重难模块十六 带电粒子在叠加场中的运动（专项训练）（浙江专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦带电粒子在叠加场中直线、圆周及立体运动，以分层演练构建从平面到三维的知识逻辑链，强化科学思维与模型建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练-直线运动|5题|含电场、磁场、重力场叠加，涉及匀速/变速直线运动|从力的平衡与合成切入，建立运动与受力关系| |基础演练-圆周运动|5题|洛伦兹力提供向心力，结合复合场约束|深化向心力公式应用，衔接几何关系分析| |基础演练-立体运动|5题|三维坐标系下多场叠加，含碰撞、能量转化|拓展空间运动模型，整合运动的分解与合成| |重难·创新演练|4题|结合科技情境（如霍尔推进器），综合场作用|提升复杂问题分析能力，体现科学探究素养| |真题·实战演练|1题|高考真题，径向电场中圆周运动规律|对接高考命题，强化知识迁移与科学论证|

重难模块十六 带电粒子在叠加场中的运动（专项训练） 目录 模拟·基础演练 1 ⏳题型01 带电粒子在叠加场中做直线运动 1 ⏳题型02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 3 ⏳题型03 带电粒子在立体空间中的运动 6 重难·创新演练 9 真题·实战演练 12 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在叠加场中做直线运动 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 带电粒子在立体空间中的运动 ⏳题型01 带电粒子在叠加场中做直线运动 1. （2026·浙江·二模）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平方向的匀强电场，一带电液滴在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，速度大小为v，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。当带电液滴运动到N时，撤去电场，一段时间后粒子经过P点，则（　　） A．液滴可能带负电 B．电场线方向可能水平向左 C．液滴到P点的速度一定与N点相同 D．液滴从N到P的过程中竖直方向上离NP的最大距离为 2. （2024·浙江·二模）如图所示，一足够长的内部光滑绝缘圆管MN，与水平面夹角为37°，匀强磁场B 垂直圆管所在的竖直平面。带负电小球沿圆管（小球直径略小于管直径） 由静止下滑，小球质量为m，电荷量为 q，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．小球先加速后匀速 B．圆管对小球的弹力先减小后不变 C．小球从静止到对圆管弹力为零过程中洛伦兹力冲量的大小为 D．圆管对小球的弹力为零时小球离出发点的距离为 3. （2024·浙江·模拟预测）（多选）如图所示，一根固定的绝缘细杆处于竖直方向，质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上，小球可以在细杆上滑动。细杆所处空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右、场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。已知，小球与细杆间的摩擦因数为μ（），小球从静止开始下滑经过t0时间速度达到最大值，重力加速度为g，则（    ） A．小球下滑的最大加速度为 B．小球下滑的最大速度为 C．t0时间内，可以根据已知量计算摩擦力对小球做的功 D．t0时间内，无法根据已知量计算洛伦兹力对小球的冲量 4. （2022·浙江金华·模拟预测）如图所示，有一足够长的绝缘圆柱形管道水平固定，内有带负电小球，小球直径略小于管道直径。小球质量为m，电荷量为q，与管道的动摩擦因数为，空间中有垂直向外、大小为B的匀强磁场。现对物块施加水平向右的恒力F，使物块自静止开始运动，已知重力加速度为g，对物块运动过程的判断正确的是（　　） A．小球一直做加速度减小的运动 B．小球最大加速度为 C．小球稳定时速度为 D．从开始运动到最大速度时F做的功为 5. 如图甲，坐标系所在的平面内，在区域内存在水平向右的匀强电场；在区域内存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为、长为的绝缘薄板静止在光滑水平面上，其中心位于点。质量为、电荷量的小物块（可视为质点）与薄板的动摩擦因数为。小物块从薄板的最左端由静止释放运动到点时，薄板的速度为；小物块从点运动到点的过程中，速度随位移变化的关系如图乙所示，重力加速度为。求： (1)小物块在区域内运动的加速度大小； (2)小物块从开始运动到点的过程中，小物块和薄板组成的系统产生的热量； (3)区域内电场强度大小和磁感应强度大小。 ⏳题型02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 6. （2026·浙江·二模）（多选）2026年4月，我国“洪荒70”全高温超导托卡马克装置成功实现了1337秒的长脉冲稳态运行，创造了世界纪录。其部分装置可简化为半径为3R的足够长空心圆柱，内部空间被半径为R的同轴圆柱面分为区域I和区域Ⅱ，如图甲所示。空心圆柱左视图如图乙所示，区域I存在垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在大小处处相等的顺时针环形磁场，磁感线的圆心在圆柱面的轴线上，两区域磁感应强度大小均为B。在区域I的边界沿半径向外发射电荷量为e、质量为m、初速度为的氘核，则氘核（     ） A．氘核运动一段时间后可以回到出发点 B．氘核在装置内的运动周期为 C．氘核一个周期内在区域I中运动的路程为 D．氘核开始运动的半个周期内的位移大小为 7. 霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为，电场强度大小为。电荷量为、质量为的电子恰好能够沿半径为的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（     ） A．电场力对电子做正功 B．电子沿逆时针方向做圆周运动 C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为 D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为 8. 如图所示，在竖直面内建立xOy坐标系，y轴左侧存在电场强度大小为 方向沿x轴正方向的匀强电场，右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场和电场强度大小为 方向沿y轴正方向的匀强电场。长为L的绝缘细线一端固定在O点，另一端系着质量为m、电荷量为q的带正电小球。现将小球拉至M（0，-L）处并给小球一沿x轴负方向的初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，当小球运动到P点时，细线上的拉力恰好为零；当小球运动到N（0，L）处时细线断裂，之后小球做圆周运动能再次运动到M点。已知OP与y轴正方向的夹角为 0.6，重力加速度大小为g，小球可视为质点。求： (1)电场强度和的大小； (2)小球在M、N两点时的速度的大小； (3)磁感应强度B的大小。 9. 如图所示，三维坐标系O-xyz中，x轴水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里。在xOz平面内存在竖直向上的匀强电场E，在 平面的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场 ，在 平面的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场 。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴正方向射出。已知重力加速度为g，，，x轴上的P点坐标为。 求： (1)若粒子射出后做匀速圆周运动，求电场强度E的大小及粒子第一次经过 平面时位置的x坐标； (2)在第（1）问条件下，若粒子沿x轴正方向飞出后到达P点的时间最短，求上方磁场的磁感应强度的大小； (3)若仅将电场E的方向改为沿y轴正方向，粒子仍从O点以速度v沿x轴正方向射出。在过原点O且与x轴正方向成60°夹角的直线上，放置一足够长的绝缘刚性薄板。粒子运动一段时间后与该薄板发生完全非弹性碰撞并粘附其上。已知碰撞点距原点O的距离为 。求从粒子开始运动到发生碰撞的过程中，薄板对粒子所做的总功。 10. 如图所示，半径R0=1.5m的竖直圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，O为圆心，在O点正上方固定一内壁光滑竖直细玻璃管MN，细管上端N位于圆周上。从圆心O正上方P点处以某一速度水平向右抛出质量m=0.1kg、带电量q=+0.1C的小球，小球恰好从Q点沿圆切线进入磁场，此时OQ与竖直方向的夹角θ=53°。小球可看作质点，运动过程中电量不变，不考虑电磁辐射和空气阻力，重力加速度大小g=10m/s2，sin53°=0.8。 (1)求小球到达Q点时的速度大小vQ； (2)小球到达Q点时，在纸面内加上大小E=10V/m、方向竖直向上的匀强电场，小球恰好无碰撞从M端进入管内，小球进入管内时，让磁场绕圆心O以角速度ω=1.4rad/s逆时针匀速旋转。求： （i）匀强磁场磁感应强度B的大小； （ii）小球到达N端时的速度大小vN。 ⏳题型03 带电粒子在立体空间中的运动 11. （2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 12. （2025·浙江金华·三模）图1为某离子发电装置，可简化为三个区域：离子发射区、加速区和发电区，图2是其截面示意图。发射区存在一垂直纸面向里的半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，长度均为L的线状离子发射源P（正离子源）、Q（负离子源）正对位于磁场的上下顶点；加速区由两高度均为R，长、宽均为L的匀强电场组成，电场强度，电场方向相反；发电区由长为3R，宽为L的平行金属板S、T组成，板间存在垂直纸面向里，大小可调的匀强磁场，金属板外连接开关和电动机，开关初始均断开。电场上下边界及金属板S、T均与圆形磁场上下边界切线共线。离子发射源P、Q单位时间单位长度分别能向右侧90°范围内均匀发射N个质量为m，初速率相同，电量为q的离子，且所有离子均能水平离开圆形磁场区域。不考虑离子间作用力及离子重力，求： (1)离子发射的初速率及发射区磁场内离子运动的最长时间； (2)当发电区磁感应强度为B时，提供的最大电动势及闭合且电路稳定时的外电路电流； (3)当发电区磁感应强度时，保持断开，闭合，待电路稳定后，测得金属板间电压为，电动机此时消耗的功率多大？ 13. （2025·浙江杭州·二模）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小； (2)离子的电荷量； (3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。 (4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。 ①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离； ②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。 14. （2024·浙江温州·模拟预测）如图所示为一种测量石墨晶体层数的装置。图中O1，O2分别为EF，GH的中点，右侧为一含有n层sp2杂化的碳原子平面的石墨晶体，装置中所有的磁场及电场的方向及大小规律分布已在图中标出，不过多说明。装置的作用原理如下：一粒子源S发出一个带电粒子，该带电粒子无初速度地从AB极板中点的小孔进入加速电场，经加速后从O1进入板间，最终从O2点水平射出，之后粒子从P点垂直进入石墨层，并与有且仅有一个碳原子结合形成一个新整体，该过程整体视为质量与动量守恒。此后整体每经过一个石墨层都会再结合一个碳原子。当加速电压U=100V时，粒子恰好无法穿过该石墨晶体。已知粒子与碳原子的质量均为，粒子的带电量，EF、GH间电场强度E0=600V/m，板长均为L=1.5πm，板间距d=1m，石墨各层间距均为。图中，但B0未知。不计粒子间相互作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对论效应。求： （1）粒子从加速电场中出来的速度v0； （2）极板EF、GH间的磁感应强度大小B0； （3）n的值以及粒子打在第n层时垂直纸面的位移大小s。 15. （2024·浙江金华·三模）某离子诊断装置的简化结构如图所示，以抛物线为边界的匀强电场存在于第二象限中，方向沿y轴负方向，电场强度。在区域内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界为平行y轴的直线。绝缘板恰好处在y轴和之间，在处平行于x轴放置，厚度不计。线型可控粒子源在垂直x轴设立，长度，可实现上一点或多点沿x轴正方向发射大量带正电的相同粒子，这些粒子质量为m、电荷量恒为q，速度大小为，重力可不计。 （1）控制粒子源，只让P点发射粒子，求解不同条件下的三个问题： ①取绝缘板长为4d，要使粒子进入磁场后不与绝缘板发生碰撞，求磁感应强度B需要满足的条件； ②取磁场磁感应强度，从P点发出的粒子打到绝缘板上经短时碰撞后，反弹的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。若有一粒子与绝缘板碰撞5次后从磁场右边界上的H点（图中未标出）离开，H点到绝缘板的垂直距离为，求该粒子从进入磁场到运动到H点的时间； ③撤去绝缘板，取磁场磁感应强度，若P点发出的粒子进入磁场后还受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现粒子的运动轨迹呈现螺旋状并与y轴相切于K点。求粒子从进入磁场到运动到K点的时间和K点的坐标。 （2）撤去磁场右边界，取磁感应强度，绝缘板仍在处平行于x轴放置，但左右两端位置可以调节。让粒子源上的每一点都沿x轴正方向发射粒子，射出的粒子在y轴方向上分布均匀，要使射出的粒子都能打在绝缘板上，绝缘板的最小长度应为多少？ 重难·创新演练 16. （2024·浙江台州·二模）中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成地轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点，随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。 （1）求圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； （2）若在MN的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标； （3）若在MN的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。 ①求a束粒子打在屏上的位置坐标； ②某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果保留两位有效数字，可能用到的数据：） 17. 如图所示，某种离子扭转器可以将射向不同方向的粒子，通过改变电场或磁场的大小和方向，使其经过相同的点，该装置由间距均为L的三块带有小孔的平行金属板M、N、P构成，三块金属板的中心小孔O、O1、O2连线与三块金属板垂直，粒子可以通过M板上的中心小孔O，向各个方向发射，让粒子经过N板上的小孔a，最后从P板上的小孔O2射出，已知小孔a在O1的正上方，到O1的距离为。以金属板M的中心O为坐标原点，以水平向内为x轴，竖直向上为y轴，垂直于金属板向右方向为z轴，建立直角坐标系。M、N板之间的区域为I区，N、P板间的区域为II区。从正离子源射出的粒子质量为m，带电量为q，以速度v0从金属板的小孔O射入（不计粒子重力）。 （1）若粒子沿着y轴正方向射入，在I区加上与x轴平行的匀强磁场B1，在II区加上与y轴平行的匀强电场E1，求B1，E1的大小及方向； （2）若粒子入射的方向在xOz平面内，与x轴正方向夹角α（为锐角），在I区加上沿z轴负方向的匀强磁场B2，同时调整M、N间的距离，使I区的宽度达到最小值，求B2及I区宽度的最小值； （3）在满足（2）的条件下，在II区加平行于金属板的电场E2。求E2的大小。 18. （2022·浙江绍兴·一模）如图甲所示为带电粒子三维动量映射分析技术的原理图。系统整体设计采用圆柱对称型结构，对称轴为，亥姆霍兹线圈用以形成沿系统轴向的均匀磁场区，可以抑制带电粒子的横向发散，使得系统具有较大的粒子收集效率。位置敏感探测器用以接收带电粒子，记录带电粒子的飞行时间和粒子撞击探测器的位置。粒子源和探测器中心均位于对称轴上，建立空间坐标系，轴与对称轴重合，轴竖直向上，探测器的平面坐标系从左向右看如图乙所示。已知粒子源发射质量为，电荷量为的带正电荷的粒子，粒子速度方向与轴的夹角为，探测器半径为，轴向匀强磁场的磁感应强度为，方向水平向右。不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）从左向右看，粒子运动方向是顺时针还是逆时针？ （2）若粒子刚好打在探测器的中心，求粒子源到探测器距离需要满足的条件； （3）若粒子发射时速度大小，速度方向位于平面内，与轴夹角，粒子打在探测器的位置坐标为，求带电粒子的飞行时间； （4）若粒子源沿着与轴夹角的各个方向连续发射粒子，粒子速度大小，粒子源到探测器的距离，求粒子打到探测器上的位置坐标所满足的方程。 19. （2023·浙江金华·模拟预测）如图甲所示，真空中存在一间距为的水平平行板电容器，板长，板间电压为U、板间匀强电场方向向上，为一垂直上极板PQ的足能长的光屏，其下端N与极板右端Q重合，在MN所在竖直线右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有一个粒子源A，可以紧贴极板水平向右连续发射带正电的粒子，粒子比荷为，初速度。已知粒子打到极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子的重力不计。 （1）为使粒子能够从极板间射出，求电压U的最大值； （2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为，电压U可任意调节，则求粒子击中光屏形成痕迹的长度； （3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为，电压U可任意调节，在极板右侧放置另一块与MN平行的足够大的光屏CD，CD在磁场中能左右移动，则求粒子打在光屏CD上留下所有痕迹的面积S； （4）在满足第（3）问的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀强电场，其场强大小，在光屏上以D点原点（D点为光屏与FG直线的交点），垂直纸面向内为轴，竖直向上为轴，水平向右的方向为轴，建立如图乙所示的三维直角坐标系。光屏位置到G点的距离用K表示，现将光屏CD沿FG直线从G点开始从近到远依次放在不同位置上，光屏CD始终平行MN，当光屏距G点为与这两个位置时打在光屏上所有粒子的点迹首次先后出现如图丙、丁所示的两条直线（顺着匀强电场，水平向右看光屏），其中图丙为距离时的图样，图丁为距离时的图样，则与这两位置相距多少距离？    真题·实战演练 20. （2022·浙江·高考真题）（多选）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为， a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（　　） A．轨道半径r小的粒子角速度一定小 B．电荷量大的粒子的动能一定大 C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关 D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难模块十六 带电粒子在叠加场中的运动（专项训练） 目录 模拟·基础演练 1 ⏳题型01 带电粒子在叠加场中做直线运动 1 ⏳题型02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 6 ⏳题型03 带电粒子在立体空间中的运动 13 重难·创新演练 23 真题·实战演练 32 模拟·基础演练 考查重点：带电粒子在叠加场中做直线运动 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 带电粒子在立体空间中的运动 ⏳题型01 带电粒子在叠加场中做直线运动 1. （2026·浙江·二模）空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场与水平方向的匀强电场，一带电液滴在复合场中恰能沿着MN做匀速直线运动，速度大小为v，MN与水平方向呈45°，NP水平向右。当带电液滴运动到N时，撤去电场，一段时间后粒子经过P点，则（　　） A．液滴可能带负电 B．电场线方向可能水平向左 C．液滴到P点的速度一定与N点相同 D．液滴从N到P的过程中竖直方向上离NP的最大距离为 【答案】D 【详解】AB．在该复合场中，液滴受到重力、电场力和洛伦兹力三个力的共同作用，因为液滴做匀速直线运动，所以三力的合力为零。假设液滴带正电，根据左手定则，洛伦兹力垂直于速度，方向斜向上。重力竖直向下，若电场线方向向右，则电场力水平向右，反之水平向左。由于MN与水平方向成45°，要使三力平衡，洛伦兹力必须斜向上，且电场力必须水平向右，所以液滴只能带正电，电场方向水平向右，故AB错误； C．在N点撤去电场后，液滴受到重力以及洛伦兹力，由于N和P在同一高度，所以该过程重力不做功，由于洛伦兹力也不做功，所以液滴的速度大小不变，但是由于洛伦兹力改变速度的方向，所以两点的速度方向不一定相同，故C项错误； D．在N点液滴的速度在水平方向为 竖直方向速度为 洛伦兹力在竖直方向上的分力大小为 由之前的分析可知，有 所以洛伦兹力在竖直方向的分量与重力抵消。洛伦兹力在另一个分量提供做匀速圆周运动的向心力，液滴做圆周运动有 解得 由上述分析可知，液滴所做运动为匀速直线运动与圆周运动的合运动，其偏离NP的最大距离为，故D项正确。 故选D。 2. （2024·浙江·二模）如图所示，一足够长的内部光滑绝缘圆管MN，与水平面夹角为37°，匀强磁场B 垂直圆管所在的竖直平面。带负电小球沿圆管（小球直径略小于管直径） 由静止下滑，小球质量为m，电荷量为 q，不计空气阻力，则下列说法正确的是（    ） A．小球先加速后匀速 B．圆管对小球的弹力先减小后不变 C．小球从静止到对圆管弹力为零过程中洛伦兹力冲量的大小为 D．圆管对小球的弹力为零时小球离出发点的距离为 【答案】C 【详解】A．根据左手定则，带负电小球受到洛伦兹力方向垂直圆管向上，由于圆管内部光滑，没有摩擦力，则小球所受重力沿圆管向下的分力提供合力，有 解得 所以小球做匀加速直线运动，故A错误； B．小球刚进入圆管时，圆管对小球的弹力垂直于圆管向上，弹力大小FN=mgcos37°- qvB 由于小球沿圆管向下做匀加速直线运动，速度逐渐增大，洛伦兹力增大，弹力减小。当洛伦兹力增大到大于mgcos37°后，弹力反向增大，所以圆管对小球的弹力先减小后增大，故B错误； C．假设小球对圆管弹力为零时，速度为v，则有qvB=mgcos37° 根据运动学公式v=at 联立解得小球从静止到对圆管弹力为零过程中所用时间 由于小球运动过程为匀加速直线运动，平均速度 该过程洛伦兹力的冲量为 故C正确； D．圆管对小球的弹力为零时小球的位移为 故D错误。 故选C。 3. （2024·浙江·模拟预测）（多选）如图所示，一根固定的绝缘细杆处于竖直方向，质量为m、电荷量为+q的带电小球套在细杆上，小球可以在细杆上滑动。细杆所处空间存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右、场强大小为E，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。已知，小球与细杆间的摩擦因数为μ（），小球从静止开始下滑经过t0时间速度达到最大值，重力加速度为g，则（    ） A．小球下滑的最大加速度为 B．小球下滑的最大速度为 C．t0时间内，可以根据已知量计算摩擦力对小球做的功 D．t0时间内，无法根据已知量计算洛伦兹力对小球的冲量 【答案】BC 【详解】AB．当小球刚开始运动后，设小球的速度为时，根据左手定则可知洛伦兹力方向水平向右，以小球为对象，水平方向有 竖直方向有 又 联立可得 可知初始时刻，小球的速度为0时，小球下滑的加速度最大，为 当小球的加速度为0时，小球的速度达到最大，则有 解得小球下滑的最大速度为 故A错误，B正确； CD．t0时间内，根据动量定理可得 其中 根据动能定理可得 联立可以根据已知量计算洛伦兹力对小球的冲量，可以根据已知量计算摩擦力对小球做的功，故C正确，D错误。 故选BC。 4. （2022·浙江金华·模拟预测）如图所示，有一足够长的绝缘圆柱形管道水平固定，内有带负电小球，小球直径略小于管道直径。小球质量为m，电荷量为q，与管道的动摩擦因数为，空间中有垂直向外、大小为B的匀强磁场。现对物块施加水平向右的恒力F，使物块自静止开始运动，已知重力加速度为g，对物块运动过程的判断正确的是（　　） A．小球一直做加速度减小的运动 B．小球最大加速度为 C．小球稳定时速度为 D．从开始运动到最大速度时F做的功为 【答案】C 【详解】ABC．对小球受力分析，小球从静止开始运动，则在竖直方向上当 水平方向上 解得 从静止开始，速度逐渐增加，则加速度逐渐增大，当 加速度达到最大值，为 随着速度的增加，竖直方向上受力情况变为 解得此时的加速度为 随着速度的继续增大，小球加速度减小，当 物体加速度为0，开始做匀速直线运动，速度稳定达到最大值为 则加速度先增加，后减小，故AB错误，C正确； D．从开始运动到最大速度的过程中，根据动能定理可得 即 故D错误。 故选C。 5. 如图甲，坐标系所在的平面内，在区域内存在水平向右的匀强电场；在区域内存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面向外的匀强磁场。质量为、长为的绝缘薄板静止在光滑水平面上，其中心位于点。质量为、电荷量的小物块（可视为质点）与薄板的动摩擦因数为。小物块从薄板的最左端由静止释放运动到点时，薄板的速度为；小物块从点运动到点的过程中，速度随位移变化的关系如图乙所示，重力加速度为。求： (1)小物块在区域内运动的加速度大小； (2)小物块从开始运动到点的过程中，小物块和薄板组成的系统产生的热量； (3)区域内电场强度大小和磁感应强度大小。 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【详解】（1）小物块在区域内做匀加速直线运动，小物块对地位移为，由图乙可知，点时，物块速度，根据匀变速直线运动规律有 解得。 （2）薄板受摩擦力水平向右，大小等于小物块所受摩擦力，由牛顿第二定律薄板加速度，薄板速度 解得 则小物块对地位移 解得 小物块从最左端运动到点的过程中，根据动能定理有 设小物块运动到点时薄板的速度为，由图乙，小物块此时速度，小物块从点运动到点的过程中根据系统动量守恒 小物块从最左端运动到点的过程中系统能量守恒 解得或 （3）小物块从点运动到点的过程中对小物块进行受力分析，竖直方向，水平方向 根据动量定理有 解得 依题意，竖直方向冲量为0，可得 解得 联立图乙可知 解得或 ⏳题型02 带电粒子在叠加场中做匀速圆周运动 6. （2026·浙江·二模）（多选）2026年4月，我国“洪荒70”全高温超导托卡马克装置成功实现了1337秒的长脉冲稳态运行，创造了世界纪录。其部分装置可简化为半径为3R的足够长空心圆柱，内部空间被半径为R的同轴圆柱面分为区域I和区域Ⅱ，如图甲所示。空心圆柱左视图如图乙所示，区域I存在垂直纸面向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在大小处处相等的顺时针环形磁场，磁感线的圆心在圆柱面的轴线上，两区域磁感应强度大小均为B。在区域I的边界沿半径向外发射电荷量为e、质量为m、初速度为的氘核，则氘核（     ） A．氘核运动一段时间后可以回到出发点 B．氘核在装置内的运动周期为 C．氘核一个周期内在区域I中运动的路程为 D．氘核开始运动的半个周期内的位移大小为 【答案】BD 【详解】A．在区域Ⅱ中，氘核初速度沿径向，磁场沿环向，由左手定则可知洛伦兹力沿圆柱轴向，故氘核在过中心轴的纵截面内做匀速圆周运动。其轨迹半径为 氘核从处垂直边界进入区域Ⅱ，将完成一个半圆后重新回到区域Ⅰ边界。在此过程中，氘核沿圆柱轴向发生平移，平移位移大小为 因每次进入区域Ⅱ氘核都会沿轴向向同一方向单向漂移，故氘核永远无法回到出发点，故A错误； B．氘核回到区域Ⅰ边界时，速度大小仍为，方向变为沿径向向内。进入区域Ⅰ后，磁场方向垂直于横截面，氘核在横截面内做匀速圆周运动。其轨迹半径为 氘核初速度指向横截面圆心，且轨迹半径恰好等于区域Ⅰ的半径，故其在区域Ⅰ内的轨迹为四分之一圆弧，圆心角为。离开区域Ⅰ时，速度方向再次变为沿径向向外，并在横截面上绕轴线方位角偏转了。将“经历一次区域Ⅱ和一次区域Ⅰ”视为一个完整的基本运动单元。 在区域Ⅱ中的运动时间为 在区域Ⅰ中的运动时间为 每个单元总用时为 因每个单元在横截面上方位角偏转，氘核完成一个完整的空间宏观周期需要4个基本单元。故装置内的运动周期为，故B正确； C．氘核一个周期内经历4次区域Ⅰ的穿行运动，在区域Ⅰ中运动的总路程为，故C错误； D．氘核开始运动的半个周期即刚好经历2个基本单元。在横截面内，氘核方位角共偏转了，即移动到了初始位置的直径对立面，故横向位移大小为 在轴向上，氘核经历了2次半圆漂移，轴向总位移大小为 由于横向位移与轴向位移相互垂直，故半个周期内的空间总位移大小为，故D正确。 故选BD。 7. 霍尔推进器是未来星际航行的绿色引擎，其放电室横截面可简化为一个圆环区域，圆环内存在辐射状磁场，如图所示。另有方向均垂直圆环平面向里的匀强磁场和匀强电场（未画出），且磁感应强度大小为，电场强度大小为。电荷量为、质量为的电子恰好能够沿半径为的轨道做匀速圆周运动。下列说法中正确的是（     ） A．电场力对电子做正功 B．电子沿逆时针方向做圆周运动 C．电子做匀速圆周运动的线速度大小为 D．轨道处辐射状磁场的磁感应强度大小为 【答案】D 【详解】A．因电场力垂直圆环平面向外，电子在圆环平面内做圆周运动，电场力对电子不做功，故A错误； B．电子由于带负电，故所受电场力垂直圆环平面向外，与辐射状磁场对粒子的洛伦兹力平衡，电子受垂直圆环平面向里的匀强磁场的洛伦兹力方向指向圆心O，根据左手定则可知，电子在圆环内沿顺时针方向运动，故B错误； CD．电子在圆环内受到磁场Ⅱ的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力 解得： 电子在垂直环平面方向受力平衡 解得：，故C错误，D正确。 故选D。 8. 如图所示，在竖直面内建立xOy坐标系，y轴左侧存在电场强度大小为 方向沿x轴正方向的匀强电场，右侧存在垂直纸面向外的匀强磁场和电场强度大小为 方向沿y轴正方向的匀强电场。长为L的绝缘细线一端固定在O点，另一端系着质量为m、电荷量为q的带正电小球。现将小球拉至M（0，-L）处并给小球一沿x轴负方向的初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，当小球运动到P点时，细线上的拉力恰好为零；当小球运动到N（0，L）处时细线断裂，之后小球做圆周运动能再次运动到M点。已知OP与y轴正方向的夹角为 0.6，重力加速度大小为g，小球可视为质点。求： (1)电场强度和的大小； (2)小球在M、N两点时的速度的大小； (3)磁感应强度B的大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）当小球运动到P点时，细线上的拉力恰好为零，可知电场力与重力的合力方向沿PO方向，则 解得 进入y轴右侧后做圆周运动，一定是匀速圆周运动，可知 解得 （2）小球在P点时 解得 小球从M点到P点，根据动能定理得 代入数据得 从P到N由动能定理 解得 （3）小球进入右方磁场中做匀速圆周运动的半径为L，则 解得 9. 如图所示，三维坐标系O-xyz中，x轴水平向右，z轴竖直向上，y轴垂直纸面向里。在xOz平面内存在竖直向上的匀强电场E，在 平面的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场 ，在 平面的上方存在垂直纸面向里的匀强磁场 。现有一质量为m、电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v沿x轴正方向射出。已知重力加速度为g，，，x轴上的P点坐标为。 求： (1)若粒子射出后做匀速圆周运动，求电场强度E的大小及粒子第一次经过 平面时位置的x坐标； (2)在第（1）问条件下，若粒子沿x轴正方向飞出后到达P点的时间最短，求上方磁场的磁感应强度的大小； (3)若仅将电场E的方向改为沿y轴正方向，粒子仍从O点以速度v沿x轴正方向射出。在过原点O且与x轴正方向成60°夹角的直线上，放置一足够长的绝缘刚性薄板。粒子运动一段时间后与该薄板发生完全非弹性碰撞并粘附其上。已知碰撞点距原点O的距离为 。求从粒子开始运动到发生碰撞的过程中，薄板对粒子所做的总功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因粒子做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡 解得 洛伦兹力提供向心力 解得轨道半径 设粒子第一次经过 平面时的位置偏角为 ，由几何关系有 代入数据 ，解得即 （） 该位置的x坐标为 （2）设粒子在磁场中运动的轨道半径为，根据圆周运动轨迹可知粒子运动到点应满足 当取最小值时，运动时间最短。结合下图分析，可知带电粒子在磁场中至少绕3次才能到达点，环绕的次数越少，用时越短，即时所用的时间最短，则有 解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 （3）由于电场E沿+y方向，且磁场保持不变，粒子在z方向所受洛伦兹力与重力平衡，故 ，运动被限制在xOy平面内。因此，薄板必须位于xOy平面内，方可与粒子发生碰撞。在xOy平面内，粒子受电场力 ，方向沿+y，做类平抛运动。设碰撞时刻为 ，碰撞点坐标为 ，由题意，碰撞点在xOy平面内过原点、与x轴成60°的直线上，且 因此有， 由运动学方程 解得 此时，粒子的速度分量为， 故碰撞前瞬间，粒子的速度大小为 由动能定理可得，薄板对粒子所做的总功 10. 如图所示，半径R0=1.5m的竖直圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，O为圆心，在O点正上方固定一内壁光滑竖直细玻璃管MN，细管上端N位于圆周上。从圆心O正上方P点处以某一速度水平向右抛出质量m=0.1kg、带电量q=+0.1C的小球，小球恰好从Q点沿圆切线进入磁场，此时OQ与竖直方向的夹角θ=53°。小球可看作质点，运动过程中电量不变，不考虑电磁辐射和空气阻力，重力加速度大小g=10m/s2，sin53°=0.8。 (1)求小球到达Q点时的速度大小vQ； (2)小球到达Q点时，在纸面内加上大小E=10V/m、方向竖直向上的匀强电场，小球恰好无碰撞从M端进入管内，小球进入管内时，让磁场绕圆心O以角速度ω=1.4rad/s逆时针匀速旋转。求： （i）匀强磁场磁感应强度B的大小； （ii）小球到达N端时的速度大小vN。 【答案】(1)5m/s (2)（i）7.5T；（ii）2m/s 【详解】（1）小球从P到Q做平抛运动，设初速度v0，从P到Q时间为t，水平方向，有 在Q点，根据几何关系可得， 解得 （2）（ⅰ）小球到达Q点时，在纸面内加上大小E=10V/m、方向竖直向上的匀强电场，有 即小球受到的电场力与重力平衡，小球做匀速圆周运动，设小球运动半径为R，根据洛伦兹力提供向心力 根据几何关系可得 解得， （ⅱ）根据几何关系可得 所以管长 小球从M到N的过程中，设沿管方向的洛伦兹力为Fy，根据动能定理可得， 解得 ⏳题型03 带电粒子在立体空间中的运动 11. （2025·浙江·一模）如图甲所示，装置1由多个横截面积相同的金属圆筒沿同一直线水平排列而成，圆筒长度依次按一定规律增加。奇数序号的圆筒与交变电源的一个电极相连，偶数序号的圆筒与另一电极相连，图乙为交变电源两极间电势差随时间的变化规律。在时刻，偶数圆筒相对于奇数圆筒的电势差为正值，此时位于序号为0的金属圆板（与偶数圆筒相连）中心的一个带正电粒子，在圆板与圆筒1之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1。为使粒子在通过任意两个圆筒之间的间隙时都能在电场力作用下持续加速，圆筒的长度需按一定规律设计。粒子离开装置1后，沿虚线进入装置2。装置2中的水平极板、足够长，且关于虚线对称放置，板间距，板间加有恒定电压，方向如图所示，同时存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。已知粒子比荷，粒子通过圆筒间隙的时间可忽略，重力不计。求 (1)若粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，装置1中应设置的圆筒个数； (2)若粒子能够通过装置2且不碰到极板，装置1中应设置的圆筒个数； (3)若装置2的两极板内侧涂有特殊材料，粒子与板发生弹性碰撞时，沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变、方向反向。若装置1中设置16个圆筒，粒子相邻两次打到板上的时间间隔及相邻落点之间的距离。 【答案】(1)4个 (2)3、4、5或6个 (3)， 【详解】（1）带电粒子恰能沿虚线匀速通过装置2，即带电粒子所受静电力与洛伦兹力平衡。设带电粒子离开装置1速度为，则有 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 解得 即装置1中应设置4个圆筒。 （2）设带电粒子离开装置1速度为。 （方法一）若带电粒子恰能打到下极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 若带电粒子恰能打到上极板，设带电粒子打到下极板速度为，由动能定理 水平方向由动量定理得 解得 综上 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 装置1中应设置3、4、5或6个圆筒。 （方法二）带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。 匀速圆周运动的半径为 带电粒子不打到极板，即 解得 设装置1中设置个圆筒，对带电粒子在装置1中的过程应用动能定理，则有 将代入解得 故装置1中应设置3、4、5或6个圆筒 （3）装置1中设置16个圆筒，由动能定理得 解得 将带电粒子的运动可以分解为的匀速直线运动与的匀速圆周运动。由洛伦兹力提供向心力 解得匀速圆周运动的半径为 如下图所示 当匀速圆周分运动至1处时，带电粒子打到上极板，随后沿板方向速度分量不变，垂直板方向速度分量大小不变，方向反向，即匀速圆周分运动变至2处。随后匀速圆周分运动再从2处运动至1处，故相邻两次打到板上的时间间隔为 相邻两落点间距离为 12. （2025·浙江金华·三模）图1为某离子发电装置，可简化为三个区域：离子发射区、加速区和发电区，图2是其截面示意图。发射区存在一垂直纸面向里的半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，长度均为L的线状离子发射源P（正离子源）、Q（负离子源）正对位于磁场的上下顶点；加速区由两高度均为R，长、宽均为L的匀强电场组成，电场强度，电场方向相反；发电区由长为3R，宽为L的平行金属板S、T组成，板间存在垂直纸面向里，大小可调的匀强磁场，金属板外连接开关和电动机，开关初始均断开。电场上下边界及金属板S、T均与圆形磁场上下边界切线共线。离子发射源P、Q单位时间单位长度分别能向右侧90°范围内均匀发射N个质量为m，初速率相同，电量为q的离子，且所有离子均能水平离开圆形磁场区域。不考虑离子间作用力及离子重力，求： (1)离子发射的初速率及发射区磁场内离子运动的最长时间； (2)当发电区磁感应强度为B时，提供的最大电动势及闭合且电路稳定时的外电路电流； (3)当发电区磁感应强度时，保持断开，闭合，待电路稳定后，测得金属板间电压为，电动机此时消耗的功率多大？ 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）离子圆周运动，洛伦兹力提供向心力 可得 圆周运动周期 竖直方向入射在磁场中运动的圆心角90°最大，时间最长，故 （2）加速区，由动能定理 代入数据得 金属板间达到最大电动势，即断路下，离子进入金属板间受力平衡 得 短路时，金属板间电压为0，即离子在板间做圆周运动，电流即为单位时间内打到金属板的电荷量。考虑此时圆周运动半径 可知，从两金属板中间进入的离子恰好打到板上右端点，即所有入射离子均能达到板上,则 （3）当电压为时，利用配速法对离子的运动进行分解，即速度分解为 令 得， 则可看作以匀速直线运动，以匀速圆周运动，圆周运动半径 则单位时间内离两板间距在0.4R范围内进入发电区的离子可以打到金属板形成稳定电流。设从距离板0.4R入射发电区的离子发射时与竖直方向夹角为，如图所示 根据几何关系 解得 故单位时间打到金属板的离子数 电流为 故电功率 13. （2025·浙江杭州·二模）如图所示是离子回旋加工芯片流程的示意图。离子源发出质量为m的正离子，沿水平中轴O，经速度选择器后，进入可加电场或磁场且边长为L的正方形偏转区，偏转后进入加有水平向右的匀强磁场的共振腔，使腔内气体电离蚀刻芯片。已知速度选择器与偏转区的匀强电场均为，方向相反，匀强磁场均为，方向垂直纸面向外。仅加电场时离子出射偏转角α很小，且。不考虑电磁场突变影响，离子进入共振腔后不碰壁。角度θ很小时，有，，求： (1)离子通过速度选择器后的速度大小； (2)离子的电荷量； (3)偏转区仅加磁场时，离子出射时偏离O、轴线的距离。 (4)离子以（3）问中的速度进入共振腔，受与运动方向相反的阻力，k为已知常数。施加垂直、轴线且匀速旋转的匀强电场使离子加速。稳定后离子在垂直、轴线的某切面内以与电场相同角速度做匀速圆周运动，速度与电场的夹角（小于90°）保持不变。 ①为保证离子不接触芯片，求芯片距离的最小距离； ②角速度为多大时，稳定后旋转电场对离子做功的瞬时功率最大。 【答案】(1) (2) (3) (4)①；② 【详解】（1）离子沿水平中轴 OO1经过速度选择器，设离子电荷量为q满足 解得 （2）偏转区仅加电场时，水平方向 竖直方向 且有 联立解得 （3）离子在磁场中偏转时，设偏转角为，磁场半径 偏转角等于圆心角，由几何关系 可得 离子出射时偏离轴线的距离 （4）当离子进入共振腔后，将速度分解为两个方向，其中水平方向 其中 ①水平方向在阻力下做减速运动，为保证离子不接触芯片，对离子进入到水平方向速度减小为0过程分析，由动量定理有 其中 得芯片距离O2的最小距离 ②稳定后离子会以与旋转电场相同的恒定角速度在某一切面内做匀速圆周运动，设最终速度为。沿圆周的半径方向 沿圆周的切线方向 可得 旋转电场对离子做功的功率 当 即时，电场对离子做功的瞬时功率最大。 14. （2024·浙江温州·模拟预测）如图所示为一种测量石墨晶体层数的装置。图中O1，O2分别为EF，GH的中点，右侧为一含有n层sp2杂化的碳原子平面的石墨晶体，装置中所有的磁场及电场的方向及大小规律分布已在图中标出，不过多说明。装置的作用原理如下：一粒子源S发出一个带电粒子，该带电粒子无初速度地从AB极板中点的小孔进入加速电场，经加速后从O1进入板间，最终从O2点水平射出，之后粒子从P点垂直进入石墨层，并与有且仅有一个碳原子结合形成一个新整体，该过程整体视为质量与动量守恒。此后整体每经过一个石墨层都会再结合一个碳原子。当加速电压U=100V时，粒子恰好无法穿过该石墨晶体。已知粒子与碳原子的质量均为，粒子的带电量，EF、GH间电场强度E0=600V/m，板长均为L=1.5πm，板间距d=1m，石墨各层间距均为。图中，但B0未知。不计粒子间相互作用力，仅考虑图中电场与磁场对粒子的作用，电场与磁场均视为匀强场，不考虑边缘效应、相对论效应。求： （1）粒子从加速电场中出来的速度v0； （2）极板EF、GH间的磁感应强度大小B0； （3）n的值以及粒子打在第n层时垂直纸面的位移大小s。 【答案】（1）1×106m/s；（2）6×10-4T；（3）8，2.25×10-20m 【详解】（1）粒子在加速电场中，有 解得 （2）粒子进入EF、GH区域做匀速直线运动，有 解得 （3）粒子穿过石墨层时动量守恒，穿过第n层时 粒子在平行石墨层平面上，只受到电场力，在垂直石墨层平面上，只受到洛伦兹力，则在垂直石墨层平面上在石墨层之间做匀速圆周运动，在第n层和第n+1层石墨层之间，根据洛伦兹力提供向心力有 则做圆周运动的轨迹半径为 令，粒子在垂直石墨层平面上，粒子的轨迹如图所示，将过石墨层的粒子轨迹半径反向延长，与第一层石墨相交，与第1层的石墨层的交点分别令为、、 ，与上一层石墨层相交的交点分别令为、、 ， 则粒子射出第n（）层时，在层和第之间，由几何关系可得 ，， 则 当粒子在层和第之间恰好无法穿过该石墨晶体时，由 解得 则粒子恰好不能穿过第8层。即石墨晶体层级为8。 粒子在石墨层之间做匀速圆周运动的周期 粒子打在第8层时恰好偏转90°，则运动时间 在平行石墨层方向上，粒子在第n层之间 解得 设粒子进入第 n层角速度 设粒子在每个层间区域转过的圆心角为（弧度），则运动时间为 可知垂直方向速度方向转过了 总时间 离开第1层（尚未与第1层结合） 进入第2层的速度大小 离开第2层的速度大小 进入第3层的速度大小 离开第3层的速度大小 ……. 则粒子粒子打在第8层时垂直纸面的总位移 15. （2024·浙江金华·三模）某离子诊断装置的简化结构如图所示，以抛物线为边界的匀强电场存在于第二象限中，方向沿y轴负方向，电场强度。在区域内存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的右边界为平行y轴的直线。绝缘板恰好处在y轴和之间，在处平行于x轴放置，厚度不计。线型可控粒子源在垂直x轴设立，长度，可实现上一点或多点沿x轴正方向发射大量带正电的相同粒子，这些粒子质量为m、电荷量恒为q，速度大小为，重力可不计。 （1）控制粒子源，只让P点发射粒子，求解不同条件下的三个问题： ①取绝缘板长为4d，要使粒子进入磁场后不与绝缘板发生碰撞，求磁感应强度B需要满足的条件； ②取磁场磁感应强度，从P点发出的粒子打到绝缘板上经短时碰撞后，反弹的水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。若有一粒子与绝缘板碰撞5次后从磁场右边界上的H点（图中未标出）离开，H点到绝缘板的垂直距离为，求该粒子从进入磁场到运动到H点的时间； ③撤去绝缘板，取磁场磁感应强度，若P点发出的粒子进入磁场后还受到了与速度大小成正比、方向相反的阻力，观察发现粒子的运动轨迹呈现螺旋状并与y轴相切于K点。求粒子从进入磁场到运动到K点的时间和K点的坐标。 （2）撤去磁场右边界，取磁感应强度，绝缘板仍在处平行于x轴放置，但左右两端位置可以调节。让粒子源上的每一点都沿x轴正方向发射粒子，射出的粒子在y轴方向上分布均匀，要使射出的粒子都能打在绝缘板上，绝缘板的最小长度应为多少？ 【答案】（1）①或，②或，③，（0，）；（2） 【详解】（1）由题知，绝缘板恰好处在y轴和之间，在处平行于x轴放置，要使粒子进入磁场后不与绝缘板发生碰撞，由洛伦兹力提供做圆周运动向心力知最小半径为，则 代入得 由几何关系知，最大半径为 代入得 则此时磁感应强度为 代入得 所以或 （2）由知 由几何关系知 解得 则运动时间为 或 （3）由题知，粒子的运动轨迹呈现螺旋状并与y轴相切于K点。则运动时间为 由动量定理知，轴方向有 解得 可得K点坐标为（0，） （4）由题意可知，粒子源射出的粒子全部汇聚在坐标原点后射入磁场。 当时 ， 当时 ，， 如图分析可得 重难·创新演练 16. （2024·浙江台州·二模）中国航天科技集团自主研制的300瓦霍尔电推进系统已经顺利完成地轨卫星的机动变轨任务，整个卫星的运行轨道被抬升了300公里。我国现阶段霍尔推进器，在地面实验中，其推力达到了牛级，处于国际领先水平。小明同学受到启发设计了如图所示装置研究电荷运动及作用力，三束比荷为、速度为、相邻间距的平行带正电粒子a、b、c持续均匀射入一半径的圆形匀强磁场区域后汇聚于点，随后进入右侧间距、边界为M、N的区域中。在边界N处放置一个足够大荧光屏，圆形磁场圆心与点及荧光屏上坐标原点连线共轴且垂直荧光屏。 （1）求圆形磁场区域的磁感应强度的大小及方向； （2）若在MN的区域中加上水平向右、磁感应强度的匀强磁场，求a束粒子打在屏上的位置坐标； （3）若在MN的区域中加上（2）中磁场的同时再加上水平向右、电场强度的匀强电场。 ①求a束粒子打在屏上的位置坐标； ②某次实验中，整个装置安装在一个飞船模型上，把荧光屏变为粒子喷射出口。已知粒子质量单位时间内每束粒子有个喷出，求粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小。（冲力计算结果保留两位有效数字，可能用到的数据：） 【答案】（1），方向垂直纸面向外；（2）；（3）①；② 【详解】（1）由洛伦兹力提供向心力得 解得 方向垂直纸面向外 （2）由 得 粒子运动周期 运动时间 运动半径 则a束粒子打在屏上的位置坐标为。 （3）①由 ， 得 则a束粒子打在屏上的位置坐标。 ②在向右的方向上 解得 由动量定律得 得 在y方向上 解得 则粒子持续从射入磁场到喷出过程对飞船模型的冲力大小 17. 如图所示，某种离子扭转器可以将射向不同方向的粒子，通过改变电场或磁场的大小和方向，使其经过相同的点，该装置由间距均为L的三块带有小孔的平行金属板M、N、P构成，三块金属板的中心小孔O、O1、O2连线与三块金属板垂直，粒子可以通过M板上的中心小孔O，向各个方向发射，让粒子经过N板上的小孔a，最后从P板上的小孔O2射出，已知小孔a在O1的正上方，到O1的距离为。以金属板M的中心O为坐标原点，以水平向内为x轴，竖直向上为y轴，垂直于金属板向右方向为z轴，建立直角坐标系。M、N板之间的区域为I区，N、P板间的区域为II区。从正离子源射出的粒子质量为m，带电量为q，以速度v0从金属板的小孔O射入（不计粒子重力）。 （1）若粒子沿着y轴正方向射入，在I区加上与x轴平行的匀强磁场B1，在II区加上与y轴平行的匀强电场E1，求B1，E1的大小及方向； （2）若粒子入射的方向在xOz平面内，与x轴正方向夹角α（为锐角），在I区加上沿z轴负方向的匀强磁场B2，同时调整M、N间的距离，使I区的宽度达到最小值，求B2及I区宽度的最小值； （3）在满足（2）的条件下，在II区加平行于金属板的电场E2。求E2的大小。 【答案】（1），方向沿x轴负方向；，方向沿y轴正方向；（2），；（3） 【详解】（1）粒子在区域I中做匀速圆周运动，圆心在z轴上，根据左手定则可知，磁场方向沿x轴负方向，设轨道半径为R1，离开I区时速度方向与竖直方向夹角为θ，如图所示 有几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立可得 ， 在区域II中粒子做类斜抛运动，则 又 联立可得 方向沿y轴正方向。 （2）将初速度分解到沿z轴方向和x轴方向，根据左手定则可知，粒子沿z轴方向做匀速直线运动，在垂直z轴平面内做匀速圆周运动，a点恰好是圆周运动的最高点，因此 联立可得 由 联立解得 （3）在通过a点后，若通过小孔O2，在z轴方向 在x轴方向上 其中 在y轴方向上 又 由以上各式联立解得 18. （2022·浙江绍兴·一模）如图甲所示为带电粒子三维动量映射分析技术的原理图。系统整体设计采用圆柱对称型结构，对称轴为，亥姆霍兹线圈用以形成沿系统轴向的均匀磁场区，可以抑制带电粒子的横向发散，使得系统具有较大的粒子收集效率。位置敏感探测器用以接收带电粒子，记录带电粒子的飞行时间和粒子撞击探测器的位置。粒子源和探测器中心均位于对称轴上，建立空间坐标系，轴与对称轴重合，轴竖直向上，探测器的平面坐标系从左向右看如图乙所示。已知粒子源发射质量为，电荷量为的带正电荷的粒子，粒子速度方向与轴的夹角为，探测器半径为，轴向匀强磁场的磁感应强度为，方向水平向右。不计粒子重力和粒子间相互作用。 （1）从左向右看，粒子运动方向是顺时针还是逆时针？ （2）若粒子刚好打在探测器的中心，求粒子源到探测器距离需要满足的条件； （3）若粒子发射时速度大小，速度方向位于平面内，与轴夹角，粒子打在探测器的位置坐标为，求带电粒子的飞行时间； （4）若粒子源沿着与轴夹角的各个方向连续发射粒子，粒子速度大小，粒子源到探测器的距离，求粒子打到探测器上的位置坐标所满足的方程。 【答案】（1）逆时针；（2）（，，）；（3）（，，）（4） 【详解】（1）从左向右看，根据左手定则可知粒子运动方向是逆时针。 （2）粒子刚好打在探测器的中心，则所有时间为周期的整数倍，则有 （，，） （，，） （3）设粒子做圆周运动的半径为，由洛伦兹力提供向心力可得 可得 在探测器的位置坐标如图1所示    根据几何关系可知 则带电粒子的飞行时间为 （，，） 即 （，，） （4）设粒子做圆周运动的半径为，则有 解得 设粒子飞行的时间为，则有 解得 在探测器的位置坐标如图2所示    由几何关系可知 因为粒子沿着与轴夹角的各个方向连续发射，由粒子在探测器上位置如图2虚线；则位置坐标方程为 19. （2023·浙江金华·模拟预测）如图甲所示，真空中存在一间距为的水平平行板电容器，板长，板间电压为U、板间匀强电场方向向上，为一垂直上极板PQ的足能长的光屏，其下端N与极板右端Q重合，在MN所在竖直线右侧空间存在匀强磁场。在下极板左端有一个粒子源A，可以紧贴极板水平向右连续发射带正电的粒子，粒子比荷为，初速度。已知粒子打到极板或光屏时会被吸收，粒子之间的作用力不计，粒子的重力不计。 （1）为使粒子能够从极板间射出，求电压U的最大值； （2）若匀强磁场方向垂直纸面向里（如图甲），大小为，电压U可任意调节，则求粒子击中光屏形成痕迹的长度； （3）若匀强磁场方向改成水平向右，大小变为，电压U可任意调节，在极板右侧放置另一块与MN平行的足够大的光屏CD，CD在磁场中能左右移动，则求粒子打在光屏CD上留下所有痕迹的面积S； （4）在满足第（3）问的条件下，同时在电容器的右侧与光屏之间加一水平向右的匀强电场，其场强大小，在光屏上以D点原点（D点为光屏与FG直线的交点），垂直纸面向内为轴，竖直向上为轴，水平向右的方向为轴，建立如图乙所示的三维直角坐标系。光屏位置到G点的距离用K表示，现将光屏CD沿FG直线从G点开始从近到远依次放在不同位置上，光屏CD始终平行MN，当光屏距G点为与这两个位置时打在光屏上所有粒子的点迹首次先后出现如图丙、丁所示的两条直线（顺着匀强电场，水平向右看光屏），其中图丙为距离时的图样，图丁为距离时的图样，则与这两位置相距多少距离？    【答案】（1）50V；（2）0.02m；（3）；（4） 【详解】（1）粒子在匀强电场中做类平抛运动，水平方向 竖直方向 联立解得 所以电压U的最大值为； （2）设射入磁场的粒子速度为，与水平方向成角度，磁场中圆周运动半径为 则可得 解得运动半径为 由几何关系得，磁场中动弧线在竖直方向上的高度为 联立解得 即为定值，出射点离Q越远，打到光屏上离Q距离的越小，出射点离Q越近打到光屏上离Q距离的越大 当时，从下级板边缘出射，此时距离Q最小 当时，从上级板边缘Q点出射，此时距离Q最大 因此，痕迹长度 （3）粒子从电场中射出，进入磁场后，水平方向匀速运动，垂直磁场方向做匀速圆周运动 由图可知 所以 圆心与下极板右边缘连线与竖直方向夹角满足 由图可知 所以  即圆心连线为一条直线且过下极板右边缘，所有光屏痕迹是由从上到下逐浙减小的圆叠加形成的，如图所示 当时，圆半径最大，最大半径为 则求粒子打在光屏CD上留下所有痕迹的面积为 （4）加上水平向右的电场后，粒子进入磁场区域时水平方向匀加速运动，垂直磁场方向做匀速圆周运动，其周期为 因粒子圆周的周期与速度大小无关，出现图1直线时，所有粒子偏转120°，由运动等时性可知，水平方向运动时间恰为，出现图2直线时，所有粒子恰好运动一周，水平方向运动时间为，由运动学公式有： 所以两点相距 真题·实战演练 20. （2022·浙江·高考真题）（多选）如图为某一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为， a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（　　） A．轨道半径r小的粒子角速度一定小 B．电荷量大的粒子的动能一定大 C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关 D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动 【答案】BC 【详解】A．根据电场力提供向心力可得 解得 可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误； BC．根据电场力提供向心力可得 解得 又 联立可得 可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确； D．磁场的方向可能垂直纸面向内也可能垂直纸面向外，所以粒子所受洛伦兹力方向不能确定，粒子可能做离心运动，也可能做近心运动，故D错误。 故选BC。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $