第二章 直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷(一)-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

解得/20=2， 所以，点B的坐标为(2，一3).] y0=-3, 15.2√2[：圆C:x2+y2-2x-2y-m=0与直线 y=x一4相切，圆C的圆心C(1,1), ÷圆C的半径r=1-4=2反.] W/1+1 16.(号，1）[方程表示圆的条件是(-4)2+22-4×5 >0,即k<1,点E在圆的外部条件为12+02一4X1 +2X0十5>0，解得>是，所以k的取值范国 为（号1门 17.解：(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8, ∴.圆的标准方程为(x一4)2+十y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3-0)2+（一4-b)2=52, ∴.b=0或b=一8，.圆心为(0,0)或(0，-8)， 又r=5, .圆的标准方程为x2+y2=25或x2十(y+8)2 =25. (3)圆心在y=-2x上，设圆心为(a,-2a), 设圆心到直线x一y一1=0的距离为r. 则r=a+2a-1 ① √2 又圆过点P(2,-1),∴.2=(2-a)2+(-1+2a)2,② a=1,a=9, 由①②得 或 r=√2r=132, .圆的标准方程为(x-1)2十(y十2)2=2或(x-9)2 +(y+18)2=338. 18.解：设圆心坐标为(a,-2a十3)，则圆的半径 r=√/(a-0)2+(-2a+3-0)2=√/5a2-12a+9 √5(a-）+当a=时m-3 5 故所求国的方程为(x-）十(y一寻）=号. 19.解：(1)圆的方程化为[x-(t+3)]2+[y+(1 4t2)]2=1+6t-7t2. 由7-位-1<0得-号<1<1. 故t的取值范国是（一7,1） (2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t+3,4t2-1),半径 为√1+6t-7t2. (3)r=√/-7+61+1 -】+<49 r的最大值为1，此时=多圆的标准方程为 3 (4)+(+8)-9 13 20.解：设点P关于直线y=x十1的对称点为C(m,n), 1+2=-2+m+1, 2 则由 -1 (m十2 ·1=-1, 解得m=0, 即C(0,-1). {n=-1 故圆心C到直线3.x十4y一11=0的距离 d=4-卫=3， √/9+16 所以圆C的半径的平方r2=d2+AB=18 4 故圆C的方程为x2+(y十1)2=18. 21.解：设两圆的交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则A,B的坐标是方程组 1x2+y2=1, x2+y2-2x-2y+1= 的解， 两式相减得x十y-1=0. 因为A,B两点的坐标满足x十y一1=0， 所以AB所在直线方程为x十y-1=0, 即C1,C2的公共弦所在直线方程为x十y一1=0， 圆C的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d=二 由条件知r2-d2=251=23 4-2=41 所以直线AB被圆C3藏得的弦长为2X图 2 =W23. 22.解：由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为 x-y=0. 圆C1:(x+2)2+y2=3,圆C2:(x+1)2+(y+1)2 =1, 圆心C1(-2,0),C2(-1,-1), “两国心CC所在直线的方程为品。-品 即x十y+2=0. 过两圆的交点的圆中面积最小的圆也就是以公共弦 为直径的圆 x-y=0, 由 得所求圆的圆心为（一1，一1） x+y+2=0, 又圆心C1(-2,0)到公共弦所在直线x一y=0的距 离d=1-20l=, √ .所求圆的半径r=√(3)2-(2)2=1， .所求圆的方程为(x十1)2+(y十1)2=1. 第二章直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷（一） 1.C[AB的方向向量坐标为(4+1,8+2)，即(5,10) 又(1，k)电是AB的方向向量，k=9=2.] 2.D[由k1,k3是方程2x2-3x一2=0的两根，解方程 1k1=2, k1=一2’或 得 1又1∥12，所以k1=2, k3=2 k3=-2 所以1十e十8=1或子.] 3.D[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互 为相反数，.k40=3,kAB=一3，由点斜式方程得y一3 =-3(x-1).] 4.D[由ax+by十c=0,得斜率k=-分，直线在，y 轴上的载距分别为一日，一合·由题图，6<0，即一名 <0ab>0.:->0,-6>0ac<0.bc<0.若 c0,则a>0,b>0:若c>0,则a0,b<0. 5.B[原点在直线1上的射影为点(2,1)，∴.直线1的 斜率为k-二一2，又点(2,1)在直线1上 ,.所求的直线方程为y一1=一2(x一2)， 即2x+y-5=0.] 6.B[由，点A(1,2),点B (3,1)可得|AB|=√4+I =√5<1+2， 所以不存在与线段AB相 交的符合题意的直线，故 存在两条符合题意的直 线，这两条直线在线段AB的两侧，如图，故选B.] 7.B[圆的半径r=2.圆心(3，-1)到直线x=一3的距 离为6，，∴.PQ的最小值为6一r=6一2=4，故选B. 1(x-1)2+y2=1, 8.D[圆与直线联立 x-my+m=0, 整理得(1+m2)y2-2m(m+1)y十m2+2m=0,,图 象有两个交点，∴.方程有两个不同的实数根，即△>0， △=4m2(m+1)2-4(m2+2m)(m2+1)=-8m>0, 解得m<0. 圆(x一1)2十y2=1都在x轴的正半轴和原点，若要 交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个 交点在第一象限，一个交点在第四象限. ÷12=m2十20<0，解得-2<m<0,故选D.] 1+m2 9.ACD[A中，B≠0时，A.x+By+C=0可化为y= 合合故A正确：B中，C≠0时， +B十C-0要化为C十C=1,要满足A,B≠0， C 故B错误：C中，若mx十y-n=0与x十my十1=0平行， 则m2=1即m=士1，而m=1时n≠-1，否则重合； 13 m=一1时n≠1，否则也重合，故C正确；D中，由垂直 条件可知，a(a-1)十(1-a)(2a十3)=0，解得a=1 或a=-3. 故D正确.故ACD正确.] 10.ACD[因为三条直线2.x-3y+1=0,4x+3y+5=0, mx一y-1=0不能构成三角形，所以直线mx一y一1=0 与2.x-3y十1=0,4x+3y十5=0平行，或者直线mx y-1=0过2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点，当 直线mx-y-1=0与2x-3y十1=0,4x+3y+5=0 分别辛行时，m=号或一青：当直线m一y一1=0过 2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点时，m= 子所以实燕m的取值条合为{号子号}， 故选ACD.] 11.ABC[当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别 为x=6,x=-3,则d=9. 当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y一2 =k(x-6)与y+1=k(x十3)， 即kx-y+2-6k=0,kx-y+3k-1=0, d=12-6k-3+1=19k-3到 √R2+1 √k2+1 由此可得(81-d2)k2-54k+9-d2=0. 当81-dP=0,即d=9时k=-专d=9成立. 当d≠9时，由k∈R,可得△=(-54)2-4(81-d2) (9-d2)≥0， 即d4-90d2≤0，∴.0<d≤3√10且d≠9. 综上所述，d∈(0,3/10].故应选ABC.] 12.AD[显然斜率不存在时x=2不合适，设l:y-2= x-2)即k虹-y十2-26=0，由条件可知4-2张= √R2+1 ,解得=7或-1. √R2+1 当负=2时，l/AB,方程为x-2y+2=0,当k=-1 时，l过AB中点，方程为x十y-4=0.] 13.(3,0)或(0,3)[由题意知kPA=-1,若P点在x轴 上，则设P(m,0),则9-号=-1，解得m=3:若P点 m-1 在y轴上，则设P(0,0),则-=-1，解得=3，故 0-1 P点的坐标为(3,0)或(0,3).] 14.一2[根据三角形的中位线定理，得EF∥AB, ÷k=k=3,卫=-2.] 0-2 15.3x十2y一6=0[因为过点(0,3)，所以直线在y轴 上的截距为3，又截距之和为5，即在x轴上的截距 为2，由藏距式方程得艺+学=1即3x+2)-6 =0.] 16.2[由题意得，直线1栽圆所得的劣孤长为，则国 心到直线的距离为号，即=气→a21,同理 2 2 可得b2=1,则a2+b=2.] 17.解：(1)设点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平 行四边形，所以kAB=kCD,kAD=kBC, 0-2_b-4 5-1a-31 ,a=-1, 所以〈 解得 所以D(-1,6). 6-2=4-0 b=6, a-13-51 (2》图为c等号1,6m=9-9 1-5=-1, 所以kAC·kD=一1，所以AC⊥BD,所以□ABCD 为菱形. 18.解：(1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y=k(x一2)，点A(3,4)在直线上， ∴.k=4,.y=4×(x-2)=4x-8, ∴.所求直线方程的斜截式为y=4x一8. 法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 尉直线的钟率负一专号4 由直线的，点斜式方程得y-0=4X(x-2)=4x-8, .所求直线方程的斜截式为y=4x一8. (2)因为直线x十y=0的方程可化为y=一x,斜率 为一1， 又直线y=2x十3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y=一x十3. 19.解：法一：由题意，设直线1的方程为3x+4y+m=0 (m≠1)，令x=0,得y=一空令y=0,得x=一号， 所以一贺十（兴）=子部得m=一4 所以直线1的方程为3x十4y-4=0. 法二：由题意，直线1不过原，点，则在两坐标轴上的截 距都不为0. 可设1的方程为后+六=1a≠0，b0, -b=-3, 4” 4 则有 解得 a=3' 7 a十b=3: b=1, 所以直线1的方程为3x十4y一4=0. 2x+y-3=0, 20.解：解方程组 得交点P(1,1), x-y=0, (1)若直线与1平行， k1=2,∴.斜率k=2, 13 .所求直线方程为y一1=2(x-1), 即2x-y-1=0. (2)若直钱与归垂直，：2=号 斜率=一 1 2 2 =一3 所求直线的方程为y一1=一号（红-D。 即2x+3y-5=0. 21.解：(1)点P(a,a十1)在圆上， ∴.a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, ∴.=4，故P(4,5), ∴.|PQ|=/(4+2)2+(5-3)2=210, km=3-5 1 -2-4=3 (2):圆心C的坐标为(2,7)， .QC=√(2+2)2+(7-3)z=4√2， 圆的半径是2√2，点Q在圆外， .|MQI max=4V2+22=6√2， |MQ1min=4√2-2√2=2√2. 22.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 圆M过点A(0,a),B(-√/3a,0),C(√3a,0), (a2+aE+F=0, ∴.3a-√3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a. 3a+√3aD+F=0, .圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y) =0. 3+y=0, 由{ x2+y2+3y=0, 解得x=0,y=-3..圆M过定点(0，一3). 第二章直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷（二） 1.C[设关于y轴对称的直线的倾斜角为a,则有a十0=π， 所以a=元一0.故选C.] 2.A[由已知可得2m-m2-1=0→m=1→k=1→y-1= 一1(x-2)→x十y-3=0,这就是所求直线方程，故 选A.] 3.D[由题意知k2十4一4(k2一15)>0，且点在圆外，故 12+22+k+2×2+2-15>0,解得-号5<k<-3 或2<k<.] 4.A[①当m=一1时，两直线分别为x一2=0和 x一2y一4=0，此时两直线相交，不合题意. ②当m≠一1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可第二章 直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷（一） (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.若点A(一1，一2)，B(4,8),已知AB的方向向量为(1，k),则实数k的值为 A司 B号 C.2 D.-2 如 2.已知直线L1,l2,l3的斜率分别是1，k2,k3,其中11∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x一2=0的 两根，则，十k2十k3的值是 ( ) 金邮 D.1或2 A.1 3.在等腰三角形AOB中，AO=|AB,点O(0,0),A(1,3),点B在x轴的正半轴上，则直 线AB的方程为 A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) 邻 C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 4.已知直线ax十by十c=0的图象如图所示，则 数 A.若c>0,则a>0,b>0 B.若c>0,则a<0,b>0 有 C.若c<0,则a>0,b<0 阳 D.若c<0,则a>0,b>0 湘 5.坐标原点在直线l上的射影为点(2,1)，直线l的方程是 A.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 C.2x+3y-7=0 D.3x十2y-8=0 6.在平面直角坐标系中，点A(1,2),点B(3,1)到直线1的距离分别为1和2，则符合条件的 直线条数为 ( ) A.3 B.2 C.4 D.1 49 7.设P是圆(x一3)2+(y十1)2=4上的动点，Q是直线x=一3上的动点，则|PQ的最小值 为 A.6 B.4 C.3 D.2 8.若直线x一my十m=0与圆(x一1)2+y2=1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象 限，则m的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,0) D.(-2,0) 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列命题正确的是 A.当B≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程 B.当C≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程 m=1 (m=-1 C.两直线m.x+y-n=0与x十my十1=0互相平行的条件是 或 n≠一1 n≠1 D.直线a.x十(1一a)y=3与直线(a-1)x十(2a+3)y=2互相垂直的条件是a=1或a=一3 10.已知三条直线2x一3y+1=0,4x十3y+5=0,m.x一y一1=0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为 ( A一 B吉 c号 D.一3 11.两条平行线分别经过点A(6,2),B(一3，一1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是 ( A.4 B.7 C.9 D.11 12.下列过(2,2)的直线1中，到两点A(0,一2)，B(8,2)的距离相等的是 A.x+y-4=0 B.x=2 C.2x+y-6=0 D.x-2y+2=0 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 50 14.已知在△ABC中，A(0,3),B(2,一1)，E,F分别是AC,BC的中点，则直线EF的斜率为 15.过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是 16.直线l:y=x十a和l2:y=x十b将单位圆C:x+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+ b2= 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知在☐ABCD中，A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标； (2)试判定□ABCD是否为菱形？ 一 51 18.(本小题满分12分)根据条件写出下列直线方程的斜截式. (1)经过点A(3,4),在x轴上的截距为2； (2)斜率与直线x十y=0相同，在y轴的截距与直线y=2x十3的相同. 52- 19.(本小题满分12分)求与直线3x十4十1=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为了的 直线1的方程 一 53 20.(本小题满分12分)分别求经过两条直线2x十y一3=0和x一y=0的交点，且符合下列 条件的直线方程. (1)平行于直线l1:4x-2y一7=0； (2)垂直于直线l2:3x-2y十4=0. 54 21.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y-4x一14y十45=0及点Q(-2,3). (1)P(a,a十1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求MQ的最大值和最小值. 一 55 22.(本小题满分12分)设△ABC的顶点坐标A(0,a),B(一√3a,0),C(√3a,0),其中a>0, 圆M为△ABC的外接圆. (1)求圆M的方程. (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由. 一56