湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷三

**基本信息** 立足高三开学学情，以基础巩固与能力检测为核心，通过集合、统计分位数、复数等基础题及解三角形、概率统计、立体几何等综合题，考查数学抽象、运算能力与数据观念，适配开学初知识回顾与能力诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、统计分位数、复数象限、解三角形|基础题占比高，注重数学抽象与运算能力| |多选题|3/18|立体几何线面关系、函数奇偶性与方程、双曲线性质|选项分层设计，考查推理意识与空间观念| |填空题|3/15|二项式系数、三角恒等变换、解三角形范围|强调数学语言表达，检测模型观念| |解答题|5/77|解三角形（等差中项应用）、概率统计（独立性检验与比赛概率）、立体几何（面面垂直证明与二面角）、双曲线（切线与中点证明）、函数极值与恒成立|综合题突出真实情境（如围棋调查）与逻辑推理，适配高考命题趋势，发展创新意识与应用能力|

《湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D C C D B C AB AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】集合是全体整数形成的集合， 而中元素都不是整数平方，， 所以. 2．C 【详解】从小到大排序：5，9，11，13，15，20，22，25，,,所以这组数据的75%分位数为. 3．D 【详解】复数在复平面内对应的点为，该点位于第四象限. 4．C 【分析】使用数量积的坐标运算求解. 【详解】∵∴， ∵是三角形内角，∴，， 由题知，∴． 5．C 【详解】解法1：设等比数列的公比为. 若，则，此时，与已知矛盾，故. 由，得， 于是. 解法2：因为为等比数列，所以仍为等比数列. 令（），由已知，可得. 根据等比数列的等比中项性质，有，解得. 由，得， 因，两边同时除以，得. 所以. 6．D 【分析】由极小值点算出的值，举特殊值计算可判断ABC；代入计算可判断D. 【详解】由题， 令，解得， 因为是极小值点， 所以当时，是极小值点，是极大值点成立， 当时，是极大值点，是极小值点，舍去， 所以， 对于A，， 所以，故A不正确； 对于B，令，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，， 所以，故C不正确； 对于D，， ， 所以，故D正确. 7．B 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆半径，即可得球的表面积. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面圆相切，如图所示： 则，， 可知圆台的母线长，可得圆台的高， 则该球的半径为，所以该球的表面积为. 8．C 【分析】利用古典概型概率公式、条件概率公式和全概率的概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，，，， 所以， ， 综上ABD说法正确，C说法错误； 故选：C 9．AB 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 10．AC 【分析】根据函数的性质，逐个选项判断即可. 【详解】由题知，令，则， 所以， 因为是定义在上的偶函数， 所以， 所以当时，，A正确； 当时，， 当时，， 因为是定义在上的偶函数， 所以，，B错； 当时，令，解得， 又因为是定义在上的偶函数， 所以，的解集为，C正确； 由上述可知，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为是定义在上的偶函数， 所以要使有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根， 即与两函数有两个交点， 则需满足或，D错. 11．ACD 【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算即可；对于B，根据直角三角形相似可求出，进而根据三角形面积公式列出面积的表达式，然后根据基本不等式的性质计算即可；对于C，先求出点的坐标，进而代入方程中化简求得离心率；对于D，根据余弦定理和的关系表达式，进而化简即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线：（，）的左、右焦点分别为，， 所以，渐近线为. 假设过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为， 则为点到渐近线即的距离，即，A正确； 当时，，所以. 所以的面积为. 在直角三角形中，，所以. 所以，所以，所以. 由于，当且仅当时等号成立，此时的面积取最大值为8，B错误； 因为，所以点是的中点，因为，所以. 又点在双曲线上，所以，化简得. 所以解得双曲线的离心率为，C正确； 设，由点在到渐近线的垂线段上， 直线的斜率为，所以直线的方程为， ，设，所以 设，所以，解得，而. 所以，则. 在中，由余弦定理得， 利用关系式， 即，化简得， 将的表达式代入，得到关于的方程，化简后可解得， 故渐近线方程为，D正确.    故选：ACD. 12．0 【详解】展开式的通项公式为， 由，得与矛盾，因此不存在项，所以其系数为0. 13． 【分析】利用二倍角公式即可. 【详解】因为，， 所以， ,，则， 利用二倍角公式：， 可得， （负值舍去）． 故答案为：. 14． 【分析】由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，， 由，解得， 所以 ， 因为，所以，， 所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的性质得到的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求值； （2）先根据正弦定理求出，再结合（1）中的的关系求出，最后根据三角形的面积公式求解. 【详解】（1）由成等差数列知，又得， 于是，设，则， 所以； （2）由（1）知， 由得，所以， 所以的面积. 16．(1)， (2)不能认为性别与喜欢围棋有关联 (3) 【详解】（1）男生人数，则， 喜欢围棋的共，则. （2）零假设：性别与喜欢围棋没有关联， ， 则根据的独立性检验，零假设成立，不能认为性别与喜欢围棋有关联； （3）已知甲第一局失败，若最终甲获胜，则包含以下几种情况： 接下来甲连胜三局，概率为； 接下来共比赛四局，且最后一局甲获胜，概率为， 故在甲第一局失败的条件下，甲最终获胜的概率为. 17．(1)因为底面，平面，所以. 四边形是直角梯形，，， 因为，所以. 所以，所以. 又因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由勾股定理逆定理得到，从而证明出线面垂直，面面垂直； （2）解法一：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值； 解法二：取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建系，写出点的坐标及平面的法向量，求出二面角的余弦值； 【详解】（1）略 （2）解法一： 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则， 取，则，得. 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以，二面角的余弦值为. 解法二： 取的中点，连接，以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设点的坐标为，因为，所以， 即，所以. 所以. 设平面的一个法向量为，则. 取，则，则. 又因为平面，所以平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以二面角的余弦值为. 18．(1)设双曲线 ， 由题意得：解得故双曲线方程为 . 设，则 ⅰ）当切线斜率不存在时，由对称性可知，为AB的中点. ⅱ）当切线斜率存在时，设切线（或） 联立方程组：消去得：. 由，即. 又，则，， 所以，即，解得. 所以直线，又，则. 联立方程组：消去得：，因为. 则上式化简为，恒成立. 设，，则，所以为AB的中点. (2)存在， 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程和焦点坐标求出双曲线的标准方程，根据直线是否存在斜率进行分类讨论，结合一元二次方程根与系数关系进行运算求解证明即可； （2）根据两点间距离公式，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为与相交，则切线的斜率存在， 由（1）知，切线，将，分别代入切线的方程得 所以，，则， . 所以. 故存在，使得恒成立. 19．(1)当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． (2) 【分析】（1）对函数求导，再分类讨论求解即可； （2）将问题转化为当时，恒成立，进而构造函数恒成立，分与讨论求解即可； 【详解】（1），定义域为R，， 当时，恒成立，故函数在R单调递增，无极值； 当时，令得， 故当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，当时，函数取得极大值，无极小值． 综上，当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值． （2）， 因为，当时，恒成立， 所以，当时，恒成立， 令，，， ，， 令，， 则在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，单调递减，时，，单调递增， 故由可知，时，，与满足在恒成立矛盾； 综上，当时，在恒成立，即恒成立． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷三 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．现有样本数据：15，9，11，20，13，5，22，25，则这组数据的75%分位数为（    ） A．5 B．13.5 C．21 D．22 3．是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（    ） A． B． C． D． 5．设等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．6 B．16 C．26 D．36 6．已知是函数的极小值点，则（     ） A． B． C． D． 7．如图，圆台的上底面半径，下底面半径，一球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则该球的表面积为（   ） A．36π B．64π C．100π D．144π 8．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球：再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则错误的选项为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A． B．平面 C．平面 D．平面 10．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 11．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（   ） A． B．当时，面积的最大值为16 C．当时，双曲线的离心率为 D．当时，双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中，项的系数是否存在?其系数为_____（若存在用数字作答，若不存在系数为0）． 13．已知，则__________ 14．在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角对应边分别是.已知成等差数列，且. (1)求的值； (2)若的外接圆半径为，求的面积. 16．某校积极推进“五育并举”育人实践，计划开设围棋选修课程，随机调查了100名学生，得到如下列联表. 性别 是否喜欢围棋 合计 是 否 男生 m 20 女生 20 50 合计 n 100 (1)求的值 (2)根据的独立性检验，能否认为性别与喜欢围棋有关联？ (3)为推动围棋课程开设，该校举办了围棋比赛，最后甲､乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局.已知每局甲胜乙的概率为，在甲第一局失败的条件下，求甲最终获胜的概率. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．如图，在四棱锥中，底面，四边形是直角梯形，，，点在棱上. (1)证明：平面平面； (2)当时，求二面角的余弦值. 18．已知双曲线的渐近线方程为，右焦点为，直线与相切于点. (1)若与的渐近线分别交于，两点，证明：点为线段AB的中点； (2)已知直线：，：，若与，分别交于点，，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若，当时，恒成立，求实数的取值范围； 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $