第10讲　题型突破：动态平衡　平衡中的临界、极值问题 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦高中物理动态平衡及平衡中的临界、极值问题，系统梳理动态平衡的定义、解题步骤与矢量三角形法、拉密定理等常见解法，构建临界极值问题的特点分析与解析、图解、极限法的学习支架。 资料以“一题多法”典例（如柱状物体与圆球平衡问题）和晾衣架等生活模型为载体，通过科学思维中的模型建构与科学推理提升解题能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

2026-2027学年高中物理夯基强化讲义（必修一） 第10讲　动态平衡　平衡中的临界、极值问题 ——夯基强化讲义 题型一　物体的动态平衡问题 1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题描述中常用“缓慢”等语言描述。 2.解题步骤 3.动态平衡常见解法 ①矢量三角形法 使用条件：a.单物体只有一个力变方向；b.当时：； ②拉密定理或辅助圆法 使用条件：两力大小与方向均变化，但夹角不变。 a.拉密定理 b.辅助圆 辅助圆的几何原理：“定弦对顶角”。画矢量三角形的外接圆，外接圆就是辅助圆，变化的两个力的交点（矢量末端）会沿旋转方向在圆周上移动；通过判断三角形边长的变化（即弦长变化），确定对应力的大小变化。力过圆心时有最大值。 ③相似三角形 使用条件：两力变向无定角 原理：力是矢量，可构成矢量三角形。若能找到由几何长度构成的三角形与矢量三角形相似，即可利用“相似三角形对应边成比例”求解力的大小。 ④晾衣架模型 使用条件：a.两力大小相同，夹角相同；b.一个恒力 解题技巧：绳长不变看间距，间距越大力越大、间距越小力越小、间距不变力不变。相当于：等腰三角形，高不变，底边越长腰越大（竖小平大） 实例1:水平晾衣架 实例2：倾斜晾衣架 【典例1】　(一题多法)如图所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B。已知物体A的半径为球B的半径的3倍,球B所受的重力为G,整个装置处于静止状态。设墙壁对B的支持力为F1,A对B的支持力为F2。若把A向右移动少许后,它们仍处于静止状态,则F1、F2的变化情况分别是(　 　) A.都减小 B.都增大 C.F1增大,F2减小 D.F1减小,F2增大 【典例2】　如图所示,小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端,轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处,Q端下方悬挂重物,轻绳PQ长度为定值。PQ与水平方向夹角α=30°,OQ与水平方向夹角β=60°,下列说法正确的是(　 　) A.轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力 B.轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的2倍 C.若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动,轻绳PQ对Q端的拉力逐渐增大 D.若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动,轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小 【典例3】　(一题多法)如图所示,固定在竖直平面内的光滑半圆环上套有一质量为m的小球,半圆环的圆心为O。现用始终沿圆弧切线方向的力F拉动小球由M点向圆环最高点N缓慢移动,则此过程中,力F和小球所受支持力FN的变化情况是(　 　) A.F减小,FN增大 B.F增大,FN减小 C.F增大,FN增大 D.F减小,FN减小 1.如图所示为一简易起重装置,AC是上端带有小滑轮的固定支架,BC为质量不计的轻杆,杆的一端C用铰链固定在支架上,另一端B悬挂一个质量为m的重物,并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时,杆BC与AC的夹角∠BCA>90°,现使∠BCA缓慢变小,直到∠BCA=30°(不计一切阻力)。在此过程中,杆BC所产生的弹力(　 　) A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 2.(一题多法)(多选)如图所示,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　AD　) A.MN上的拉力逐渐增大 B.MN上的拉力先增大后减小 C.OM上的拉力逐渐增大 D.OM上的拉力先增大后减小 题型二　平衡中的临界极值问题 1.问题特点 (1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧,拉力F=0。 ③刚好离开接触面,支持力FN=0。 (2)极值问题:平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.三种方法 (1)解析法 根据物体的平衡条件列方程,在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。 (2)图解法 根据平衡条件作出力的矢量图,如只受三个力,则这三个力构成封闭矢量三角形,然后根据矢量图进行动态分析,确定最大值和最小值。 (3)极限法 极限法是一种处理临界问题的有效方法,它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”等),从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来,使问题明朗化,便于分析求解。 重点：常见的临界问题，主要是摩擦力的临界（f静=f滑）和绳子拉断（T=Tmax）,或松弛的临界（T=0）. 基本不等式 1.a+b≥2.ab≤（）2 辅助角公式： Asina+Bcosa=sin(a+b) ，tanb= 【典例4】　如图所示,物体的质量为m=5 kg,两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上,另一端系于物体上(∠BAC=θ=60°),在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F, 若要使两绳都能伸直,求拉力F的大小范围。(g取10 m/s2) 3.如图所示,一个重力为5 N的物体,用细线悬挂在O点,现在用力F拉物体,使细线偏离竖直方向30°保持静止状态,此时所用拉力F的最小值为(　 　) A.5.0 N B.2.5 N C.8.65 N D.4.3 N 1.如图所示,要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F,已知F的最大值为a,最小值为b,则物块所受的最大静摩擦力为(　 　) A. C. 2.如图1所示,为了保持餐具安全卫生,学校食堂将清洗干净后的碗碟等餐具侧立着竖直放置于餐具架上,其侧视图如图2所示,其中固定光滑直杆a、b分别为两等高水平金属杆,图中碗外壁可看作半径为R的半球形。下列说法正确的是 (　　) A.若稍微增大a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对a杆的压力不变 B.若稍微减小a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对b杆压力变大 C.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对a杆的压力变小 D.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对b杆的压力不变 3.如图所示,一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦,在此过程中(　 　) A.F1先减小后增大 B.F1一直增大 C.F2一直减小 D.F2先减小后增大 4.《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示,轻绳一端固定,另一端系在重物上,现向左推动车梯,重物沿斜面缓慢上升,忽略重物和车梯间的摩擦阻力,则此过程中(　 　) A.重物受到的轻绳拉力不变 B.重物受到的轻绳拉力增大 C.重物受到的斜面支持力不变 D.重物受到的斜面支持力增大 5.(多选)如图所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑块固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点),细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接,另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小,使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触,则下列说法正确的是(　 　) A.拉力F一直减小 B.拉力F先增大后减小 C.半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小 D.半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变 6.如图所示,水平杆AO与光滑竖直杆OB,相同的金属球P、Q分别套在杆OA和OB上,并用轻绳连接,水平杆粗糙,现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许后撤去水平力,两球仍静止,则P球受到的摩擦力f和OB杆、OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T变化情况为(　 　) A.f减小,NB增大 B.f增大,NA增大 C.f增大,T减小 D.NA不变,T增大 7.如图所示,两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上,紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上,三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同,不考虑它们之间的摩擦,则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　 　) A. 8.如图甲所示,一攀岩爱好者正在进行攀岩运动,由于前期攀爬体力消耗过大,所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳,一端固定在竖直崖壁上的B点,另一端拴在人的腰间O点(重心处),人的两脚并拢,踩在崖壁上的A点,该过程可以简化为如图乙所示的模型,轻绳为拉直状态,OA也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度之比为OA︰OB︰AB=4︰5︰6,则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为(　 　) A.4︰5 B.5︰4 C.5︰6 D.6︰5 9. (一题多法)(2026·T8联考)如图,光滑水平面上,细线一端固定在O点,另一端与小球相连,小球受到两个相互垂直的水平拉力F1和F2,细线始终水平,F1与细线的夹角为α(α为钝角),小球始终处于平衡状态。则下列说法正确的是(　 ) A.保持拉力F2恒定不变,F1方向不变,大小逐渐增加,则小球受到细线的拉力逐渐减小 B.只增加细线的长度,保持三个力方向不变,则F2减小 C.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐增大 D.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐减小 10.我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出,工人们会搭建简易的斜面通道,这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示,若斜面的倾角为15°,方形矿石与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑,所需的拉力最小值为(　 　) A. mg C. mg 11. (多选)如图是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景示意图。一名工人甲在A点向上拉绳子AO,另一名工人乙站在水平地面上拉住另一根绳子OB,防止空调撞墙。在吊运的过程中,地面上的工人乙在缓慢后退时缓慢放绳,室外机缓慢竖直上升,绳子OB与竖直方向的夹角近似不变,下列说法正确的是(　 　) A.绳子AO上的拉力不断减小 B.绳子OB上的拉力不断增大 C.地面对工人乙的支持力不断增大 D.地面对工人乙的摩擦力不断增大 12.如图所示,一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间,支架的倾角θ=60°,光滑球体的质量为m,支架的质量为2m,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,整个装置保持静止,则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　 　) A. 为则易 第1页/共19页 行则至 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高中物理夯基强化讲义（必修一） 第10讲　动态平衡　平衡中的临界、极值问题 ——夯基强化讲义 题型一　物体的动态平衡问题 1.动态平衡:通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,在问题描述中常用“缓慢”等语言描述。 2.解题步骤 3.动态平衡常见解法 ①矢量三角形法 使用条件：a.单物体只有一个力变方向；b.当时：； ②拉密定理或辅助圆法 使用条件：两力大小与方向均变化，但夹角不变。 a.拉密定理 b.辅助圆 辅助圆的几何原理：“定弦对顶角”。画矢量三角形的外接圆，外接圆就是辅助圆，变化的两个力的交点（矢量末端）会沿旋转方向在圆周上移动；通过判断三角形边长的变化（即弦长变化），确定对应力的大小变化。力过圆心时有最大值。 ③相似三角形 使用条件：两力变向无定角 原理：力是矢量，可构成矢量三角形。若能找到由几何长度构成的三角形与矢量三角形相似，即可利用“相似三角形对应边成比例”求解力的大小。 ④晾衣架模型 使用条件：a.两力大小相同，夹角相同；b.一个恒力 解题技巧：绳长不变看间距，间距越大力越大、间距越小力越小、间距不变力不变。相当于：等腰三角形，高不变，底边越长腰越大（竖小平大） 实例1:水平晾衣架 实例2：倾斜晾衣架 【典例1】　(一题多法)如图所示,在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A,A的左端紧靠竖直墙,A与竖直墙之间放一光滑圆球B。已知物体A的半径为球B的半径的3倍,球B所受的重力为G,整个装置处于静止状态。设墙壁对B的支持力为F1,A对B的支持力为F2。若把A向右移动少许后,它们仍处于静止状态,则F1、F2的变化情况分别是(　A　) A.都减小 B.都增大 C.F1增大,F2减小 D.F1减小,F2增大 【解析】　 方法一　解析法 以球B为研究对象,受力分析如图1所示,可得出F1=Gtan θ,F2=,当A向右移动少许后,θ减小,则F1减小,F2减小,故A正确。 方法二　图解法 如图2所示,A向右移动少许后,G与F1的方向不变,F2顺时针转动,由矢量三角形可以看出F1与F2都减小,故A正确。 【典例2】　如图所示,小明用轻绳PQ拴住轻杆OQ的顶端,轻杆下端O用铰链固定在水平地面上某高度处,Q端下方悬挂重物,轻绳PQ长度为定值。PQ与水平方向夹角α=30°,OQ与水平方向夹角β=60°,下列说法正确的是(　C　) A.轻绳PQ对Q端的拉力大于重物重力 B.轻杆OQ对Q端的支持力等于重物重力的2倍 C.若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动,轻绳PQ对Q端的拉力逐渐增大 D.若小明拉住轻绳P端缓慢向右移动,轻绳PQ对Q端的拉力逐渐减小 【解析】　设重物的重力为mg,轻杆的弹力T1,轻绳的拉力为T2。选择Q点为研究对象,由于OQ为可旋转轻杆,则Q点所受杆的弹力方向沿杆指向Q,Q点所受轻绳的拉力沿绳指向P。Q点受力分析如图甲所示,由几何关系可得,θ=γ=30°,OQ为角平分线,则T2=mg,A错误;由A选项受力分析可知,T1=2mgcos 30°=mg,B错误;过O点作PO的垂线交PQ于S,选择Q为研究对象,作矢量三角形如图乙所示,由几何关系可知,力的矢量三角形与几何三角形OQS相似,且满足,轻绳P端缓慢向右移动过程中,SO减小,SQ增大,则T2增大,C正确,D错误。 【典例3】　(一题多法)如图所示,固定在竖直平面内的光滑半圆环上套有一质量为m的小球,半圆环的圆心为O。现用始终沿圆弧切线方向的力F拉动小球由M点向圆环最高点N缓慢移动,则此过程中,力F和小球所受支持力FN的变化情况是(　A　) A.F减小,FN增大 B.F增大,FN减小 C.F增大,FN增大 D.F减小,FN减小 【解析】　 方法一　拉密定理法 对小球受力分析,把三个力F、FN、G放在一个矢量三角形中,如图甲所示,根据正弦定理有,∠3+∠α=180°, ∠2+∠θ=180°, ∠1+∠β=180°,故有,因为小球的重力G和α不变,所以上式的比值不变。拉动小球由M点向圆环最高点N缓慢移动的过程中,β由钝角增大到180°,即sin β减小,故F减小;θ由钝角减小到90°,即sin θ增大,故支持力FN增大,故选A。 方法二　辅助圆法 由题意知,F、FN、G三个力的合力始终为0,矢量三角形如图乙所示。F、FN的夹角不变,在F拉动小球缓慢移动的过程中,矢量三角形在同一外接圆上,由图可知,F减小,FN增大,A正确。 1.如图所示为一简易起重装置,AC是上端带有小滑轮的固定支架,BC为质量不计的轻杆,杆的一端C用铰链固定在支架上,另一端B悬挂一个质量为m的重物,并用轻质钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时,杆BC与AC的夹角∠BCA>90°,现使∠BCA缓慢变小,直到∠BCA=30°(不计一切阻力)。在此过程中,杆BC所产生的弹力(　A　) A.大小不变 B.逐渐增大 C.先增大后减小 D.先减小后增大 解析:以端点B为研究对象,分析受力情况,作出力的合成图如图,根据平衡条件知,G、FN的合力F合与F大小相等、方向相反。根据三角形相似得,得FN= ·G,∠BCA缓慢变小的过程中,AC、BC不变,则FN不变,故杆BC所产生的弹力大小不变,故选A。 2.(一题多法)(多选)如图所示,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　AD　) A.MN上的拉力逐渐增大 B.MN上的拉力先增大后减小 C.OM上的拉力逐渐增大 D.OM上的拉力先增大后减小 解析:方法一(辅助圆法):设重物的质量为m,重物受到重力mg、OM绳的拉力FOM、MN绳的拉力FMN共三个力的作用。缓慢拉起过程中任一时刻可认为是平衡状态,三力的合力恒为0。如图1所示,由三角形法则得一首尾相接的闭合三角形,由于α>且不变,则三角形中FMN与FOM的交点在一个圆弧上移动,由图可以看出,在OM被拉到水平的过程中,绳MN中拉力一直增大且恰好达到最大值,绳OM中拉力先增大后减小,故A、D正确,B、C错误。 方法二(正弦定理法):设重物的质量为m,绳OM的拉力为TOM,绳MN的拉力为TMN。开始时,TOM=mg,TMN=0。由于缓慢拉起,则重物一直处于平衡状态,两绳拉力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图2所示,已知角α不变,在重物被缓慢拉起的过程中,角β逐渐增大,则角(α-β)逐渐减小,但角θ不变,在三角形中,利用正弦定理得,(α-β)由钝角变为锐角,则TOM先增大后减小,D正确;同理知,在β由0变为的过程中,TMN一直增大,A正确。 题型二　平衡中的临界极值问题 1.问题特点 (1)临界问题:当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动,摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧,拉力F=0。 ③刚好离开接触面,支持力FN=0。 (2)极值问题:平衡物体的极值,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 2.三种方法 (1)解析法 根据物体的平衡条件列方程,在解方程时采用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论分式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。 (2)图解法 根据平衡条件作出力的矢量图,如只受三个力,则这三个力构成封闭矢量三角形,然后根据矢量图进行动态分析,确定最大值和最小值。 (3)极限法 极限法是一种处理临界问题的有效方法,它是指通过恰当选取某个变化的物理量将问题推向极端(“极大”“极小”等),从而把比较隐蔽的临界现象暴露出来,使问题明朗化,便于分析求解。 重点：常见的临界问题，主要是摩擦力的临界（f静=f滑）和绳子拉断（T=Tmax）,或松弛的临界（T=0）. 基本不等式 1.a+b≥2.ab≤（）2 辅助角公式： Asina+Bcosa=sin(a+b) ，tanb= 【典例4】　如图所示,物体的质量为m=5 kg,两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上,另一端系于物体上(∠BAC=θ=60°),在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F, 若要使两绳都能伸直,求拉力F的大小范围。(g取10 m/s2) 【答案】　 N 【解析】　设AB绳的拉力为F1,AC绳的拉力为F2,对物体受力分析,由平衡条件有Fcos θ-F2-F1cos θ=0,Fsin θ+F1sin θ-mg=0,可得F=-F1,F=。若要使两绳都能伸直,则有F1≥0,F2≥0,则F的最大值Fmax= N,F的最小值Fmin= N,即拉力F的大小范围为 N。 3.如图所示,一个重力为5 N的物体,用细线悬挂在O点,现在用力F拉物体,使细线偏离竖直方向30°保持静止状态,此时所用拉力F的最小值为(　B　) A.5.0 N B.2.5 N C.8.65 N D.4.3 N 解析:如图所示,以物体为研究对象,分析受力情况,其受重力G、细线的拉力FT和拉力F,由图看出,当F与细线垂直时F最小,由数学知识得F的最小值为F=Gsin 30°=2.5 N,故B正确。 1.如图所示,要使物块静止在斜面上必须在物体上施加一平行于斜面向上的拉力F,已知F的最大值为a,最小值为b,则物块所受的最大静摩擦力为(　A　) A. C. 解析:根据题意,当F最大时,有Fmax=mgsin θ+fm=a,当F最小时,有Fmin+fm=b+fm=mgsin θ,联立可得fm=,故选A。 2.如图1所示,为了保持餐具安全卫生,学校食堂将清洗干净后的碗碟等餐具侧立着竖直放置于餐具架上,其侧视图如图2所示,其中固定光滑直杆a、b分别为两等高水平金属杆,图中碗外壁可看作半径为R的半球形。下列说法正确的是 (　C　) A.若稍微增大a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对a杆的压力不变 B.若稍微减小a、b间距,且碗仍保持竖直静止,碗对b杆压力变大 C.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对a杆的压力变小 D.若将质量相同、半径R更大的碗竖直放置于a、b杆之间,碗对b杆的压力不变 解析:由牛顿第三定律可知,碗对杆的压力与杆对碗的弹力始终等大反向。对碗受力分析如图,设b杆对碗的弹力F2与竖直方向的夹角为θ,则根据共点力的平衡条件可得F1=Gtanθ,F2=,若增大a、b间距,θ增大,则F1变大,故A错误;若减小a、b间距,则θ减小,F2减小,故B错误;将质量相同、半径更大的碗竖直放置于a、b杆之间,则θ减小,F1减小,F2减小,故C正确,D错误。 3.如图所示,一小球放在倾斜的墙面与木板之间。设小球对墙面的压力大小为F1,小球对木板的压力大小为F2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置沿顺时针缓慢转到与墙面垂直的位置。不计摩擦,在此过程中(　C　) A.F1先减小后增大 B.F1一直增大 C.F2一直减小 D.F2先减小后增大 解析:小球受到重力G、墙面的弹力F'1、木板的弹力F'2,受力分析如图所示,F'1的方向不变,受到的木板的弹力F'2方向由斜向左下转到斜向左上方的过程中,两个力的合力与重力等大、反向,根据平行四边形定则,由图可得F'1逐渐变小,F'2逐渐变小,根据牛顿第三定律知,F1、F2均一直减小,C正确,A、B、D错误。 4.《墨经》中记载可以通过车梯(一种前低后高的斜面车)提升重物。如图所示,轻绳一端固定,另一端系在重物上,现向左推动车梯,重物沿斜面缓慢上升,忽略重物和车梯间的摩擦阻力,则此过程中(　D　) A.重物受到的轻绳拉力不变 B.重物受到的轻绳拉力增大 C.重物受到的斜面支持力不变 D.重物受到的斜面支持力增大 解析:重物缓慢上升的过程中,重物所受重力大小、方向不变,支持力的方向不变,而轻绳拉力的方向不断变化,受力如图所示,由图可知,重物所受支持力FN不断增大,轻绳拉力T不断减小,故选D。 5.(多选)如图所示,一斜面固定在水平面上,一半球形滑块固定在斜面上,球心O的正上方有一定滑轮A(视为质点),细线的一端与一质量分布均匀的光滑圆球B连接,另一端绕过滑轮A在水平向右的拉力F作用下使圆球B保持静止。改变拉力F的大小,使圆球B从两球心等高的位置缓慢移动到圆球B的球心正好在O点的正上方(不考虑该位置的情况)。圆球B不会与定滑轮A接触,则下列说法正确的是(　AD　) A.拉力F一直减小 B.拉力F先增大后减小 C.半球形滑块对圆球B的支持力先增大后减小 D.半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变 解析:对B进行受力分析并合成三角形如图所示,根据几何关系可知图中力构成的矢量三角形与阴影部分的三角形相似,则,移动过程中,高度h和两球的球心距离r不变,所以半球形滑块对圆球B的支持力大小保持不变,细线长度l变短,则拉力F减小,故B、C错误,A、D正确。 6.如图所示,水平杆AO与光滑竖直杆OB,相同的金属球P、Q分别套在杆OA和OB上,并用轻绳连接,水平杆粗糙,现在用水平力缓慢拉动小球P向右移动少许后撤去水平力,两球仍静止,则P球受到的摩擦力f和OB杆、OA杆的支持力NB与NA以及PQ间绳子的拉力T变化情况为(　D　) A.f减小,NB增大 B.f增大,NA增大 C.f增大,T减小 D.NA不变,T增大 解析:设每个小球的质量为m,以整体为研究对象,在竖直方向有N=2mg,故将P稍微向右移动少许后NA不变;以Q为研究对象,Q静止时合力为0,没有变化。Q受力情况如图所示,故有Tcos θ=mg,可得T=,由于P向右移动少许,故θ增大,所以T增大。而NB=Tsin θ=mgtan θ,由于θ增大,所以竖杆对Q的弹力NB增大。对整体来说NB=f,故P所受的摩擦力f增大,故选D。 7.如图所示,两根半圆柱体静止于粗糙程度处处相同的水平地面上,紧靠但无相互作用力。现将一根圆柱体轻放在这两根半圆柱体上,三者均静止。已知圆柱体和两半圆柱体的材料、长度、半径、密度均相同,不考虑它们之间的摩擦,则半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)(　B　) A. 解析:设圆柱体的质量为m,则半圆柱体的质量为,设圆柱体与半圆柱体之间的弹力大小为F,对圆柱体进行受力分析如图所示,根据平衡条件有2Fcos 30°=mg,解得F=mg。设地面对一个半圆柱体的支持力为FN,结合对称性,对圆柱体与两半圆柱体整体进行分析有2FN=g,解得FN=mg,三者始终处于静止状态,则有Fsin 30°≤μFN,解得μ≥,即半圆柱体与水平地面间的动摩擦因数至少为,故选B。 8.如图甲所示,一攀岩爱好者正在进行攀岩运动,由于前期攀爬体力消耗过大,所以借助攀岩绳停在图示位置做短暂休息调整。攀岩绳可视为轻绳,一端固定在竖直崖壁上的B点,另一端拴在人的腰间O点(重心处),人的两脚并拢,踩在崖壁上的A点,该过程可以简化为如图乙所示的模型,轻绳为拉直状态,OA也视为直线。已知图乙中三角形三条边的长度之比为OA︰OB︰AB=4︰5︰6,则攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为(　A　) A.4︰5 B.5︰4 C.5︰6 D.6︰5 解析:如图,由力的平衡和三角形相似有,根据牛顿第三定律可得攀岩爱好者对岩壁的作用力和对轻绳的拉力大小之比为4︰5,故选A。 9. (一题多法)(2026·T8联考)如图,光滑水平面上,细线一端固定在O点,另一端与小球相连,小球受到两个相互垂直的水平拉力F1和F2,细线始终水平,F1与细线的夹角为α(α为钝角),小球始终处于平衡状态。则下列说法正确的是(　D　) A.保持拉力F2恒定不变,F1方向不变,大小逐渐增加,则小球受到细线的拉力逐渐减小 B.只增加细线的长度,保持三个力方向不变,则F2减小 C.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐增大 D.若保持α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则小球受到细线的拉力将逐渐减小 解析:保持F2不变,如图甲所示,由三角形法则可知,F1增大时,FT逐渐增大,A错误。只增加细线的长度,对力的大小没有影响,F2大小不变,B错误。方法一:α角和F2不变,将拉力F1沿顺时针方向缓慢转动,则F1与F2之间夹角β减小,且β<90°,沿着垂直F1方向正交分解可得FTsin(180°-α)=F2sin β,可知细线上拉力逐渐减小,C错误,D正确。 方法二:小球平衡时受三力作用如图乙所示,F1与FT的夹角和F2不变,故三个交点始终位于同一圆上,且初始时FT过圆心,弦长为最大值,此后F1沿顺时针转动,拉力FT逐渐减小。 10.我国明代综合性科技巨著《天工开物》“五金”篇中提到为了将矿石从矿坑中运出,工人们会搭建简易的斜面通道,这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示,若斜面的倾角为15°,方形矿石与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑,所需的拉力最小值为(　A　) A. mg C. mg 解析:对矿石受力分析如图,将FN与Ff合成,设其合力方向与FN成α夹角,易知tan α=,得α=30°,分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线,可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等,即β=15°,由几何关系得,过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线,即为所需的拉力最小值,Tmin=mgsin (α+β),得Tmin=mg,故选A。 11. (多选)如图是工人在高层安装空调时吊运室外机的场景示意图。一名工人甲在A点向上拉绳子AO,另一名工人乙站在水平地面上拉住另一根绳子OB,防止空调撞墙。在吊运的过程中,地面上的工人乙在缓慢后退时缓慢放绳,室外机缓慢竖直上升,绳子OB与竖直方向的夹角近似不变,下列说法正确的是(　BD　) A.绳子AO上的拉力不断减小 B.绳子OB上的拉力不断增大 C.地面对工人乙的支持力不断增大 D.地面对工人乙的摩擦力不断增大 解析:对室外机受力分析,分别受AO、OB拉力F1、F2和自身重力mg而平衡,室外机受力如图甲所示。将这三个力构成矢量三角形,如图乙所示。由图可知,地面上的工人在缓慢后退时缓慢放绳过程中,β不变,α逐渐增大,F1、F2均增大,故A错误,B正确;β不变,绳子的拉力F2增大,则绳子的拉力F2在竖直方向的分力增大,对地面工人,由平衡条件易得地面对工人的支持力不断变小,绳子的拉力F2在水平方向的分力增大,可知地面对工人乙的摩擦力不断增大,故C错误,D正确。 12.如图所示,一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间,支架的倾角θ=60°,光滑球体的质量为m,支架的质量为2m,已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力,整个装置保持静止,则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　D　) A. 解析:对光滑球体受力分析如图甲所示,根据平衡条件可得FN2cos θ=mg,对支架受力分析如图乙所示,根据牛顿第三定律可知FN3=FN2,对支架由平衡条件可得FN4=2mg+FN3cosθ,Ff=FN3sin θ,又Ff=μFN4,联立以上各式解得μ=,可知支架和地面间的动摩擦因数至少为,故选D。 为则易 第1页/共19页 行则至 学科网（北京）股份有限公司 $