、型、型洗衣机的数量之比为．洗衣机厂计划生产这三种洗衣机各多少台？ 考点25：电费和水费问题(一元-次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）为鼓励市民节约资源，某市实施阶梯电价制，居民生活用电价格表如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超出200度的部分 第2档 超出200度但不超出400度的部分 第3档 超出400度的部分 例如：若某用户2025年7月份的用电量为270度，则需缴电费为： （元）．设小辰家8月份用电量为x度． (1)若小辰家8月份用电量属于第2档，请用含x的代数式表示出她家8月应缴的电费金额； (2)若小辰家8月份所缴电费是190元，则她家8月份用电多少度? 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）为鼓励居民节约用电，某市实行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量/（千瓦·时） 执行电价/[元/（千瓦·时）] 第一档 小于或等于240 0.5 第二档 大于240且小于或等于400时，超出240的部分 0.6 第三档 大于400时，超出400的部分 0.8 某户居民6月、7月共用电520千瓦·时，用电费用为268元．已知该用户7月的用电量大于6月的用电量，且6月、7月的用电量均小于400千瓦·时．那么该用户6月、7月的用电量分别是多少千瓦·时？ 考点26：行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·广东梅州·月考）某校师生从学校去革命烈士纪念馆开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车的速度为米/分，张老师先行小时后，其余师生乘汽车出发，已知汽车速度是自行车速度的倍，结果张老师和其余师生同时到达纪念馆，则乘坐汽车到达纪念馆所用的时间是（   ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【变式训练】（25-26七年级上·湖南长沙·月考）李军同学打算寒假骑一辆新自行车从家里到韶山，然后去拉萨． (1)若他以每小时8千米的速度骑车，中午12点到达韶山，若以每小时12千米的速度骑车，那么10点到达韶山，李军准备几点从家里出发？ (2)李军发现，一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废，若安装在后轮，则行驶3000千米后报废，李军骑自行车行驶多少千米时，应互换前后轮胎，让自行车走更多的路？ 考点27：比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·云南昭通·月考）在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【变式训练】（23-24七年级上·江苏南京·月考）有m辆客车n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①；②；③；④，其中正确的是 ． 考点28：日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·天津·月考）如图是2025年1月的月历，任意移动图中“”形框可以遮盖七个数，则这七个数的和不可能是（   ） A．63 B．77 C．105 D．175 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁营口·月考）如图是某月的日历图，用“”型框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 考点29：古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江西南昌·月考）中国古代有这样的一道题：“今有邻里共购布，每人出五尺，缺三十尺；每人出七尺，余六尺．问：购布者几何人？布价几何尺？”题意是：若干人共同出资购布，每人出5尺，则差30尺；每人出7尺，则多余6尺．求购布人数和布的尺数各是多少？设购布人数为人，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·山东济宁·月考）把这9个数填入方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”（图①），是世界上最早的“幻方”图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为 ． 考点30：其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）对于从左到右依次排列的三个有理数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号，，，组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对有理数x、y、z进行“四则操作”，例如：对有理数1、2、3的“四则操作“可以是：，也可以是， …： 对有理数、、的一种“四则操作”可以是． 给出下列说法： ①对有理数、0、2进行“四则操作”后有5种不同的运算结果． ②对于有理数2、3、进行“四则操作”后，所有的结果中最大的是17． ③对有理数、2、3 进行“四则操作”后的结果为2025，则的值共有16个． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）编织大、小两种中国结共8个．已知编织1个大号中国结需用绳4m，编织1个小号中国结需用绳3m．设大中国结编织了x个． (1)直接写出编织大中国结共需用绳________m，编织小中国结共需用绳________m； (2)若编织大、小两种中国结总计用绳27m，求x的值． 1．（2024·江西南昌·中考真题）若关于的方程的解为整数，则满足条件的正整数的值为 ． 2．（2024·陕西西安·中考真题）已知关于的方程的解是整数，且也是非负整数，则的值为 ． 3．（2024·河南安阳·中考真题）某车间有30名工人，每人每天可以生产部件12个或部件18个，一个部件需要配两个部件，应该如何安排工人进行生产，才能让部件和部件正好配套？设有名工人生产部件，其余工人生产部件，依题意列方程(   ) A． B． C． D． 4．（2024·浙江宁波·中考真题）某商店同时出售A、B两种商品，其售价都是100元，已知出售A商品商店亏损了，出售B商品商店盈利了，则这个商店在本次交易中（   ） A．亏损 B．盈利 C．不赚不亏 D．无法判断 5．（2024·广东中山·中考真题）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础， 【操作探究】如图，在数轴上，点M表示，点N在点M的右边，且距M点40个单位长度，P、Q是数轴上的动点． （1）直接写出点N所表示的数______； （2）若点P从点M出发，以5个单位长度/秒的速度向右运动，同时点Q从点N出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，经过多少秒时，P、Q两点相距4个单位长度？ 【深入思考】 （3）我们进一步研究，的几何意义是在数轴上的数x对应的点与原点的距离，即若任意点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为我们也可以探究出数轴上A、B两点之间的距离 ①数轴上表示x和3的两点之间的距离为4，那么x的值是______； ②表示的是数轴上表示x的点到表示和5的两点的距离之和，若有最小值，请求出最小值． 基础夯实 1．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）下列说法中，不正确的个数是（   ） ①若，则有a，b互为相反数，且； ②若，则有是正数； ③三个五次多项式的和也是五次多项式； ④方程（a，b为常数）是关于的一元一次方程． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26七年级上·陕西西安·月考）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值．则关于x的方程的解是 ． x 0 1 2 3 3 0 4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）若是关于x的方程的解，则 ． 5．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）（1）化简：； （2）解方程： 培优拔高 6．（25-26七年级上·河北邢台·月考）假设“、、”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“”的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26七年级上·西藏日喀则·期末）将方程去分母，去括号，得到，错在（    ） A．最简公分母找错 B．去分母时，常数项1漏乘公分母 C．去分母时，分子部分没有加括号 D．去分母时，各项所乘的数不同 8．（25-26七年级上·四川成都·期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为 ． 9．（2025七年级上·重庆·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 10．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）定义：已知分别是关于的方程的解，若满足：（为正数），则称前者是后者的“属方程”． 例如：方程的解是，方程的解是，且满足，则称方程是方程的“1属方程”． (1)下列方程是方程的“1属方程”的是___________（请填写正确的序号）， ①，②，③； (2)若关于的方程是关于的方程的“4属方程”，求整数的值： (3)若对于任何正数，关于的方程都是关于的方程的“属方程”，求的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $