带电粒子在组合场中含动量问题、带电粒子在叠加场中含动量问题 专项训练-2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在组合场、叠加场中的动量问题，通过12道典例（含6例题+6变式）系统覆盖磁场偏转-电场运动、场力叠加-动量变化等核心考法，强化运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |带电粒子在组合场中含动量问题|6题（3例+3变式）|多区域场交替（磁场-电场/多磁场）、速度方向夹角分析、边界条件限制|从洛伦兹力提供向心力（磁场）到电场力做功（电场），结合动量定理求动量变化量，体现场模型→运动规律→动量应用的递进| |带电粒子在叠加场中含动量问题|6题（3例+3变式）|电/磁场叠加、阻力影响（f=kv）、多轴坐标系运动|整合电场力/洛伦兹力的矢量合成，通过动量定理分析变力作用下的运动轨迹，强化场力叠加与动量规律的综合应用|

2027届高三物理一轮复习专项训练 带电粒子在组合场中含动量问题、带电粒子在叠加场中含动量问题专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中含动量问题 带电粒子在叠加场中含动量问题 考点一 带电粒子在组合场中含动量问题 例1．（2026·河北唐山·模拟预测）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，xOy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度为L、边界平行于y轴的匀强电场，电场方向沿y轴负方向。第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限内有一粒子加速器。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子经加速器加速后从x轴上的M点以大小为v0的速度垂直磁场和x轴射入第二象限，然后从y轴上的N点（图中未画出）进入电场，进入电场时速度方向与y轴正方向的夹角为θ=60°，最后从x轴上的P点离开电场。已知P点和M点到坐标原点O的距离均为L，不计粒子重力。求： (1)粒子加速器的加速电压U； (2)电场的电场强度大小E及粒子从M点运动到P点的总时间t； (3)粒子在第一、第二象限内动量变化量的大小和。 【答案】(1) (2)； (3)； 【详解】（1）粒子从静止经加速电压加速，电场力做功转化为动能，有 解得 （2）粒子在磁场中速率不变，设圆周运动半径为，圆心为。粒子从点进入第一象限，速度分量为、 由关系式，故 设，半径与速度垂直，得 即，又因在第二象限边界上，，圆的几何关系给出 所以，从而，此时沿负方向，与负方向夹角为，故粒子在磁场中转过的圆心角为，磁场中的运动时间为 进入电场后，水平方向匀速运动， 解得 竖直方向位移满足 其中 代入，整理得 所以 从到的总时间为 （3）电场力恒定且竖直向下，故电场中动量变化量大小为 磁场中速率不变，动量大小为，方向改变 故动量变化量大小为 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，在真空的xOy坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向沿y轴负方向的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场。在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以大小为v、方向与y轴负方向夹角的速度从坐标原点进入区域。不计粒子重力，已知。求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)在的区域运动过程中，粒子到x轴的最大距离； (3)在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）粒子从P运动到O的过程中，只有电场力做功，根据动能定理 有 得 粒子从P运动到O的过程，在磁场中时，任意时刻有，取很短时间内，以水平向右为正，研究水平方向，由动量定理 有 两边求和， 有 得 （2）粒子在垂直平面内做匀速圆周运动，由 有，其中 得，则粒子到x轴的最大距离 （3）粒子在垂直平面内做匀速圆周运动时，由 有 得，粒子在的区域内沿轴做匀速直线运动，在一个周期内，沿轴方向运动的距离，其中 得，则粒子每次经过x轴时的横坐标 例3．（2026·湖南长沙·一模）如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在圆形区域做圆周运动，带电粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系得 带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供圆周运动的向心力，满足 两式联立，解得带电粒子的比荷 （2）设带电粒子进入区域2的速度为，因粒子在区域1运动时竖直方向速度大小不变，故 根据动能定理有 解得每个区域的宽度 （3）设在区域14右边界，速度沿竖直方向且速度大小为，带电粒子由区域1到区域14，根据动能定理有 平行边界方向，根据动量定理有 整理得 解得 变式1．（2025·湖北·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、四象限存在沿着y轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q的粒子（忽略重力）从A点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间到达O点时的速度与x轴正方向的夹角为37°，然后进入磁场，。 (1)求粒子在O点电场力的功率以及A、O两点间的距离； (2)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达y轴上的B点，求A、B两点的距离为多少； (3)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达C点（未画出），求粒子从A点到C点对时间而言所受的平均作用力为多少。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设粒子在A、O两点的速度大小均为v，把v分别沿着x轴和y轴分解，则有， 粒子从A到O做类斜抛运动，由类斜抛运动的规律可得粒子从A到O的运动时间 结合 综合可得、、 粒子在O点电场力的功率为 A、O两点间的距离 （2）根据受力分析和运动分解可知把粒子在磁场中的运动看成沿y轴负方向速度为的匀速直线运动与线速度为的水平方向匀速圆周运动的合运动，匀速圆周运动的周期 时间 粒子运动到y轴上的B点，O、B两点间的距离 由几何关系可得A、B两点间的距离为 综合可得 （3）时间内，粒子从O点到达C点，水平方向匀速圆周分运动速度的方向改变180°，则A、C两点的速度等大反向，粒子从A到C，速度变化量的大小为 粒子从A到C，由动量定理可得 综合可得 变式2．（2026·四川德阳·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、四象限（0<x<d）区域存在垂直于纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，在第二象限中曲线OA的上方存在竖直向下电场强度为E的匀强电场。曲线OA左侧空间存在垂直于x轴的线状离子源MN（N在x轴上），不断沿x轴正方向发出带正电，质量为m，电荷量为q，速度大小的相同粒子，每个粒子均从O点进入磁场区域，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用力，并忽略磁场的边界效应。求： (1)OA曲线需满足怎样的表达式； (2)若某个粒子恰好未出磁场区域右边界，求粒子过O点时速度与x轴的夹角θ； (3)若粒子进入磁场后受到与速度大小成正比的阻力f＝kv，最后与磁场右边界相切于点（d，h），求比例系数k。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设某一粒子进入电场区域的坐标为，粒子在电场中做类平抛运动，水平方向满足 竖直方向满足 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）设粒子过点时速度为，与轴的夹角为。则在磁场中，根据洛伦兹力提供圆周运动向心力，有 解得 粒子在磁场中的临界轨迹如下图 有几何关系 粒子过O点时，沿x轴方向的速度仍为不变，则 两式联立解得 （3）粒子在磁场中运动的过程中，取极短的一小段时间，水平方向上由动量定理 又因，   解得 变式3．（2026·天津北辰·三模）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在xOy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及左边界的值； (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力可得 又 联立解得粒子的比荷为 （2）粒子的轨迹如图所示 粒子在电场中可逆向看成做类平抛运动，则有 联立解得匀强电场电场强度大小为 由图片中的几何关系可得 解得 （3）若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由，可得 即角速度为一定值，又可知粒子与磁场左边界相切时转过的弧度为，则有 粒子在方向上 所以 取一小段时间， 因为，所以阻力的x方向冲量为0 同理可得洛伦兹力的x方向冲量为 则有 结合 可得 故有 考点二 带电粒子在叠加场中含动量问题 例1．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，在空间建立直角坐标系，区域存在匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。碰撞瞬间，电场力可忽略。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小； (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 【答案】(1) (2) (3)，为非负整数；最大面积 【详解】（1）初速度为的电子在场中运动受到电场力和洛伦兹力的作用，受到电场力为 受到的洛伦兹力为 二者垂直，则合力 （2）沿轴方向做匀加速直线运动，垂直于轴方向做圆周运动，两个方向的速度垂直，洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理得 解得 时间内，个电子撞击荧光屏，速度变为0，由动量定理 解得 （3）沿轴从前往后看，初速度为的电子在垂直于轴的平面做匀速圆周运动，有 解得 圆周运动周期 周期相同，所有不同初速度大小但同方向的电子从原点到平面的时间相同，圆周运动角度相同，在荧光屏上形成直线；不同方向，不同速度大小电子在荧光屏上形成一个角度为的扇形区域，扇形区域的最大半径为电子位置离荧光屏与轴交点的最大距离 屏上接收到电子的区域的最大面积 沿轴方向，由动量定理 解得从原点到的时间 时间满足，为非负整数 解得，为非负整数。 例2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）磁控溅射是一种物理气相沉积技术，利用惰性气体等离子体轰击靶材，将靶材原子溅出并在基片上沉积成薄膜。部分过程原理简图如图所示，间存在匀强电场，间存在垂直纸面向里的匀强磁场，氩（）原子在间沿方向运动。电子源沿电场发射电子，电子经MN进入叠加场区域，在叠加场中运动时撞击氩原子，形成带正电的氩离子，氩离子在复合场中运动，最终撞击靶材，将靶材原子溅出。已知电子和氩离子带电荷量的绝对值均为e，电子质量为，氩离子质量为。间的距离为，间的距离为。电子离开电子源时的速度可忽略。 (1)能使氩原子变成氩离子所需的最小能量为，间的氩原子均能被电离（假设电子的动能可以全部被氩原子吸收），求电场强度的最小值。 (2)在（1）所求电场强度下，要使没有与氩原子碰撞的电子恰能返回到间，求磁感应强度的大小。 (3)电子撞击氩原子过程，可忽略对氩原子速度的影响，在（1）（2）所求结果情况下，要使在MN处形成的氩离子垂直打到靶材上，求氩原子的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）要使电子能电离氩原子，电子的动能 对电子，由动能定理有 则 电场强度的最小值为 （2）要使没有与氩原子碰撞的电子能返回到间，则电子在间向下运动的最大距离为，建立如图所示的坐标系，电子的运动轨迹如图中所示，恰与PQ相切。 设电子向PQ运动过程，经过某位置时沿轴的分速度分别为，结合洛伦兹力知识，有 结合动量定理，累加有 到相切位置的过程由动能定理有 联立解得 （3）氩离子能垂直打到靶材上，类比（2）中分析，有 则氩原子的速度 例3．（2026·山东日照·三模）如图所示，在竖直平面内建立一直角坐标系，的区域内存在沿轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。从轴上的点以初速度抛出一质量为、电荷量为的带正电小球，速度方向与轴负方向的夹角，小球经过轴时的速度方向与轴正方向的夹角，之后小球始终没离开的区域。已知小球运动过程所受空气阻力的大小与速度大小成正比，且满足（其中，为重力加速度），方向始终与速度方向相反，匀强电场的电场强度大小。求： (1)小球在第一象限运动过程中克服空气阻力做的功； (2)小球在第一象限内的运动时间和经过轴时的位置坐标； (3)小球最终静止时到轴的距离。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）由题意可知，可以将小球的运动分解为竖直向下的匀速直线运动，速度大小为，所受空气阻力恰好和重力二力平衡；沿轴正方向的变加速直线运动，初速度大小为，经过轴时的速度关系如图所示 由图可知，水平方向分速度 合速度大小 根据动能定理得 联立可得克服空气阻力做功 （2）小球在第一象限内的运动时间 水平方向上，根据动量定理得 对时间累积求和可得 联立解得    （3）小球在区域的运动过程中，重力和电场力恰好二力平衡，取极短时间，根据动量定理，沿轴方向有 累积求和得 沿轴方向有 累积求和得 联立解得 变式1．（2026·吉林·三模）如图，光滑水平地面上静止放置一辆小车，小车上方固定有足够长竖直光滑绝缘细管，小车与管的总质量为，一质量、电荷量的带正电的绝缘小球放置在管的底部，小球的直径略小于细管的管径。以小球初始位置为坐标原点在纸面内沿水平、竖直方向建立xOy坐标系，在整个空间中存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，的边界（虚线）右侧空间还存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。某时刻在小车上施加一水平向右的外力，让小车在外力作用下做加速度为的运动，当小球进入电场的同时，撤去水平外力，此后的运动过程中小球一直没有离开细管，重力加速度取，小球看作质点，计算结果可以保留根号，求： (1)从施加外力开始，经多长时间小球开始沿细管上升； (2)小球刚进入电场空间前瞬间，小球的竖直分速度及作用在车上的水平外力F的大小； (3)小球从电场左侧边界离开后上升至最高点的速度。 【答案】(1)0.5s (2)22.5m/s，45.3N (3)，方向水平向左 【详解】（1）当小球开始沿细管上升时，重力与洛伦兹力平衡，则有 解得 小球水平方向做匀加速直线运动，根据速度公式有 （2）令小球从开始运动到进入电场空间的时间为，则有 解得 在竖直方向上，根据动量定理有 其中 解得 小球水平方向做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 （3）刚进入电场空间前瞬间，小球的水平分速度 小球进入电场中时，根据题中所给数据有 可知，小球所受重力与电场力大小相等，方向相反，重力与电场力的效果抵消，小车从刚刚进入电场到出电场过程，在竖直方向上，根据动量定理有 该过程水平分位移为0，即有 解得 小车从刚刚进入电场到出电场过程，对小车与小球构成的系统进行分析有 解得 令小球出电场后上升最大高度为，此时小球竖直分速度为0，令小球速度为v，则该速度方向沿水平方向，对整体进行分析，水平方向，根据动量定理有 其中 根据能量守恒定律有 解得 速度方向水平向左。 变式2．（2026·山东济宁·二模）如图所示，三维直角坐标系中的z轴垂直纸面向外。在平面右侧、平面上方空间内存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小；在平面左侧空间内存在沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小，磁感应强度大小未知。质量为、电荷量为的粒子在平面内从坐标原点发射，初速度大小为、方向与轴负方向成。经过一段时间后，粒子从点（图中未标出）垂直平面进入右侧空间，粒子在平面右侧空间受到与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力（为已知常量），且粒子恰好从点（图中未标出）垂直平面射出磁场。不计粒子重力，，。求： (1)粒子在平面左侧空间内运动的时间； (2)点的坐标； (3)点到轴的距离； (4)粒子从点运动到点的轨迹长度。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由运动学公式有 因为 联立解得 （2）粒子从P点垂直yOz平面进入右侧空间，可知 在平行于xOz的平面内，由牛顿第二定律得 沿z轴方向坐标 沿y轴方向坐标 所以P点坐标为。 （3）在x轴方向，根据动量定理有 整理得 解得 （4）令粒子在Q点的速度为v，在y轴方向，根据动量定理有 整理得 解得 根据题意洛伦兹力方向与速度方向始终垂直，令粒子的速度为，沿速度方向利用动量定理有 整理得 联立解得 变式3．（25-26高三上·河南周口·期末）威尔逊云室是最早的带电粒子径迹探测器，威尔逊也因此获得了1927年的诺贝尔奖。图甲为威尔逊云室的结构图，图乙为用云室拍摄的带电粒子轨迹图，在云室中粒子除受磁场作用外还会受到周围分子的阻力作用，其轨迹常常呈现为螺旋线。某同学为研究这种螺旋线的轨迹特点，在xOy平面内施加垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，由坐标原点沿x轴正方向发射质量为m、电荷量为q、初速度大小为的带正电粒子，如图丙所示，粒子在运动过程中除受到洛伦兹力外，还受到一个始终与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力，比例系数为k，不计粒子受到的重力，求： (1)粒子运动的总路程s； (2)粒子停止运动时与坐标原点的距离L； (3)粒子停止运动时与坐标原点连线的斜率K。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）取很短一段时间内运动为研究过程，沿运动方向由动量定理可得 则两边求和可得 整理得 解得 （2）取很短一段时间内运动为研究过程，设方向速度为，方向速度为，对粒子在方向由动量定理可得 则两边求和可得 整理得 同理对粒子在方向由动量定理可得 则两边求和可得 整理得 联立解得, 则粒子停止运动时与坐标原点的距离 （3）代入（2）中的数据，粒子停止运动时与坐标原点连线的斜率 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三物理一轮复习专项训练 带电粒子在组合场中含动量问题、带电粒子在叠加场中含动量问题专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中含动量问题 带电粒子在叠加场中含动量问题 考点一 带电粒子在组合场中含动量问题 例1．（2026·河北唐山·模拟预测）利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，xOy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度为L、边界平行于y轴的匀强电场，电场方向沿y轴负方向。第二象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，第三象限内有一粒子加速器。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子经加速器加速后从x轴上的M点以大小为v0的速度垂直磁场和x轴射入第二象限，然后从y轴上的N点（图中未画出）进入电场，进入电场时速度方向与y轴正方向的夹角为θ=60°，最后从x轴上的P点离开电场。已知P点和M点到坐标原点O的距离均为L，不计粒子重力。求： (1)粒子加速器的加速电压U； (2)电场的电场强度大小E及粒子从M点运动到P点的总时间t； (3)粒子在第一、第二象限内动量变化量的大小和。 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，在真空的xOy坐标系中，第二象限内有边界互相平行且宽度均为d的六个区域，交替分布着方向沿y轴负方向的匀强电场和方向垂直纸面向里的匀强磁场。在的区域内存在磁感应强度大小为、方向沿x轴正方向的匀强磁场。现将质量为m、电荷量为q的带正电粒子在边界P处由静止释放，粒子恰好以大小为v、方向与y轴负方向夹角的速度从坐标原点进入区域。不计粒子重力，已知。求： (1)第二象限中电场强度大小和磁感应强度大小； (2)在的区域运动过程中，粒子到x轴的最大距离； (3)在的区域运动过程中，粒子每次经过x轴时的横坐标。 例3．（2026·湖南长沙·一模）如图所示，在平面内有一个圆形匀强磁场区，半径为，磁感应强度为，方向垂直于纸面向外。紧靠圆形磁场右侧有1、2、3…足够多个等宽区域。其中，奇数区域内有水平向右的匀强电场，电场强度为；偶数区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为（未知）。圆上M、N两点与圆心共线，与区域1左边界垂直。有一个带电粒子由点进入圆形磁场区域，经过点进入区域1，速度大小为，方向与左边界夹角为斜向下，进入区域2时与左边界夹角为斜向下，该粒子恰好不能从区域14的右边界射出。不计带电粒子的重力。求： (1)带电粒子的比荷； (2)每个区域的宽度； (3)磁感应强度的大小； 变式1．（2025·湖北·模拟预测）如图所示的平面直角坐标系，第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E0的匀强电场，第三、四象限存在沿着y轴负方向、磁感应强度大小为B0的匀强磁场。现让质量为m、带电量为q的粒子（忽略重力）从A点以斜向右上方的速度射入电场，经过一段时间到达O点时的速度与x轴正方向的夹角为37°，然后进入磁场，。 (1)求粒子在O点电场力的功率以及A、O两点间的距离； (2)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达y轴上的B点，求A、B两点的距离为多少； (3)粒子到达O点时，假设经过一段时间到达C点（未画出），求粒子从A点到C点对时间而言所受的平均作用力为多少。 变式2．（2026·四川德阳·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一、四象限（0<x<d）区域存在垂直于纸面向里磁感应强度为B的匀强磁场，在第二象限中曲线OA的上方存在竖直向下电场强度为E的匀强电场。曲线OA左侧空间存在垂直于x轴的线状离子源MN（N在x轴上），不断沿x轴正方向发出带正电，质量为m，电荷量为q，速度大小的相同粒子，每个粒子均从O点进入磁场区域，不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用力，并忽略磁场的边界效应。求： (1)OA曲线需满足怎样的表达式； (2)若某个粒子恰好未出磁场区域右边界，求粒子过O点时速度与x轴的夹角θ； (3)若粒子进入磁场后受到与速度大小成正比的阻力f＝kv，最后与磁场右边界相切于点（d，h），求比例系数k。 变式3．（2026·天津北辰·三模）为探测射线，威耳逊曾用置于匀强磁场或电场中的云室来显示它们的径迹。某研究小组设计了电场和磁场分布如图所示，在xOy平面（纸面）内，在区间内存在平行y轴的匀强电场，。在的区间内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，。一未知粒子从坐标原点与x正方向成角射入，在坐标为的P点以速度垂直磁场边界射入磁场，并从射出磁场。已知整个装置处于真空中，不计粒子重力，。求： (1)该未知粒子的比荷； (2)匀强电场电场强度E的大小及左边界的值； (3)若粒子进入磁场后受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与磁场左边界相切于点（未画出）。求粒子由P点运动到Q点的时间以及坐标的值。 考点二 带电粒子在叠加场中含动量问题 例1．（2026·湖南长沙·三模）如图所示，在空间建立直角坐标系，区域存在匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度大小为，方向均沿轴负方向。一电子枪在点向面角范围内均匀发射电子，单位时间发射电子数为，速度大小在之间。在处垂直于轴放置一足够大的荧光屏，电子打到屏上后立即被吸收。电子质量为、电荷量为，不计电子之间的相互作用以及电子的重力。碰撞瞬间，电场力可忽略。求： (1)初速度为的电子在场中运动时所受合外力的大小； (2)屏所受到的垂直撞击力的大小； (3)为何值时，屏上接收到电子的区域面积最大？并求出最大面积。 例2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）磁控溅射是一种物理气相沉积技术，利用惰性气体等离子体轰击靶材，将靶材原子溅出并在基片上沉积成薄膜。部分过程原理简图如图所示，间存在匀强电场，间存在垂直纸面向里的匀强磁场，氩（）原子在间沿方向运动。电子源沿电场发射电子，电子经MN进入叠加场区域，在叠加场中运动时撞击氩原子，形成带正电的氩离子，氩离子在复合场中运动，最终撞击靶材，将靶材原子溅出。已知电子和氩离子带电荷量的绝对值均为e，电子质量为，氩离子质量为。间的距离为，间的距离为。电子离开电子源时的速度可忽略。 (1)能使氩原子变成氩离子所需的最小能量为，间的氩原子均能被电离（假设电子的动能可以全部被氩原子吸收），求电场强度的最小值。 (2)在（1）所求电场强度下，要使没有与氩原子碰撞的电子恰能返回到间，求磁感应强度的大小。 (3)电子撞击氩原子过程，可忽略对氩原子速度的影响，在（1）（2）所求结果情况下，要使在MN处形成的氩离子垂直打到靶材上，求氩原子的速度大小。 例3．（2026·山东日照·三模）如图所示，在竖直平面内建立一直角坐标系，的区域内存在沿轴正方向的匀强电场和垂直于平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。从轴上的点以初速度抛出一质量为、电荷量为的带正电小球，速度方向与轴负方向的夹角，小球经过轴时的速度方向与轴正方向的夹角，之后小球始终没离开的区域。已知小球运动过程所受空气阻力的大小与速度大小成正比，且满足（其中，为重力加速度），方向始终与速度方向相反，匀强电场的电场强度大小。求： (1)小球在第一象限运动过程中克服空气阻力做的功； (2)小球在第一象限内的运动时间和经过轴时的位置坐标； (3)小球最终静止时到轴的距离。 变式1．（2026·吉林·三模）如图，光滑水平地面上静止放置一辆小车，小车上方固定有足够长竖直光滑绝缘细管，小车与管的总质量为，一质量、电荷量的带正电的绝缘小球放置在管的底部，小球的直径略小于细管的管径。以小球初始位置为坐标原点在纸面内沿水平、竖直方向建立xOy坐标系，在整个空间中存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，的边界（虚线）右侧空间还存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。某时刻在小车上施加一水平向右的外力，让小车在外力作用下做加速度为的运动，当小球进入电场的同时，撤去水平外力，此后的运动过程中小球一直没有离开细管，重力加速度取，小球看作质点，计算结果可以保留根号，求： (1)从施加外力开始，经多长时间小球开始沿细管上升； (2)小球刚进入电场空间前瞬间，小球的竖直分速度及作用在车上的水平外力F的大小； (3)小球从电场左侧边界离开后上升至最高点的速度。 变式2．（2026·山东济宁·二模）如图所示，三维直角坐标系中的z轴垂直纸面向外。在平面右侧、平面上方空间内存在沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小；在平面左侧空间内存在沿轴负方向的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小，磁感应强度大小未知。质量为、电荷量为的粒子在平面内从坐标原点发射，初速度大小为、方向与轴负方向成。经过一段时间后，粒子从点（图中未标出）垂直平面进入右侧空间，粒子在平面右侧空间受到与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力（为已知常量），且粒子恰好从点（图中未标出）垂直平面射出磁场。不计粒子重力，，。求： (1)粒子在平面左侧空间内运动的时间； (2)点的坐标； (3)点到轴的距离； (4)粒子从点运动到点的轨迹长度。 变式3．（25-26高三上·河南周口·期末）威尔逊云室是最早的带电粒子径迹探测器，威尔逊也因此获得了1927年的诺贝尔奖。图甲为威尔逊云室的结构图，图乙为用云室拍摄的带电粒子轨迹图，在云室中粒子除受磁场作用外还会受到周围分子的阻力作用，其轨迹常常呈现为螺旋线。某同学为研究这种螺旋线的轨迹特点，在xOy平面内施加垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，由坐标原点沿x轴正方向发射质量为m、电荷量为q、初速度大小为的带正电粒子，如图丙所示，粒子在运动过程中除受到洛伦兹力外，还受到一个始终与速度方向相反、大小与速率成正比的阻力，比例系数为k，不计粒子受到的重力，求： (1)粒子运动的总路程s； (2)粒子停止运动时与坐标原点的距离L； (3)粒子停止运动时与坐标原点连线的斜率K。 2 学科网（北京）股份有限公司 $