第1章 有理数（复习课件）数学新教材沪教版五四制六年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的概念（正负数、分类、数轴、相反数、绝对值）与运算（加减乘除、乘方、混合运算），通过知识图谱将概念与运算模块串联，考点串讲按逻辑分点解析，题型全解对应知识点，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于“易错提醒+方法总结+分层训练”模式，如绝对值化简强调先判正负培养抽象能力，乘方运算对比符号差异提升运算能力，针对训练中数轴动点题发展推理意识。分层设计让不同学生巩固基础或提升能力，教师可借之精准教学，提高复习效率。

第一章 有理数 复习课件 沪教版·六年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解正数、负数、有理数的概念，能对有理数进行正确分类（按定义和按正负两种标准） 02 掌握数与形的对应 掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），能借助数轴比较有理数的大小。 理解两大核心性质 理解相反数和绝对值的意义，能熟练求一个数的相反数和绝对值。 提升运算能力 熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，能正确进行混合运算（先乘方、再乘除、最后加减）。 夯实概念基础 03 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 1. 绝对值化简：去绝对值前先判断绝对值内式子的正负，负的要变号。 2.符号处理：分清 −aⁿ 与 (−a)ⁿ 的区别；多重符号“奇负偶正”。 3.运算律使用：分配律可正用也可逆用；除法没有分配律。 1.有理数的概念及其两种分类方式（按定义分、按正负分）。 2.数轴、相反数、绝对值的意义与求法。 3.有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则。 4.有理数混合运算的运算顺序（先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内） 4 知识图谱 有理数 概念 运算 正数和负数 数轴 相反数 绝对值 加减法 乘除法 乘方 混合运算 5 考点串讲 ——1：正数和负数 核心概念 正数：在数学中，像3，50，7.8%这样大于0的数叫作正数. 负数：像－3，－10，－0.7% 这样在正数前加上符号“－”的数叫作负数. ⚠️ 易错提醒： ①正数：大于0的数，“+”可省略。 ②负数：正数前加“−”，“−”不可省略。 ③0：既不是正数，也不是负数。 6 考点串讲 ——2：有理数 ①按定义来分 ②按性质符号分 有理数 整数 分数 负整数 负分数 正分数 正整数 0 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 ⚠️ 易错提醒： ① 有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于分数 ② 整数包含0，分类时不要遗漏 0 ． 注意不是有理数！ 有理数分类 7 考点串讲 ——3：数轴 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 负数 正数 ⚠️ 易错提醒： ①每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示. ②原点（表示0的点）是表示正数的点和表示负数的点的分界点. ③步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数. 8 考点串讲 ——4：相反数 3 -3 相反数 只有符号不同的两个数，其中一个数是另一个数的相反数. . “数形结合” ⚠️ 易错提醒： ① 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且与原点的距离相等. ② 0的相反数是0. 9 考点串讲 ——5：绝对值 3 -3 绝对值 数a在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数a的绝对值. |-3|=3 |3|=3 ① 一个正数的绝对值是它本身； ② 一个负数的绝对值是它的相反数； ③ 0的绝对值是0,即|0|=0. . “数形结合” 10 考点串讲 ——6：有理数的运算 有理数加法的运算律 加法交换律： a+b = b+a. 有理数加法法则 有理数加法的运算律 加法结合律： (a+b)+c= a+(b+c). 同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时， 其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差， 其和的符号取绝对值较大的加数的符号. 11 考点串讲 ——6：有理数的运算 有理数减法法则 归纳总结 一个数减去一个数，等于加上这个数的相反数。 计算步骤 ① 减号变加号；② 减数变相反数；③ 按加法法则计算 有理数减法的运算律 a-b= a+(-b). ① 减号变加号，减数取相反。 ② 转化后按加法法则计算。 12 考点串讲 ——6：有理数的运算 乘法对加法的分配律： a(b+c) = ab+ac. 有理数乘法运算律 乘法交换律：ab = ba. 乘法结合律:(ab)c = a(bc). 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 0除以任何不为0的数，都得0. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数与零相乘，都得零. 有理数除法法则 两数相除，除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. 13 考点串讲 ——6：有理数的运算 有理数乘方 ⚠️ 易错提醒： ①正数的任何次方都是正数； ②负数的奇数次方是负数，负数的偶数次方是正数. ③ 表示  的相反数，底数是 ； 表示  个  相 乘，底数是 。 求n个相同有理数的积的运算叫作有理数的乘方，记作 其中底数， 是指数，幂. 14 考点串讲 ——6：有理数的运算 有理数混合运算 ⚠️ 易错提醒： ① 与  区别：前者底数是3，结果为；后者底数是， 结果为9. ②去括号时括号前为“−”，括号里的每项都要变号. 有理数混合运算的顺序， ① 先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右； ② 如果有括号先算小括号，后算中括号，再算大括号. ③ 同级运算，从左到右依次计算 15 考点串讲 ——6：有理数的运算 （1）确定运算顺序. （2）减去一个数，注意加上它的相反数. （3）除以一个数(不等于0)，注意乘它的倒数. （4）乘法运算，注意结果符号. （5）加法运算，注意同号还是异号相加. “转化” 有理数运算的步骤， 当 时， 互为倒数． 有理数运算需要注意的事项 （1）一看顺序，二定符号，三算结果. （2）能简便运算的先用运算律（加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、分配律）. 16 题型全解 题型01 正数和负数 例: 判断下列各数哪些是正数，哪些是负数？哪些是有理数？ −3.14，24，+17，，π，−0.101，0，−2025，20% A．2个    B．3个     C．4个     D．5个 答案：正数：24，+17，π，20% 负数：−3.14，，−0.101，−2025 有理数：−3.14，24，+17，，−0.101，0，−2025，20%（π不是有理数） 【解析】① 判断正负看是否大于0。正数前面的“+”号可以省略，如24和+17都是正数；20% = 0.2 > 0，也是正数。 ② π是无限不循环小数，不能化为分数，所以π不是有理数。 ③ 0既不是正数也不是负数，但0是有理数（属于整数）。 ④ 有限小数（如−3.14）和分数（如）都可以化为分数形式，所以是有理数。 17 题型全解 题型01 正数和负数 例: 如果+8米表示向东走8千米，那么-6米表示（ ） A．向东走6米 B．向西走6米 C．向东走-6米 D．向西走-6米 B 【解析】 本题考查了正负数的意义，根据正负号表示相反方向的意义，即可求解． 米表示向东走千米， 米表示向西走米， 18 题型全解 题型01 正数和负数 方法总结 方法 1：直接看数字符号 ①正数大于0（“+”可省略），负数小于0（“−”不可省略），0既不是正数也不是负数. ②规定其中一个为正，则另一个为负. 方法 2：化简符号再判断 多重符号化简规则： ①负号个数偶数个→正数； ②负号个数奇数个→负数. 例：−(−2)（2个负号）=2，正数； -(+5)（1个负号）=-5，负数. 题型全解 题型02 有理数概念 例: 判断下列说法是否正确，正确的在括号里 打“√”，错误的在括号里打“×”： （1）正有理数和负有理数统称为有理数； （ ） （3）自然数就是正整数； （ ） （5）任何数的绝对值都是正数. （ ） （2）4可以看做分母为1、分子为4的分数； （ ） × √ × √ × | 0 |=0 正整数 自然数 零 0 （4）一个负数的绝对值是它的相反数； （ ） 题型全解 题型02 有理数概念 方法总结 分类1：按定义（整数+分数） ①整数：正整数、0、负整数 ②分数：正分数、负分数（含有限小数、循环小数） 分类 2：按正负性质分（符号角度） ①正有理数：正整数、正分数 0（单独一类，非正非负） ②负有理数：负整数、负分数 题型全解 题型03 数轴 例:如图写出数轴上点、点所表示的分数：： ，B： ． 【解析】 本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点A和点B的位置即可得到答案． 由题意得，点A表示的是，点B表示的是. 题型全解 题型03 数轴 例: A为数轴上一点，且距离原点2个单位长度，一只蚂蚁从点A出发，向右爬行了2个单位长度到达B点，则点B表示的有理数 ． 0或4 【解析】 本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加法运算 ∵A为数轴上一点，且距离原点2个单位长度， ∴A表示的数可以是-2或2， 当A为-2时，向右爬行2个单位长度到达B点，B点表示的数为-2+2=0； 当A为2时，向右爬行2个单位长度到达B点，B点表示的数为2+2=4； 故点表示的有理数是或． 题型全解 题型03 数轴 方法总结 方法1 数轴比较大小 ① 右大左小：数轴上右边的数总比左边的大，直接看位置判断. ② 绝对值法：两个负数比较，绝对值大的反而小（如 |−3| > |−2|，所以 −3 < −2）. 方法2 数轴上的距离与移动 ① 两点距离：数轴上两点对应数a、b，距离 = |a − b|（大数减小数）. ② 右加左减：向右移m个单位 → 数加m；向左移m个单位 → 数减m. 题型全解 题型04 相反数 例: 的相反数是 ． 【解析】 此题考查了化简多重符号，相反数，先化简多重符号，再求其相反数． 的相反数是． 题型全解 题型04 相反数 例: 一次式和的值互为相反数，则的值是 ． 【解析】 本题主要考查了相反数，解一元一次方程． 根据题意，得， 解得． 故答案为：． 题型全解 题型04 相反数 方法总结 方法1 相反数的基本性质 ①只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。几何意义：数轴上关于原点对称的两点. ②数a的相反数是−a；若a与b互为相反数，则a+b=0. 方法2 相反数的解题应用 ①多重符号化简：奇负偶正。一个数前面有奇数个“−”号，结果为负；有偶数个“−”号，结果为正. ②互为相反数的两个数绝对值相等.若|a|=|b|，则a=b或a=−b 题型全解 题型05 绝对值 例: 若，则 ． 【解析】 本题考查了绝对值的化简．根据x的取值范围，判断绝对值内的代数式的符号，从而去掉绝对值符号． ∵， ∴，， 故，， ∴． 题型全解 题型05 绝对值 例: 若，则的值为 ． 【解析】 解：， ， 分两种情况： 当时，则， 当时，则， 综上所述，的值为或， 题型全解 题型05 绝对值 方法总结 方法1 绝对值的求法 ①正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0. （|a|=a，a≥0） ②负数的绝对值是它的相反数（|a|=−a，a<0）.如|−5|=5. 方法2 绝对值的题型应用 ①非负性：绝对值具有非负性，即|a|≥0。若几个绝对值的和为0，则每个绝对值都为0（如|a|+|b|=0 → a=0且b=0）. ②已知绝对值求原数：若|a|=m（m>0），则a=±m（注意：有两个解，不可遗漏负数）. 题型全解 题型06 有理数运算—加减 例:下列运算正确的是（　　） 【解析】 本题考查有理数的加法和减法运算． A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． A． B． C． D． 题型全解 题型06 有理数运算—乘除 例: 计算： 解：原式 ； ． 解：原式子 题型全解 题型06 有理数运算—乘方 例: 计算 (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； - - （1）解：， （2）解： ， （3）解：， （4）解： 题型全解 题型06 有理数运算—混合运算 例: 如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） 解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：以1、8、4、2为周期，4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同，即为1. A．1 B．2 C．4 D．8 题型全解 方法总结 方法1 加减法 ①加法：同号相加，符号不变，绝对值相加；异号相加，符号随大数，大数减小数. ②减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 方法2 乘除法与乘方 ①乘除法：同号得正，异号得负，绝对值相乘除；除法变乘法（乘以倒数）. ②乘方与混合运算：负数的奇次幂为负、偶次幂为正；运算顺序——先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内. 题型06 有理数运算 针对训练 A 亏损3% 逆时针旋转15° 1．规定：(→2)表示向右移动2，记作＋2，则(← 4)表示向左移动4，记作(　　) A．－4    B．＋4    C．＋   D．－ 2．(1)如果盈利5%记作＋5%，那么－3%表示_____________； (2)如果顺时针旋转21°记作＋21°，那么－15°表示______________； 3．某种零件，标明要求是φ20±0.02mm(φ表示直径，单位：毫米)，经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件________ (填“合格”或“不合格”) 不合格 针对训练 4. 观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 7 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵余1， ∴从到共507个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7， ∴的个位数字为． 针对训练 5. 计算． (1)； (2)； （1）解： 原式 ； （2）解： 原式 ； 针对训练 5. 计算． (3)； (4)； （3）解： 原式 ； （4）解： 原式 ； 6. 今年的“国庆+中秋”的8天假期中，某风景区10月1日的旅游人数为6.25万人，后面的7天与10月1日相比，每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） (1)10月4日的旅客人数为________万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多______万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则假期八天的旅游总收入约为多少万元？ 针对训练 5.95 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（万人） 3 7200万元 针对训练 【详解】（1）解：由10月4日的旅客比10月1日少0.3万人可得： （万人）， 故答案为：5.95． （2）解：由最多的一天的人数减去最少的一天的人数可得： （万人）， 故答案为：3． （3）解：（万人）， （万元）， 即假期八天的旅游总收入约为7200万元． 针对训练 7. 已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2) 4 或 针对训练 例【详解】 （1）解： ∵， ∴+10=0，-14=0， 解得=-10，=14， ∴AB的距离：14-(-10)=24， 设经过t秒P、Q相遇， 由题意得5t+3t=24， 解得t=3， 相遇点对应数：-10+5×3=5； （2）解：PA=|p-(-10)|=|p+10|，PB=|p-14| 由PA=2PB，得|p+10|=2|p-14|， 当p≥14时，p+10=2(p-14)， 解得p=38， P与C的距离：|38-2|=36； 当-10<p<14时，p+10=2(14-p)， 解得p=6， P与C的距离：|6-2|=4； 当p≤-10时：-p-10=2(14-p)， 解得p=38（舍去） 综上，P与C的距离为36或4． 单元总结/易错复盘 ·分类规则 按定义分：整数、分数；按正负分：正有理数、0、负有理数。0不能漏！π不是有理数。 ·核心概念 数轴：三要素，右大左小; 相反数：a+b=0，奇负偶正; 绝对值：|a|≥0，若|a|=m，则a=±m. ·答题注意事项 ① 先定号，后计算 ② 减变加（加相反），除变乘（乘倒数） ③ −aⁿ与(−a)ⁿ不同 ④ 除法没有分配律 ⑤ 去绝对值先判正负 44 沪教版·六年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $