3.1.1 函数的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及定义域、对应关系、值域三要素，课堂导入通过对比初高中函数定义（变量说到集合对应说）衔接旧知，构建从概念到三要素、区间、复合函数的递进式学习支架。 其亮点是87张PPT含分层训练（基础到拔高）、思维导图整合知识，结合例题变式与高考对接。通过数学抽象（对比定义）、逻辑推理（例题解析）培养数学思维，用集合区间语言精确表达，助力学生分层提升能力，教师可实现一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第三章 函数的概念与性质 3.1.1 函数的概念 本节学习函数的概念，理解定义域、值域、对应关系三大要素，掌握函数定义域的求解方法，会判断两个函数是否相同，初步建立对应关系的思维模式 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括87张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 函数的概念 1 函数的概念 一般地，设,是非空的实数集（注意不是任意集合），如果对于集合 中的任意一 个数，按照某种确定的对应关系，在集合（集合 中可以存在多余“元素”）中都 有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合 的一个函数，记作 ,.表示“对应的函数值”，而不是“乘”， 也可用其他字母表示， 如,等 其中,叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的 值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域.（值域是集合 的子集） 4 教材深挖 初高中函数定义的异同点 （对教材第66页【思考】的探究） 初中阶段是从变量间的依赖关系这一角度来描述函数（变量说），高中阶段是运用 集合语言和对应关系刻画了函数（集合对应关系说），明确了函数的构成要素，完 善了函数的概念.两者都凸显了“任意性”“唯一性”. 5 知识剖析 函数的四个特征 非空性 , 必须为非空数集. 任意性 定义域中的每一个元素都有函数值. 唯一性 每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. 方向性 函数是一个从定义域到值域（如果改变这个对应方向，那么新的 对应关系不一定是函数关系）的对应关系. 注意：若从集合到集合能构成函数，则集合, 中元素的对应关系为一对一或多 对一,不能一对多,并且集合中不能有剩余元素,而集合 中可以有剩余元素. . . 6 2 函数的三要素 定义域 函数的定义域是自变量的取值范围.（定义域是非空数集） 对应关 系 对应关系是函数的核心，它是对自变量 实施“对应操作”的“程序”或者“方 法”.按照这一“程序”，从定义域中任取一个,可得到值域 , 中唯一的与之对应.同一“ ”可以“操作”不同形式的变量. 值域 函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定后， 它的值域也就随之确定了.（值域也是非空数集） 辨析比较 与 的区别与联系 表示时的函数值，是值域内的一个元素，它表示的是常量； 表示 自变量为的函数，它表示的是变量.例如，表示函数；当 时， 是一个常量. 7 重要结论 几种常见函数的定义域和值域 （1）一次函数的定义域是，值域是 . （2）反比例函数的定义域是,值域是 . （3）二次函数的定义域是 . 当时，值域是 }; 当时，值域是 }. 8 例1 ［多选题］下列对应关系是集合到集合 的函数的为( ) BC A.，， B.，， C.，， D.，2，，，5， ，对应关系如图3.1.1-1所示 图3.1.1-1 9 【解析】A不是,集合中的元素0在集合 中没有对应的元素. B是,对于集合中的任意一个整数，按照对应关系，在集合 中都有 唯一一个确定的整数 与之对应. C是,对于集合中任意一个实数，按照对应关系，在集合 中都有唯 一一个确定的数0和它对应. D不是,集合中的元素3在集合中没有对应的元素，且中的元素2在集合 中有5和6 两个元素与之对应. 10 3 同一个函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数 值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 特别提醒（1）定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数.因此， 定义域和值域分别相同的两个函数也不一定是同一个函数.如函数 与 的定义域和值域均为 ，但是它们的对应关系不同，所以两个函数不是同 一个函数. （2）两个函数是否为同一个函数，与表示它们的字母无关.如,， , 与, ，因为它们的对应关系和定义域相同，所以它们是同一个函数. 11 函数的判断方法 12 例2 (2026·吉林省东北师范大学附属中学月考)下列各组函数表示同一个函数的是 ( ) B A., B., C., D., 【解析】 选项 思维过程 结论 A 的定义域为，的定义域为 ，定 义域不相同 不是同一个函数 B 定义域和对应关系都相同 是同一个函数 C 的定义域为，的定义域为 ，定 义域不相同 不是同一个函数 D 定义域相同，但对应关系不同 不是同一个函数 13 判断两个函数是不是同一个函数的步骤 14 知识点2 区间 1 区间的概念及表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 15 这里的实数与 都叫做相应区间的端点.在数轴上表示区间时，为了区别开区间、闭 区间的端点，我们用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间 内的端点. 特别提醒 1.区间实质上是数轴某一段上所有点对应的实数组成的集合. 2.由于区间是数集的另一种表示方法，因此区间之间可以进行交、并、补运算. 3.同一区间的左端点必须小于右端点 ．（【隐含条件】若给出一个区间，则有 ）有时我们将称为区间或 的长度．#1.2.3 . . . . 2 含“ ”的区间表示 定义 符号 数轴表示 “ ”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，“ ”读作“正无穷大”，它们 都是一个符号，不是数，以“ ”或“ ”为区间的一端时，这一端必须用小括号． 17 例3 用区间表示下列数集： （1） ________; （2） ______; （3）且 _________________; （4） _________; （5） _________________. 并不是所有的数集都能用区间表示，例如，只含有一个数的集合或集合中的 数是离散的，仍然用集合来表示，如{，，3，等.另外,或 可 表示为 . 18 例4 已知集合,,集合的右端点为3，全集 ，则 ______． 【解析】由已知得，解得, . ， 图3.1.1-2 如图3.1.1-2所示， ．（借助数轴表示更加直观） 19 知识点3 抽象函数与复合函数 1 抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数. 20 2 复合函数的概念 若函数的定义域为，函数的定义域为,称函数 为 与的复合函数，定义域为,且 .其中 叫做中间 变量，叫做内层函数， 叫做外层函数. 不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函数，如 ，就 不是复合函数，因为任何实数都不能使 有意义. 21 3 抽象函数或复合函数的定义域 理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： （1）函数的定义域是指 的取值所组成的集合； （2）函数的定义域是指的取值范围，而不是 的范围； （3）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知的范围为 ,求 出 的取值范围. 22 例5 (2026·江西省上饶市月考)定义在上的函数满足 ， 且，则 ____． 【解析】令，则，得 ； 令，则 ， 即 ， 所以 . 赋值法是求抽象函数的函数值的重要方法. 23 方法帮丨解题突破 题型1 求函数值 类型1 已知函数解析式求函数的值 例6 ［教材改编P65例2］已知， . （1）求和 ； 【解析】， . 24 （2）求, ； 【解析】, . （3）若,求 【解析】,即，解得 . 25 类型2 赋值法求抽象函数的函数值 例7 已知函数对任意正实数,，都有 . （1）求 的值； 【解析】令,，得，解得.（【另解】令 ， 则,即 ） 26 （2）若,,为常数，求 的值. 【解析】方法1：令，得 . 令，得 . 令,，得 . 方法2：令,，得 . 所以 . 27 给定抽象函数式仅能求某些特殊函数值，即通过赋值构建关于所求 函数值的方程，解方程求函数值，如题（1）；而关于给值求值，则需由抽象函数式 的结构特征及已知自变量的值与目标自变量的值之间的关系，恰当地赋值，如题 （2）. 28 解题通法 1.已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式,即可求出相应的函数 值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解. 2.已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值，只需令解析式等于已知函数值， 建立关于自变量的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制. 3.求抽象函数的函数值，往往通过赋值法解决，即通过对抽象函数式中的变量恰当 地赋值求解函数值. 29 练变式1 [多选题](2026·广西南宁市期中)定义在上的函数，对于任意的， 都 有，且 ，则( ) ACD A. B. C. D. 【解析】对于任意的，都有 ， 令，,得，因为，所以 ，即 ，A正确； 令，,得，即 ，所以 ，所以 ，B错误； ， ， 所以 ，C正确； ，D正确．故选 ． 30 题型2 函数的定义域问题 类型1 已知解析式求函数的定义域 例8 求下列函数的定义域: （1） ; 【解析】要使函数式有意义，则 即所以，从而函数的定义域为 . 31 （2） ； 【解析】因为当,即时, （在求定义域时，该式不能化简）有意义, 所以函数的定义域是,也可直接写为 . （3） ; 【解析】要使函数有意义，则且,解得且 ，所以函数的 定义域为 . （4） ; 【解析】要使函数有意义，则且，即且 ，所以函数 的定义域是且 . 32 （5） . 【解析】要使函数有意义，则，解得 , 则函数的定义域是 . 33 求函数的定义域时，不能对解析式进行不等价变形，否则容易出现 这样的错误：,所以使得函数式有意义的应满足,即 ， 故函数的定义域为.事实上，原函数的定义域为 . 34 解题通法 已知解析式求函数定义域的基本步骤#2.1 35 常见函数的定义域 （1）为整式型函数时，定义域为,但需注意函数中的 不为0; （2）由于分式的分母不为0，所以当 为分式型函数时，定义域为使分母不为零 的实数的集合； （3）由于偶次根式的被开方数非负，所以当 为偶次根式型函数时，定义域为使 被开方数非负的实数的集合； （4）如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单 函数定义域的交集. 注意：定义域必须用集合或区间表示，若区间有多个，应用并集符号“ ”连接.#2.3 36 练变式2 函数 的定义域为( ) C A. B. , C. D. 【解析】要使有意义，则有 解得且 ， 故所求函数的定义域为 . 37 类型2 求实际问题中函数的定义域 例9 如图3.1.1-3所示，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆的框架，若半 圆的半径为,求此框架围成的面积与 的函数. 图3.1.1-3 38 给什么得什么 长为1即周长为1，由图可以得出，的长为 . 求什么想什么 要求框架围成的面积 ，即求半圆的面积与矩形的面积之和，半圆 面积为，要求矩形面积需要求,根据周长为1，易得 ，则 矩形面积为 . 差什么找什么 再求函数的定义域，结合题设可知从而可解得 的取值范 围，定义域即得. 39 【解析】由图可知,的长为 , 于是 , ,即 . 由解得 , 此函数的定义域为 . 故所求的函数为， . （求与实际问题有关的函数解析式时，一定要注明函数的定义域） 40 求与实际问题有关的函数的定义域时，不仅要确保函数解析式有意 义，而且要确保有实际意义，如本例中，任何一条线段的长都要大于零. 41 类型3 已知的定义域，求 的定义域 例10 (2026·安徽省合肥市期中)已知函数,则函数 的 定义域为( ) A A., B., C. D., 先求出函数 的定义域，再建立不等式求出复合函数的定义域. 【解析】由 ,解得 ,即函 数的定义域为 . 由,是复合函数的内层函数，则 的定 义域解得,则函数的定义域为, . 42 解题通法 复合函数定义域的求法 若的定义域为，则中，解不等式（组）即得 的 定义域. 43 练变式3 (2026·山东省泰安市第一中学期中)已知函数的定义域为 ，则函 数 的定义域为( ) B A. B. C. D. 【解析】因为函数的定义域为，所以函数 的定义 域满足 解得所以 . 所以函数的定义域为 . 44 类型4 已知函数定义域求变量的取值 例11 若函数的定义域为，则实数 的取值范围是______. 【解析】 函数的定义域为， 恒成立， 当（切勿忽略对的讨论，否则会漏解）时， 恒成立，满足题意；当 时，解得.综上，实数的取值范围是 . 45 题型3 求函数的值域 例12 求下列函数的值域： （1）, ； 【解析】（观察法） 由，分别代入求值，可得函数的值域为 . 46 （2）, ； 【解析】（配方法）,由 ,再结合函数的图象 （如图3.1.1-4），可得函数的值域为 . 图3.1.1-4 47 （3） ； 【解析】方法1： （分离常数法） （通过分离常数使 得分子中无自变量），因为，所以，所以 . 故函数的值域为 . 图3.1.1-5 （分离常数后，可以结合函数图象（图3.1.1-5）判断函数 值域，注意临界值） 方法2：（反表示法） 易得,（当能解出 时，可 以用此法）且 , 由得,即,所以 . 故函数的值域为 . 48 （4） ; 图3.1.1-6 【解析】由得 . 方法1：（换元法） 设，则，且 ， （务必要确定新元的范围） 所以 ， 由 ，再结合函数的图象（如图 3.1.1-6），可得函数的值域 为 . 49 方法2：（判别式法） 由得 ，两边同时平方，得 ， 由，（把看为常数，关于 的一元 二次方程有解，则有 ） 得.故函数的值域为 . 50 （5） ； 【解析】方法1：（直接配凑） 因为 ，所以 （根据分母的结构进行配凑），当且仅当，即 时，等号成立. 故函数的值域为 . 方法2：（换元法） 令，则 ， 所以，当且仅当 ， ，即 时取等号． 故函数的值域为 . 51 （6） ; 【解析】（基本不等式法） 因为，所以 ， （确保各项为正） 令 ， 则 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以（注意不等号的方向）， ， 故函数的值域为 . 52 （7） . 【解析】 . 方法1：（分离常数法） , （注意到分子分母中与 的系数对应成比例） 因为,所以 , 所以 , 故所求函数的值域为 . 53 方法2：（判别式法） 由 , 整理得 . 当时，不存在，则 ； 当时， ， 即 ． 故所求函数的值域为 ． 54 解题通法 求函数值域的常用方法 求函数值域前务必先确定函数的定义域. （1）观察法.利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象观察函数的值域. （2）配方法.求二次函数或可化归为二次函数形式的函数值域，可用配方法.如 或型，但要注意 的取值范围. 55 （3）分离常数法.形如 的函数常用分离常数法求值域.转化 过程为，其值域是 }. 注意：分离常数的目的是减少“变量”，变换后仅出现在分母上，这样 对函数的影 响就比较清晰了. （4）换元法.形如 的函数常用换元法求值域，即先令 ,求出,并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于 的二次函数，最 后用配方法求值域.（此类问题也可以用判别式法求值域） 56 （5）基本不等式法.若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满 足基本不等式的应用条件，则可利用基本不等式求最值，进而即可得到函数的值域. （6）判别式法.一般地，求形如,中至少有一个不为零 的函数的值 域，常把函数转化成关于的二次方程，通过方程有实根，判别式 ， 求出 的取值范围. 使用此法时需注意：①分子分母不可存在公因式，如例 不能利用判别式法；② 需对二次方程的二次项系数是否为0进行讨论. （7）反表示法.根据函数解析式反解出，根据的取值范围转化为关于 的不等式 （组）求解. 57 练变式4 (2026·江苏省南京市检测)函数 的值域是( ) C A. B. C. D. 【解析】由得 ， 设，且 ，则 ， ，， ， ，，故函数的值域为 . 58 练变式5 函数 的值域为_________. ， 【解析】函数 ， （对于方程,，即分母恒大于0，所以对于任意的, 都有意义,所以定义域为 ） 定义域为.令 , 当时，可得.（需对是否为0进行讨论，不能直接默认 就进行变形） 当时，可得 , 当时，可得，当且仅当时取等号,则 ; 59 当时，可得，当且仅当 时取等号,则 ． 故函数的值域为， ． 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：35分钟 1.(2026·江苏省扬州市期中)函数 的定义域为( ) C A. B. C. D. 【解析】若函数有意义，需满足，且，即 ，且 ，即函数的定义域为 ． 练习帮 61 2.下列函数中，值域为 的是( ) C A. B.， C.， D.， ) 练习帮 62 【解析】对于A，由二次函数性质可知，，所以 ，则函数的 值域为 ，A错误； 对于B，因为，所以 ， 则函数的值域为 ，故B错误； 对于C，， ， 则该函数的值域为 ，故C正确； 对于D，举反例：（【另解】 ， 当且仅当时取等号，所以该函数的值域为 ），所以该函数的值域不为 ，故D错误． 练习帮 63 3.(2026·吉林省松原市长岭县第四中学月考)若的定义域是 ，则函数 的定义域是( ) D A.( B. C.) D.( 【解析】因为的定义域是，所以对于函数 ，应满足 即解得，故函数 的定义域是 . 练习帮 64 4.［多选题］(2026·甘肃省兰州市西北中学月考)已知集合，1，2， ， ，2，4，，下列四个对应关系能构成从到 的函数的是( ) AB A. B. C. D. 【解析】对于A，任取，总有 ，故A正确； 对于B，任取，总有 ，故B正确； 对于C，当时， ，故C错误； 对于D，当时， ，故D错误. 故选 ． 练习帮 65 5.［多选题］下列说法不正确的是( ) ACD A.函数与 是同一个函数 B.若函数的定义域为(，则函数的定义域为 C.函数的定义域为 D.若函数的定义域为，则实数的取值范围是 练习帮 66 【解析】对于A，函数的定义域为, 的定义域为 )，故函数与 不是同一个函数，A不正确. 对于B，因为函数的定义域为 , 所以即得 , 所以函数的定义域为 , B正确. 对于C, , 则解集为或 , C不正确. 练习帮 67 对于D, 若函数的定义域为 , 则当时，不等式 恒成立. 当时， 恒成立; 当时，则需满足所以 , 故的取值范围是 , D不正确. 故选 . 练习帮 68 6.(2026·山东省临沂市期末)若对任意, 恒成 立，且，则 ___. 1 【解析】由对任意, 恒成立, 令，得，解得 . 练习帮 69 7.［教材改编P67 T2］ 已知函数 ． （1）求，， ． 【答案】， ， ， . （2）若，求 的值． 【答案】，即 ， ，解得或 ． 练习帮 70 8.（1）求函数 的值域； 【答案】， ， ， 即函数的值域为 }． 练习帮 71 （2）求函数 的值域； 【答案】， ， 当时，，当且仅当 时等号成立； 当时，，当且仅当 时 等号成立． 故函数值域为 . 练习帮 72 （3）求函数 的值域． 【答案】令，，则 ， 则， ， 当 时，函数取得最大值,为2，（结合函数图象判断） 故函数的值域是( ． 练习帮 73 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2026·广东省广州市期中)设函数满足和 ，且 ，则 ( ) A A.1 000 B.3 000 C.2 000 D.4 000 练习帮 74 【解析】， ， ， ， . 在中，令可得， （结合所求式,合 理赋值，为构建目标式做准备）， 即，又，则 ， 即 ， . 练习帮 75 10.(2024· 新课标Ⅰ卷)已知函数的定义域为, ,且当 时, ,则下列结论中一定正确的是( ) B A. B. C. D. 练习帮 76 【解析】因为当时，，所以, . 对于 ， 令，得 ； 令，得 ； 依次类推，得 ； ； ； ； ； ； 练习帮 77 ； ； ； ； . 显然，所以 . 练习帮 11.［多选题，新定义·有界函数］已知定义域为的函数，若存在正数 ，对任 意，都有成立，则称函数是定义域 上的有界函数.下列选项中 是有界函数的是( ) AB A. B. C. D. 练习帮 79 【解析】对于A，因为，又 ，所以 ，所以 ，故A符合题意； 对于B，因为，所以， ，故B符合题意； 对于C，因为，定义域为，所以 的值 域为，则对任意的，不存在正数 ，使得 成立，故C不符合题意； 对于D，因为，定义域为，所以的值域为 ，则对任意的，不存在正数，使得 成立，故D不符 合题意.故选 . 练习帮 80 12.已知函数，，且存在函数， 满足： ，.学生甲认为函数， 一定是同一个函数， 乙认为函数，一定不是同一个函数，丙认为函数， 不一定是同一 个函数.观点正确的学生是____. 甲 练习帮 81 【解析】要使有意义,则解得 ， 即的定义域为 ). 要使有意义，则解得 ， 所以的定义域为 ). ， 由得 ， （判断是否为同一个函数的方法：先判断定义域，再看对应关系） 则函数，的定义域相同，对应关系相同，故函数， 是同一个函数， 故观点正确的学生是甲． 练习帮 82 图3.1.1-1 13.如图3.1.1-1所示,从边长为 的正方形铁片的四个角各 截去一个边长为 的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒 子,要求长方体的高 与底面正方形边长的比值不超过正常 数,试把铁盒的容积表示为关于 的函数,并求出其定义 域. 练习帮 83 【答案】依题意，知长方体盒子的高为，则底面正方形的边长为 ,所以 . 因为（长方体的高与正方形边长的比值不超过t）所以 因为,所以 . 故铁盒的容积,定义域为 }. 练习帮 84 14.(2026·湖南省怀化市入学考试)已知函数 ． （1）求与，与 . 【答案】 函数 , ,,, . （2）猜想与 有什么关系？并证明你的猜想. 【答案】猜想 ，证明如下： ． 练习帮 85 （3）求 的值． 【答案】 , = ． 练习帮 86 C 培优练丨能力提升 15.(2026·湖北省孝感市期末)已知函数的定义域为，且对任意实数， ，都有 .若，则 ___. 0 【解析】因为对任意实数，，都有， ， 所以取，得，即，解得 ， 取,，得，即，解得 ， 取任意,，则，因此 ， 取,，得，得 ， 所以 . 练习帮 87 $