重难模块十二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练）（浙江专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦带电粒子在有界匀强磁场中运动的边界类型与多解问题，通过基础到真题的递进式训练，系统建构几何模型与临界分析方法，培养科学思维与运动相互作用观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线边界|5题|涉及平面直角坐标系、挡板吸收等，考查入射方向与落点关系|基于洛伦兹力提供向心力，结合直线边界的对称性质与几何约束推导轨道半径| |三角形边界|5题|含直角/正三角形区域，涉及粒子碰撞吸收、出射方向平行边界等|通过三角形边长、角度构建轨迹圆心位置，强化空间几何推理能力| |弧形边界|5题|半圆形/圆形区域，涉及粒子收集板、速度选择等|利用圆与圆的位置关系（内切/外切）分析轨迹，深化圆周运动模型建构| |多解问题|5题|含电场磁场组合、方向/电荷正负不确定性等|综合对称性、临界条件及运动时间分析，提升科学论证与质疑创新能力|

重难模块十二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练） 目录 模拟·基础演练 1 ⏳题型01 直线边界 1 ⏳题型02 三角形边界 9 ⏳题型03 弧形边界 15 ⏳题型04 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 21 重难·创新演练 28 真题·实战演练 34 模拟·基础演练 考查重点：直线边界 三角形边界 弧形边界 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 ⏳题型01 直线边界 1. 如图，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．打在薄板下表面的粒子占粒子总数的比例为 【答案】B 【详解】A．粒子做圆周运动的半径为 解得 粒子的运动轨迹如图所示。 粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，如图轨迹2 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 ， 解得，A错误； B．当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1 当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2 上表面接收到粒子的区域长度为 ，B正确； C．粒子可以恰好打到下表面N点，如图轨迹2 当粒子沿y轴正方向射出时，薄板的下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3 下表面接收到粒子的区域长度为d，C错误； D．以轨迹2与轨迹3为边界的区域内运动的粒子均能打在薄板的下表面，沿轨迹2与轨迹3运动的粒子的初速度之间的夹角为30°。 打在薄板下表面的粒子占粒子总数的比例为，D错误。 故选B。 2. 利用如图装置可以探测从原点O发射的粒子信息。两个有界匀强磁场，沿x轴方向宽度相同，y轴方向足够长，磁场边界与y轴平行，且内侧边界距y轴均为a，磁感应强度大小均为B，方向如图所示。足够高处有一平行于x轴且关于y轴对称放置的探测板，粒子打在探测板上将被全部吸收，板长等于两个磁场外侧边界之间的距离。粒子源沿各个方向均匀向外发射质量为m，电荷量为q的正离子，不考虑粒子重力及粒子之间的相互作用，求 （1）若粒子速度大小为v，所有粒子恰好不从两个磁场外侧边界射出磁场，则磁场宽度d1的大小； （2）若粒子的探测率，则磁场宽度d2至少多大； （3）若粒子速度大小，磁场宽度为，则粒子的探测率η的大小。（可用反三角函数表示） 【答案】（1）；（2）（3） 【详解】（1）由题意可知，沿x轴方向入射的粒子恰好与磁场外侧相切，根据几何关系有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 若使所有粒子恰好不从两个磁场外侧边界射出磁场，则有 （2）若粒子的探测率，可知有粒子不能探测到，可知粒子沿与y轴负方向夹角是30°的方向射入磁场都能探测到，粒子在磁场中运动轨迹如图所示，由图可知，则磁场宽度至少 （3）若粒子速度大小，则有 由解析（2），设粒子与y轴负方向的夹角为θ，在磁场中运动时，由几何关系可得 解得 可知粒子的探测率η的大小 3. （多选）如图所示，边长为的正方形区域存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AB、BC和AD边为三块挡板，CD边无挡板，。处有小孔，质量为，电荷量为的粒子，自点进入磁场区域，速度方向与AD边夹角为，垂直磁场进入，进入速率不同。已知粒子与挡板相碰将被吸收，速率满足一定条件的粒子将通过CD连线离开磁场区域。整个空间各点电势均相等，不计粒子之间的相互作用，不计重力。已知，。则下列说法正确的是（     ） A．从点离开的粒子速率为 B．能离开磁场区域的粒子速度应满足 C．能离开磁场区域的粒子在ABCD区域运动的最长时间和最短时间之比为2∶1 D．从E点离开的粒子的速率为 【答案】AD 【详解】A．如图甲所示 由几何关系可知，粒子从下边缘点射出时，轨迹圆的半径为 由洛伦兹力提供向心力可知，，故A正确； C．自点离开的粒子在磁场中运动转过的圆心角为120°，如图甲所示，自点离开的粒子在磁场中运动转过的圆心角为30°，根据，所以最长时间与最短时间之比为4∶1，故C错误； B．自点离开的粒子轨迹半径应满足 所以 所以能离开磁场的粒子速度应满足，故B错误； D．如图乙所示 由几何知识可得 故， 则为等腰直角三角形，则粒子运动半径 则，故D正确。 故选AD。 4. 如图所示，平面直角坐标系第一象限有与坐标平面垂直的匀强磁场B，x轴y轴为磁场边界。一束速度大小各不相同的电子从x轴上的点（L，0）不断射入磁场，射入速度方向与x轴负方向夹角均为，已知，下列说法正确的是（     ） A．从轴上不同位置射出磁场的电子，射出时速度方向平行 B．电子能到达轴区域的长度是能到达轴区域长度的 C．第一象限有电子经过区域的面积为 D．若，则轴上有电子射出区域的长度变短 【答案】C 【详解】AB．电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 可得轨迹半径 可知电子的轨迹半径，所有轨迹圆都经过入射点，且在点处切线方向相同。与轴恰好相的轨迹圆如图所示 由几何关系可知，轨迹与轴相切时，圆心到轴的距离等于半径，即 解得 此时圆心的横纵坐标分别为， 圆心坐标为，且轨迹与轴的切点为，与轴的另一个交点为，其横坐标为 则点坐标为，当时，电子能到达的轴区域从到，可得长度 当时，轨迹从轴穿出，当趋向无穷大时，轨迹趋近于入射方向的直线，与轴的交点坐标为 则点坐标为，此时从轴射出的电子与轴的夹角为 因此从轴上射出的电子与轴的夹角在之间，不同位置射出的电子速度方向并不平行。经过的轴区域从到，可得长度 比值为，故AB错误； C．通过电子运动轨迹的分析，可知面积可以由两部分进行计算，首先第一部分：从到，临界圆在第一象限内扫过的面积，临界圆与轴交于和，为等边三角形，边长。临界圆在第一象限内的面积为圆和等边三角形的面积之和 其次第二部分：从到无穷大，新增的扫过区域，该区域面积为四边形的面积减去扇形的面积，其中四边形由两个全等的直角三角形组成，面积为 扇形对应圆心角，占整圆的，扇形面积为 所以 总面积，故C正确； D．当时，轨迹圆的圆心坐标 临界相切条件 解得 轴最高点（切点） 轴最低点（渐近点，趋向无穷大时轨迹趋近于入射直线） 轴区域长度 比较可知 当入射角从增大到时，轴上有电子射出区域的长度变长，故D错误。 故选C。 5. （多选）如图所示，在的区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向未知。一个质量为m、电荷量大小为q的带电粒子，从O点沿与x轴正方向成角的方向射入磁场，最终沿与x轴正方向成角的方向，从边界射出（轨迹始终在xOy平面内）。不计粒子重力，下列说法正确的是（     ） A．粒子可能带负电 B．粒子在磁场中运动的半径可能为 C．粒子入射磁场的速度大小可能为 D．带电粒子在磁场中运动的时间可能为 【答案】ACD 【详解】A．由于粒子的偏转方向和磁场方向均未知，因此无法确定粒子的带电情况，即粒子可能带负电，也可能带正电，故A正确； B．粒子的运动轨迹如图所示 若粒子以为圆心，则由正弦定理 解得 若粒子以为圆心，则由三角形关系 解得 因此粒子在磁场中运动的半径不可能为，故B错误； C．若粒子在磁场中运动的半径 洛伦兹力提供粒子圆周运动的向心力，则有 解得，故C正确； D．若粒子以为圆心，带电粒子在磁场中偏转的圆心角 则粒子在磁场中运动的时间为 其中 解得，故D正确。 故选ACD。 ⏳题型02 三角形边界 6. （多选）如图，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则以下说法中正确的是（     ） A．磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中扫过的面积为 C．粒子运动的轨道半径为 D．粒子射入磁场的速度大小为 【答案】ABC 【详解】A．取为粒子电荷量的绝对值，粒子垂直AC边射入时速度沿水平方向，从BC边垂直射出时速度沿竖直方向，速度方向恰好转过，因此运动时间等于圆周运动周期的，则 根据带电粒子在匀强磁场中的运动周期公式有 解得，故A正确； B．粒子做匀速圆周运动的角速度为 运动时间最长的粒子在磁场中转过的圆心角为 设该粒子从AC边上的点射入，，轨道半径为，圆心为，粒子到达BC边时，由竖直方向的几何关系有 解得 取为坐标原点，CB方向为轴正方向，CA方向为轴正方向，则直线AB的方程为，圆心坐标为。粒子恰好不从AB边射出，说明该轨迹圆与AB相切，则圆心到AB的距离等于，有 代入解得 最高轨迹圆心到BC边的距离为，各入射点连续分布时，粒子扫过的区域由宽为、高为的矩形和半径为的四分之一圆组成，因此 代入解得，故B正确； C．由粒子轨迹与AB边相切的几何关系已经解得，故C正确； D．粒子的速度大小为 代入和解得 与选项所给结果不符，故D错误。 故选ABC。 7. （多选）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面方向的匀强磁场（图中未画出）。已知AB边长为l，。一群比荷为的带负电粒子以相同速度从D点及以上某区域垂直AB边射入磁场，恰好无粒子从AC边射出。已知从D点入射的粒子在磁场中运动时间t0后，以平行于AC的速度向下离开磁场。粒子在磁场中运动的最长时间是2t0，则下列说法正确的是（     ） A．磁感应强度的大小是，方向垂直纸面向里 B．粒子的运动轨迹半径为 C．粒子从BC边出射区域的长度为 D．从BC边离开磁场的粒子中，出射点距B点最远和最近的粒子在磁场中运动时间之比一定为3∶4 【答案】BC 【详解】A．从D点入射的粒子在磁场中运动时间t0后，以平行于AC的速度向下离开磁场，根据左手定则可知磁场方向垂直纸面向里，粒子运动轨迹如图1所示。由几何知识可知粒子轨迹对应的圆心角，根据， 可得周期公式 可得 联立可得，故A错误； B．粒子轨迹与相切时，粒子在磁场中运动时间最长，为，故粒子运动轨迹对应的圆心角为 运动轨迹如图2所示，由几何知识得 解得，故B正确； C．设运动轨迹与相切的粒子在边的出射位置为，则 粒子从点入射时，有 故从入射区域最低点进入磁场的粒子与从入射区域最高点进入磁场的粒子从同一位置离开磁场。垂直边出射的粒子离开磁场的位置距离点最远，且等于粒子运动半径，故粒子从边出射的长度为，故C正确； D．从边离开磁场的粒子中，出射点距点最近的粒子运动轨迹半径对应的圆心角为或 出射点距点最远的粒子运动轨迹半径对应的圆心角为 根据可知从边离开磁场的粒子中，出射点距B点最远和最近的粒子在磁场中运动时间之比为3∶4或3∶2，故D错误。 故选BC。 8. （多选）如图所示，有一垂直纸面向里的匀强磁场，其区域边界为边长为的正三角形（边界上有磁场），大量相同的正电粒子，从边中点以相同的速率均匀地沿不同方向垂直射入磁场区域。粒子从点射出时在磁场中运动的时间为，其中为粒子在磁场中运动轨迹的周期，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹的半径为 B．从边射出的粒子占所有粒子数量的 C．若粒子的速率均为，则粒子从边射出的最短时间为 D．若粒子的速率均为，则粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】BC 【详解】A．粒子从点射出时在磁场中运动的时间为，可知圆弧所对的圆心角为60°，可知粒子运动轨迹的半径为，A错误； B．因从a点射出的粒子速度方向与bc边夹角为60°，而水平向右射出的粒子能达到ac边，可知从边射出的粒子占所有粒子数量的，B正确； C．若粒子的速率均为，则由可知轨道半径变为原来的一半，即 当粒子从ac边的d点射出时时间最短，由几何关系，od圆弧所对的圆心角为60°，则粒子从边射出的最短时间为，C正确；    D．若粒子的速率均为，则粒子在磁场中运动的半径为 则由几何关系，水平向右射出的粒子在磁场中恰能运动一周，则最长时间为T，D错误。 故选BC。 9. 如图所示，在正三角形ABC区域内存在垂直向外的匀强磁场，三角形边长为L，D点为BC边靠近C点的一个三等分点，现有一电子平行于BA方向射入磁场，粒子在三角形磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电子质量为m，电荷量为e，下列说法正确的是（　　） A．电子离开磁场时的速度偏向角可能为60° B．若电子速度为，则粒子在磁场中的飞行时间为 C．若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为 D．电子可能从A点飞出 【答案】B 【详解】A．电子平行于BA方向入射，当电子轨迹与AC边相切时，根据几何关系可知，此时速度的偏向角恰好为，所以当电子从AC边射出时的速度偏角都小于；由分析可知，当电子从AB边或BC边射出时，其速度偏向角都大于，所以电子离开磁场时的速度偏向角不可能为60°，故A错误； C．当电子的运动轨迹恰好与AB边相切时，运动轨迹如图所示： 根据几何关系可知， 解得此时电子做匀速圆周运动的半径为 由分析可知，当电子的运动轨迹恰好与AC边相切时，其圆周运动的圆心恰好为E点，运动轨迹如上图所示，根据几何关系可知，此时电子做匀速圆周运动的半径为 所以若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为，故C错误； B．若电子速度为，根据洛伦兹力提供向心力有 解得此时电子做匀速圆周运动的半径为 所以电子将从BC边飞出。由几何关系可知，当电子从BC边飞出时转过的圆心角为，电子在磁场中运动的周期为 所以粒子在磁场中的飞行时间为，故B正确； D．由C选项分析可知，电子不可能从A点飞出，故D错误。 故选B。 10. 如图甲所示，直三棱柱的底边是等边三角形，O为AB的中点，在三棱柱内（含边界）有一平行CQ向右的匀强磁场，在O点有一粒子源可沿某方向发射初速度不同的带电粒子，带电粒子的质量均为m、电荷量均为。当发射源沿OA方向发射粒子时（如图乙），限定粒子速度的最大值，使得速度最大的粒子恰好能垂直AC边离开磁场，其在磁场中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求磁感应强度的大小B； (2)求AC边界有粒子飞出的长度与AC的长度之比； (3)若将发射源发射的方向改为沿OP（如图甲），有粒子恰好从QM的中点飞出，求AP长度与AM长度的比值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子初速度方向沿OA方向，速度最大时经过时间t恰好能垂直AC边离开磁场，则该粒子做圆周运动的圆心为C点，轨迹所对的圆心角为 即 结合和可得粒子做圆周运动的周期为 联立解得 （2）作出能从AC边界飞出的粒子临界运动轨迹如图1所示 设三角形边长为L，当限定粒子速度为最大时，粒子从D点离开磁场。由几何关系可知此时粒子的运动半径为 对粒子由洛伦兹力提供向心力有 解得粒子的运动半径为 则粒子的速度越小，运动半径越小，从AC边界飞出的位置沿AC方向移动，当粒子的轨迹与AC相切时，从AC边界飞出的粒子运动半径最小，设切点为E，由几何关系可知 因此AC边界有粒子飞出的长度为 则AC边界有粒子飞出的长度与AC的长度之比为 （3）将发射源发射的方向改为沿OP，则粒子的运动可分解为ABC面内的匀速圆周运动和沿AM方向的匀速直线运动，当粒子在ABC面内的分运动轨迹与AC相切、且沿AM方向的分运动的位移为AM长度时，粒子从QM中点飞出。设该粒子的初速度为，与OA的夹角为θ，则对匀速直线分运动有 结合（2）问分析，对粒子的匀速圆周分运动有， 结合（1）问有 联立解得 ⏳题型03 弧形边界 11. （多选）如图所示，在半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，一束上下宽度为的不计重力且不考虑粒子间相互作用的粒子，粒子质量为，电荷量为，以某相同的水平速度沿轴方向射向半圆形区域，粒子都能通过轴射出磁场。（     ） A．粒子的最小速度为 B．粒子的最小速度为 C．如果以最小的速度射入，射出的粒子数与从边射出的粒子数之比 D．如果以最小的速度射入，射出的粒子数与从边射出的粒子数之比 【答案】AC 【详解】AB．正粒子沿轴正方向进入垂直纸面向里的磁场，由左手定则可知洛伦兹力方向向上。由洛伦兹力提供向心力得 解得 粒子入射点到轴的最大水平距离为，要使所有粒子均能与轴相交，必须满足，故，最小速度为，故A正确，B错误。 CD．以最小速度入射时，粒子的轨道半径，临界轨迹及几何关系如图所示。 根据磁聚焦原理，从段入射的粒子均从点射出；从段入射的粒子中，由到的入射束宽为，对应粒子从段射出，由到的入射束宽为，对应粒子从段射出。因此，从段射出的粒子对应总入射束宽为 从段射出的粒子对应入射束宽为，故，故C正确，D错误。 故选AC。 12. 如图所示，真空中半径为的圆形区域内有垂直圆面、磁感应强度大小为的匀强磁场，在圆心的上方沿水平方向关于圆心对称放置粒子收集板，板长为，圆周上与圆心等高的点有一粒子源，可均匀地向圆形区域范围内各个方向发射速度大小相等、方向均与磁场方向垂直的同种粒子，部分粒子可垂直打在收集板上。粒子的质量为，电荷量为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．粒子发射速度的大小为 C．能够打在收集板上的粒子数占总数的 D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 【答案】C 【详解】A．由左手定则可判断圆内的磁场方向垂直纸面向里，A错误； B．如图所示，某粒子从P点射出，经磁场偏转后从M点竖直向上离开磁场后垂直打在收集板上，O3为粒子运动轨迹的圆心，根据几何知识可知四边形为菱形，则粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径与圆形磁场的半径相等，则由 解得，B错误； C．从磁场射出的刚好打在收集板左端的粒子，其运动轨迹如图所示，轨迹圆心为O1 由题知收集板板长为且关于圆心对称放置，则，可得 为入射速度方向与直径的夹角，由几何知识知 同理可知刚好打在收集板右端的粒子，其入射速度方向与的夹角 则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为，C正确； D．粒子在磁场中运动的周期 解得 由上图可知，打在收集板右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有，D错误。 故选C。 13. （多选）如图甲所示是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图。粒子源释放出初速度忽略不计的碳-14()与碳-12()原子核，经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道，该通道的上下表面是以O点为圆心、内直径为2R、外直径为6R的半圆环，MN与O点相距2R，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳-12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，碳-14原子核也能打在底片上。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．加速电压为U0时，碳-14原子核击中底片的位置比碳-12原子核更远离圆心O B．当加速电压在<U<范围内变化时，碳-12原子核将全部打在内圆环上 C．根据题中条件可计算出碳-12原子核的比荷为 D．若碳-12原子核全部打在内圆环上，则碳-12原子核在磁场中运动的最短时间为 【答案】ABD 【详解】A．对原子核，设经过加速电压U时速度为v，则有 在磁场中圆周运动 联立解得 因为碳 的质量比碳 的大，所以 圆周运动半径比 的大，故碳-14原子核所击中的位置比碳-12原子核更远离圆心，A正确； C．由题意知加速电压为时，碳原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，即有 可解得碳原子核的比荷为，C错误； B．若碳原子核全部打在内圆环上，则最小圆周运动半径为，最大圆周运动半径为 即有 联立解得，B正确； D．粒子打在内圆环上，轨迹与内圆环交于C点，如图。当MC⊥CO时，圆弧MC对应的圆心角θ最小，用时最短，几何关系可知最小圆心角，则最短时间为 联立解得，D正确。 故选ABD。 14. 如图甲所示，圆心在x轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O点沿x轴正向发射一颗比荷为的带正电粒子，粒子运动过程x、y方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，重力不计，则（     ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子在穿过磁场过程中速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】A．根据图像可知，正电粒子进入磁场后轴正方向的速度分量增大，可知进入磁场时正电粒子受到的洛伦兹力向上，由左手定则可知磁场方向垂直于纸面向里，故A错误； B．由图像可知，正电粒子出磁场时，、方向的速度分量分别为， 设此时速度方向与轴夹角为，如图所示 则有 可知 故粒子在穿过磁场的过程中，速度方向改变了，故B错误； CD．设粒子的轨迹圆半径为，根据圆周运动 则有 解得 根据洛伦兹力提供圆周运动所需的向心力，有 可知 联立解得，故C错误、D正确。 故选D。 15. 如图1所示，真空中有一长直细金属导线，长为，与导线同轴放置一半径为高也为的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)若导线单位时间发射电子的总动能为。求： a.稳定状态下，通过接地线的电流； b.出射电子的初速度大小。 (2)在金属圆柱内空间施加平行于导线向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为，若想让电子依旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值。 【答案】(1)a. b. (2) 【详解】（1）a.根据电流定义式 时间内射出的电子电量 联立解得 b.根据能量关系 解得 （2）最小时有 根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系 联立解得 ⏳题型04 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 16. （多选）如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；第三象限某个区域（未画出）存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电荷量为+q的粒子以相同的初速度v0水平射入电场，均经过O点进入磁场，最后离开磁场进入第四象限，粒子在第三象限运动均在磁场中，忽略粒子的重力及相互间的作用。 下列说法正确的是（     ） A．匀强电场的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系）为 B．匀强电场的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系）为 C．粒子进入电场的位置记为P（x，y）其中0＜y≤y0，0＜x≤x0，若，则磁场区域的最小面积 D．粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长一定为 【答案】AC 【详解】AB．粒子在电场中做类平抛运动，设入射点坐标为，水平方向匀速运动 得运动时间 竖直方向匀加速运动，加速度 竖直位移 代入整理得，故A正确，B错误； D．粒子到达O点时，设速度与轴负方向夹角为，可得竖直分速度 因此 速度大小 洛伦兹力提供向心力 得轨道半径 由几何关系可得，粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长为，故D错误； C．由D分析可得，所有粒子从磁场射出时与y轴交点一定，所有粒子轨迹如图所示 从射入的粒子到O点速度最大，由类平抛运动规律有 则，进入磁场的最大速度，其轨迹与y轴围成的面积为 其中 当粒子从O点以最小速度入射时，其轨迹与y轴围成的面积为 其中 则磁场的最小面积为，故C正确。 故选AC。 17. 如图，平面直角坐标系xOy内，y轴上有一点P（0，0.1），大量质量为1.0×10-30kg、带电量为 -1.6×10-19C 的粒子从y轴OP的范围内，以1.0×106m/s的速度垂直于y轴射入第一象限的匀强磁场，磁场的左、右和上边界为直线，下边界满足特定的方程，使所有粒子都能经过x轴上的Q（0.1，0）点，不计粒子重力及粒子间的相互作用，=3.14。求： (1)磁场的磁感应强度B； (2)所有粒子中，从y轴到Q点的最长时间与最短时间之差△t； (3)求从OP的中点S射入的粒子经过磁场下边界的点的坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）带负电粒子垂直y轴水平射入磁场，做匀速圆周运动 洛伦兹力提供向心力 解得 对从入射的粒子，速度水平向右，圆心在轴上，且圆过，可得轨道半径。代入数据计算： （2）从入射的粒子沿x轴做匀速直线运动到达Q点，路程最短，故运动时间最短 从入射的粒子做圆周运动，路程最长，故运动时间最长，运动轨迹圆的圆心角 粒子圆周运动的周期为 运动时间 因此时间差 （3） S是中点，坐标为，S点出射粒子的圆周运动半径与P点相同，故入射粒子的轨迹圆方程为 根据题意，粒子出磁场下边界时，轨迹圆切线应过Q点，于是问题转化为，过Q点作轨迹圆的切线，切点坐标即为所求。按要求作图，得圆心，切点A（未知）、。根据几何关系，A和B关于CQ对称，CQ直线方程为 又B的坐标为，解得A的坐标为 即粒子经过磁场下边界的点的坐标 18. 如图所示，在xOy平面内的第一、二象限内存在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面向里，坐标原点O处存在一粒子源向xOy平面的第二象限内均匀发射同种带电粒子，发射粒子的速度大小均为v0，沿x轴负方向发射的粒子恰好经过第一象限内的P点。已知粒子质量为m，电荷量为-q（q>0），P点的坐标为（，3L），不计粒子重力，忽略粒子之间的相互作用，求： (1)磁感应强度的大小B； (2)磁场中有带电粒子经过区域的面积S； (3)除沿x轴负方向发射的粒子外，恰好打到P点的粒子发射时的速度与x轴负方向的夹角θ及发射后运动到P点所经历的时间t。 【答案】(1) (2)(4π+4)L2 (3)60°， 【详解】（1）如图所示，沿轴负方向发射的粒子运动到点的轨迹为①，圆心为位于轴上。设与轴正方向夹角为，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为 在中，可知， 根据正弦定理可知 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）磁场中有带电粒子经过的区域为虚线①、④与轴围成的部分，可知面积为 解得 （3）拆出粒子的运动轨迹②，如图所示 根据几何关系可得，，， 联立解得， 粒子运动到P点所经历的时间为 19. （多选）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 【答案】BC 【详解】A．粒子恰好从N点射出，轨迹如下图所示，运动周期为 四边形AONP的圆心角为 粒子在磁场中运动的时间为，故A错误； B．粒子在磁场中速度偏转，从N点射出方向是与竖直方向呈，故B正确； C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，轨迹如下图所示，四边形SCON为菱形，由几何知识可知一定从N点射出，故C正确； D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场以AN为直径时面积最小，最小面积为，故D错误。 故选BC。 20. （多选）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（     ） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 【答案】ACD 【详解】A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意画出粒子的运动轨迹，如图甲所示 根据 解得 由几何关系可知 则有，故A正确； B．由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间 由于 解得，故B错误； CD．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如图丙所示 由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径 则y轴左侧磁场的磁感应强度大小 粒子运动的时间 由于 解得，故C、D正确。 故选ACD。 重难·创新演练 21. 如图所示，有一范围足够大的垂直于纸面向里的匀强磁场区域，为了探测磁感应强度的大小，将一个半圆形的磁屏蔽仪器放入磁场区域，放入后，半圆区域内的磁感应强度变成零，其他区域没有受到影响。O是圆心，P、S分别是半圆边界点，Q、R是半圆弧的两个三等分点。现让一个比荷为k的带负电粒子从Q点垂直于磁场方向射入匀强磁场区域，粒子在Q点的速度方向与OQ的夹角为15°，经过时间t，粒子第一次回到半圆形磁屏蔽区域时恰经过R点。若不计粒子重力，则可探测得磁感应强度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】粒子在磁场中的运动轨迹如图所示 由几何关系可知，粒子在磁场中运动了个圆周后回到点，所以 洛伦兹力提供向心力 周期 联立可得，A正确。 故选A。 22. （多选）如图所示，空间存在某四分之一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度从圆心沿方向射入磁场，恰好从点离开磁场。若电子以初速度从点沿方向射入磁场，恰好从圆弧的中点离开磁场。则（     ） A．的大小为 B．的大小为 C．增大，电子将从边上离开磁场 D．增大，电子将从边上离开磁场 【答案】BD 【详解】AB．设磁场区域半径为，电子从A离开磁场，几何关系为 解得，对应速度 从圆弧的中点离开磁场，几何关系为 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 则有 得 即，故A错误，B正确； CD． 增大，轨迹半径增大，轨迹会与CD边相交，因此电子从边离开，故C错误，D正确。 故选BD。 23. 如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 【答案】C 【详解】A．速度为的粒子沿着纸面与 夹角为的方向垂直射入磁场时，洛伦兹力提供向心力，在磁场中做圆周运动轨道半径为 洛伦兹力提供向心力有 解得，A错误； B．根据周期公式 洛伦兹力提供向心力 解得周期 从周期表达式可以看出周期只与磁感应强度，粒子质量和粒子电荷量有关，而这些物理量均未发生变化，所以周期不变，B错误； C．从A项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 从B选项中洛伦兹力表达式可以看出速度为时，轨道半径 解得 分析知，当粒子在磁场中的弦长为时，圆心角最小，时间最短，设此时圆心角为 则 因此 所以速度为的粒子在磁场中的最短时间为 解得，C正确； D．当粒子平行于边界向下入射时，在边界射出时有最低点，出射点与入射点竖直方向的距离为 当出射方向与边界相切时，在上有最高点，出射点与入射点竖直方向距离为 所以从边界射出范围为，D错误。 故选C。 24. 如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 【答案】B 【详解】A．若，粒子无碰撞直接从到，是圆筒直径，长度，速度与弦的夹角为，弦长 解得 由， ，故A错误； BCD． 如果粒子与筒壁发生一次碰撞，可能存在两种情况如上图，其中 左图中，由正弦定理； 右图中，由正弦定理； 根据的表达式，当时，有两个大于零的半径解和，而当时，只有一个大于零的半径解。 所以当，速度只有一个解 当，速度有两个解和，故B正确，CD错误。 故选B。 25. 如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度大小； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，比例为0；当时，比例为；当时，比例为 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准A点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，由几何规律可知，圆形磁场边界，出射速度与磁场区域半径的夹角等于入射速度与磁场区域半径的夹角 入射时 解得 （3）设粒子从O点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过x轴时所在位置离O点距离为x，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准A点时，刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限，所以粒子在x轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从O点入射时，y方向速度越大，偏转位移x越大，由于初始粒子沿y轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，也即距离x轴的粒子均能从小孔通过，其中距离x轴0.5R时，也即的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （4）由（3）可知，k越大，x越小，对此分为如下三种情况： （i）当从O点沿y轴正向入射时（x最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近A点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在P点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离x大于小孔右边界，故粒子所占比例为 真题·实战演练 26. 圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 【答案】C 【详解】A．根据题意，由左手定则可知，带电粒子带负电，故A错误； B．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则粒子的运动轨迹是圆弧，故B错误； CD．根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为，则粒子在磁场内的运动时间，故C正确，D错误。 故选C。 27. （多选）如图是一种长方体电子磁谱仪结构示意图，磁谱仪内存在磁感应强度大小为、方向垂直底面向上的匀强磁场，磁场区域长为、宽为。电子束中有三个电子通过准直器后垂直左侧面沿边缘进入磁场，偏转后分别到达磁谱仪三个侧面，与边缘的距离分别为、和，电子电荷量为、质量为，不考虑相对论效应，下列说法正确的有（     ） A．电子1的动能比电子3的大 B．电子1在磁场中的运动时间为 C．电子2的动能为 D．电子3的动量大小为 【答案】BCD 【详解】A．电子在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力可得 可得 根据几何关系可知电子1的运动半径小于电子3的运动半径，则电子1的速度小于电子3的速度，根据可知电子1的动能比电子3的小，故A错误； B．电子在磁场中做匀速圆周运动的周期 结合 可得 根据题图可知电子1在磁场中运动的圆心角为，则电子1在磁场中的运动时间为，故B正确； C．设电子2运动半径为，如图所示 根据几何关系有 可得 根据可得 电子2的动能为，故C正确； D．设电子3运动半径为，如图所示 根据几何关系有 可得 根据可得 电子3的动量大小为，故D正确。 故选BCD。 28. 如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 【答案】A 【详解】由于带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，则电子在磁场中运动的时间为 设正方形abcd的边长为l，则，， 则有t1 < t2 = t3 故选A。 29. 研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意粒子水平发射后做匀速圆周运动，要在O点产生光点，其运动半径 运动过程中由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （2）若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，则两端粒子的轨迹正好构成一个完整的圆，且在N点相切，如图 由于K从水平方向逆时针旋转60°，则，根据和和关系可知此时粒子做匀速圆周运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力可知 解得 （3）由题意带正电粒子恰好在M点产生光点，则关闭磁场时粒子速度恰好指向M，过M点做正电粒子轨迹的切线，切点为P，如图 根据前面解析可知，所以 由于，且 根据几何关系可知，而 所以 粒子在磁场中运动的周期，对应的圆心角 所以 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难模块十二 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（专项训练） 目录 模拟·基础演练 1 ⏳题型01 直线边界 1 ⏳题型02 三角形边界 3 ⏳题型03 弧形边界 5 ⏳题型04 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 8 重难·创新演练 10 真题·实战演练 13 模拟·基础演练 考查重点：直线边界 三角形边界 弧形边界 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 ⏳题型01 直线边界 1. 如图，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．打在薄板下表面的粒子占粒子总数的比例为 2. 利用如图装置可以探测从原点O发射的粒子信息。两个有界匀强磁场，沿x轴方向宽度相同，y轴方向足够长，磁场边界与y轴平行，且内侧边界距y轴均为a，磁感应强度大小均为B，方向如图所示。足够高处有一平行于x轴且关于y轴对称放置的探测板，粒子打在探测板上将被全部吸收，板长等于两个磁场外侧边界之间的距离。粒子源沿各个方向均匀向外发射质量为m，电荷量为q的正离子，不考虑粒子重力及粒子之间的相互作用，求 （1）若粒子速度大小为v，所有粒子恰好不从两个磁场外侧边界射出磁场，则磁场宽度d1的大小； （2）若粒子的探测率，则磁场宽度d2至少多大； （3）若粒子速度大小，磁场宽度为，则粒子的探测率η的大小。（可用反三角函数表示） 3. （多选）如图所示，边长为的正方形区域存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AB、BC和AD边为三块挡板，CD边无挡板，。处有小孔，质量为，电荷量为的粒子，自点进入磁场区域，速度方向与AD边夹角为，垂直磁场进入，进入速率不同。已知粒子与挡板相碰将被吸收，速率满足一定条件的粒子将通过CD连线离开磁场区域。整个空间各点电势均相等，不计粒子之间的相互作用，不计重力。已知，。则下列说法正确的是（     ） A．从点离开的粒子速率为 B．能离开磁场区域的粒子速度应满足 C．能离开磁场区域的粒子在ABCD区域运动的最长时间和最短时间之比为2∶1 D．从E点离开的粒子的速率为 4. 如图所示，平面直角坐标系第一象限有与坐标平面垂直的匀强磁场B，x轴y轴为磁场边界。一束速度大小各不相同的电子从x轴上的点（L，0）不断射入磁场，射入速度方向与x轴负方向夹角均为，已知，下列说法正确的是（     ） A．从轴上不同位置射出磁场的电子，射出时速度方向平行 B．电子能到达轴区域的长度是能到达轴区域长度的 C．第一象限有电子经过区域的面积为 D．若，则轴上有电子射出区域的长度变短 5. （多选）如图所示，在的区域内存在垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向未知。一个质量为m、电荷量大小为q的带电粒子，从O点沿与x轴正方向成角的方向射入磁场，最终沿与x轴正方向成角的方向，从边界射出（轨迹始终在xOy平面内）。不计粒子重力，下列说法正确的是（     ） A．粒子可能带负电 B．粒子在磁场中运动的半径可能为 C．粒子入射磁场的速度大小可能为 D．带电粒子在磁场中运动的时间可能为 ⏳题型02 三角形边界 6. （多选）如图，直角三角形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），边长为为，一群比荷为的带负电粒子以相同速度从C点开始一定范围垂直边射入，射入的粒子恰好不从边射出，已知从边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为，则以下说法中正确的是（     ） A．磁感应强度大小为 B．粒子在磁场中扫过的面积为 C．粒子运动的轨道半径为 D．粒子射入磁场的速度大小为 7. （多选）如图所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面方向的匀强磁场（图中未画出）。已知AB边长为l，。一群比荷为的带负电粒子以相同速度从D点及以上某区域垂直AB边射入磁场，恰好无粒子从AC边射出。已知从D点入射的粒子在磁场中运动时间t0后，以平行于AC的速度向下离开磁场。粒子在磁场中运动的最长时间是2t0，则下列说法正确的是（     ） A．磁感应强度的大小是，方向垂直纸面向里 B．粒子的运动轨迹半径为 C．粒子从BC边出射区域的长度为 D．从BC边离开磁场的粒子中，出射点距B点最远和最近的粒子在磁场中运动时间之比一定为3∶4 8. （多选）如图所示，有一垂直纸面向里的匀强磁场，其区域边界为边长为的正三角形（边界上有磁场），大量相同的正电粒子，从边中点以相同的速率均匀地沿不同方向垂直射入磁场区域。粒子从点射出时在磁场中运动的时间为，其中为粒子在磁场中运动轨迹的周期，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹的半径为 B．从边射出的粒子占所有粒子数量的 C．若粒子的速率均为，则粒子从边射出的最短时间为 D．若粒子的速率均为，则粒子在磁场中运动的最长时间为 9. 如图所示，在正三角形ABC区域内存在垂直向外的匀强磁场，三角形边长为L，D点为BC边靠近C点的一个三等分点，现有一电子平行于BA方向射入磁场，粒子在三角形磁场边界仍受到洛伦兹力作用，电子质量为m，电荷量为e，下列说法正确的是（　　） A．电子离开磁场时的速度偏向角可能为60° B．若电子速度为，则粒子在磁场中的飞行时间为 C．若电子从AB边飞出，则电子可能飞出的区域长度为 D．电子可能从A点飞出 10. 如图甲所示，直三棱柱的底边是等边三角形，O为AB的中点，在三棱柱内（含边界）有一平行CQ向右的匀强磁场，在O点有一粒子源可沿某方向发射初速度不同的带电粒子，带电粒子的质量均为m、电荷量均为。当发射源沿OA方向发射粒子时（如图乙），限定粒子速度的最大值，使得速度最大的粒子恰好能垂直AC边离开磁场，其在磁场中运动的时间为t，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求磁感应强度的大小B； (2)求AC边界有粒子飞出的长度与AC的长度之比； (3)若将发射源发射的方向改为沿OP（如图甲），有粒子恰好从QM的中点飞出，求AP长度与AM长度的比值。 ⏳题型03 弧形边界 11. （多选）如图所示，在半径为的半圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为，一束上下宽度为的不计重力且不考虑粒子间相互作用的粒子，粒子质量为，电荷量为，以某相同的水平速度沿轴方向射向半圆形区域，粒子都能通过轴射出磁场。（     ） A．粒子的最小速度为 B．粒子的最小速度为 C．如果以最小的速度射入，射出的粒子数与从边射出的粒子数之比 D．如果以最小的速度射入，射出的粒子数与从边射出的粒子数之比 12. 如图所示，真空中半径为的圆形区域内有垂直圆面、磁感应强度大小为的匀强磁场，在圆心的上方沿水平方向关于圆心对称放置粒子收集板，板长为，圆周上与圆心等高的点有一粒子源，可均匀地向圆形区域范围内各个方向发射速度大小相等、方向均与磁场方向垂直的同种粒子，部分粒子可垂直打在收集板上。粒子的质量为，电荷量为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．圆形区域内磁场方向垂直圆面向外 B．粒子发射速度的大小为 C．能够打在收集板上的粒子数占总数的 D．能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为 13. （多选）如图甲所示是一个粒子检测装置的示意图，图乙为其俯视图。粒子源释放出初速度忽略不计的碳-14()与碳-12()原子核，经直线加速器加速后由通道入口的中缝MN进入通道，该通道的上下表面是以O点为圆心、内直径为2R、外直径为6R的半圆环，MN与O点相距2R，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于半圆环，正对着通道出口处放置照相底片，能记录粒子从出口射出时的位置。当直线加速器的加速电压为U0时，碳-12原子核恰好能击中照相底片的正中间位置，碳-14原子核也能打在底片上。不考虑粒子的重力和粒子间的相互作用，下列说法正确的是（     ） A．加速电压为U0时，碳-14原子核击中底片的位置比碳-12原子核更远离圆心O B．当加速电压在<U<范围内变化时，碳-12原子核将全部打在内圆环上 C．根据题中条件可计算出碳-12原子核的比荷为 D．若碳-12原子核全部打在内圆环上，则碳-12原子核在磁场中运动的最短时间为 14. 如图甲所示，圆心在x轴上的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，在O点沿x轴正向发射一颗比荷为的带正电粒子，粒子运动过程x、y方向的速度分量随时间变化如图乙、图丙所示，重力不计，则（     ） A．磁场方向垂直纸面向外 B．粒子在穿过磁场过程中速度方向改变了60° C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为 15. 如图1所示，真空中有一长直细金属导线，长为，与导线同轴放置一半径为高也为的金属圆柱面，将外壳接地。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，且单位长度导线单位时间内射出的电子数为。已知电子质量为，电荷量为。不考虑出射电子间的相互作用。 (1)若导线单位时间发射电子的总动能为。求： a.稳定状态下，通过接地线的电流； b.出射电子的初速度大小。 (2)在金属圆柱内空间施加平行于导线向下的匀强磁场，如图2。已知磁感应强度为，若想让电子依旧全部打到圆柱面上，求导线单位时间辐射电子的总动能最小值。 ⏳题型04 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 16. （多选）如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；第三象限某个区域（未画出）存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现有大量质量为m、电荷量为+q的粒子以相同的初速度v0水平射入电场，均经过O点进入磁场，最后离开磁场进入第四象限，粒子在第三象限运动均在磁场中，忽略粒子的重力及相互间的作用。 下列说法正确的是（     ） A．匀强电场的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系）为 B．匀强电场的边界方程（粒子入射点的坐标y和x间的关系）为 C．粒子进入电场的位置记为P（x，y）其中0＜y≤y0，0＜x≤x0，若，则磁场区域的最小面积 D．粒子在磁场中的运动轨迹对应的弦长一定为 17. 如图，平面直角坐标系xOy内，y轴上有一点P（0，0.1），大量质量为1.0×10-30kg、带电量为 -1.6×10-19C 的粒子从y轴OP的范围内，以1.0×106m/s的速度垂直于y轴射入第一象限的匀强磁场，磁场的左、右和上边界为直线，下边界满足特定的方程，使所有粒子都能经过x轴上的Q（0.1，0）点，不计粒子重力及粒子间的相互作用，=3.14。求： (1)磁场的磁感应强度B； (2)所有粒子中，从y轴到Q点的最长时间与最短时间之差△t； (3)求从OP的中点S射入的粒子经过磁场下边界的点的坐标。 18. 如图所示，在xOy平面内的第一、二象限内存在范围足够大的匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面向里，坐标原点O处存在一粒子源向xOy平面的第二象限内均匀发射同种带电粒子，发射粒子的速度大小均为v0，沿x轴负方向发射的粒子恰好经过第一象限内的P点。已知粒子质量为m，电荷量为-q（q>0），P点的坐标为（，3L），不计粒子重力，忽略粒子之间的相互作用，求： (1)磁感应强度的大小B； (2)磁场中有带电粒子经过区域的面积S； (3)除沿x轴负方向发射的粒子外，恰好打到P点的粒子发射时的速度与x轴负方向的夹角θ及发射后运动到P点所经历的时间t。 19. （多选）如图所示，半径为R的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B，一比荷为的带正电粒子，从圆形磁场边界上的A点以的速度垂直直径MN射入磁场，恰好从N点射出，且，下列选项正确的是（　　） A．粒子在磁场中运动的时间为 B．粒子从N点射出方向与竖直方向呈 C．若粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出 D．若要实现带电粒子从A点入射，从N点出射，则所加圆形磁场的最小面积为 20. （多选）如图所示的xOy坐标系中，y轴的左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大小未知，一带正电的粒子由y轴上（0，）处沿与y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L，最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是（     ） A．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B．若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入到运动至O点的时间为 C．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 D．若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入到运动至O点的时间可能为 重难·创新演练 21. 如图所示，有一范围足够大的垂直于纸面向里的匀强磁场区域，为了探测磁感应强度的大小，将一个半圆形的磁屏蔽仪器放入磁场区域，放入后，半圆区域内的磁感应强度变成零，其他区域没有受到影响。O是圆心，P、S分别是半圆边界点，Q、R是半圆弧的两个三等分点。现让一个比荷为k的带负电粒子从Q点垂直于磁场方向射入匀强磁场区域，粒子在Q点的速度方向与OQ的夹角为15°，经过时间t，粒子第一次回到半圆形磁屏蔽区域时恰经过R点。若不计粒子重力，则可探测得磁感应强度的大小为（　　） A． B． C． D． 22. （多选）如图所示，空间存在某四分之一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度从圆心沿方向射入磁场，恰好从点离开磁场。若电子以初速度从点沿方向射入磁场，恰好从圆弧的中点离开磁场。则（     ） A．的大小为 B．的大小为 C．增大，电子将从边上离开磁场 D．增大，电子将从边上离开磁场 23. 如图所示，平行虚线MN、PQ间有宽度为L、磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m、电荷量为+q的粒子沿着纸面与MN 夹角为θ=37°的方向以速率 v垂直射入磁场中，恰能垂直PQ边界射出磁场；改变粒子入射速度方向和大小，使粒子均以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，不计粒子的重力， 下列说法正确的是（　　） A．粒子射入磁场的速率 v满足 B．粒子以的速率沿纸面不同方向射入磁场时，粒子在磁场中运动的周期变为原来一半 C．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从PQ边界射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为 D．粒子以 的速率沿纸面不同方向射入磁场，则从 PQ边界射出范围的长度为 24. 如图所示是半径为的薄壁圆筒的横截面，在其一条直径两端分别开有两个小孔和，处在方向平行于圆筒轴线并垂直纸面向内大小为的匀强磁场中。质量为、电荷量为的粒子，从小孔以一定初速度与连线成角入射，最终从孔穿出。设粒子与筒壁碰撞后，速度大小不变，速度方向变为关于碰撞点所在半径与原速度方向对称并反向，不计重力，下列说法正确的是（　　） A．若，且粒子没有与筒壁发生碰撞，则射入磁场的初速度为 B．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 C．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 D．若，且粒子与筒壁发生一次碰撞，则射入磁场的初速度一定为 25. 如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度大小； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 真题·实战演练 26. 圆心在原点、半径为的圆形匀强磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向里；质量为、电荷量为的带电粒子以初速度（未知）从磁场外沿轴正方向从点进入磁场，从点射出，出射速度方向与轴正方向夹角为，如图所示。不计粒子的重力，则（     ） A．带电粒子带正电 B．粒子的运动轨迹是抛物线 C．粒子运动速度大小 D．粒子在磁场内的运动时间 27. （多选）如图是一种长方体电子磁谱仪结构示意图，磁谱仪内存在磁感应强度大小为、方向垂直底面向上的匀强磁场，磁场区域长为、宽为。电子束中有三个电子通过准直器后垂直左侧面沿边缘进入磁场，偏转后分别到达磁谱仪三个侧面，与边缘的距离分别为、和，电子电荷量为、质量为，不考虑相对论效应，下列说法正确的有（     ） A．电子1的动能比电子3的大 B．电子1在磁场中的运动时间为 C．电子2的动能为 D．电子3的动量大小为 28. 如图，正方形abcd内有方向垂直于纸面的匀强磁场，电子在纸面内从顶点a以速度v0射入磁场，速度方向垂直于ab。磁感应强度的大小不同时，电子可分别从ab边的中点、b点和c点射出，在磁场中运动的时间分别为t1、t2和t3，则（   ） A．t1 < t2 = t3 B．t1 < t2 < t3 C．t1 = t2 > t3 D．t1 > t2 > t3 29. 研究小组设计了一种通过观察粒子在荧光屏上打出的亮点位置来测量粒子速度大小的装置，如题图所示，水平放置的荧光屏上方有沿竖直方向强度大小为B，方向垂直于纸面向外的匀强磁场。O、N、M均为荧光屏上的点，且在纸面内的同一直线上。发射管K（不计长度）位于O点正上方，仅可沿管的方向发射粒子，一端发射带正电粒子，另一端发射带负电粒子，同时发射的正、负粒子速度大小相同，方向相反，比荷均为。已知，，不计粒子所受重力及粒子间相互作用。 (1)若K水平发射的粒子在O点产生光点，求粒子的速度大小。 (2)若K从水平方向逆时针旋转60°，其两端同时发射的正、负粒子恰都能在N点产生光点，求粒子的速度大小。 (3)要使（2）问中发射的带正电粒子恰好在M点产生光点，可在粒子发射t时间后关闭磁场，忽略磁场变化的影响，求t。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $