专题09立方根与实数的运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦立方根与实数运算核心知识点，系统梳理立方根的定义、性质及恒等公式，衔接平方根知识对比辨析，构建从开立方到实数混合运算的学习支架，夯实初中实数计算体系基础。 资料通过分层题型设计（9类题型含基础到拔高）、重点易错点辨析及实际应用案例（如正方体棱长计算），培养学生抽象能力、运算能力与模型意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

专题09立方根与实数的运算精讲学案 核心立意 掌握立方根的定义、性质及常用公式，能熟练求任意实数的立方根；将有理数运算规则迁移至实数范围，掌握实数混合运算顺序，是初中实数计算体系的核心基础。 立方根定义： 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，若x3=a，则x是a的立方根，记作，根指数3不可省略。 开立方： 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 立方根性质： 正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根是0；任意实数都有唯一的立方根。 立方根恒等公式： ()3=a；=a；=-。 小数点移动规律： 被开方数小数点向左、向右移动3位，立方根小数点对应向左、向右移动1位。 实数运算依据： 有理数所有运算法则、运算律，在实数范围内全部适用。 实数运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内部。 实际应用：结合正方体体积公式，已知体积求棱长可转化为开立方运算。 重点辨析 ①平方根：仅非负数有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数无平方根。 ②立方根：全体实数都有且只有一个立方根，立方根符号与被开方数符号一致。 ①书写易错：立方根根指数3不可省略，严禁将写为。 ②符号易错：负数没有平方根，但一定有立方根，可利用=-简化计算。 ③计算易错：求带分数立方根时，必须先化为假分数再开立方。 ④运算易错：实数混合运算容易颠倒顺序、漏写负号，需严格遵循先开方乘方、后乘除加减的顺序。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根的概念理解 ★ 题型二 求一个数的立方根 ★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型四 立方根的实际应用 ★★ 题型五 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 计算器 —— 平方根和立方根 ★★ 题型八 实数的混合运算 ★★ 题型九 实数运算的实际应用 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高 题型一：立方根的概念理解 解题思路：①牢记定义：若x3=a，则x是a的立方根；②明确性质：任意实数都有唯一立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根是0；③对比区分平方根，负数无平方根，但有立方根。 1．若取，计算的结果是_____． 2．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 3．正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是______． 4．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 题型二：求一个数的立方根 解题思路：①带分数先化为假分数；②逆向找立方等于被开方数的数；③利用=-，将负号移出根号；④书写结果不能遗漏根指数3。 5．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．计算的结果等于_________． 7．如果是的平方根，那么的值为________． 8．已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：①若x是a的立方根，则原数a=x3；②对已知立方根进行立方运算；③若为方程形式，直接两边同时立方求解。 9．已知，则的值是_____． 10．已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 11．若，，则______． 12．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 题型四：立方根的实际应用 解题思路：①根据题意建立体积等式，正方体V=a3；②把棱长表示为a=；③代入数值计算立方根，写出实际问题答案。 13．已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 14．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 15．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 16．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型五：与立方根有关的规律探索 解题思路：①观察被开方数与立方根小数点位置变化；②记住规律：被开方数小数点移动3位，立方根对应移动1位；③套用规律推理未知数值，验证结果正误。 17．已知，，那么约为______． 18．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 19．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 20．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 题型六：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：①分别回忆算术平方根、立方根的定义与取值特点；②同时满足双重条件，挖掘隐藏的取值限制；③联立列式计算，检验结果是否符合两类根式的要求。 21．立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________． 22．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 23．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 24．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 题型七：计算器 —— 平方根和立方根 解题思路：①认清计算器开平方、开立方按键；②输入被开方数，注意负数开立方直接输入负号；③读取计算器结果，按题目要求取近似值。 25．利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 26．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 27．对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 28．小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 题型八：实数的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；②有括号优先算括号内；③有理数运算律在实数范围依旧适用；④化简根式后再合并计算。 29．计算：___________． 30．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 31．计算：=________． 32．计算结果为（） A． B． C． D． 题型九：实数运算的实际应用 解题思路：①读懂题意，提取题目数量关系；②列出实数运算算式；③严格按照实数运算法则计算；④结合实际对结果取舍作答。 33．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 34．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 35．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 36．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)． 3．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 4．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 5．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 6．计算下列各题： (1)已知的平方根是，4是的算术平方根，求的立方根； (2)如果，其中a，b为有理数，求的平方根． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09立方根与实数的运算精讲学案 核心立意 掌握立方根的定义、性质及常用公式，能熟练求任意实数的立方根；将有理数运算规则迁移至实数范围，掌握实数混合运算顺序，是初中实数计算体系的核心基础。 立方根定义： 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，若x3=a，则x是a的立方根，记作，根指数3不可省略。 开立方： 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 立方根性质： 正数的立方根为正数；负数的立方根为负数；0的立方根是0；任意实数都有唯一的立方根。 立方根恒等公式： ()3=a；=a；=-。 小数点移动规律： 被开方数小数点向左、向右移动3位，立方根小数点对应向左、向右移动1位。 实数运算依据： 有理数所有运算法则、运算律，在实数范围内全部适用。 实数运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内部。 实际应用：结合正方体体积公式，已知体积求棱长可转化为开立方运算。 重点辨析 ①平方根：仅非负数有平方根，正数有两个互为相反数的平方根，负数无平方根。 ②立方根：全体实数都有且只有一个立方根，立方根符号与被开方数符号一致。 ①书写易错：立方根根指数3不可省略，严禁将写为。 ②符号易错：负数没有平方根，但一定有立方根，可利用=-简化计算。 ③计算易错：求带分数立方根时，必须先化为假分数再开立方。 ④运算易错：实数混合运算容易颠倒顺序、漏写负号，需严格遵循先开方乘方、后乘除加减的顺序。 题型 考察方向 难度 题型一 立方根的概念理解 ★ 题型二 求一个数的立方根 ★ 题型三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型四 立方根的实际应用 ★★ 题型五 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型七 计算器 —— 平方根和立方根 ★★ 题型八 实数的混合运算 ★★ 题型九 实数运算的实际应用 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高 题型一：立方根的概念理解 解题思路：①牢记定义：若x3=a，则x是a的立方根；②明确性质：任意实数都有唯一立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根是0；③对比区分平方根，负数无平方根，但有立方根。 1．若取，计算的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的相关计算，先合并再计算是解题的关键． 先合并，然后进行计算． 【详解】解：原式 ， 当取时， 原式 ． 故答案为： ． 2．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 3．正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是______． 【答案】 正数 负数 零/0 【分析】根据立方根的意义判断即可． 【详解】因为正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0， 故答案为：正数；负数；零． 【点睛】本题考查了立方根的性质，熟练掌握立方根的性质是解题的关键． 4．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 题型二：求一个数的立方根 解题思路：①带分数先化为假分数；②逆向找立方等于被开方数的数；③利用=-，将负号移出根号；④书写结果不能遗漏根指数3。 5．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， ，即． 6．计算的结果等于_________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义和性质，将被开方数写成某个数的立方，即可计算出这个数的立方根． 【详解】解：，， ∴， ∴． 7．如果是的平方根，那么的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、立方根的定义，首先根据平方根的定义求出a，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵a是的平方根， ∴， ∵3的立方根是，的立方根是， ∴等于． 故答案为：． 8．已知a，b为实数，且，则的值为（    ）． A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：D． 题型三：已知一个数的立方根，求这个数 解题思路：①若x是a的立方根，则原数a=x3；②对已知立方根进行立方运算；③若为方程形式，直接两边同时立方求解。 9．已知，则的值是_____． 【答案】3 【分析】根据立方根的定义，对等式两边同时开立方，转化为一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解：∵， ∴， 解得：. 10．已知，，则a的值约为（    ） A．0.525 B．0.0525 C． D．0.000525 【答案】C 【分析】根据立方根的性质：被开方数的小数点每向一个方向移动3位，则立方根的小数点一定向相同的方向移动1位．本题考查了立方根的性质，正确理解小数点移动的关系是关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选C． 11．若，，则______． 【答案】8 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 12．若a的算术平方根为17.25，b的立方根为；x的平方根为，y的立方根为86.9，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可． 【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69， ∴a=297.5625，b=-656.234909． ∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9， ∴x=2.975625，y=656234.909， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义． 题型四：立方根的实际应用 解题思路：①根据题意建立体积等式，正方体V=a3；②把棱长表示为a=；③代入数值计算立方根，写出实际问题答案。 13．已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 【答案】/分米 【分析】设正方体的棱长为，根据正方体的体积为列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ， 答：正方体的棱长为． 14．如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的烧杯中，并用一个量筒测得溢出的水体积为，由此可估计该正方体铁块的棱长的大致范围（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解：∵溢出的水体积为 ∴该正方体铁块的体积为 ∴该正方体铁块的棱长为 ∵ ∴ ∴ ∴估计该正方体铁块的棱长的大致范围在3和4之间． 15．将一个正方体铁块完全浸入圆柱形玻璃杯的水中，水位升高了．已知玻璃杯内部的底面半径为，则正方体的棱长为_________．（取，结果取整数） 【答案】9 【分析】根据题意可知，水位升高部分的圆柱体体积等于正方体的体积，根据圆柱和正方体的体积公式列方程，再利用立方根的意义求解，最后对结果取整数即可. 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得，， 将代入， 可得：， ， ， 正方体的棱长为． 16．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 题型五：与立方根有关的规律探索 解题思路：①观察被开方数与立方根小数点位置变化；②记住规律：被开方数小数点移动3位，立方根对应移动1位；③套用规律推理未知数值，验证结果正误。 17．已知，，那么约为______． 【答案】21.54 【分析】根据立方根的性质，被开方数的小数点每向左（向右）移动3个数位，立方根向左（向右）移动1个数位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 18．小慧同学通过计算观察下列正数的立方根运算，发现了一定规律：运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则（    ） 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000 0.16 1.6 16 160 1600 A．0.235 B．0.0235 C．0.00235 D．2.35 【答案】D 【分析】根据表格数据可总结得到：被开方数的小数点每向某一方向移动三位，立方根的小数点就向同一方向移动一位，找出规律即可解题. 【详解】解：根据表格数据可得规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向某一方向移动三位，相应的立方根的小数点就向同一方向移动一位； ∵，且是将的小数点向右移动三位得到， ∴需要将的小数点向右移动一位，即. 19．【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“立方”对应的展开式：． 【应用体验】 已知，则的值为__________． 【答案】14 【分析】根据“立方”对应的展开式求解的展开式，对应求解的值，由此求解即可． 【详解】解：由题意可知，令，， 则， 故，， 则． 20．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 题型六：算术平方根和立方根的综合应用 解题思路：①分别回忆算术平方根、立方根的定义与取值特点；②同时满足双重条件，挖掘隐藏的取值限制；③联立列式计算，检验结果是否符合两类根式的要求。 21．立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________． 【答案】 ， 1或0 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点．立方根等于其本身的数是，；设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a． 【详解】解：立方根等于其本身的数是，； 设这个数为a，由题意知， ， 解得：或0， 故答案为：，；1或0． 22．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 23．一个正数的平方根分别是和，的立方根是，则的算术平方根为______． 【答案】 【分析】先由题意，结合平方根与立方根定义分别求出值，代入求值后由算术平方根定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴分两种情况：①；②； 当时，方程无解； 当时，解得； ∵的立方根是， ，解得； ， 则的算术平方根为． 24．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 题型七：计算器 —— 平方根和立方根 解题思路：①认清计算器开平方、开立方按键；②输入被开方数，注意负数开立方直接输入负号；③读取计算器结果，按题目要求取近似值。 25．利用计算器计算时，按键，显示结果是_____． 【答案】0 【分析】根据计算器按键顺序得到对应算式，再根据立方根和算术平方根的定义计算结果即可． 【详解】解：由按键顺序可得，所求算式为 根据立方根的定义可得， 根据算术平方根的定义可得， 则． 26．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 27．对于初中数学的学习，《新课程标准》要求在设计开方运算时需要使用计算器．如图是某型号学生用及计算器，依次按下得到的结果为：___________． 【答案】0 【分析】本题考查的是计算器的使用，先根据题意列出算式，得出计算结果即可． 【详解】解：， 故答案为：． 28．小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 题型八：实数的混合运算 解题思路：①运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；②有括号优先算括号内；③有理数运算律在实数范围依旧适用；④化简根式后再合并计算。 29．计算：___________． 【答案】5 【详解】解： ． 30．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意． 31．计算：=________． 【答案】1 【详解】解： ． 32．计算结果为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，实数的加减，掌握知识点是解题的关键． 原式为多个绝对值之和，每个绝对值均为两个连续平方根之差．由于平方根函数单调递增，每个绝对值可化简为后一个平方根减前一个平方根，形成望远镜求和，中间项相互抵消，最终结果为最后一个平方根减去第一个平方根． 【详解】解： =， ． 故选：B． 题型九：实数运算的实际应用 解题思路：①读懂题意，提取题目数量关系；②列出实数运算算式；③严格按照实数运算法则计算；④结合实际对结果取舍作答。 33．《千里江山图》是中国十大传世名画之一，其局部如图所示，图中画纸是长为，宽为的长方形，现要装裱该画，装裱后画的长增加了，宽不变，则装裱后整个长方形画卷的总面积为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的应用，解题的关键是理解题意；由题意可知装裱后长方形的长为，宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：装裱后长方形的长为， ∴长方形的面积为； 故答案为． 34．如图，按照国际标准，系列纸的长与宽的比例均符合；其中，纸的面积为；将纸沿两条长边中点的连线裁切，就得两张纸；再将纸沿两条长边中点的连线裁切得两张纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为，则下列列式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由纸张的宽为，表示出纸的宽和长，根据纸面积为求解． 【详解】解：由图得，当纸张的宽为时，纸的宽为， ∵纸张长与宽的比为， ∴纸的长为， ∵纸面积为， ∴， ∴． 35．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 36．小明按照如图所示的步骤折叠纸，折完后，发现折痕与纸的长边恰好重合，那么纸的长与宽的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质和折叠变换的运用，根据操作可判定是等腰直角三角形，由两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长，设，则，由此得到答案． 即可得出，再计算即可得出结论． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由操作可知：，，，， 是等腰直角三角形， ， ∵两个边长为1的正方形拼成大正方形的面积为2，大正方形的边长为，其为小正方形对角线的长， ∴设，则， ． 解答题 1．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）去括号后合并同类二次根式即可得到结果； （2）先计算平方，化简绝对值，再去括号合并同类二次根式即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【答案】，， 【分析】根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，可求出的值，再根据立方根的定义求出的值即可解答． 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 4．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 5．如图，有一个长方体水池的长、宽、高之比为2：2：4，其体积为． (1)求长方体水池的长、宽、高． (2)把这个长方体水池注满水，当有一个半径为的球放入水池中时（球全部没入水中），溢出的水的体积为水池体积的，求该小球的半径（球的体积公式：，其中r为球的半径，π取3，结果精确到）． 【答案】(1)长、宽、高分别为，， (2) 【分析】此题主要考查了立方根的计算以及长方体体积公式，熟练掌握长方体体积公式是解题关键． （1）设长方体水池的长、宽、高分别为，，，根据题意体积为列出方程，然后利用立方根的定义求得的值后分别代入，中计算即可； （2）根据题意列式，利用立方根的定义求得的值并精确到即可． 【详解】（1）解：∵长方体水池的长、宽、高之比为2∶2∶4，其体积为， ∴设长方体水池的长、宽、高分别为，，， ， ， ， 解得， ，， 故长方体水池的长、宽、高分别为，，． （2）解：已知该小球的半径为， 则， ， ． 故该小球的半径约为． 6．计算下列各题： (1)已知的平方根是，4是的算术平方根，求的立方根； (2)如果，其中a，b为有理数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方根和算术平方根的定义求出和的值，代入计算后，再求其立方根即可． （2）整理原等式，分离出有理部分和无理部分，根据是有理数得到方程组，求解得到后计算，再求其平方根即可． 【详解】（1）解∶∵ 的平方根是， ∴ ， 解得 ． ∵ 4是的算术平方根， ∴ ， 把代入得∶ ， 解得 ， ∴ ， ∵ 的立方根是， ∴ 的立方根是． （2）解：∵， ∴ ， ∵ 为有理数， 是无理数， ∴ ，解得 ， ∴ ， ∴ 的平方根是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $