27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，通过回顾一次函数、二次函数“画图象-研究性质”的过程导入，建立类比学习支架，引导学生迁移描点法等方法，形成知识脉络。 其亮点在于以描点法操作为基础，通过k>0和k<0的分类讨论，结合几何直观探究双曲线特征与增减性，培养推理能力。例题、当堂小练及中考对接设计，帮助学生用数学语言表达规律，提升数学思维，也为教师提供系统教学支持。

第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的图象和性质 第1课时 反比例函数的图象和性质 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 反比例函数的图象 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 反比例函数的性质 8. 对接中考 1. 类比一次函数、二次函数能用描点法画反比例函数的图象，体会类比思想在数学中的应用. 2. 能根据解析式 y（k为常数，k≠0）和图象，探索并理解 k>0和k<0时函数的图象特征和性质，体会分类讨论和数形结合的数学思想，发展几何直观和推理能力. 学习目标 知识回顾 一次函数和二次函数. 我们已经学习过的函数有哪些？ 描点法. 画这些函数图象的方法 新课导入 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 思考 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函数的图象和性质？ 新课讲解 知识点1 反比例函数的图象 探究1 画反比例函数 与 的图象. (1) 列表. 写出几组 x 与 y 的对应值（填空）： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 －12 12 新课讲解 (2) 描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. (3) 连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y=与 y=的图象. 新课讲解 反比例函数图象的画法： 步骤 方法 列表 一般情况下，以坐标原点 O 为中心，在 O 的左右两侧各取三对或三对以上互为相反数的数（尽量多取一些数值），并计算对应的函数值，列出表格. 描点 以表格中各对对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点. 连线 按照从左到右的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点并向两端延伸. 不能用折线 新课讲解 画反比例函数 与 的图象. (1) 列表. 写出几组 x 与 y 的对应值（填空）： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … 1 1.2 1.5 2 3 6 － 6 － 3 － 2 － 1.5 － 1.2 － 1 2 2.4 3 4 6 － 6 － 4 － 3 － 2.4 － 2 12 －12 探究2 新课讲解 (2) 描点. 以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. (3) 连线. 用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数y= － 与 y= － 的图象. 新课讲解 反比例函数图象的特点 归纳 1. 反比例函数(为常数，)的图象是双曲线. 2. 当时反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限； 当时反比例函数图象的两支分别位于第二、第四象限． 3. 双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 4. 双曲线是轴对称图形，对称轴是直线 和直线. 新课讲解 例 1. 在同一平面直角坐标系中画出反比例函数和的图象. 解：列表： x … －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 … y= … －1 － － － －5 5 1 … y=－ … 1 5 －5 － － － －1 … 描点、连线得到如图所示的图象. 新课讲解 例 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 2. 若，则函数与 在同一坐标系中的图象可能是 ( ) 解：当 时，函数 的图象开口向上，顶点在原点，对称轴为轴； 函数 的图象位于第一、三象限，故①符合题意，②不符合题意； 当时，函数 的图象开口向下，顶点在原点，对称轴为轴；函数 的图象位于第二、四象限，故③不符合题意，④符合题意. B 新课讲解 练一练 1. 反比例函数 的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解：， 反比例函数的图象在第一、第三象限，A选项符合题意. A 新课讲解 练一练 2. 反比例函数的图象如图所示，写出一个满足条件的 的整数值：__________________. 解：观察题中图象，可知图象两支分别位于第二、第四象限，，解得 ，只要满足条件即可，故答案为 （答案不唯一）. （答案不唯一） 新课讲解 知识点2 反比例函数的性质 观察反比例函数与 的图象，在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 在每一个象限内，y随x的增大而减小.理由： 在每一个象限内，当x的取值逐渐增大时，由解析式计算出来的y的值逐渐减小. 思考 新课讲解 利用信息技术工具，画反比例函数 y（k>0）的 k 取不同值时的图象，你能得出哪些结论？ 能得出以下结论： (1)函数的图象均分别位于第一、第三象限. (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小. (3)k值越大反比例函数的图象离坐标轴越远. 探究 新课讲解 观察反比例函数与的图象，在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？ 在每一个象限内，y随x的增大而增大.理由： 在每一个象限内，当x的取值逐渐增大时，由解析式计算出来的y的值也逐渐增大. 思考 新课讲解 利用信息技术工具，画反比例函数 y（k＜0）的 k 取不同值时的图象，你能得出哪些结论？ 能得出以下结论： (1)函数的图象均分别位于第二、第四象限. (2)在每一个象限内，y随x的增大而增大. (3)k值越大反比例函数的图象离坐标轴越近. 探究 反比例函数 y 的图象特征和性质如下： 1. 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线； 2. 当 k>0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小； 当 k<0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 新课讲解 归纳 在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每一个象限内”. 因为当 k ＞ 0 (k ＜ 0) 时，整个函数不是y 随x的增大而减小(增大)，而是在每一个象限内，y 随x的增大而减小(增大). 注意 新课讲解 反比例函数 y=(k≠0) y=(k≠0) k>0 k<0 图象 图象位置 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随x的增大而减小 在每一个象限内，y 随x 的增大而增大 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x 和直线y=-x 3. 已知反比例函数y=，下列结论正确的是 （ ） A. 图象位于第二、第四象限 B. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而增大 C. 图象经过点(-2,-2) D. 图象与y轴的交点为 (0,4) 新课讲解 例 k>0，图象位于第一、第三象限 当x＜0时，y 随 x 的增大而减小 图象与 y轴没有交点 C 新课讲解 例 4. 已知反比例函数，若，则 的取值范围为__________；若，则 的最大值为____． 解：反比例函数中，， 此函数图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. 当时，， 当时，； 当时，， 当时， 的最大值为 ． 新课讲解 练一练 1. 已知反比例函数 与的图象如图所示，则，的大小关系是 ___.（填“”、“”或“” ） 解：反比例函数 的图象离坐标轴比反比例函数 的图象离坐标轴远且都在第一象限， 。. .（反比例函数的图象离坐标轴越远， 越大） 新课讲解 练一练 2. 若点， 都在反比例函数的图象上，则 ___ .（填“”或“” ） 解法一（直接代入法） 将点，的坐标分别代入 ，得 ，，故 . 解法二（增减性法）， 在每一个象限内，随 的增大而减小. 又， . 新课讲解 C 【变式】在反比例函数 的图象上有两点，，当时，有，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 解：当时，有， 反比例函数 的图象位于第一、第三象限， ，解得 . 课堂小结 反比例函数 函数图象 函数的性质 列表、描点、连线 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 增减性 关于直线y=x 和 y=-x 对称 关于原点中心对称 对称性 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大 当堂小练 1. 在同一平面直角坐标系中，函数与为常数且 的图象大致是 ( ) A A. B. C. D. 当堂小练 2. 反比例函数 的图象一定经过的点是 ( ) A. B. C. D. D 解题思路：将各选项的点的横坐标代入反比例函数的解析式中，求纵坐标，若与选项中纵坐标相等，则该点是反比例函数的图象一定经过的点. 当堂小练 3. 在反比例函数中，若 ，则 ( ) A. B. C. D. B 解：在反比例函数中，， 在每个象限内，随 的增大而减小， 当时，， . 当堂小练 A. B. C. D. 4. 点和点 在反比例函数为常数的图象上，若，则， ，0的大小关系为 ( ) 解： 反比例函数 ，， 反比例函数的图象位于第一、三象限. ， 点在第三象限的图象上，点 在第一象限的图象上. . C 当堂小练 A. B. C. D. 5. 如图，这是三个反比例函数，，在 轴上方的图象，由此观察得到，， 的大小关系为 ( ) C 解：由图可知，函数在 轴上方的图象在第二象限，故 ； 函数，在 轴上方的图象在第一象限， 且 的图象距原点较远，故有. 综合可得 . 当堂小练 6. 已知点，都在反比例函数 的图象上，若，则 的值为_____. 解：点，都在反比例函数 的图象上， ，. ， . 对接中考 1. 已知点， 都在反比例函数 的图象上，则下列结论一定正确的是 ( ) A. B. C. 当时， D. 当时， 解：对于反比例函数，在每个象限内，随 的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值. 当 ，即时，； 当，即时， ； 当，即时， . 综上，只有选项D正确. 双曲线的两支分别位于第二、第四象限，故需判断点， 所在的象限，即通过分情况讨论的取值范围，判断与 的大小关系 易错点 D 对接中考 0 2. 在平面直角坐标系中，若函数 的图象经过点和，则 的值是___. 解：函数的图象经过点和， ，， . 拓展与延伸 1. 如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点，分别在轴和 轴的正半轴上，点的坐标为，，将线段 绕点顺时针旋转 得到线段 ，反比例函数 的图象经过点，则 的值是_____ . 解：如图，作轴，垂足为 ，在中，， ， . 将线段绕点顺时针旋转 得到线段 ， . 在和 中， ， . 反比例函数的图象经过点， . 6 拓展与延伸 2. 如图，矩形的顶点，， 的坐标分别为，， .将矩形向右平移 个单位长度后与函数的图象有公共点，则 的取值范围是___________. 解： 矩形的顶点，， 的坐标分别为，，， . 平移后，点， 对应的点的坐标分别为，. 当点 落在函数的图象上时， ，解得； 当点落在函数 的图象上时，，解得 若平移后的矩形 与函数的图象有公共点， 则的取值范围是 . Lavf57.25.100 Lavf57.25.100 $