湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高三上学期入学考试数学试题

临澧一中2027届高三入学考试 数学 (命题人：林祖成考武时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.从1,2,3，·，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（) 3 A.0 B号 c. D. 20 2.已知向量ā，b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=ā+b(2,4∈R),则元-μ=（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 3.已知集合A=x=2 sinncN, B={xx2-x-2<0,则AnB=() A.{-5.0,5 B.{o,15 c.{-5-l,0} D.{-l,0,5 4.曲线y=e“在点(0，)处的切线与直线x-2y+3=0垂直，则实数a的值为（) A.-2 C. D.2 5.已知点P为抛物线y2=12x上一点，过点P作圆C:x2+y2-6x+8=0的两条切线，则切线长的最小值 为() A,万 B.2V2 C.7 D.9 6.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)上可导，则必有一5e(a,b), 使得∫56-o)=f)-回.已知函数=，a6e02,=O-/@,那么实数1的 b-a 最大值为（) A.1 B.-c2 c.I D、0 7.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到 1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数， 则zsoz2m-m6=（） A.1 B.-1 C.2 D.-2 高三数学第1页，共4页 135 1-1 24 6 n-2 要 8.设随机变量X的分布列为P(X=)=0,k=2…8,且P(X≤刈=生a,则() A.数列{an)是等比数列 B.PK-2列日 C:数列 前7项之和为 D.8(x)-号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数2=+ ,（i为虚数单位)，记z为z的共轭复数，则() A.-5 B.z在复平面内对应的点在第二象限 C.z2=2-2i D.zi2026=-1+i 10.某组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图O,已知球的体积为4”，托盘由边长为4的正三角形铜 3 片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有（) D E 图① 图② A。多面体ADCDEF的体积为号 B.经过三个顶点4B.C的球的截面圆的面积为牙 )真线4D与CF所成的角的余弦 D.球腐球托底面DEr的最小距离为5+6-1 3 高三数学第2页，共4页 11、已知圆C:(x-1)+y2=2,,>0,i=1,2,3.圆C过坐标原点0,1,5,5成等比数列，直线1与 圆C,相切，与圆C交于A,B两点，过P(0,2)作圆C的切线PM,M为切点(M异于O),若|AD=4W3, 则() A.T=1 B.5=3 C.OM-45 D.当△PAB面积最大时，1的方程为x-2y-2√5-1=0 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线C少-若=1的-个焦点为0-2，则双曲线C的海近线方程为 13.已知x是实数，若2 in=snx+） g则tanr的值为 14.定义()为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元紫本身，已知集合 =号37&， 集合M的所有非空子集依次记为M1、M2、·、Mm,则 ΠM)+ΠM,)+.+ΠMm)= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，M,N分别是AB,PC的 中点. (I)求证：MNI∥平面PAD: D (2)若PD=AD=2,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 16.已知椭圆的中心在原点0，离心率e=5,短轴的一个端点为0.V),'点M为直线y=之x与该椭圆 2 在第，象限内的交点，平行于OM的直线I交椭圆于人，B两点. (1)求椭圆的方程： (2)求证：直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 高三数学第3页，共4页 与 17.已知数列{a,}中，a=1,a=(n+)a,+n(n+),neN. (Q)证明：数列丹}是等差数列： 2)给定正整数m,设函数)=只2+但2++区x,求了. 2 3 m+1 18.设锐角三角形A4BC的内角4，B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+c=b. (1)求角A的大小： (2)若边BC上中线AD的长度为√6，求△ABC面积的最大值： (3)若点0为△MBC所在平面内一点，且满足(OA+OBAB=(OB+0CBC=0,求 sin2∠BOC-cos2∠AOC的取值范围. 19.设集合U=1,2,3,,n,n∈N,n≥5.从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a,b, 0,c-b与b-a均不为1， c.定义随机变量X:X={l, c-b与b-a均为l, 2,c-b与b-a仅有-个为1 (1)若n=5,求X的分布列： (2)求E(X): )若随机变量Yn, 证明：E()P(V≥小>E(X+P(Y=. 高三数学组老师祝大家： 算尽千题万象，求取人生最大值 高三数学第4页，共4页2027届高三8月检测(2026年高考真题仿真) 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1.从1,2,3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为() 4君 8 5 c. D:0 7 【答案】A 【详解】1,2,3，，20中能被3整除的有3,6,9,12,15,18，共6个，所以所求概率为6=3 2010 2.己知向量d,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=Aā+b(2,μeR),则2-4=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】A 【详解】如图以a的起点为坐标原点，沿着网格水平向右与竖直向上分别为x,y轴正方向建立平面直角坐 标系.设每个网格边长为1，则易得a=1,2),b=(2,2)-(0,3)=(2,-1),c=(4,3) 2+2u=4 由c=a+b可得 22-u=31 解得九=2,4=1，故入-μ=2-1=1. VA 3.已知集合Ax=2 men.=2--2<.则4nB=() A.{5,03}B.{D1,5 c.{5,-l0}D.{1,05} 【答案】B 【详解】B={xx2-x-2<0}={x|-1<x<2} 4=lx=2 sinN'因为neN 当n=1时，x=2sin2=1:当n=2时，x=2sin?=V5: 6 当n=3时，x=2simg=2:当n=4时，x=2sin2红=5： 3 当n=5时，x=2sin 5=l;当n=6时，x=2sinx=0: 当n=7时，x=2sin7=-l；当n=8时，x=2sin4红=-5： 6 当n=9时，x=2sin30=-2:当m=10时，x=2sim5红=-5： 2 当n=11时，x=2sin nlr=-l:当n=12时，x=2sin2=0. 6 根据正弦函数的周期性，当n>12,n∈N*时，函数值重复出现， 所以A={-2,-5,-1,01,5,2,所以AnB={0l,v5} 4.曲线y=e“在点(0,1)处的切线与直线x-2y+3=0垂直，则实数a的值为() A.-2 B. C.2 D.2 【答案】A 【详解】切线与直线x-2y+3=0垂直，则切线斜率为-2， y=e“，则y'=ae“，由已知ylk0=ae°=a=-2. 5.己知点P为抛物线y2=12x上一点，过点P作圆C:x2+y2-6x+8=0的两条切线，则切线长的最小值 为() A.7 B.22 C.7 D.9 【答案】B 【详解】由题意，在圆C:x2+y2-6x+8=0中，C:(x-3)}+y2=1,圆心C(3,0),半径R=1, 在抛物线y2=12x中，点P(x,y)为抛物线上一点，.x≥0，连接PC, 设切点为D,E,分别与点P连接，则切线PD=PE, 由几何知识，∠PDC=∠PEC=90°，CD=|CE=1, :PC=V(x-3)}+y2=Vx2-6x+9+12x=Vx2+6x+9=x+3(x≥0)， ∴由勾股定理得，PDl=PE=VPC2-R2=V(x+3-P=V(x+3-1(x≥0)， 在y=(x+3)-1中，对称轴x=3,函数开口向上，∴.函数在x≥0上单调递增， ∴.切线PD=PE=(x+3)2-1(x≥0)在x=0处取最小值， PDl=PE=v0+3}-1=9-i=22. 6.拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数f(x)在[a,b上连续，且在(a,b)上可导，则必有一5∈(a,b), 使得f八56-o)=f0)-f@.已知函数=言，a6e02斗A-f6 ,那么实数元的 b-a 最大值为() A.1 B.-e2 c. D.0 e 【答案】C 【详解】由题意，函数f)在[a,b]上连续，且在(a,)上可导，则必有一5e(a,),使得f③=f⑥-f@, b-a 又由/)-号.可得树心-任e兰】 e2x 所以5各提医于超的几物意义知0怎又由= ,所以= b-a 因为5ea,且abe0,2小，所以5e@.令g(-是xe02.则g(e-产 当x∈(0，)时，g'(x)>0,g(x)为增函数，当x∈L,2)时，g（(x)<0,g(x)为减函数， 故当x=1时，g()有最大值，所以当5=1时，元取得最大值，最大值为元=1. e 7.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A只能爬到1 号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房…以此类推，用an表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数， 则ao2sa221-a026=（) 1ǐ3ǐ5ǐ A24文6 n-2 n A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】B 【详解】依题意，an=an1+an-2（n≥3)，a=l,42=2,4=a+a,=3, 当n≥2时，a,an2-dl=an(an1+an）-a1=a,0nl+a-a1 =a+an+(an-a）=a-an+1an1=-(anan+1-ad)） aa,-a=-1,所以数列{a,a+2-a}是首项为-1，公比为-1的等比数列， 所以aoa,-a6=(-1)×(-1）=-1.故选：B 8.设随机变量X的分布列为P(X=k)=ak=12,…8,且P(X≤)=+a 24,则() A.数列{a}是等比数列 B.Px=2列 C.数列 1 aa }前7项之和为63 D.)-号 【答案】D 【详解】因为PK=刻=a,P(X≤)=生。 则当k≥2时，P(X≤k)=P(X≤k-1)+P(X=k): 代入得+ 2a=20+a,化简得a,=k一“ kk-1.2 由递推式：4之2…片a=a,即4=ak=山，2,38别 由分布列概率总和为1可得：艺4=4太-36=l4=G即a-。=l28) 1 选顶A因为一石所以受-2，鲁-所以数列和，不是等比数列，A错误 选瑰，P心K=小=西名衣7B错误 选项C,因为。 nn+1 所以前7项和为： =126x[0rG》-+G8-1296×g1B4 2,C错误， 选项D,期里E(X)-学PX=刈-学0花艺-石+2++8)骨D正确， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设复数z=1+1（1为虚数单位)，记三为z的共轭复数，则() i A.2=2 B.z在复平面内对应的点在第二象限 C.z2=2-21 D.z-i2026=-1+i 【答案】AD 【详解】2=1+i_0+1+i-1-i iii-1 对于A项，乞=1+i,则2=VP+P=√2，故A项正确： 对于B项，z在复平面内对应的点(L,1),则点在第四象限，故B项错误： 对于C项，z2=(1-i)}=1-2i+2=1-2i-1=-2i,故C项错误； 对于D项，z026=(1-i)i02=(1-i)=(（1-i)(-1)=-1+i,故D项正确。 10。茱组合体由一个铜球和一个托盘组成，如图①。已知球的体积为红，托盘由边长为4的正三角形铜 片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列说法正确的有() D 图① 图② A.多面体ABCDEF的体积为？ B.经过三个顶点A,B,C的球的截面圆的面积为产 4 C,异面直线AD与CF所成的角的余弦值为？ 8 D.球离球托底面D5F的最小距离为、5+y6-1 3 【答案】ACD 【详解】因为托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成， 所以连接AB、BC和AC得几何体ABC-DEF, 因此构建一个底面边长为2，高为√3的正三棱柱DEF-D,E,E, 取DE,、E和DF的中点分别为A、B和C, 则几何体ABC-DEF就是题意中的几何体，如图： B D 这个儿何体ABC-DEF的上底面△ABC是边长为1的正三角形， 下底面aDEF是边长为2的正三角形，高为√3 因为铜球的体积为4红，所以由球的体积公式得铜球的半径R 对于A,因为由几何体ABC-DEF的构成知： 多面体ABCDEF的体积为三棱柱的体积减去3个三棱锥的体积， 即5×2×5-3×x5×x5=9.因此A正确： 34 4 对于B,因为经过三个顶点A,B,C的球的截面圆就是正△ABC的外接圆， 所以若边长为1的正三角形的外接圆半径为r,则 2,解得 Sinπ 3 6 因此经过三个顶点么，C的球的截面圆的面积为2-子，所以B不正确： 对于C,取EF的中点G,连接AG,则由几何体ABC-DEF的构成知： AC∥GF且AC=GF,因此四边形AGFC是平行四边形， 所以CF∥AG,因此∠DAG就是异面直线AD与CF所成的角. 连接DG,在△DAG中，AD=CF=AG=2,DG=V3, 因此c0s∠DMG=D2+4G2-DG24+4-35 2AD.AG 8 8 即异面直线AD与CF所成的角的余弦值为 所以C正确。 对于D,由B知：经过三个顶点么B,C的球的截面圆的半径，= 3 所以铜球的球心到截面ABC的距离为VR-r 因此球离球托底面DEF的最小距离为√3 1 3 =5-1+6,所以D正确.故选：ACD 3 11.己知圆C:(x-1)+y2=2,5>0,i=1,2,3.圆C过坐标原点0，片，2,5成等比数列，直线1与 圆C,相切，与圆C交于A,B两点，过P(O,2)作圆C的切线PM,M为切点(M异于O),若|AB=4V3, 则() A.1=1 B.5=3 C.IOM=45 D.当△PAB面积最大时，1的方程为x-2y-2V5-1=0 5 【答案】ACD 【详解】对于A:C过坐标原点O,所以(0-1)}+02=2，则片=1，故A正确： 对于B:r,2,5成等比数列，所以=5=5①， 设直线1到C,L,0)的距离为d,因为直线1与圆C,相切，所以d=3, 又因为直线1与圆C相交，弦长4B=45,所以14B=2√-=2？-7=45②， 将②代入①得：-2-12=0，解得=4，所以5=2,5=4，故B错误； 对于C:PM是C的切线，M为切点，故CM1PM,又因为PC=√-0)2+(0-2)2=V5, CM=片=l,则PM=VPC-|GM=V5-i=2,在RtAPMC中，OM⊥PG 根据等面法及cP训-以.即2-5：0以. 2 所以OM=45,故c正确： 5 A C 对于D:及号4，其中h为P到的距离，因为=45为定值，放么最大时，面积最大。 LPC时，h达到最大值为PC+5=V5+2,因为心=仁。=-2，所以k 所以设1的方程为y=。x+b,即x-2y+2b=0, 因为1与G相切，所以4=L+20=2=5,解得6-25-1或6=-25-， 5 2 2 如图可得6=25-，所以1的方程为x-2y-2N5-1=0,故D正确。 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知双曲线C:了-=1的一个焦点为0，-2)，则双曲线C的新近线方程为 【答案】y=±3 3 【详解】焦点在)销上的双曲线的标准方程为器云=1，焦点坐标为@，d。其中ahc>0。 双曲线C:y2-千=1的-个焦点为0-2列可知a=1,c=2,则6-元-V41-5, 所以双曲线C的渐近线方程为y=x=± i*t 1 3,即y=t3 . 1B.已知x是实数，若2 2in=sm+写 则tanr的值为 9 【答案】√ 【详解】2 o=smg+}写可得2s如号 9 9 cosx=sin xcoscos.rsin 所以2sng-sng}osr=o π 2v3 +sinπ -sin cos 所以tanr=sinx 9 9 9 2 9 9 9 =5 cosx coS cos- 9 9 14.定义∏()为集合A中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合 M-{浮7分 集合M的所有非空子集依次记为M,、M2、…、M2,则 ΠM)+ΠM2)++ΠMm)= 【答案】215 【详解】设/e倒=6c-号c+京Xx+e+3Xx+7e+8x- A 则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令x=1,则展开式中所有项的系数之和为T=0-0+1+1+30+71+81-之=216， 所以Π(M)+∏(M2)++M2m)=216-1=215.故答案为：215. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，M,N分别是AB,PC的 中点. M B (1)求证：MN∥平面PAD: (2)若PD=AD=2,求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值 【答案】1略，(2) 2 【详解】(I)设PD的中点为E,连接EA,EN, 因为E,N是PD,PC的中点，所以在aPDC中，ENIIDC,EN=DC 2 D为正方形，M为AB中点，所以AMDC, 所以AMIIEN,AM=EN,即四边形AMNE是平行四边形， 所以MN∥AE,又因为AEc平面PAD,MNd平面PAD,所以MN∥平面PAD. (2)因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在正方形ABCD中，DA⊥DC, ZA D 所以以{DA,DC,DP为正交基底建立空间直角坐标系O-xz, 因为PD=AD=2,所以C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,0,2) 所以PB=(2,2,-2),P℃=(0,2，-2).设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,z), 所以 m-PB=0,即2x+2y-2z=0解得x=0,取y=1,得z=1,所以m=(0,L) m.PC=0,2y-2z=0, 又平面PAD的一个法向量为i=(0,l,0),所以cosm,i= m12 网22 所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为2 16.已知椭圆的中心在原点0，离心率e=5,短轴的一个端点为0，V2,点M为直线y=)x与该椭圆 2 2 在第一象限内的交点，平行于OM的直线I交椭圆于A,B两点. (1)求椭圆的方程： (2)求证：直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 【答案】①亡+上=12见答案 82 【详解】1)设椭圆方程为号+若=a>b0.由腐心率e=5,得9_点 2 由短轴的一个端点为(0，V2),得b=√2， 因为=4e所以=2+子.所以=8，所以圆方程为后+号=1 (2) M 由1)知椭圆方程为女+y =1 82 -=1 联立 8 2,解得 x=2wx=-2 y=1y=-1' y=2 因为点M在第一象限内，所以M(2,),设直线I的方程为y=2+m. 1 y-2x+m 由 x上得r+2mx+2m2-4=0. =1 82 设直线MA,MB的斜率分别为k,k2, 设以以则贴号店 x2-2 由x2+2r+2m2-4=0,得x+x2=-2m,x书2=2m2-4, k+k=当-1+2=1--10x-2)+02-16-2) x-2'x2-2 (:-2)x2-2) 5+m-x-2)+(+m-%-2).55+m-2+x)4m-D (x-2)x2-2) (x-20x2-2) 2m2-4+0m-2-2m）-4m-》_2m2-4-2m+4m-4m+4-0. (x-2)x2-2) (x-2)(x2-2）) 即飞+k2=0,故直线MA,MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 17,己知数列{an}中，a=1,na=(n+)an+n(n+),neN (①)证明：数列 是等差数列： n (2)给定正整数m,设函数f=4x+x+…+ax,求f3) 2 3 m+1 【答案】①证明见解析(2)fr3)=2m-)3+3 4 【详解】1)证明：由已知可得：=+1，即a-=1 n+l n n+l n 所以份}是以导=1为首项。1为公差的等差数列： 1 (2)由(1)得：=1+n-)1=n,所以a,=n2, 所以)-+子2++叫，故国=+2r++ m+1 可得"(3)=3+232+…+m3"①， 所以3f'(3)=1×32+2×33+3×3+…+(m-1D.3"+m3m1②， 由①-②有：-2f"(3)=3+32+33+…+3"-m*3m刊 _3-3）-m-3_-2m3-3.所以r3)-2m-03"+3 1-3 2 4 18.设锐角三角形△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,acosC+。c=b. (1)求角A的大小： (2)若边BC上中线AD的长度为√6，求△ABC面积的最大值： 3)若点O为AABC所在平面内一点，且满足(OA+OBAB=(OB+0CBC=0,求sin2∠BOC-cos2∠4OC 的取值范围 【答1a@2w5o引 【详解】1)由正弦定理及acosC+)c=h,得sim4cosC+sinC=sinB, 2 因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, 所以inC+nC=inC+os4s血C,即nC=ws4snC 又Ce.所以如C>0,所以e4号 而A∈(0，π)，所以A=元 (2)因为D是BC中点，所以D=)(AB+AC) 所以D-aB+Ac=aB+4C2+2B.4C, 所以6=4e+B+2 be cos∠BAC,即P+e2+be=24, 又24=b+c2+bc≥2bc+bc=3bc,当且仅当b=c=2√2时等号成立， 1 所以bc≤8，所以S=cn1≤25，即△MBC面积的最大值为25. (3)因为(OA+0BAB=(OB+OCBC=0, 所以(Oi+oB(oB-OA=(oB+oC)oc-oB)=0, 所以0i=0B2,OB=0C,即0A=0B=0C, 所以0为aMBC的外心，所以∠B0C=2∠B4C-号，∠A0C=2ZABC, 由锐角三角形可知若<∠AC<分，则co2∠40Ce0,) 所以moc-as4oc l9.设集合U={1,2,3,,n},neN,n≥5.从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a,b,c.定 [0,c-b与b-a均不为， 义随机变量X:X=1, c-b与b-a均为， 2,c-b与b-a仅有一个为 (1)若n=5,求X的分布列： (2)求E(X): 1】 (3)若随机变量Y~Bn,。 2 证明：E(Y)P(V≥)>E(X)+号P(Y=). 【答案】（①）X的分布列为： X 0 2 2 w 10 10 5 12n-30 (2)nn-)见答案 【详解】(1)当n=5时，集合U={1,2,3,4,5},从U中一次取出3个不同的数，由小到大依次记作a,b, c,总的取法数为C=5x4×3-10, 3×2×1 分别是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，（1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，（2,4,5)，(3,4,5)， c-b与b-a均不为， 由于随机变量X= c-b与b-a均为L, ,c-b与b-a仅有一个为 当X=0时，即c-b41且b-a1,满足的组合只有，3,5).所以P(X=0小=0 当X=1时.即c-b=1且6-a=1,满是的组合只有，2,3).234利.(45).所以P(X=)=0 当X-2时，Px=21-Px-0-r心x==1-。高合-号 所以，当n=5时，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 3 10 10 5 (2)对于一般的n(n25),从集合U={L,2,3,,n}中一次取出3个不同的数a,b,c(a<b<c), 总取法数为C=n(n-n-2)_nn-1(n-2) 3×2×1 6 当X=0时，即c-b≠1且b-a≠1，所以c-b≥2且b-a≥2， 令d=a,b=b-l,c'=c-2,由于1≤a<b<c≤n,且b2a+2,c2b+2≥a+4,则1≤a'<b<c'≤n-2, 从n-2个数选出3个不同的数(a,b',c)的方法数为C?2,因此满足条件的组合数为C2 (n-2)(n-3)(n-4) 6 (n-3)(n-4) 所以P(X=0-g-mn-可n-2Mn-) 6 当X=1时，即c-b=1且b-a=1,所以a,b,c是三个连续的整数，即a,a+l,a+2, a可以取12,3，，n-2,共n-2种选择，所以P(x=)=”二2=一6 Ci n(n-1)i 当X=2时，P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)因此， E(X)=0-P(X=0+1P(X=)+2:P(X=2)=1,6 -aa 8由于随机变量v-8》所以)-a、v=i-Y-o=1-G侣- twe-号， 由a)可知)-》由于g小-c-会周型 E(X+PV=1=12n30+-12m-30t” n(n-)22”n(n-)2, 要证到8rv到风x)y-小即证号产>+兰.即香正号分· .112n-30、1 112m-30≥(n25): ①先证明2(n-)n 1_12n-30_1_n2(n-1)-(24n-60）-2n(n-)n23-3n2-22n+60(n2-3n-22)n+60 令f(m）=2㎡(n-)n 2n2(n-1) 2n2(n-1) 2n2(n-1) 当n=5时，f(5)=0;当n=6时，f(6)=36>0, 令函数g(x)=x2-3x-22,则g(x)=2x-3,当x≥5时，g'(x)>0,所以g(x)在x≥5时单调递增且g(7)>0, 所以随着n(n≥5)的增大，f(n)也逐渐增大， 因此对于n≥5，有f(n)≥0， 112n-30≥（n25): 2 n2(n-1)n ②再证明1>1（n≥5：由于1-一=，且n:2">0,2“-n>0对任意n之5都成立， n2m-n-2" 所片≥ 112n-30.1 综上所述，2ra2,即E(Y)P(Y≥小>E(X)+PV=).