分层练56向量法求空间角专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以向量法为核心，分层设计空间角计算训练，系统构建“建系—求向量—算夹角”解题体系，强化空间观念与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|坐标法建系、法向量求解、线面角/异面直线角公式应用|从线面角到二面角，由特殊几何体（长方体、直三棱柱）到一般平行六面体，逐步深化向量工具应用| |B级能力提升|4题|动态问题参数化、翻折问题空间转化、体积最值与向量结合|结合动点、翻折等复杂情境，拓展向量法在探究性问题中的迁移，衔接高考综合考法|

分层练56向量法求空间角 【A级基础巩固】 1.如图，在长方体ABCD-ABCD,中，AB=BC=2,A4=1,则BC与平面BBDD 所成角的正弦值为() A D: A.6 2v5 B. 5 C.vis 5 D.vio 5 2.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=A4=2,BC=25,AB=4,D是AB的 中点，求直线AC与直线DB所成角的余弦值( C B B. C. n. 3.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中 点，则直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是( D A为 ©B 4.在正方体ABCD-ABCD,中，点O为线段AC的中点，点P在线段A,G上，直线 OP与平面ABC所成的角为O,则cos0的最小值为( A. 3 B.6 C. 3 D. 3 5.已知平行六面体ABCD-ABCD,的所有棱长均为2， coS∠BAD=cos ZBA4=c0s∠DM4=6, 则异面直线AC,与BC夹角的余弦值为 ( ) A.3 B. 43 3 9 6.已知三棱柱ABC-AB,G中，AB⊥BC,AA=BC=V6,AB=0,点B在底面 ABC内的射影为△ABC的外心，则直线BC与平面ABC所成角的正弦值为 ( ) A. B. c. D. 7.已知平行六面体ABCD-ABCD的底面是边长为2的正方形，AA=3, ∠AAB=∠AAD=60°.动点M满足AM=A4+xAB+yAD,x,y∈[0,1，且CM∥平面 ABD,则CM的最小值为( A.1 B.5 C.5 D.7 8.已知平面a,B的法向量分别为m=(1,0,0),n=（-3,3,-3),则平面a和B所成角 的余弦值为 9.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AD=LAB=2,A4=3,点E,F分别在 aDn上，且E-DF3 '=3,则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为 B B 10.在直三棱柱ABC-ABG中，∠4CB=90,E,F分别是AB,AC的中点， BC=CA=CC=2,则BE与AF所成角的余弦值为 11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,底面ABCD是正方形，且 PA=AB. (I)证明：AB⊥平面PAD: (2)求直线PD与平面PAC所成角的大小. 12.在正三棱柱ABC-ABG中，己知AB=2,A4=1,D,E,D,E分别是棱 AC,BC,AC,BC的中点. A D (1)证明：平面CDE1I平面ABED E (2)求平面CDE与平面ABED夹角的余弦值. D 【B级能力提升】 13,如图，点P在正方体ABCD-ABCD的面对角线BC上运动(P点异于B,C D 点)，则下列结论正确的是() A.异面直线BD与AB所成角为60° B.BD1平面ACD, C.三棱锥P-ACD的体积不变 1V3 D.直线4P与平面ADCB所成角正弦值的取值范围为2'2 14.如图1，在直角梯形ABCD中，ADIIBC,AB⊥BC,BC=2AD=4,AB=3.将直 角梯形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD,如图2，则异面直线 AC与BD所成角的正切值为() 图1 图2 A.35 B.6N5 C.56 D.36 I5.如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角 三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2,点P是线段AB上的动点，若线段CD上存 在点，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是 D 16.如图，在正四棱锥E-ABCD中，M是棱EC的中点，过AM的平面与棱ED, EB分别交于点P,(包括端点)，PP,AM交于点G,AB=22,EA=25 EO (I)若BD平面AOMP,求QB: EO3 (②)若QB-2,求平面MOMp与平面ABcD的夹角的余弦值： (3)求四棱锥E-AQMP的体积的最小值 参考答案 1.D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可. 【详解】如图，以D为原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以 DD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为AB=BC=2,A4=1,所以B2,2,0),C(0,2,1),所以BC=(-2,0,1), 因为D0,0,0),D(0,0,),所以DD=(0,0,1),DB=(2,2,0), 设平面BBDD的法向量为n=(,y,2z), n.DD =0 z=0 所以-D丽=0，所 2x+2y=0取x=1'所以平面BBDD的-个法向量为 n=1,-1,0), n.BC 1×(-2)+(-1)×0+0×1V10 设。与平面。 BC DD 所成角为，所以sinB= BC √2x5 ZA B 2.B 【分析】利用勾股定理逆定理证明ACBC，以C为原点建立空间直角坐标系，利用向量法 求解异面直线夹角的余弦值： 【详解】在△ABC中，AC=2,BC=2W3,AB=4, 因为AC2+BC2=4+12=16=AB2,所以AC1BC 因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，所以CCL平面ABC, 又ACC平面ABC,BCC平面ABC,所以CC L AC,CC,⊥BC. 如图，以C为原点，CA,CB,CC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 C-xyz」 则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,25,0,C(0,0,2),B(0,25,2 因为D是AB的中点，所以D1,V5,0) 所以AC=(-2,0,2),DB=（-1,V3,2 设直线AC与直线DB所成角为O, AC·DB 则cos6=cos(AC,DB= AG·DB (-2)×(-1)+0x3+2×2 663 -2y+0+2xN-y+W3}+2=8x884 3 所以直线AC与直线DB所成角的余弦值为4 B 3.C 【分析】法一：异面直线求夹角作平行线与已知直线相交，构成的夹角为异面直线 所成角，通过解三角形计算取值范围：法二：通过建立空间直角坐标系，利用三角 函数法对C点设出坐标，将异面直线所成角转化为两条直线方向向量所成的角，进 而计算取值范围. 【详解】法一：取底面圆心为O,连接OD,OC,PO,作DE⊥AB,垂足为E,连 接CE: B 因为D是PA的中点，O为AB的中点，故ODIIPB: 则∠CDO即为直线CD与PB所成角： 设底面半径为，则0C=,0D=P8=,Or=3,: 2 因为DE⊥1B'oP1H8:故DE-0r=,: 2: 由余弦定理可知cos∠CD0-CD2+0D-0CCD2CD 2×CD×OD 2r×CD2r 由CD=VDE2+CE2 4 因为c是底面圆周上一动点，放5剖] 则cD-r2+cEer]: 代入可得os∠CD0=CD「1V5 2r2’2 法二：取AB的中点O,连接OP,O与AB的中点， 由圆锥的垂直关系可知OP垂直于底面，O与AB的中点的连线垂直于直径AB: 故以O为原点，O与AB的中点的连线为x轴，OB为y轴建立空间直角坐标系： D 因为圆锥的轴截面PAB是等边三角形，设AB=2,则OP=5; 故40-0Pa同000号） 设c(cos0,sin0,0) 则m-,D-ma}血a 则cos PB,CD PB.CD 2 -sin0_3 PB.CD 2 2×,cos20+ +3=-2-sin6= -2+sin0: 2 4 2×V2+sin0 2 则直线CD与pB所成角的余弦值为osPB,CD= √2+sin0 √2+sin0 因为aeR'则sn9e- 2 4.B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将cos8的 最小值问题转化为求sn8的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解 【详解】 A B 发A B 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA、DC、DD,所在直线分别为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标 011,0),A(2,0,2),B(2,2,0),C(0,2,2),因点P在线段4C上，设Pa,2-a,2),其中 0≤a≤2， AB=(0,2,-2),4C=(-2,2,0),设平面4BC的法向量为n=(c,y,2),则 ni.AB=2y-2z=0 n-4G=-2x+2y=0令x-1'解得y=z=即7=LD 又0P=(a-11-a,2),=P+1P+=3,0n=Va-1y+0-a2+2=2a-)+4 C- 则sin0=cos<Op,nii= OP.n 2 2 - OPn 3.2(a-12+43.a-12+21 由同角三角函数关系得cos0=V1-sin0,要使cos0最小，需使sin0最大， √21 当a=1时，(a-=0此时sin取得最大值5x2, 代入得：os0-5 5.D 【详解】设4B=a,4D=6,A=c,则日===2， coS∠BAD=c0s∠BMM=c0s∠DAM=6, 1 a-B-@6cos/BAD-2x2x1-2 63 a.c-adcos/BAA-2x2x1-2 63 b=bico<D4-2x2×日-， 63 AC=AB+AD+AA=@+b+c,BC=AD=6, BC=6=2, AG=(a+i+o=+6++2(a-b+ac+6.c) =2+2+2+2后号到-2*22=6 则4C=6=4, 4G-8c-(a5+q6=a4+e6-号4+ 216 33， 设异面直线AC与BC的夹角为0， 16 AC·BC 16 则cos0 33- 2, 4×28= 故选项D正确， AC·BC D C A A人方 C B 6.A 【分析】本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角·关键在于由底面直角三 角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点B和C的坐标 最后，直线BC的方向向量与平面ABC的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对 值即为所求线面角的正弦值 【详解】以B为原点，BA方向为x轴，BC方向为y轴，垂直于底面的方向为z轴建 立空间直角坐标系 A 则B000,4i000:c0.N60,斜边4C的中点o0,0为BC的外D 由A在底面的射影为0·设（西9小，则弱=（四5 侧棱长BB=A4=V6 放网 +h=4+h2=6 解得=2，取h=√2 于是BG=B丽+BC=0,6+6,2=o,36,2. 2’2 2’2 平面ABC的法向量为i=(0,O,),设直线BC与平面ABC所成角为O,则 sin0=cos(BC,n》 BC·n √2 21 BC丽 10 36 3W23 2 +(2 2 故选A. 7.B 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空 间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可 【详解】如图，作出符合题意的图形，作D№1面ABCD, 以D为原点，建立空间直角坐标系， B D B 由题意得A(2,0,0),D0,0,0),B(2,2,0),C0,2,0),Am,npD), 则AB=(0,2,0),AD=(-2,0,0),AA=(m-2,mp), 而41=3，由两点间距离公式得m-2)++p2=9, 因为41=6，所以码子解得0， -2(m-2)_1 因为∠44D=60,所以2x3-2,解得m 2, 代入可得+}r=9,解得p-32 2 (负根舍去)， 将到4号9，则双-（器当， 因为W=4++0,所以W=(22x 3 2）, 设Mabe,则-a-2,可得-2=-2y,解得a士2， 而6-多+2x63返 则a-兮-寸x39.而丽-620：瓜-g9, DB.n=2d+2e=0 设面 的法向量为 则 3.3 ABD n=(d,e,f) 2e+ 2f0, 令f=2,解得d=3,e=-3,可得n=(3,-3,2), 因为CM∥平面ABD,所以CM:n=0, 符到-2列-202x3-0,化简得y 2 此时w-2+29变为0x-2x号3， +2’2 则a=x多239).出楼长公式得G-c-87， 令f=8x2-8x+7,由二次函数性质得f)在x=2处取得最小值， 而f分=5，则CM=5. m 【分析】利用两个平面所成角，的余弦公式cos8= m同求解。 【详解】m:i=1x(-3)+0x3+0×(-3)=-3,则m=3, 又因为m=P+02+0=1,闭=V-3)2+32+(-3y=35, 所以cos0= 3√5 1×3V53 9. 34/34 1414 【分析】以A为原点，AB,AD,A4为x,yz轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面 ABCD的法向量为A4,求出平面AEF的法向量为m,使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以A为原点，AB,AD,A4为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图： D ZA 则有40,0,0)，B(2,0,0),C(21,0),D0,10),4(0,0,3),B(2,0,3),C(2,1,3,D(01,3), 且有20》r, 易得A4=(0,0,3)为平面ABCD的法向量， 设平面4Br的法向显为而=xE-(20》F=(》, 4 m·AE=2x+-z=0 则有 1 m.AF=y+ ，令，则 z=0 3 z=3m=(-2,-1,3) 则cos(44,m)= A4·m_934 A4:m31414, ,3v14 即平面ABCD与平面ABF夹角的余弦值为4， 3V14 故答案为： 141 10. √30 10 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以CA,CB,CC分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， F B E 由题意，得A(2,0,0),B(0,2,0),E1,1,2),F1,0,2), 则AF=(-1,0,2),BE=(1,-1,2). 所以cos(BE,丽=V30 10 V30 故答案为： 10 11.(I)因为PA⊥平面ABCD,ABc平面ABCD,所以PA⊥AB, 由底面ABCD是正方形，可得AB⊥AD,又PAOAD=A,且PA,ADC平面PAD, 根据线面垂直的判定定理，可得AB⊥平面PAD a活 【分析】(I)利用线面垂直的判定定理，证明AB垂直于平面PAD内的两条相交直线PA与 AD,即可推得结论： (2)以A为原点建立空间直角坐标系，求出直线PD的方向向量和平面PAC的法向量，利用 线面角的向量公式计算角度. 【详解】(1)略 (2)设PA=AB=1,以A为原点，分别以AB、AD、AP的方向为x、y、z轴正方向建立 空间直角坐标系， 则A(0,0,0),P(0,0,),D(01,0),C(11,0),PD=(0,1,-I),AP=(0,0,1),AC=(11,0), iAP=0 设平面p4C的法向量为万=化八，2)则： 7.4C=0'即{2=0 x+y=0’ 令x=1,得y=-1,z=0,即平面P4C的一个法向量为方=(L,-1,0), PD.n 设直线与平面 所成角为，则sin0= PD PAC PD' 因为PDi=0×1+1x(-1)+(-1)x0=1,PD=V02+1P+(-1=2, =VP+(-}+02=2, 所以血0=25分，又0e[0号 11 2: 所以0=君 12.(1)证明见解析 (2)7· 【分析】(1)根据面面平行的判定定理来证明 (2)先建立空间直角坐标系，再分别求出平面CDE和平面AB,ED的法向量，最后 计算夹角的余弦值 【详解】(I)在矩形BCCB中，E,E分别为BC,BC的中点，连接BE,则 BE //EC, 在△ABC与△ABG中，易得DE1IAB,DE/IAB,因为ABIIAB,所以DEIIDE, 因为DEa平面ABED,D,E,C平面ABE,D,所以DEII平面ABED, 同理，DC IIAD,因为DC￠平面ABED,ADC平面ABED,所以DCII平面 ABE D, 又因DCIODE=D,DC,DEc平面CDE,故平面CDEIIS平面ABED. (2)以AB中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴正方向，OC所在直线为y轴正 方向， 过点O和平面ABC垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， mQ.w.4-Lo).c(./i..a(o.c(./3.).o-5c-5. 设平面CDE的法向量为m=(x,,), 因E-a.G-(}小瓜- m.DE=0 x=0 则 mEC=0' +5+2%=0令月=2则m=02), 即 设平面ABED的法向量为i=(:,,), nDE=0 x3=0 则分-B弧=0即6-5，+2，=0令为=2则万-@2同) 所以os(m,)= mn 1 m方7， 所以平面CDE与平面AB,ED夹角的余弦值为7· A D Bi E B 13.ABC 【分析】选项A:利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B:利用线面垂直的定 义结合线面垂直的判定定理求解即可，选项C:利用等体积法求解即可，选项D: 建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运 用二次函数的性质即可求得其范围 【详解】 2孙 D A D A B 对于A,因为正方体中BDIIB,D,且△ABD为等边三角形，故异面直线BD与AB夹 角为∠AB,D=60°，故A正确： 对于B,由正方体的性质可知AC⊥BD,AC⊥BB,BD,BBC平面DBB, BDBB =B. :AC⊥平面DBB,又因为BDC平面DBB,∴AC⊥BD, 同理可得DC⊥平面DCB,又因为BDc平面DCR,DC⊥BD, 又因为AC,D,Cc平面ACD,ACNDC=C,BD⊥平面ACD,故B正确； 对于C,因为BC IIAD,BC:平面ACD,ADc平面ACD,所以BCI平面ACD, 所以'，4m='a-4m='4c为定值，故C正确： 对于D,建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，BP=1BC(0<1<), 则A(,0,0),B(1,1,),G(01,0),B(11,0),C(01,1), 从而BP=1BC=(-元，0-2)，AP=AB+BP=(-1,1- 由正方体的性质知：BALCB,BC⊥CB,BC∩BA=B,BC,BAC平面AD,CB, 即CB⊥平面ADCB，故平面ADCB的法向量可取为B,C=(-L,O,1), 直线AP与平面AD,CB所成角正弦值为 sin0=|Cos<A P,B Cil= 1+1-λ 2V22-21+22V2-1+1' 因为01(-+[眼 所以im- 1√3 2-23, 故D错误。 故选：ABC 14.B 【分析】过点A在平面ABD内作AE⊥BD,垂足为点E,过点C在平面BCD内作 CO⊥BD,垂足为点O,以点O为坐标原点，OB、OC、EA的方向分别为x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求 解即可 【详解】过点A在平面ABD内作AE⊥BD,垂足为点E, 过点C在平面BCD内作CO⊥BD,垂足为点O, 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,AEC平面ABD, 所以AE⊥平面BCD,同理可证CO⊥平面ABD, 以点O为坐标原点，OB、OC、EA的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图 所示的空间直角坐标系， B 因为AB⊥AD,AB=3,AD=2,由勾股定理可得BD=VAB2+AD2=V32+22=V3, 由Sm-4BAD-)B-BD得B=4B.AD_3x2_6B BDV1313, 翻折前，在梯形ABCD中，ADIIBC,所以LCBD=∠ADB, 所以Cos∠CBD=cos∠ADB=4D=2-213 BDV1313, 由余弦定理可得CD=BD°+BC2-2BC-BDcs∠CBD=13+16-2x4xvBx2店=13，即 13 CD=3, 所以0B=BCcos∠CBD=4x2iE_8V▣ 13 13, 则0C=VBC2-OB 1213 13 因为BE=VAB2-AE 613 9W13 13 所以oE=BE-OB=95_8M3-E 1313 13 ad小c 所以AC= 3121363 13’13-13DB=(V3,0,0, 设直线4AC与D所成的角为g:则0[Q引， AC.DB 所以os AC.DE 81x 18, 1 故sin0=v-cos20= 181-187,所以am0=s0。=65, 165 cos0 因此异面直线AC与BD所成角的正切值为65】 0,3 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求 出答案 【详解】平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形， 且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2,则AC=AB=V2, 以C为坐标原点，CD,CB所在直线分别为x,y轴，过点C作平面BCD的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， A(01,),B(0,2,0),C(0,0,0),则AB=(0,1-),AC=(0,-1,-), 设(g,0,0),PQ与AC为异面直线，故0<q≤2， AP=AB,0<≤1，P(xz), 则AP=(xy-1,z-1),(xy-1,z-1)=2(0,1-)=(0,元，-)， 所以x=0,y-1=元，2-1=-元，解得x=0,y=1+元，2=1-元， 所以P(0,1+元，1-)，P=(g,0,0)-(0,1+元，1-)=(g,-1-元，元-1)， 因为异面直线P与AC成30°的角， Po·AC 所以cos30°= (9,-1-元，元-1)(0，-1，-1 2 PO.AC V92+(-1-)2+(2-1)}×2Vg+222+2x2’ √2 故+2x+22,g-子2， 其中0<q52,故9-号-22e04,又0<5 -@-故-09） 线段。，长的取值范围是 D衣 16.(1)2 i 9 e号 【分析】(I)根据点线面的位置关系得到点G是△EAC的重心，从而由比例关系可 得答案； (2)建立空间直角坐标系，得到各点坐标，求出平面的法向量，利用夹角公式进 行求解： +=3,由基本不 (3)设P=AD,面=uB(2,4e[0,少，由共线定理推论可得无u 等式可得“≥，并得到体积最小值 【详解】(I)设ACNBD=H,如图， 因为AM∩PO=G,所以GeAM,GePg, 因为AMc平面EAC,POc平面EBD,所以G∈平面EAC,G∈平面EBD, 因为平面EAC∩平面EBD=EH,所以G∈EH，所以点G也是AM与EH的交点， EG=2. 即点G是AEAC的重心，所以 因为BDII平面AMP,平面EBD∩平面AQMP=P2, EQ_EG=2. 所以BD∥PQ,所以QBGH (2)分别以HA,HB,HE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所 示 因为AB=22,EA=2V5,所以A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,4),C(-2,0,0). Bù 因为AM=AE+2Ec=(-20,4)+(-20,4)=(3,02), 40=6+=-2,04+g@2-4-(2》 -3x+2z=0 设平面的法向量为 m=k则2++-0 6 AOMP 令x=2则23=子所以m2号 又平面ABCD的一个法向量为i=(0,0,), 所以 c0s(m,)= m.n39 m同×， 3 9 即平面AOMP与平面ABCD的夹角的余弦值为 (3)四棱锥E-AgMP的体积 1 1 V-w-V+V--x2xmx1xSO-Sm 由(1)知，PO恒过点G,点G为AEBD的重心设EP=nED,EO=EB(,∈[O,) 因为G-题+D动印0，p:G·Q=点共战， 3 334 所以安动，京女， 1 血基本不等式可约以女92牙 22,所以≥号，当且仅当2=4-号时取等号 因为c0s∠BED=20+20-163 2×25x2V5=5,所以sin/BED=4 5 所以Sam号PxE0xsn∠BD-25x25n×g=8a≥2 4 5 9’ 32 所以四棱锥E-AOMP的体积的最小值为