27.2 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的应用 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象和性质的应用，涵盖综合运用性质判断点位置、比较函数值及k的几何意义。通过回顾上节课图象性质，以“解决复杂问题”导入，知识回顾用表格梳理k的符号与图象位置、增减性，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于培养数学思维与几何直观，如通过探究表格和证明推导k的几何意义，发展推理意识。练一练提供性质法、图象法、特殊值法比较函数值，提升运算能力与创新意识。内容含当堂小练、中考对接，学生能夯实基础并提升应用能力，教师可直接用于教学提高效率。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的图象和性质 第2课时 反比例函数的图象和性质的应用 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 反比例函数图象和性质的综合 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 反比例函数解析式中 𝒌 的几何意义 8. 对接中考 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算. 2. 综合运用反比例函数的图象和性质解决与之相关的问题，感悟函数思想、方程思想的运用. 学习目标 知识回顾 反比例函数 y（k为常数，k≠0）的图象和性质： k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线和.（中心对称图形将在下一章学习） 新课导入 上节课我们已经学习了反比例函数的图象和性质，本节课我们将尝试熟练地运用反比例函数的图象和性质解决一些复杂的问题. 新课讲解 知识点1 反比例函数图象和性质的综合 例 1. 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ 解：(1) 反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. 因为点 A(-2，4)在第二象限， 所以这个函数的图象位于第二、第四象限. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 新课讲解 例 1. 已知反比例函数的图象经过点 A(-2，4). (2) 点 B(1，-8)，C(2，-3)，D(2，4) 是否在这个函数的图象上？ 解：(2) 设这个反比例函数的解析式为 y. ∵ 点 A(-2，4)在其图象上，所以点 A 的坐标满足 ，即 4 解得 k =－8. ∴ 这个反比例函数的解析式为 y. ∵ 点 B，C 的坐标都满足 y，点D的坐标不满足 y， ∴ 点 B，C 在函数y的图象上，点D不在这个函数的图象上. 新课讲解 判断点是否在函数图象上的方法： 左边=右边 点的坐标 代入函数解析式 左边≠右边 点在函数图象上 点不在函数图象上 新课讲解 例 2. 如图，它是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A(x1，y1) 和点 B(x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 解：(1)反比例函数的图象只有两种可能： 位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限. ∵这个函数的图象的一支位于第一象限， ∴另一支必位于第三象限. ∵这个函数的图象位于第一、第三象限， ∴m－5＞0，解得 m＞5. (2) ∵ m－5 ＞ 0， ∴在这个函数图象的任一支位上，y 都随 x 的增大而减小， 因此当 x1＞x2 时，y1＜y2. 新课讲解 比较反比例函数值大小的方法： 方法一：性质法.当点在双曲线同一分支上时，可以利用函数的增减性，通过比较其横坐标的大小来判断函数值大小；当点在双曲线不同分支上时，可以利用点在x轴上方或下方，进行函数值大小比较. 方法二：图象法.根据条件在坐标系中描出各点，观察点的位置高低，就可以比较函数值大小.(图象法形象直观) 方法三：特殊值法.根据条件取自变量的特殊值，代入解析式求出对应的函数值，就可以直接比较函数值大小.(特殊值法简单直接) 新课讲解 练一练 1. 已知反比例函数 y= 的图象经过点(-2，-4). (1) 这个函数的图象位于哪几个象限？在每一个象限内，y随x的增大怎样变化？ (2) 点(1，-8)，(-1,8)，(1,8)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ (3) 如果点(a，b)在这个函数的图象上，那么点(-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上吗？你是怎样判断的？ 解：(1) ∵ 反比例函数 y= 的图象经过点 (-2，-4)，∴ k=-2×(-4)=8，∴ ， ∴ 这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内， 随  的增大而减小. (2) 当 x=1 时，y=8，当 x=-1 时，y=-8， ∴ 点 (1，-8)，(-1，8) 不在这个函数的图象上，点(1，8)在这个函数的图象上. (3) ∵ 点 (a，b)在这个函数的图象上，∴ ab=8，∴ (-a)(-b)=8， ∴ 点 (-a，-b)，(-b，-a)在这个函数的图象上. 新课讲解 练一练 2. 已知反比例函数 ，当 1<x<2 时，y 的取值范围是( ) A. 0<y<5 B. 1<y<2 C. 5<y<10 D. y>10 C 反比例函数 (1<x<2)的大致图象如右图所示： 在第一象限内，y 随 x 的增大而减小 y=10 y=5 新课讲解 练一练 3. 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A. y2>y1>y3 B. y3>y2>y1 C. y1>y2>y3 D. y3>y1>y2 方法一（性质法） A k<0 在每一个象限内，y随x的增大而增大 双曲线的两支分别位于第二、第四象限 点A，B位于第二象限 点C位于第四象限 x1 < x2 <0< x3 y2>y1>0 y3<0 y2>y1>y3 新课讲解 练一练 3. 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A. y2>y1>y3 B. y3>y2>y1 C. y1>y2>y3 D. y3>y1>y2 A 方法二（图象法） ∵ k<0， ∴ 反比例函数y= 的图象位于第二、第四象限，如图所示. 在图中描出符合条件的三个点，观察图象上点的位置高低可知y2>y1>y3. 新课讲解 练一练 3. 已知点A(x1, y1) , B(x2, y2), C(x3,y3) 都在反比例函数 y= (k<0) 的图象上，且 x1 < x2 <0< x3，则y1，y2，y3的大小关系是 （ ） A. y2>y1>y3 B. y3>y2>y1 C. y1>y2>y3 D. y3>y1>y2 A 方法三（特殊值法） 设该反比例函数的解析式为 y=－ . 取满足x1 < x2 <0< x3的三个特殊值x1=－2，x2=－1，x3=1， 则y1=1，y2=2，y3=－2， 所以 y2>y1>y3. 新课讲解 知识点2 反比例函数解析式中 𝒌 的几何意义 探究 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 P (2，2) Q (4，1) 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格： S1 S2 P Q 4 4 S1=S2 S1=S2=k 新课讲解 探究 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 P (-1，4) Q (-2，2) S1 S2 P Q 4 4 S1=S2 S1=S2=-k 新课讲解 若点 P 是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是什么？ S矩形 AOBP你能给出证明吗？ B P A y x O P A B 设点 P (a，b)， ∵点 P 在函数 的图象上， ∴ ，即 ab=k. ∵ S矩形 AOBP， ∴ S矩形 AOBP. 新课讲解 反比例函数 中 k 的几何意义包括以下两种： (2)如图，过双曲线上的任意一点 E 作 EF⊥y 轴，垂足为 F，连接EO，则S△EOF. B P A y x O P A B (1)如图，过双曲线上任意一点 P(x，y) 分别作 x 轴、y 轴的垂线 PA，PB， 则S矩形 AOBP. 归纳 新课讲解 常用模型 拓展 对于反比例函数y=(k≠0)，|k|越大，图象离坐标轴越远. 新课讲解 1. 在利用反比例函数中的几何意义确定k的值时，不仅要注意矩形或三角形面积的大小，还要注意函数图象的位置. 2. 因为在中，有正、负之分，所以在利用k求矩形或三角形的面积时，都要加上绝对值符号. 注意 新课讲解 例 3. 如图所示，点 A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 C，D 在 x 轴上，且 BC//AD，四边形 ABCD 的面积为 3，则这个反比例函数的解析式为 _______________. A B C D O E y x S四边形ABOE =S四边形ABCD=3 |k|=3 图象在第二象限 k＜0，x＜0 (x＜0 ) 新课讲解 例 4. 如图，点 A，B 是双曲线 上的点，分别过点 A，B作 x 轴的垂线段，垂足分别为 C，D，连接 OA，OB，若图中阴影部分的面积为1，则△OAE 与四边形 BECD 面积的和为 . 10 S△AOC= S△BOD =6 k=12 S阴影=1 S△OAE =5， S四边形BECD =5 新课讲解 练一练 1. 如图，点 在反比例函数的图象上，轴于点，若 的面积为4，则 的值为 ( ) D 解：根据反比例函数系数 的几何意义， 可知的面积为， ，， 反比例函数的图象位于第一、第三象限， ， . A. B. C.4 D.8 新课讲解 练一练 2. 如图，矩形 与反比例函数的图象交于点，与反比例函数 的图象交于点，连接 ，则四边形 的面积为___. 解：四边形是矩形，，， 矩形 与反比例函数的图象交于点，与反比例函数 的图象交于点， ， ， . 4 课堂小结 反比例函数 图象 性质 k 的几何意义 画法 形状 图象位置 增减性 列表、描点、连线 双曲线 当堂小练 1. 已知点 A(x1, y1), B(x2, y2) 在反比例函数  的图象上.如果x1< x2，且 x1， x2同号，那么y1，y2有怎样的大小关系？为什么？ 解： y1>y2. 理由如下： 反比例函数  的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 因为 x1，x2同号， 所以 A，B 两点都在第一或第三象限. 又因为 x1<x2， 所以 y1>y2. 当堂小练 2. 已知点 (－2，－4)在反比例函数  的图象上. (1) 当 y<4 时，求 x 的取值范围； 解：∵ 点（-2，-4）在反比例函数y=的图象上, ∴ k=(-2)×(-4)=8，即y=. (1) 当x>0时，函数y=的图象在第一象限内，y>0，且y随x的增大而减小. 令y=4，则4=，解得x=2. 因此，当x>2时，y<4， 当x<0时，函数y=的图象在第三象限内，y<0，显然满足y<4. 综上，x的取值范围是x<0或x>2. 当堂小练 2. 已知点 (－2，－4)在反比例函数  的图象上. (2) 已知点 A(-3，y1)，B(-5，y2)，C(4，y3) 在这个反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小，并用反比例函数的性质说明理由. 解：(2) 反比例函数y = 的图象位于第一、第三象限， 且在每一个象限内，y随x的增大而减小. ∵ 点A(-3，y1)，B(-5，y2)在第三象限（x<0），-5<-3<0， ∴ y1<y2<0. ∵ 点C(4，y3) 在第一象限（x>0），第一象限内y>0， ∴ y3>0. 综上，y1<y2<y3. 当堂小练 3. 正比例函数 y=-x 的图象与反比例函数 y= 的图象有一个交点的纵坐标是 2. (1) 当 x=-3 时，求反比例函数 y= 的值； (2) 当 -3<x<-1 时，求反比例函数  y= 的取值范围. 解：将 y=2 代入 y=-x，得 x=-2， 将 x=-2，y=2 代入 y，得 k=-4， 所以反比例函数的解析式为 y. (1) 将 x=-3 代入 y，得 y. (2) 反比例函数  中，k=-4<0，因此在第三象限（x<0）内，y 随 x 的增大而增大. 当 x=-3 时，y；当 x=-1 时，y. 因为 -3<x<-1，所以 y 的取值范围是 <y<4. 当堂小练 4. 在同一平面直角坐标系中，函数 y与 y=-kx+1（k≠0）的图象可能是（ ） B 解析：（由图象位置推k的符号找矛盾） 选项A，B中反比例函数 图象位于第一、第三象限. 选项C，D中反比例函数 图象位于第二、第四象限. 直线经过第一、第二、第四象限. 直线经过第一、第二、第三象限. 选项 A不符合. 选项 B 符合. 选项 C，D 均不符合. 观察图象 →确定k的取值范围 →判断直线的位置 →得结论 k>0 k<0 当堂小练 5. 如图，A，B两点在双曲线y= 6x(x>0)上，分别过A，B两点向坐标轴作垂线，已知S阴影=2，则S1+S2= ________. 方法提示：根据比例系数k 的几何意义得到S1+S阴影=S2+S阴影=6，然后即可计算出S1+S2. 解：根据题意，得S1+S阴影=S2+S阴影=6， 因为S阴影=2， 所以S1=S2=4. 所以S1+S2=8. 8 6. 如图，在平面直角坐标系中，面积为9的正方形的顶点，分别在轴、 轴上，点 在反比例函数的图象上，点在点 右侧反比例函数的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂 足分别为，， 交于点 . (1) 求点的坐标和 的值； (2) 当四边形的面积为3时，求点 的坐标. 当堂小练 解：(1) 正方形 的面积为9， ， 点的坐标为 ， . (2) 由题意得，四边形为矩形， ， 反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， ，且 ， 四边形的面积为3， ，解得 ， 将代入得， ， 故点的坐标为 . 当堂小练 7. 如图，在 轴的正半轴上依次截取 ，过点，，， 分别作 轴的垂线与反比例函数的图象相交于点 ，，， ，连接,,, ，得，，， ，并设其面积分别为，，， ，则 _ ____. 解：连接 ，易知 . ， ， 同理可得，，， ， 以此类推，. . 对接中考 1. 点M(x1，y1) 和点N(x2，y2)在反比例函数y= (k为常数)的图象上，若x1<0<x2，则y1，y2，0的大小关系为 (　　) A. y1<y2<0 B. y1>y2>0 C. y1<0<y2 D. y1>0>y2 解：∵ 在反比例函数y==中，(k-1)2+2>0， ∴ 反比例函数的图象在第一、第三象限. ∵ M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1<0<x2， ∴ 点M在第三象限的图象上，点N在第一象限的图象上. ∴ y1<0<y2． C 对接中考 解：设点A的坐标为(a，0)，点C的坐标为(0，b)， 则易得点B的坐标为(a，b)，点D的坐标为(a，b). ∵点D在反比例函数y= 的图象上， ∴ k= a×b=ab. ∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴易知点F的坐标为(a，b)，点E的坐标为(a，b). ∴BF=a- a= a，BE=b- b= b. ∴ S△OFB= BF·OC= × a·b=24， 解得ab=54. ∴S△OEF=S矩形OABC-S△OCF-S△OEA-S△BEF =ab- × ab- × ab- × a× b = ab= . 2. 如图，D为矩形OABC(边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上)对角线OB上的点，且OD= BD，经过点D的反比例函数y=的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF，若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为 ( ) A.25 B.26 C. D. D 拓展与延伸 1. 如图，平行四边形的顶点，在 轴上，顶点在的图象上，顶点 在的图象上，则平行四边形 的面积是________. 解：如图，过点作轴于点， 过点作 轴于点， . 由四边形 为平行四边形， 可得，， ，. 点在 的图象上， ， 同理可得，， 平行四边形 的面积为 . 拓展与延伸 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于点和，点 的横坐标为2. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； 解：(1) 点在反比例函数 的图象上， ， 反比例函数的解析式为 . 点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， 点 的纵坐标为， . 将点，的坐标分别代入 ， 得解得 一次函数的解析式为 . 拓展与延伸 2. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数的图象相交于点和，点 的横坐标为2. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 观察图象，直接写出当时， 的取值范围； (3) 点为轴上一动点，连接，，若的面积为18，求点 的坐标. ， . 解：(2) 由题中图象可知，当 时，的取值范围是或 . (3) 如图，设直线与轴交于点 ， 令，即，则 ， ， 设， . 的面积为18， ， $