第二章 直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷(二)-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

为2，由藏距式方程得艺+学=1即3x+2)-6 =0.] 16.2[由题意得，直线1栽圆所得的劣孤长为，则国 心到直线的距离为号，即=气→a21,同理 2 2 可得b2=1,则a2+b=2.] 17.解：(1)设点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平 行四边形，所以kAB=kCD,kAD=kBC, 0-2_b-4 5-1a-31 ,a=-1, 所以〈 解得 所以D(-1,6). 6-2=4-0 b=6, a-13-51 (2》图为c等号1,6m=9-9 1-5=-1, 所以kAC·kD=一1，所以AC⊥BD,所以□ABCD 为菱形. 18.解：(1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y=k(x一2)，点A(3,4)在直线上， ∴.k=4,.y=4×(x-2)=4x-8, ∴.所求直线方程的斜截式为y=4x一8. 法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 尉直线的钟率负一专号4 由直线的，点斜式方程得y-0=4X(x-2)=4x-8, .所求直线方程的斜截式为y=4x一8. (2)因为直线x十y=0的方程可化为y=一x,斜率 为一1， 又直线y=2x十3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y=一x十3. 19.解：法一：由题意，设直线1的方程为3x+4y+m=0 (m≠1)，令x=0,得y=一空令y=0,得x=一号， 所以一贺十（兴）=子部得m=一4 所以直线1的方程为3x十4y-4=0. 法二：由题意，直线1不过原，点，则在两坐标轴上的截 距都不为0. 可设1的方程为后+六=1a≠0，b0, -b=-3, 4” 4 则有 解得 a=3' 7 a十b=3: b=1, 所以直线1的方程为3x十4y一4=0. 2x+y-3=0, 20.解：解方程组 得交点P(1,1), x-y=0, (1)若直线与1平行， k1=2,∴.斜率k=2, 13 .所求直线方程为y一1=2(x-1), 即2x-y-1=0. (2)若直钱与归垂直，：2=号 斜率=一 1 2 2 =一3 所求直线的方程为y一1=一号（红-D。 即2x+3y-5=0. 21.解：(1)点P(a,a十1)在圆上， ∴.a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, ∴.=4，故P(4,5), ∴.|PQ|=/(4+2)2+(5-3)2=210, km=3-5 1 -2-4=3 (2):圆心C的坐标为(2,7)， .QC=√(2+2)2+(7-3)z=4√2， 圆的半径是2√2，点Q在圆外， .|MQI max=4V2+22=6√2， |MQ1min=4√2-2√2=2√2. 22.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 圆M过点A(0,a),B(-√/3a,0),C(√3a,0), (a2+aE+F=0, ∴.3a-√3aD+F=0,解得D=0,E=3-a,F=-3a. 3a+√3aD+F=0, .圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. (2)圆M的方程可化为(3+y)a-(x2+y2+3y) =0. 3+y=0, 由{ x2+y2+3y=0, 解得x=0,y=-3..圆M过定点(0，一3). 第二章直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷（二） 1.C[设关于y轴对称的直线的倾斜角为a,则有a十0=π， 所以a=元一0.故选C.] 2.A[由已知可得2m-m2-1=0→m=1→k=1→y-1= 一1(x-2)→x十y-3=0,这就是所求直线方程，故 选A.] 3.D[由题意知k2十4一4(k2一15)>0，且点在圆外，故 12+22+k+2×2+2-15>0,解得-号5<k<-3 或2<k<.] 4.A[①当m=一1时，两直线分别为x一2=0和 x一2y一4=0，此时两直线相交，不合题意. ②当m≠一1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可 1 1+m 得 2 解得m=1. 2≠一2， 1+m 综上可得m=1.故选A.] 5.B[圆心(3,3)到直线3x+4y-11=0的距离d= 13×3十3×4-1山=2，而圆的半径为3，故符合题意 的点有2个.] 6.C[由题意得，直线方程为y= 3(x-1), 即x-√3y-1=0. 圆心(2,0)到直线的距离为d=121山=1 2 2 故所求孩长为1=2P-d=2√1-(2）=厅.故 选C.] 7.B[将圆x2+y2+k.x+2y十2=0化成标准方程，得 (+含)+(+10=1-婆r2=1-奖当同取 得最大面积时，k=0,半径r=1,因此直线y=(k-1) x十2，即y=一x十2.得直线的倾斜角a满足tana= -1,∴.a=135°.] 8.C[当A,B都在1的同侧时，设l的方程为y一1= (一2》，此时，AB/1,所以k=AB=号2,1的方 3-1 程为2x-y-3=0.当A,B在1的两侧时，A,B到 x=2的距离相等， 因此，l的方程为x=2,故选C.] 久ABCD TAG-4号 w28是 _3 且C不在直线AB上，∴.AB∥CD,故A正确；又因为 D-号=号-音a·n=-l1 .AB.LAD,故 B正确：：|AC=√(6-2)2+(12+4)=4√/17， |BD1=√/(2-6)2+(12+4)2=4√17， ∴.AC=BD.故C正确； 又c8品士m号 12+4=-4. ∴.kAc·kBD=-1,.AC⊥BD,故D正确.] 10.ABC[圆方程为(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为 (2,2),半径为3√2，要使条件成立，设圆心到直线的 距离为d,只需要d=lC≤32-22，即-2≤c≤2，所 2 以ABC均符合条件.] 11.BC[点M到各直线的最小距离：对于A,d1= 5-0+1山=32>4：对于B,d2=2<4:对于C, √2 13 d3=15X4-3X0=4:对于D, 5 d4=5X2-0+1=是>4，所以符合条件的 √5 5 有BC.] 12.ABCD[,点A(一3,3)关于x轴的对称点为A'(一3， 一3).圆方程为(x-2)2十(y一2)2=1，斜率存在时，设 反射光线方程为y十3=k(x十3)，即kx-y十3k-3=0. 由相切知126=2+3=3到=1， R+1 解得=吉或子 六反射光线方程为叶3=号十3)或y叶3=子(+3》 即4x-3y十3=0或3.x-4y-3=0,故A正确. 又A'(一3，一3)，C(2,2)的方程为y=x,故B正确； 因A'C|=√(2+3)+(2+3)？=5√2，所以直线的 最短路程为5√2一1，故C正确.由于两条与圆C相 切的反射光线与x轴的交点为(1,0)和(-子，0)， 所以被指住的范国是[-子1]故D正确] 13.3[√a2+b的最小值为原，点到直线3x+4y=15的 距离：d=100-151=3.] √32+42 14.2√2[设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M, x2+y2-2x-2y=0 联立直线方程与圆的方程： y=-2.x+3 整理可得：5.x2-10x十3=0， 故x1+x2=2,y1+y2=(-2x1+3)十(-2x2+3)= -2(x1+x2)+6=2, 据此可得： M(1,1),OM=√1+I=√2， 结合平面向量的运算法则有： OA+OBI=2OMI=22.] 15.15°或75°[易求得平行线l1,l2之间的距离为 1一3=2.画示意图（图略）可知，要使直线1被 √2 l1,l2截得的线段长为2√2，必须使直线1与直线11， l2成30°的夹角. 直线11，l2的倾斜角为45°，∴.直线1的倾斜角为 45°-30°=15或45+30°=75.] 16.6[圆心到直线的距离为一二25L=25=5,再加上 √32+425 圆x2十y2=1的半径，得5十1=6，即为所求的最 大值.] 17.解：(1)线段AB的中点坐标为(1,2)， 所以AB边上的中线所在直线的方程是y。2 -2-2 号 即4x+y-6=0. (2)由已知C1二二2=一子，则AC边上高的斜车 —2-2 是号AC边上的高所在直线方程是y一3=号（红一4， 即4x-3y-7=0. 18.解：(1)若直线3.x一(k十2)y十k十5=0与直线kx十 (2k-3)y十2=0相交， 则有3(2k一3)十k(k十2)≠0， 解得k≠1且k≠一9. (2)若直线3x一(k十2)y十k十5=0与直线kx十(2k -3)y十2=0垂直， 则有3k-(k十2)(2k一3)=0， 解得=1土3 2 (3)若直线3x-(k十2)y十k十5=0与直线k.x十(2k-3) y十2=0平行， 则有3(2k-3)+k(k十2)=0， 解得k=1或k=一9： 当k=1时，两条直线方程均为x一y十2=0，重合，故 舍去 当k=一9，两条直线分别为3.x十7y一4=0和9x十 21y一2=0，平行，符合题意，所以k=一9. (4)由(3)可知，k=1,直线3x一(k十2)y十k+5=0 与直线k.x十(2k-3)y十2=0重合. 19.解：(1).圆C:x+y2-4x=0,∴.圆心C(2,0),r=2,圆 心C到直线距离d1= 2 =1, √12+(-√5)2 ∴.|AB=2√r2-d=2√5. (2)①当直线为x=4时，与圆相切，符合题意 ②当斜率存在时，设斜率为k, ∴.直线方程为y-4=(x一4)， 即k.x-y+4-4k=0, 圆心C到直线距离d2=2十4-4k=2k-4 √R2+1√R2+1 :直线与圆相切d2=r,即26-4L=2. √R2+1 k=是直线方程为3x-4y叶4=0. ∴.综上可知，切线方程为x=4或3.x一4y十4=0. 20.解：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐 标系，则A(40,0),B(0,30),圆O方程x2+y2=252. 137 直线AB方程：品十式-1， 即3x+4y-120=0. 设O到AB距离为d, 则d=-1201=24<25, 5 所以外籍轮船能被海监船监测到. 设持续时间为t, 则1=2V2524=0.5h). 28 即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5h. 3x-y+7=0, 21.解：(1)由 2.x+y+3=0, 得2， y=1, .M(-2,1). ∴，点M关于x轴的对称点P的坐标为（一2，一1）. (2)易知l3经过点P与点N, l的方程为y一0=x1 -1-0-2-1” 即x-3y-1=0. (3)设与g平行的直线为y=3x十6. 根据两平行线之间的距离公式， 得 √0， 1 解得6=3或6=号 .与直线⅓的距离为V0的直线方程为y=3x 号xy日+3， 即x-3y-11=0或x-3y+9=0. 22.解：假设存在斜率为1的直线1，满足题意，且OA⊥OB, 设直线l的方程为y=x十b, y=x+b, 则《 x2+y2-2x+4y-4=0, 消元得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0. 设此方程两根为x1,x2,其与圆C的交点A,B的坐 标分别为A(x1y1),B(x2y2), 则x1十x2=-(b十1)，x1x2= b2+4b-4 2 以AB为直径的圆过原，点O, y1y2=-1, ∴k0A·koB=x1x2 .x1x2十y1y2=0, ∴.x1x2+(x1+b)(x2+b)=0, 即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0, ∴.b2+3b-4=0, 6.D[在m.x+(2m-1)y-6=0中 ∴.b=-4或b=1. 令x=0, 又△=(2b+2)2-8(b2+4b-4), 经检验当b=-4或b=1时满足△>0. 得y2m-,令y=0,得x= .存在这样的直线l,方程为y=x一4或y=x十1. 即交点分别为（信0）(02n）】 阶段滚动检测卷（一） 1.A[因为m十n=1,所以m=1-, 所以OP=(1-n)OA+nOB, 解得m=2或m=一 即OP-OA=(OB-OA), 7.C[过A(3,0),B(0,3)两点的直线方程为x十y-3 即AP=nAB,所以AP与AB共线. =0, 设M(1,0)关于直线x+y-3=0对称的点N(x,y), 又AP,AB有公共起点A, 所以P,A,B三点在同一直线上， 即P∈AB.] 则 解得=3， 即N(3,2), y=2, 2.B [AC=AB+BC+CC, +-3=0 ..AC=(AB+BC+CC)*- 同理可求M(1,0)关于O对称的点E(一1,0)，当N, AB2+BC2+CC2+(AB.BC+AB.CC+BC. P,Q,E共线时，△MPQ的周长MQ+PQ+PM=NP cc)= +EQ+PQ,取得最小值为NE=√(3+1)+4= 12+22+32+2×(0+1×3c0s60°+2×3cos60)= 25.] 14+2×号=28.1AC1=V瓜，即AC的长 8.B[该方程若表示圆，则有(-a)2+(2a)2-4(2a2十 为√23.] a-1D>0,即3a2+4a-4<0,解得-2<a<号，共中 3.B[不妨设向量为b=(x,y,之)， B项满足条件，应选B.] 若b=(-1l,0,则cos008:62X 9.AB[BC=(3,-2,-1D,由于AP∥BC,设AP=(3, -2λ，-).又|AP1=√14， 了+日不满足条件。 √(3入)2+(-2)2+(-λ)2=√4，解得1=士1， B.若b=(1,-1,0),则cos日=a·1bV2X2 a·b 1 .AP=(3,-2,-1)或A户=(-3,2,1). 设点P的坐标为(x,y,2),则AP=(x-1,y,之-3)， 1 ,满足条件. x-1=3, (x-1=-3, C.若b=(0,-1,1),则cos0=1a·1b2X2 a·b -1 {y=-2, 或y=2, -3=-1, -3=1, 11 2≠2，不满足条件 x=4, x=-2, 解得y=-2,或y=2, D.若b=(-1,0,1),则os0=a·1b2X2 a·b -2 x=2, x=2. -1≠7，不满足条件.故选B.] 故点P的坐标为(4，-2,2)或(-2,2,4).] 10.ABC[因为E为BC的中点， 4.B[对于BA户=(-1,4，-) 所以A范=Di-Di=之(D成+D心)-Di, 则n…AP=(31,2)·（1,4,-2）=0, 因为在三棱锥ABCD中，DA,DB,DC两两垂直，且 DB=DC, nLAi,则点P(13,2)在平面a内.] 5.B[先画出四边形ABCD的大致图形，如图所示，由 所以A忘.BC-[2(Di+Dd)-DA]·(D心-D) 斜率公式得k=kAD=0,kAB=kD=一 ,所以四 =2(D心2-Di2)=0.所以AE和BC垂直.又AE, 边形ABCD为平行四边形.] BC显然相交，故选ABC.] 138第二章 直线与圆的方程 B卷单元综合提升卷（二） (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.设直线x+y十n=0的倾斜角度为0，则它关于y轴对称的直线的倾斜角是 ( A.0 C.π-0 D. 如 B.受-0 2.与直线l:m.x-m2y-1=0垂直于点P(2,1)的直线的一般方程是 A.x+y-3=0 B.x+y+3=0 金邮 C.x-y-3=0 D.m'x+my-1=0 3.若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x十y十kx十2y十k一15=0相切，则实数飞的取值范围 是 A.k>2 B.-3<k<2 邻 C.k<-3或k>2 D.以上都不对 数 4.若直线x+(1十m)y-2=0与直线m.x+2y+4=0平行，则m的值是 A.1 B.-2 C.1或-2 杯 5.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于2的点有 阳 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 湘 6.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x一2)+y=1所截得的弦长为 ( AG B.1 C.3 D.23 7.若方程x2+y十kx+2y十k=0所表示的圆取得最大面积，则直线y=(k一1)x十2的倾斜角a 等于 A.45 B.135° C.60° D.120° 57 8.已知点A(1,1),B(3,5)到经过点(2,1)的直线1的距离相等，则l的方程为 A.2x-y-3=0 B.x=2 C.2x-y-3=0或x=2 D.以上都不对 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.若A(一4,2)，B(6,一4)，C(12,6),D(2,12),下面结论中正确的是 A.AB∥CD B.AB⊥AD C.AC=BD D.AC⊥BD 10.若圆C:x+y2一4x一4y一10=0上至少有三个不同的点到直线l:x一y+c=0的距离 为2√2，则c的取值可能是 ( A.-2 B.0 C.1 D.3 11.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P,使PM=4,则称该直线为“切割型直 线”.下列直线中是“切割型直线”的是 ( A.y=x+1 B.y=2 C.y=4 D.y=2x+1 12.从点A(一3,3)发出的光线1射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C:x2+y2一4x一4y+ 7=0上，则下列结论正确的是 A.若反射光光线与圆C相切，则切线方程为3x一4y一3=0或4x一3y+3=0 B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x一y=O C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5√2一1 D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是[-圣，1] 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.已知点M(a,b)在直线3x十4y=15上，则√Ja2+b的最小值为 14.直线2x十y-3=0与圆x+y2-2x一2y=0相交于A,B两点，0为坐标原点，则OA+OB 15.若直线l被直线l1:x一y十1=0与l2:x-y十3=0截得的线段长为2√2，则直线1的倾 斜角0(0°≤090°)的值为 58 16.圆x+y=1上的点到直线3x十4y-25=0的距离的最大值为 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知△ABC的顶点A(一2,1)，B(4,3),C(2,一2)，试求： (1)AB边的中线所在直线的方程； (2)AC边上的高所在直线的方程. 59 18.(本小题满分12分)当k为何值时，直线3.x-(k十2)y+k十5=0与直线kx十(2k-3)y +2=0, (1)相交； (2)垂直； (3)平行； (4)重合. 一60 19.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y-4x=0. (1)直线l的方程为x一√3y=0,直线l交圆C于A,B两点，求弦长|AB的值； (2)从圆C外一点P(4,4)引圆C的切线，求此切线的方程. 61 20.(本小题满分12分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是 半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h. 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？（要求用坐标法） —62 21.(本小题满分12分)已知一束光线经过直线11：3x一y+7=0和l2:2x十y+3=0的交点 M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射. (1)求点M关于x轴的对称点P的坐标； (2)求反射光线所在的直线l3的方程； (3)求与直线13的距离为/10的直线方程. —63 22.(本小题满分12分)已知圆C:x+y-2x十4y一4=0，是否存在斜率为1的直线1，满足 使（被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线L的方程；若不存在，说 明理由. —64