第二章 直线与圆的方程 A卷基础达标卷(一) 直线的方程-【金卷1号】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第二章 直线与圆的方程 A卷基础达标卷 (一)直线的方程 (满分：150分时间：120分钟) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 圜 1.过点A(一√3，√2)与点B(一√2，√)的直线的倾斜角为 A.45 B.135° C.45°或135 D.60° 如 2.直线1，l2的斜率是方程x一3x一1=0的两根，则11与l2的位置关系是 ) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 意邮 3.直线y一2=一√3(x十1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为 ( A.60°，2 B.120°，2-√3 C.60°，2-√3 D.120°，2 4.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点，N为AC中点，则中位线 MN所在直线方程为 ( 邻 A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 数 5.若直线l:a.x+2y十2=0与直线l2:x+(a-1)y十1=0平行，则实数a的值是( A.2 B.-1或2 C.-1 D.0 6.已知点M(0,-1),点N在直线x-y+1=0上，若直线MN垂直于直线x+2y-3=0, 阳 则N点的坐标是 ( A.(2,3) B.(-2,-1) C.(-4,-3) D.(0,1) 7.已知成P1+1+3)到直线1：y=2x-1的距离为，侧点P的坐标为 ( ) A.(0,-2) B.(2,4) C.(0,一2)或(2,4) D.(1,1) 8.直线ax十4y一2=0与直线2x-5y十b=0垂直，垂足为(1，c),则a十b十c= A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 33 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9.下列说法正确的有 A.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 B.若11∥l2,则k1=2 C.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直 D.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行 10.下列说法正确的是 A.不经过原点的直线都可以表示为。十若=1 B.若直线与两轴交点分别为A,B且AB的中点为(4，I),则直线1的方程为+兰=1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y=x或x十y=2 D.直线3x一2)y=4的截距式方程为+21 3 11.若两直线l1,l2的倾斜角分别为1，a2,则下列四个命题中错误的是 A.若a,<a2,则两直线的斜率：k<k2 B.若a1=a2,则两直线的斜率：k1=k2 C.若两直线的斜率：k<k2,则1<a2 D.若两直线的斜率：k1=k2,则1=a2 12.下列说法正确的有 ( ) A.若直线y=kx十b经过第一、二、四象限，则(k,b)在第二象限 B.直线y=ax-3a+2过定点(3,2)》 C.过点(2，一1)斜率为一√3的点斜式方程为y+1=一√3(x-2) D.斜率为一2，在y轴截距为3的直线方程为y=一2x士3 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上） 13.设P为x轴上的一点，A(一3,8)，B(2,14),若直线PA的斜率kpA是直线PB的斜率 kB的2倍，则点P的坐标为 14.已知直线4，的倾斜角为60°，直线L2的斜率k2=m2十√3一4，若1∥12，则m的值为 34 15.在y轴上的截距为2，且与直线y=一3.x一4平行的直线的斜截式方程为 16.已知直线1的斜率是直线2x一3y+12=0的斜率的2,1在y轴上的截距是直线2x一3y 十12=0在y轴上的截距的2倍，则直线L的方程为 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)求证：A(1,-1),B(一2，一7)，C(0,一3)三点共线. -35 18.(本小题满分12分)如图，在□OABC中，O为坐标原点，点C(1,3). (1)求OC所在直线的斜率； (2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线CD的斜率. —36 19.(本小题满分12分)求倾斜角是直线y=一3x十1的倾斜角的千，且分别满足下列条件 的直线方程： (1)经过点（√3，一1）： (2)在y轴上的截距是一5. 37 20.（本小题满分12分)已知在△ABC中，A,B的坐标分别为(-1,2)，(4,3)，AC的中点M 在y轴上，BC的中点N在x轴上. (1)求点C的坐标； (2)求直线MN的方程. 一38 21.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，边AB所在的直线方 程为2x一y一2=0，点C(2,0). 1)求直线CD的方程； (2)求AB边上的高CE所在的直线方程 一 39 22.(本小题满分12分)求过直线2x一y十2=0和x十y+1=0的交点，且斜率为3的直线 方程. 40因为cos(DH,DC x0+号×1+1x0 2 1 1X√2 2 所以(DH,DC)=60°， 可得DP与平面AA'DD所成的角为30°. 21.(1)证明：以D为原点，分别以 DA,DC的方向为x轴、y轴的正 半轴，建立如图所示的空间直角 坐标系，依题意，可得D(0,0,0), P(0,1wW3),C(0,2,0), A(2√2,0,0)，M√2,2,0) PM=(W2,1,-√5)，AM=(-√2,2,0)， ∴.PM·AM=(W2,1,-3)·(-√2,2,0)=0， 即PM⊥AM,.AM⊥PM. (2)解：设n=(x,y,2)为平面PAM的一个法向量， n·PM=0, 则 n·AM=0, W2x+y-3x=0, 即 -√2x+2y=0, 取y=1,得n=(W2,1w3).取p=(0,0,1), 显然p为平面ABCD的一个法向量， ap=治-得-号 结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角 为45. (3)解：设，点D到平面AMP的距离为d,由(2)可知 n=(√2,1W5)与平面PAM垂直，则 d=DA,m=12E.0,0)·(E,11-26 n √/（√2）2+12+（√5）2 3 即点D到平面AMP的距离为2y 3 22.(1)证明：连接BD,设AC交 BD于O,由题意知SO⊥平面 ABCD.以O为坐标原点，OB, O心，O5的方向分别为x轴、y 轴、之轴正方向，建立空间直角 坐标系Oxy之如图. 设底面边长为a, 别南S0- 于是soo.号a)D(-号0.o）.co,号o） 0-(,osi=(0,-) :0元.sD=0, 故OC⊥SD,从而AC⊥SD. 1 (2)解：由题设知，平面PAC的一个法向量DS= (停.0，a)半面DAC的-个法向量0 (00,5)设所求角为6：则 c0s0= OS·DS 10S1·1DS2 .平面PAC与平面ACD的夹角为30° (3)解：在棱SC上存在一点E,使BE∥平面PAC 由(2)知DS是平面PAC的一个法向量， 1Ds=(停o.).=(0.） 设CE=tCS,刚B正-BC+C元=BC+1CS= (-.号.1-w.9）】 6B驼，D店=0=1寸 即当SE:EC=2:1时， BE⊥DS, 而BE不在平面PAC内， 故BE∥平面PAC. 第二章直线与圆的方程 A卷基础达标卷（一）直线的方程 1.A[因为斜率k= √3-√2 =1,所以倾斜角 -√2-(-√5) 为45°.] 2.D设l1,l2的斜率分别为k1,k2,则有k1·k2=-1, 从而直线11与l2垂直.] 3.B[由方程y-2=-3(x+1)得y=-5.x十2-3， ∴斜率k=一√5，在y轴上的截距为2一√5，倾斜角 为120°.] 4.A「，点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3,2)，由两 点式方程得号-多即2十y一8=0.】 5.C[.两直线平行，.a(a-1)-2=0,解得a=-1 或a=2,当a=2时，两直线重合，舍去，当a=一1时 两直线平行.故选C.] 6.A[由题意知，直线MN过点M(0,一1)且与直线x +2y-3=0垂直，其方程为2x-y-1=0.直线MN 与直线x一y十1=0的交点为N,联立方程组 2.x-y-1=0, 即N点坐标为(2,3).] x-y+1=0, 解得=2， y=3, 7.C[直线l:y=2x一1可化为2x-y-1=0,依题意得 21+士0》-1-5整2得1=1，所以1=1或 VW22+(-1)z -1.当t=1时，点P的坐标为(2,4)；当t=一1时，点 P的坐标为(0，一2)，故选C.] 0 8.B[.直线ax+4y-2=0与直线2.x-5y+b=0 垂直， 8-号×号=-1a=10, ∴.直线a.x+4y-2=0方程即为5x十2y-1=0. 将点(1，c)的坐标代入上式可得5+2c-1=0, 解得c=一2.将点(1，一2)的坐标代入方程 2x-5y+b=0得2-5×(-2)+b=0, 解得b=-12. ∴.a+b+c=10-12-2=-4.] 9.AD[根据两直线平行的判断，A正确，但B不一定 正确，因为有可能斜率均不存在：根据垂直的判断，当 一条直线斜率不存在，另一条斜率为零时，两直线才 垂直，故C不正确，D正确.] 10.BCD[A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式 表示，故A错误；B中，AB的中点为(4,1)，那么 A(8,0),B(0,2)的直线方程为苔+台=1，故B正 确；C中，过原点时，直线为y=x,不过原点时，直线 为x+y=2,故C正确；D中，方程3.x-2y=4可化 为子十之2-1，故D正确] 4 11.ABC[当a1=30°，a2=120°，满足a1<a2,但是两直 线的斜率k1>k2,选项A说法错误；当a1=a2=90° 时，直线的斜率不存在，无法满足k1=k2,选项B说 法错误；若直线的斜率k1=一1，k2=1,满足k1<k2, 但是a1=135°，a2=45°，不满足a1<a2,选项C说法 错误：若k1=k2说明斜率一定存在，则必有α1=2， 选项D正确.] 12.ABC[A中，直线y=kx十b经过第一、二、四象限， 则k<0,b>0, ∴.(k,b)在第二象限，正确.B中，直线可写为y一2= a(x一3)，所以直线过定点(3,2)，正确.C中，根据点 斜式方程知正确.D中， 由斜截式方程得y=一2x十3，错误.] 13.(-5,0)[设P(x,0),由条件kpA=2kPB 则-，2X4解得=-5，故P(-5.0.] 14.土2[由题意得m2+√5-4=tan60°=√5， 解得m=士2.] 15.y=-3x+2[.直线y=-3x-4的斜率为-3， 所求直线与此直线平行，.斜率为一3.又在y轴上 的截距为2，∴.由斜截式方程可得y=一3x十2.] 16.x-3y+24=0[由2x-3y+12=0知，斜率为号， 在y轴上我距为4根据题意，直线1的斜率为了，在 y轴上截距为8，所以直线1的方程为x一3y+24 =0.] 11 17.证明：A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3), ÷B=-7,二D=2,kc=-3（-D=2 -2-1 0-1 .'.kAB =kAC. 直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A, .直线AB与直线AC为同一直线. 故A,B,C三点共线. 18解：1)由斜率公式得km=}。3.0C所在直线 的斜率为3. (2)因为OC∥AB,∴.kC=kAB. 又CD⊥AB,∴.kD·kAB=3kcD=-1. km=一子故直线CD的针奉为-子 19.解：直线y=-√3x十1的斜率k=一√5， ∴.其倾斜角a=120°， 1 由题意，得所求直线的倾斜角a1=4Q=30°， 故所求直线的斜率k1=tan30°= 3 1“所求直线经过点(5，-1D,斜率为5， 3 “所求直线方程是y十1=(x一. 3 (2):所求直线的斜牵是写在y轴上的藏距为一5 所求直线的方程为y气：一5 20.解：(1)设C(x,y),A(-1,2),B(4,3) AC的中点坐标为M(2,生) BC的中点坐标为N(生，生) 又AC中点在y轴上且BC中点在x轴上， .x=1,y=-3,故C(1,-3. (2)由1可知M(0,-)N(号0)， 我距式方程得专心气 整理得MN的方程为2x-10y一5=0. 21.解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB∥CD, 设直线CD的方程为2x一y十m=0, 将，点C(2,0)代入上式得m=一4，所以直线CD的方 程为2x一y-4=0. (2)设直线CE的方程为x十2y十1=0， 将，点C(2,0)代入上式得n=-2. 所以直线CE的方程为x十2y-2=0. 12x-y+2=0, 22.解：法一：解方程组 x=1·所以 得 x+y+1=0, (y=0, 两条直线的交点坐标为（一1,0）. 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y一0 =3[x-(-1)],即3.x-y+3=0. 法二：设所求直线为1，因为1过已知两条直线的交 点，所以直线l的方程可设为2x一y十2+入(x十y十 1)=0(其中入为常数)，即（入+2）x+(入一1)y+λ+2 =0①， 又直线1的针率为3，所以一当-3，解得X=子 将X=代入①，整理得3x-y十3=0. 第二章直线与圆的方程 A卷基础达标卷（二）圆的方程 1.D[圆心坐标为(1,2)，半径r=√(5-1)2+(5-2)2 =5,故所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.] 2.B[在直角坐标系中画出△ABC B3 D (如图)，利用两点间的距离公式 C2,3 可得|AB引=|AC=BC=2(也 可以借助图形直接观察得出)，所 0 以△ABC为等边三角形.设BC 的中，点为D,点E为外心，同时也是重心 所以AE=号AD=9, 从而0E1=0A+AE平-√+号=，故 选B.] 3B[由国的对称性知，国心在直线y=上，故有一号 =-号即D=E] 4.D[将x2+y2-2x-8y+13=0 整理得(x-1)2十(y-4)2=4, 所以圆的圆心坐标为(1,4)， 所以圆心到直线ax十y一1=0的距离 d=la+4-1=2, a2+1 整理得a2-6a-7=0,解得a=-1或a=7.] 5.B[:圆心到直线的距离d=】<1,且直 1+I2 线y=x十1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线 不过圆心.] 6.B设与直线3x十4y=0垂直的直线方程为l:4x一3y 十m=0,直线与圆(x一1)2+y2=4相切，则圆心(1,0) 到直线的距离为半径2，即4十m=2, 5 ∴.m=6或m=-14,所以直线方程为4x-3y十6=0， 或4x一3y一14=0，由选项可知B正确，故选B.] 7.D[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆的内部， 根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x一5)2+(y+7)2 =16的同心圆，半径分别为3和5，故应选D.] 13 8.C[根据题意，⊙O的圆心O为(0,0)，半径为5. ⊙O1的圆心O1(u,0),半径为r ,⊙O与⊙O1相交于A,B两点，且两圆在A点处的 切线互相垂直，∴.(5)2十r2=a2. ① 又由1AB1=4:则g×1×0-号×6xr 即1al= 2. ② 由①②得5+2=5r2 4, 解得r2=20,a=5. 故⊙01的方程为(x-5)2+y2=20.] 9.ACD[由(0-1)2+(2+2)2<25，知(0,2)在圆内： 由(3-1)2+(3十2)2>25知(3,3)在圆外； 由(-2-1)2+(2+2)2=25知(-2,2)在圆上， 由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在圆内， 故选ACD.] 10.ACD[圆x2+y2+2a.x-2ay=0可化为(x+a)2+ (y-a)2=2a2.圆心坐标为(-a,a)适合方 程y=一x. ∴.A正确，不适合y=x,.B错误，把(0,0)代入圆的 方程适合，∴.C正确，又r2=2a2,∴.r=√2a,∴.D正 确.故选ACD.] 11.ABC[由直线ax十by十c=0与圆x2+y2=4相交 得C<2,即c2<4(a2+6),选项A.B.C均满 √a2+b2 足c2<4(a2+b2),而D项是相切的条件，故应 选ABC.] 12.BCD[把y=3√4x-x2化成为 C23)B (x-2)2+(y-3)2=4,因为0≤x≤4， y≤3，所以曲线表示圆的下半部分， 如图，C(2,3),A(0,3),B(4,3). 当y=x十b过A时，b=3,直线与曲线有且仅有一个 交点，当y=x十b过B时，b=一1，这时直线与曲线 有两个交点，当y=x十b与曲线相切时，2一3十 √2 =2,解得b=1-2√2(b=1+22舍去). .当b>3或b<1一2√2时，直线与曲线无交点；当 一1<b≤3或b=1一2√/2时，直线与曲线有且仅有一 个交点；当1一2√2<b≤一1时，直线与曲线有两个 交点，故选BCD.] 13.(x-2)2+(y+3)2=34[设方程为(x-2)2+(y十3)2 =r2,把点（一1,2）代入并解得r2=34,故方程为 (x-2)2+(y+3)2=34.] 14.(2,-3)[由x2+y2-2x+2y-3=0,得(x-1)2+ (y十1)2=5，所以圆心C(1,-1).设B(x0,y0),又 A(0,1),由中点坐标公式得0十0=2， y0+1=-2, 2