专题16线段.射线和直线精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦线段、射线和直线的核心知识，系统梳理定义、区别与规范表示，涵盖线段长短比较（度量法、叠合法）、和差关系、中点及等分点性质，结合尺规作线段，构建从概念到基本事实（两点确定直线、两点间线段最短）再到性质应用的学习支架。 资料亮点在于重点辨析易混概念（如距离是数值非图形）和常见错误解析，结合钉木条、站队等生活实例培养数学眼光，题型分层覆盖14类（含动点问题），解题思路强调几何直观与推理意识（如中点分类讨论）。课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过辨析与练习查漏补缺，提升空间观念与应用能力。

专题16线段.射线和直线精讲学案 核心立意 掌握线段、射线、直线的定义、区别与规范表示；掌握线段长短的两种比较方法，理解线段和差的几何意义与线段中点性质；熟练进行线段长度计算，建立基础几何符号语言与数形结合思维，是几何入门必考核心内容。 线段、射线、直线区别： 线段有两个端点、可度量、不可延伸； 射线有一个端点、向一端无限延伸、不可度量； 直线无端点、向两端无限延伸、不可度量。 规范表示方法： 线段、直线字母可互换顺序；射线端点字母必须写在前，顺序不能颠倒。 直线基本事实： 两点确定一条直线，生活中钉木条、瞄准、站队均应用此原理。 线段基本事实： 两点之间，线段最短；连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 线段长短比较方法： 度量法（量出数值直接比较）； 叠合法（顶点对齐、一端重合，看另一端位置判断长短）。 线段和差定义： 一条线段长度等于另外两条线段长度和/差，即为线段的和、差；线段的和、差仍是线段。 线段中点： 把一条线段分成两条相等线段的点；若点C是AB中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC。 线段等分点： 三等分点、四等分点可将线段平均分成对应等份，可用于分段计算线段长度。 尺规作线段： 借助圆规截取线段长度，可作一条线段等于已知线段。 重点辨析 ①距离是线段的长度（数值），不是线段图形本身。 ②射线只有方向区别，长度无法比较，只有线段可以比长短、算长度。 ③射线BA与射线AB不是同一条射线，端点、方向均不同。 ④叠合法比较线段，必须保证端点重合、一条边完全重合，否则比较结果错误。 ⑤线段中点必须在线段正中间、在线段上，不在线段上的点不能叫中点。 ①射线书写顺序颠倒，误用后标字母作端点。 ②混淆“两点间距离”概念，把线段当成距离。 ③误认为射线、直线可以度量长度、比较大小。 ④线段和差看图列式出错，不会根据线段位置判断加减关系。 ⑤使用中点公式时，只会正向计算，不会已知小段求整段、已知整段求小段。 ⑥叠合法操作不规范，未完全重合就判断线段长短。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型三 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型四 画出直线、射线、线段 ★ 题型五 点与线的位置关系 ★ 题型六 两点确定一条直线 ★ 题型七 两点之间线段最短 ★ 题型八 两点间的距离 ★ 题型九 作线段 ★ 题型十 线段的和与差 ★★ 题型十一 线段中点的有关计算 ★★ 题型十二 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十三 线段之间的数量关系 ★★ 题型十四 与线段有关的动点问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 解题思路①看端点数量；②区分能否延伸、是否可度量；③射线端点字母必须写在最前面，射线AB与射线BA不是同一条射线。 1．①用一个小写字母表示．即表示为____________． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为____________或____________． 【答案】 线段a 线段 线段 【分析】本题考查了线段的表示．由线段表示的方法有用一个小写字母表示或用两个大写字母表示即可得到答案． 【详解】根据线段的表示方法得： ①用一个小写字母表示．即表示为 线段a ． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为 线段AB 或 线段BA ． 故答案为：线段a、线段、线段． 2．如图，下列说法正确的是 （   ） A．点在射线上 B．直线比直线长 C．线段与线段是同一条线段 D．射线 与射线是同一条射线 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段的相关概念，熟练掌握直线、射线、线段的相关概念是解此题的关键． 根据直线、射线、线段的相关概念逐项分析即可得出答案； 【详解】解：点在射线上， 选项不正确，不符合题意； 直线可以向两端无限延长，无法比较大小， 选项不正确，不符合题意； 线段和线段是同一条线段， 选项正确，符合题意； 射线和射线是两条不同的射线， 选项不正确，不符合题意， 故选：C． 3．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 题型二：直线、线段、射线的数量问题 解题思路①数线段：固定起点依次往后数，做到不重不漏；②直线上每个点向两个方向各形成1条射线；③直线由两点确定，按组合计数。 4．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】当五个点中任意三点不共线时，画出的直线数量最多，再计算总条数 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 5．一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 【答案】12 【分析】车票是有方向的，从站点A到站点B与从站点B到站点A属于不同的车票，每个站点均可作为起点前往其余 个站点，利用计数原理计算总数即可． 【详解】解：由题意可知，一条铁路线上有4个站点， 每个站点都可以作为起点， 对于每一个起点，除自身外还有 个站点可以作为终点， 所以一共要设计的车票种数为：． 故答案为：12． 6．若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了排列组合的应用． 计算总站点数，再求线段总条数，最后乘以2考虑往返车票． 【详解】解：∵总站点数包括A、B和3个中间站，共5个站点． ∴线段总条数为， ∵往返行车需两种车票， ∴车票种类为． 故选：D． 题型三：直线相交的交点个数问题 解题思路①n条直线两两相交，最多交点数：；②注意：若多条直线交于同一点，实际交点会变少，看清题干条件 7．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 【答案】D 【分析】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题 本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点． 【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1； 当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2； 当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3； 故选D． 8．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则_________． 【答案】37 【分析】本题考查了直线的交点问题，代数式求值，掌握直线相交于一点时交点最少为1个，任意n条直线两两相交时交点最多为个是关键． 由题意可得9条直线相交于一点时交点最少，任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，由此可得出m，n的值，从而得出答案． 【详解】解：对于9条直线，任两条都相交，最多交点数m为无三线共点时的交点数，即； 最少交点数n为所有直线交于一点时，即， 因此，， 故答案为：37． 9．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 【答案】45 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及直线的交点问题，能根据题意发现最多交点个数的变化规律是解题的关键． 根据题意，依次求出图形中最多的交点个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 两条直线相交，最多的交点个数为：1， 三条直线相交，最多的交点个数为：， 四条直线相交，最多的交点个数为：， …， 所以条直线相交，最多的交点个数为：． 当时，． 即10条直线相交，最多的交点个数为45个． 故答案为：45． 10．规定：平面上条直线最多交点数记为，则______；______． 【答案】 6 【分析】题目主要考查列代数式，数字规律探索，理解题意是解题关键． 根据题意得出，然后代入即可得出；将原式整理得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵平面上条直线交点数最多时，每条直线都与另外的条直线相交， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：6；． 题型四：画出直线、射线、线段 解题思路①直线两端出头，射线仅一端出头，线段两端画端点；②射线找准起点端点，按题干要求画图。 11．如图，直线可以经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线的定义，解题的关键是掌握直线的作图方法和定义，在图中画出直线即可得出结论． 【详解】解：如图：直线如图所示： 由图可知，直线经过的点． 故选：B． 12．宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是_________，最小值是_____________． 【答案】 5 2 【分析】利用已知规则，结合题意利用图形分别得出答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：=3， =5，=2，=3， ∴最大值是5，最小值是2， 故答案为：5，2． 【点睛】此题主要考查了新定义以及实际问题应用，利用数形结合是解题关键． 13．下列句子中正确的是（　　） A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点 D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点 【答案】D 【分析】直线本身是向两方无限延长的，射线是向一方无限延长的，线段有两个端点，不是向两方无限延长的． 【详解】A、直线无法延长，直接利用直线相交得出即可；故不符合题意； B、延长∠AOB的一边OA，∠AOB的边是射线，射线能向一方无限延长，故不符合题意； C、若AB＝BC，则点C不一定是线段AB的中点，故不符合题意； D、直线AB与CD相交有且只有一个交点，故符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键． 题型五：点与线的位置关系 解题思路①只有两种位置：点在直线上、点在直线外；②读懂文字描述，按照条件准确画图。 14．如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 15．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 【答案】 ② ④ 【分析】本题考查了线段的倍数关系，熟悉掌握线段的长短变换时解题的关键． 通过分析点的位置即可解答． 【详解】解：∵，即点坐落在到的处， ∴此点为②； ∵，则点坐落在到的倍长度处，即在与的中间， ∴此点为④； 故答案为：②④． 16．下列说法中正确的有（     ） ① 过两点有且只有一条直线；② 连接两点的线段叫两点的距离；③ 两点之间线段最短；④ 如果AB=BC则点B是AC的中点；⑤ 直线经过点A，那么点A在直线上， A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据点与线的关系对每个选项进行判断即可. 【详解】解：① 过两点有且只有一条直线，正确； ② 连接两点的线段的长度叫两点的距离，故原选项错误； ③ 两点之间线段最短，正确； ④ 如果AB=BC，且点B在直线AC上，则点B是AC的中点，故原选项错误； ⑤ 直线经过点A，那么点A在直线上，正确； 故正确的有3个. 故选B. 【点睛】本题主要考查点与线的关系，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，仔细审题. 题型六：两点确定一条直线 解题思路①牢记公理：过两点有且只有一条直线；②遇到生活实例，匹配对应公理作答。 17．如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】根据公理“两点确定一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上， ∴这一操作利用了“经过两点有且只有一条直线”的性质 即两点确定一条直线． 18．如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，据此可得答案． 【详解】解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键． 19．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（    ） A．12条 B．10条 C．8条 D．3条 【答案】B 【分析】把问题转化两白棋子共线和两黑棋子共线两种情形求解即可． 【详解】结合图形，从横行、纵行、斜行三个方面进行分析；一条直线上至少有两颗棋子并且颜色相同，如下，共有10条： 故选B． 【点睛】本题考查了新定义问题，准确理解新定义的内涵，并灵活运用分类的思想是解题的关键． 题型七：两点之间线段最短 解题思路①公理：两点之间，线段最短；②用来判断路径长短、找最短路线。 20．如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 【答案】B 【分析】根据“两点之间线段最短”即可解答． 【详解】解：∵从A到B有多条道路，其中中间的直路是线段，其余道路是曲线或折线． ∴根据线段的性质：两点之间线段最短，可知：走中间的直路路程最短． 21．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 22．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 【答案】D 【分析】利用线段和的性质，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴O点在直线外或O点在线段的延长线上或O点在线段的延长线上， 即O点不在线段上， 故D选项符合题意． 题型八：两点间的距离 解题思路①距离是线段的长度，是一个数值，不是线段图形；②求距离本质就是求对应线段的长。 23．用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 【答案】在线段延长线上 【分析】本题考查了线段大小的比较的方法，熟练掌握叠合法比较线段的大小的前提条件和三种情况是解答的关键． 画出图形，根据叠合法比较线段的方法即可求解． 【详解】解：用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点在线段延长线上，则， 如图： 故答案为：在线段延长线上． 24．已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查了两点间的距离．认真读懂题意，可知道符合题意的点有两种情况，也有两种可能，分别计算的长． 【详解】解：如图， 线段，直线上有一点，且， ， ， ， 为的中点， ， ； 如图， 线段，直线上有一点，且， ， ， ， 为的中点， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 25．村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 【答案】C 【分析】根据题意分情况进行讨论即可． 【详解】在的左侧时，①顺序为，此时， ； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； 在的右侧时，①顺序为，此时； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； ⑤顺序为，此时， ⑥顺序为，此时； ⑦顺序为，此时（舍去）． 故不可能是从A到D的距离的千米数． 26．某学校老师分别住在甲，乙，丙三个住宅区，甲区有15人，乙区有20人，丙区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点．要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．乙区 B．丙区 C．乙区或丙区 D．乙，丙两区之间任何一点（含乙，丙两点） 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，比较线段的长短，正确理解题意是解题的关键，根据题意分别计算停靠点分别在和时老师步行的路程和，选择最小的即可求解． 【详解】解：设距离甲区处最近，那么可以算出所有老师步行到停靠点的路程和最小为， 当时，， 所以时，y最小是22000； 当，， 综上，当时，y最小是22000． 故选：D． 题型九：作线段 解题思路①尺规作图，用圆规截取已知线段长度；②保留作图痕迹，作出等长线段。 27．尺规作图的画图工具是(   ) A．尺、量角器 B．没有刻度的三角板、量角器 C．没有刻度的直尺和圆规 D．量角器 【答案】C 【分析】根据尺规作图的定义可知． 【详解】解：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了尺规作图的画图工具，即没有刻度的直尺和圆规． 28．如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 29．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 【详解】解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 题型十：线段的和与差 解题思路①看图分清线段相加、相减关系；②在同一条直线上，大线段减小线段得差，两条小线段相加得总长。 30．如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图中数据计算即可． 【详解】解：由图可知，的长度约为：（cm）． 31．如图，已知线段，，，则图中所有线段的长度和是______． 【答案】 【分析】根据图形确定图中所有的线段，利用线段的和差关系求出各线段的长度，最后将所有线段长度相加即可． 【详解】解：图中共有条线段，分别是，，，，，， ∵，，， ∴，，， ∴所有线段的长度和为． 32．已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先求出的长度，再根据条件得到的长度，分点C在点B左侧、右侧两种情况，分别计算的长度即可． 【详解】解：∵ A点表示的数是，B点表示的数是， ∴ ， ∵， ∴． 分两种情况讨论： 当点C在点B左侧时，； 当点C在点B右侧时，， ∴的长为或． 33．如图点C、D在线段上，点E在线段上，已知，，则图中所有线段长度和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比较线段的长度和有关计算．依据线段长度为a，可得，，依据长度为b，可得，，进而得出所有线段的长度和． 【详解】解：∵线段长度为a， ∴，， 又∵长度为b， ∴，， ∴图中所有线段的长度和为： 故选：A． 题型十一：线段中点的有关计算 解题思路①中点公式：若C为AB中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC；②注意点可能在线段上或者线段延长线上，部分题目需要分类讨论，正向逆向都要会算。 34．下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若点是线段的中点，则点必须在线段上，且满足． 【详解】解：A．，可得点C在线段上，无法推出，点不一定是的中点，不符合题意； B．，没有说明点在线段上， 点不一定是的中点，不符合题意； C．无法推出，也不能确定点在线段上， 点不一定是的中点，不符合题意； D．，可得，可推出点在线段上且平分，点一定是的中点，符合题意． 35．已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 【答案】 【分析】先求出的长度，再利用中点的定义即可求出线段的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴． 36．如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 【答案】/7厘米 【分析】设，则，，根据线段中点的定义得到，，根据求出x的值，根据计算即可． 【详解】解：∵C、D两点将线段从左到右依次分成三部分， ∴设，则，． ∵点E、F、G分别是、、的中点， ∴，， ∴， ∴． ∴． 37．如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段的中点性质．根据已知得出，，结合图形得出，即可求解． 【详解】解：∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：B． 题型十二：线段 n 等分点的有关计算 解题思路①n等分点把整条线段平均分成n份；②每份长度=总长度÷份数，灵活进行整体与小段换算。 38．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 39．如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和差． 根据线段中点的定义得到，根据得到，根据得到，，即，，即可求出的值． 【详解】解：∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 40．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段三等分点的定义等知识，根据线段三等分点的定义得出，由，可求出，则，结合，，即可求解． 【详解】解：∵点C，D把线段三等分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 题型十三：线段之间的数量关系 解题思路①结合图形梳理各线段之间等式；②用已知线段表达未知线段，建立关系式。 41．如图，，是线段上的两点，若，，那么与的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查线段之间的数量关系，线段的和与差． 由线段的和与差，结合已知即可得与的关系． 【详解】解：∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ 故选：B． 42．已知线段，点是直线上一点，，则线段的长度为______． 【答案】或 【分析】本题考查线段长度的计算，根据题意分类讨论是解题关键．点在直线上，位置有两种情况：在线段上时或在线段的延长线上时，分别利用线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，． 故答案为：或． 43．如图，已知点为上一点，，为的中点，则=______________． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，首先根据和求出线段的长度，再根据求出线段的长度，根据点为的中点，可求线段的长度． 【详解】解：，， ， ， 又点为的中点， ． 故答案为： ． 题型十四：与线段有关的动点问题 解题思路①设运动时间为未知数，表示出动点对应的线段长度；②分情况讨论点的不同位置；③结合中点、和差关系列等式求解；④算出结果检验，舍去不符合题意的答案。 44．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则__________． 【答案】5 【分析】由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+BC）=AB，从而可以求出MN的长度． 【详解】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点， ∴MC=AC，CN=CB， ∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5． 【点睛】本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半． 45．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 46．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，得，设，则，根据线段的长可得，即可求出． 【详解】解： 设，则， ， 点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点速度是点的2倍， ， 设则， ， ， ， 知道长度即可知道长度． 解答题 1．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线，； (2)画射线； (3)取一点，使点既在线段上又在线段上． 【答案】(1) 所求直线，如图所示； (2) 所求射线如图所示； (3) 所求点如图所示． 【分析】本题考查了直线、射线、线段作图．分别根据直线、射线、线段的定义作出图形即可． （1）根据直线的定义画图即可； （2）以B为端点画射线即可； （3）作线段与线段相交，交点即为点M． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．【观察思考】如图线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 _______条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 _______ 条线段． 【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用双循环制，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 【答案】观察思考：6；模型构建：；拓展应用：56场． 【分析】本题考查了线段条数的计算及其应用，理解线段的意义、找到计算线段条数计算的规律是关键； 【观察思考】求出分别以点A、B、C、D为端点的线段条数再相加即可； 【模型构建】从左往右分别求出以第一个、第二个、…、第m个点为端点的线段条数，再相加即可； 【拓展应用】按照【模型构建】中线段的条数即可求解． 【详解】解：【观察思考】以点A为端点的线段有； 以B为端点的线段有； 以C为端点的线段有； 以D为端点的线段有； 以每个点为端点的条数均为3条，但其中每条重复了一次， 总共有； 故答案为：6； 【模型构建】以第一个点为端点的线段有条、以第二个点为端点的线段有条、…、以第m个点为端点的线段条；总共有，但其中每条都重复计算了一次， 所以所有线段条数为：； 故答案为：． 【拓展应用】由于采用双循环制，当时，（场）， 答：一共进行56场比赛． 3．先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 【答案】(1)分类讨论 (2)四或六或七 【详解】（1）分类讨论 （2）由答图①②③④可知，三条直线可以将平面分成四或六或七部分． 4．尺规作图：如图，已知线段其中．（本题不用写作法，但需要保留作图痕迹） (1)在射线上，求作线段，使得线段； (2)在（1）的结论下，若线段，在射线上标出点的位置． 【答案】(1)如图，线段为所求； (2)如图，点、即为所求． 【分析】根据尺规作图截取线段等于已知线段的做法画图即可，第二小问要进行分类讨论，在线段上或在线段AB的延长线上． 【详解】（1）解：如图所示，在射线上截取线段，截取线段，在射线上以F为端点截取，则线段； （2）解：分两种情况讨论： ①在（1）的结论下，在线段AB的延长线上作线段，点即为所求． ②在（1）的结论下，在线段AB上作线段，点即为所求． 5．如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）解：由图可知：①；②； （2）解：，C为的中点， ， ， . 6．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 【答案】(1)①6 ②14 (2)或 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差以及分类讨论的思想． （1）①根据线段的和差进行求解即可； ②假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段，然后利用线段的和差进行求解即可； （2）根据两个动点，分两种情况进行讨论，假设，，根据线段的三等分点表示出相关线段的长度，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ②假设，则， 由（1）得， ∴； 假设，则， 由（1）得， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图2所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图3所示， 假设，则，； 假设，则，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，线段、、之间的数量关系是或， 故答案为：或． 7．定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或16 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据线段中点的定义可得，再根据新定义，即可求解； （2）①求出时，，，再根据新定义，即可求解； ②根据题意，分当点Q在点A右侧时和当点Q在点A左侧时两种情况，利用定义列出方程，然后解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①当时，，， ∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，， ， ， ， 解得； 当点Q在点A左侧时，，， ， ， ， 解得， 综上，的值为或16． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16线段.射线和直线精讲学案 核心立意 掌握线段、射线、直线的定义、区别与规范表示；掌握线段长短的两种比较方法，理解线段和差的几何意义与线段中点性质；熟练进行线段长度计算，建立基础几何符号语言与数形结合思维，是几何入门必考核心内容。 线段、射线、直线区别： 线段有两个端点、可度量、不可延伸； 射线有一个端点、向一端无限延伸、不可度量； 直线无端点、向两端无限延伸、不可度量。 规范表示方法： 线段、直线字母可互换顺序；射线端点字母必须写在前，顺序不能颠倒。 直线基本事实： 两点确定一条直线，生活中钉木条、瞄准、站队均应用此原理。 线段基本事实： 两点之间，线段最短；连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 线段长短比较方法： 度量法（量出数值直接比较）； 叠合法（顶点对齐、一端重合，看另一端位置判断长短）。 线段和差定义： 一条线段长度等于另外两条线段长度和/差，即为线段的和、差；线段的和、差仍是线段。 线段中点： 把一条线段分成两条相等线段的点；若点C是AB中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC。 线段等分点： 三等分点、四等分点可将线段平均分成对应等份，可用于分段计算线段长度。 尺规作线段： 借助圆规截取线段长度，可作一条线段等于已知线段。 重点辨析 ①距离是线段的长度（数值），不是线段图形本身。 ②射线只有方向区别，长度无法比较，只有线段可以比长短、算长度。 ③射线BA与射线AB不是同一条射线，端点、方向均不同。 ④叠合法比较线段，必须保证端点重合、一条边完全重合，否则比较结果错误。 ⑤线段中点必须在线段正中间、在线段上，不在线段上的点不能叫中点。 ①射线书写顺序颠倒，误用后标字母作端点。 ②混淆“两点间距离”概念，把线段当成距离。 ③误认为射线、直线可以度量长度、比较大小。 ④线段和差看图列式出错，不会根据线段位置判断加减关系。 ⑤使用中点公式时，只会正向计算，不会已知小段求整段、已知整段求小段。 ⑥叠合法操作不规范，未完全重合就判断线段长短。 题型 考察方向 难度 题型一 直线、射线、线段的联系与区别 ★ 题型二 直线、线段、射线的数量问题 ★★ 题型三 直线相交的交点个数问题 ★★ 题型四 画出直线、射线、线段 ★ 题型五 点与线的位置关系 ★ 题型六 两点确定一条直线 ★ 题型七 两点之间线段最短 ★ 题型八 两点间的距离 ★ 题型九 作线段 ★ 题型十 线段的和与差 ★★ 题型十一 线段中点的有关计算 ★★ 题型十二 线段 n 等分点的有关计算 ★★ 题型十三 线段之间的数量关系 ★★ 题型十四 与线段有关的动点问题 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升； 题型一：直线、射线、线段的联系与区别 解题思路①看端点数量；②区分能否延伸、是否可度量；③射线端点字母必须写在最前面，射线AB与射线BA不是同一条射线。 1．①用一个小写字母表示．即表示为____________． ②用表示端点的两个大写字母表示．即表示为____________或____________． 2．如图，下列说法正确的是 （   ） A．点在射线上 B．直线比直线长 C．线段与线段是同一条线段 D．射线 与射线是同一条射线 3．如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 题型二：直线、线段、射线的数量问题 解题思路①数线段：固定起点依次往后数，做到不重不漏；②直线上每个点向两个方向各形成1条射线；③直线由两点确定，按组合计数。 4．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 5．一条铁路线上有4个站点（如图），那么一共要设计_________种不同的车票． 6．若、是火车行驶的两个站点，两站之间有3个车站，在这段线路往返行车，需印制（   ）种车票． A．5 B．10 C．15 D．20 题型三：直线相交的交点个数问题 解题思路①n条直线两两相交，最多交点数：；②注意：若多条直线交于同一点，实际交点会变少，看清题干条件 7．若两条相交直线与第三条直线（不与相交直线中的任何一条重合）在同一平面，则它们的交点个数是（    ） A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3 8．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则_________． 9．如图1，2条直线相交最多1个交点；如图2，3条直线相交最多3个交点；如图3，4条直线相交最多6个交点；那么10条直线交叉最多有_______个交点． 10．规定：平面上条直线最多交点数记为，则______；______． 题型四：画出直线、射线、线段 解题思路①直线两端出头，射线仅一端出头，线段两端画端点；②射线找准起点端点，按题干要求画图。 11．如图，直线可以经过的点是（   ） A． B． C． D． 12．宋朝时，中国象棋就已经风靡于全国，中国象棋规定马步为：“、”字，现定义：在棋盘上从点A到点B，马走的最少步称为A与B的“马步距离”，  记作．在图中画出了中国象棋的一部分，上面标有A，B，C，D，E共5个点，则在，，，中最大值是_________，最小值是_____________． 13．下列句子中正确的是（　　） A．.延长直线AB，使它与直线CD相交于点P B．.OA是∠AOB的一边，在OA的延长线上取一点C C．.若AB＝BC，则点C为线段AB的中点 D．.直线AB与CD相交有且只有一个交点 题型五：点与线的位置关系 解题思路①只有两种位置：点在直线上、点在直线外；②读懂文字描述，按照条件准确画图。 14．如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 15．M所在的位置如图，的位置是点 _____，的位置是点 _____． 16．下列说法中正确的有（     ） ① 过两点有且只有一条直线；② 连接两点的线段叫两点的距离；③ 两点之间线段最短；④ 如果AB=BC则点B是AC的中点；⑤ 直线经过点A，那么点A在直线上， A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型六：两点确定一条直线 解题思路①牢记公理：过两点有且只有一条直线；②遇到生活实例，匹配对应公理作答。 17．如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（     ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 18．如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______． 19．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，如果在一条至少有两颗棋子的直线（包括图中没有画出的直线）上只有颜色相同的棋子，我们就称“同棋共线”．图中“同棋共线”的线共有（    ） A．12条 B．10条 C．8条 D．3条 题型七：两点之间线段最短 解题思路①公理：两点之间，线段最短；②用来判断路径长短、找最短路线。 20．如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不会走曲折的路，这是因为（    ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．两条直线相交只有一个交点 21．在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 22．O，P，Q是平面上的三点，，，那么下列说法正确的是（     ） A．O点一定在直线外 B．O点在线段上 C．O点一定在直线上 D．O点不在线段上 题型八：两点间的距离 解题思路①距离是线段的长度，是一个数值，不是线段图形；②求距离本质就是求对应线段的长。 23．用叠合法比较线段和线段的大小，将线段移到线段的位置，使端点与端点重合，线段和线段叠合，则若点______，则． 24．已知线段，直线上有一点，且，为的中点，则的长为______． 25．村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 26．某学校老师分别住在甲，乙，丙三个住宅区，甲区有15人，乙区有20人，丙区有35人，三个小区在一条笔直的路上，位置如图所示．学校接送老师们上下班的班车打算在此区间的路上只设一个停靠点．要使所有老师步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在（    ） A．乙区 B．丙区 C．乙区或丙区 D．乙，丙两区之间任何一点（含乙，丙两点） 题型九：作线段 解题思路①尺规作图，用圆规截取已知线段长度；②保留作图痕迹，作出等长线段。 27．尺规作图的画图工具是(   ) A．尺、量角器 B．没有刻度的三角板、量角器 C．没有刻度的直尺和圆规 D．量角器 28．如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 29．已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 题型十：线段的和与差 解题思路①看图分清线段相加、相减关系；②在同一条直线上，大线段减小线段得差，两条小线段相加得总长。 30．如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（     ） A． B． C． D． 31．如图，已知线段，，，则图中所有线段的长度和是______． 32．已知数轴上两点，A点表示的数是，B点表示的数是9，点C是数轴上一点，若，则线段AC的长为（    ） A． B． C．或 D． 33．如图点C、D在线段上，点E在线段上，已知，，则图中所有线段长度和为（    ） A． B． C． D． 题型十一：线段中点的有关计算 解题思路①中点公式：若C为AB中点，则AC=BC=AB，AB=2AC=2BC；②注意点可能在线段上或者线段延长线上，部分题目需要分类讨论，正向逆向都要会算。 34．下列说法中，能说明点C一定是AB中点的是（   ） A． B． C． D． 35．已知线段，线段上有一点，且，是线段的中点，则线段的长是________． 36．如图，C、D两点将线段从左到右依次分成三部分，点E、F、G分别是、、的中点，且，则_________． 37．如图，在线段上任取两点，，并作的中点，已知，，则的结果用含有，的式子表示为（    ） A． B． C． D． 题型十二：线段 n 等分点的有关计算 解题思路①n等分点把整条线段平均分成n份；②每份长度=总长度÷份数，灵活进行整体与小段换算。 38．如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 39．如图，点为线段的中点，点D，E分别为线段上的两点，且，若，则的值为__________． 40．如图，点C，D把线段三等分，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型十三：线段之间的数量关系 解题思路①结合图形梳理各线段之间等式；②用已知线段表达未知线段，建立关系式。 41．如图，，是线段上的两点，若，，那么与的关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 42．已知线段，点是直线上一点，，则线段的长度为______． 43．如图，已知点为上一点，，为的中点，则=______________． 题型十四：与线段有关的动点问题 解题思路①设运动时间为未知数，表示出动点对应的线段长度；②分情况讨论点的不同位置；③结合中点、和差关系列等式求解；④算出结果检验，舍去不符合题意的答案。 44．如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则__________． 45．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 46．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 解答题 1．如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： (1)画直线，； (2)画射线； (3)取一点，使点既在线段上又在线段上． 2．【观察思考】如图线段上有两个点C、D，分别以点A、B、C、D为端点的线段共有 _______条． 【模型构建】若线段上有m个点（包括端点），则该线段上共有 _______ 条线段． 【拓展应用】若有8位同学参加班级的演讲比赛，比赛采用双循环制，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 3．先阅读，然后解答． 问题：两条直线将平面分成几部分？ 解：如图①，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图②，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分． 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了________的数学思想（填“转化”“分类讨论”“整体处理”或“数形结合”）； (2)三条直线将平面分成几部分？ 4．尺规作图：如图，已知线段其中．（本题不用写作法，但需要保留作图痕迹） (1)在射线上，求作线段，使得线段； (2)在（1）的结论下，若线段，在射线上标出点的位置． 5．如图，C为线段的中点，点D在线段上． (1)图中，，类似的，请你再写出两个有关线段的和与差的关系式：①________；②________； (2)若，，求线段的长． 6．已知线段上有两个动点C、D． (1)已知在的左侧，． ①如图1，求的长； ②如图2，M、N分别为和的三等分点，且，求的长； (2)若M、N分别为和的三等分点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系：___________． 7．定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $