1.2 集合间的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合间的包含、相等、真包含关系，系统讲解子集、真子集、空集的定义及符号，结合Venn图和数轴直观表示集合关系。通过复习集合基本概念导入，衔接后续常用逻辑用语，构建知识学习支架。 其亮点是78张PPT含基础、中档、拔高分层训练，配思维导图整合知识，例题对接高考。以Venn图和数轴培养几何直观（数学眼光），通过集合相等证明发展逻辑推理（数学思维），规范符号表达（数学语言）。助力学生分层提升能力，教师可实现一体化教学。

高一数学●2024人教A版必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系 本节学习合间包含、相等、真包含等基本关系，理解子集、真子集、空集的定义，会判断集合之间关系，能书写相关符号，体会类比的数学思想。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括78张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 图 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 图. 特别提醒（1）表示集合的 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆， 也可以是其他封闭曲线. （2）用 图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的 公共特征不明显. 教材帮 4 牛刀小试［教材改编P9 T2］试用图表示下列集合之间的关系： 是 平行四边形，是菱形，是矩形， 是正方形}. 根据几何图形的相关知识明确各集合之间的关系，画出 图，如图1.2-5. 图1.2-5 教材帮 5 知识点2 子集、集合相等、真子集 子集 集合相等 真子集 概念 一般地，对于两个集合 ，，如果集合 中任意 （全部，每一个）一个元 素都是集合 中的元素， 就称集合为集合 的子集 对于两个集合与 ，若集 合是集合 的子集，且集 合也是集合 的子集，则 称集合与集合 相等 如果集合 ，但 存在元素 ,且 ,就称集合 是 集合 的真子集 记法 （或 ） （符号的“开口”方向可通 过“ ”来理解） （或 ） （符号的“开口”方向 可通过“ ”来理 解） 教材帮 6 子集 集合相等 真子集 读法 包含于（或包含 ） 等于 真包含于 （或真包含 ） 图示 性质 （1）反身性：任何一个 集合都是它本身的子集， 即 . （2）传递性：对于集合 ,,，如果 ，且 ,那么 （1）满足且 . （ 此方法 常用于证明集合相等） （2）两集合中的元素完全 相同 传递性：对于集合 , ，，如果 , 且,那么 续表 教材帮 知识剖析 对子集、真子集概念的理解 （1）若，则由能推出;反之，若由任意的能推出 ，则 . （2）如果集合中存在着不是集合中的元素，那么集合不包含于集合 ，或集合 不包含集合，记作（或），读作“不包含于”（或“ 不包含 ”）．例如，，，集合中的元素0不属于集合，说明集合 不是集合的子集，即集合不包含于集合 . （3）允许或，而不允许，故当时，有 ;当 时， 不一定成立.#1.1.3 教材帮 8 “ ”与“ ”的区别（链接教材第8页思考） “ ”是元素与集合之间的关系，如，不能写成；“ ”是集合与集合之间 的关系，如，不能写成 . （表示集合间关系的还有真包含关系“ ”） 教材帮 9 例1 ［教材改编P9练习T3］指出下列各组中集合与 之间的关系． （1），， ； 【解析】，， . （2）， ； 【解析】当时，;当时，， 之间没有包含关系. （3）是210的正因数且， 是小于10的质数}． 【解析】,， ． 教材帮 10 例2 ［多选题］(2026·河南尉氏三中开学考试)已知集合，3，， ， ，，则 ( ) AD A.0 B.1 C. D.3 【解析】由题意及集合元素的互异性知且，则或 ，即 或 ． 教材帮 11 例3 集合，，，，试证明 ． 【解析】方法1：（证明两集合中的元素完全一样） 当, 时， ， }; 当，时，， ， 故，，与集合表示的元素一样， ． 方法2：（证明两集合互为子集） ①先证明 ， 若，则 ， 当,时，，当，时， ， 综合可得，，，则 . 教材帮 12 ②再证明 ， 若，则 ， 当,时， ， 当,时， ， 综合可得，，，则 . 综合①②可得 ． 教材帮 知识点3 空集 1 空集的定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 . 2 空集的性质 （1）空集是任何集合的子集； （2）空集是任何非空集合的真子集，即为非空集合 . 由上述性质可知空集只有一个子集，即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合，它不含任何元素，在解题过程中容易被忽视， 特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 教材帮 14 辨析比较 与0，， 之间的关系 与0 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合；0是实数 不含任何元素； 含一个元素0 不含任何元素； 含一 个元素，该元素是 关系 或 教材帮 15 例4 ［教材改编P8 T2（3）］下面四个选项中，表示空集的是( ) A A. B. C. D.0 【解析】选项A中， 方程无实数解， 中无任何元素， 表示空集. 选项B，C中，，中分别含有一个元素 ，0，显然不是空集. 选项D中，0不是集合. 教材帮 16 例5 (2026·福建省福州高级中学适应性考试)若集合，， ， 且，则实数 的值是( ) D A. B.2 C.2或 D.2或 或0 【解析】当时，，符合题意，（【明易错】在遇到 的情况时，一 定要讨论是否为 ，为 的情况易被忽视） 当时， , 当时， . 教材帮 17 知识点4 有限集合的子集、真子集的个数 （1）当一个集合的元素个数较少时，我们可以一一列举出全部子集（注意别漏掉空 集），从而求出子集与真子集的个数. （2）当一个集合的元素个数较多时，一一列举子集不太现实，对于其子集的个数有 如下结论： 对于集合中每个元素,,, ,是否在它的子集 中均有两种可能：“在”与“不 在”.因此集合的子集共有 （个）.#1.2.1 教材帮 18 集合 中元素个数与其子集、真子集个数的关系如下：#1.3 集合 A的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 , 1 0 ， ,,,, 3 2 ,, ,,,,,, , ,,,,, 7 6 猜想：,, , （去掉 ） （去掉空集与 ） 教材帮 19 例6 若集合满足，，则满足题意的 的个数为( ) B A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】集合满足，，集合， 的元素个数为2， 则满足题意的的个数为 ． 教材帮 20 例7 (2026·吉林省榆树市第一高级中学期中)已知集合 ，则 集合 的所有非空真子集的个数是( ) A A.6 B.7 C.14 D.15 【解析】，1， ， 方法1：（列举法） 满足条件的集合有：，，，，， ，共6个. 方法2：（公式法） 集合的元素个数为3，则集合 的所有非空真子集的个数为 ． 教材帮 21 知识点5 数轴表示法 1 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.在数轴 上,若端点值是集合中的元素,则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素,则用空 心点表示. 集合与用数轴表示分别如图1.2-1， 所示. 教材帮 22 2 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ,用数轴表示如图1.2-3所示. 图1.2-3 （2）集合或与集合的关系是 ,用数轴表示如 图1.2-4所示. 图1.2-4 教材帮 23 例8 已知集合，集合，则集合与 的关系是 _______． 【解析】在数轴上表示出集合,,如图1.2-6所示，易知 . 图1.2-6 （通过数轴可直观作出判断.） 教材帮 24 例9 设，，若,则实数 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以利用数轴表示,如图1.2-7,可知 . 图1.2-7 （注意 时也符合题意） 教材帮 25 方法帮丨解题突破 题型1 集合间关系的判断 例10 ［教材改编P9练习T3］指出下列各组集合之间的关系： （1），2，， 是8的正约数}； 【解析】，2，4，，可知集合中的任意一个元素都是集合 中的元素，故 .用 图表示更加直观，如图1.2-8. 图1.2-8 方法帮 26 （2）， ; 【解析】在数轴上表示出集合，，如图1.2-9所示，由图可知 . 图1.2-9 （3）,,, }； 【解析】 集合是偶数集，集合是4的倍数集， . 方法帮 27 （4）,, }. 【解析】 . 在集合中，当为奇数时（负数的次方要分奇偶进行讨论）， ； 当为偶数时， . , . 方法帮 28 （1）数形结合思想，即将“数”与“形”结合，通过图形使复杂问题 简单化、具体化.这里利用的 图和数轴都体现了数形结合的数学思想. （2）当集合为连续型的无限集时，常用数轴来判定它们之间的关系.注意端点值取 到时用实心点表示，取不到时用空心点表示. 方法帮 29 例11 (2026·天津大学附属中学月考)设集合,, , ，则它们之间的关系是( ) B A. B. C. D.与 的关系不确定 方法帮 30 【解析】方法1：（列举法） 取 ,0,1,2,3,4,5, ,可得 ,,,,,,, ， ,,,1,,,,,易知集合中任一元素均为中的元素,但 中的有些元素不在 集合中，故 . 方法2：（特征法） 集合中的元素为,集合 中的元素为 ,而为奇数,为整数,故 . 方法帮 31 例12 ［多选题］已知集合，2，， ,则下列结论正确的是 ( ) BCD A. B. C. D. 由可知，集合的元素形式是“”，而元素 所具有的特 征是的子集，因此集合是由集合的子集所组成的集合.用列举法表示集合 ，即 可确定选项. 【解析】由题意知, ,,,,,,,，所以 , （【明易错】集合也可以作为元素，如此处是集合的一个元素，因此这里是“ ” 而不是“ ”） ,,（ 也正确）所以A错误，B，D正确. 又空集是任何非空集合的真子集，所以C正确. 方法帮 32 判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解,应当注意观察集合中元 素的特征.解题时要思考两个问题： （1）两个集合中的元素分别是什么;（2）两个 集合中元素之间的关系是什么. 方法帮 33 解题通法 判断集合间关系的常用方法 注意:一般地,设,,①若由可推出,则 ；②若由 可推出,则；③若,可互相推出,则；④若由 推不出 ,由也推不出,则集合, 无包含关系. 方法帮 34 练变式1 设集合，0，，， ，则下列选项中正确的是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意，在，中，，0，，， ， ． 方法帮 35 练变式2 已知集合,,,, , },则，， 满足的关系是( ) B A. B. C. D. 【解析】方法1：简单地列举出各集合中的元素. ,,,,，, ,,,,,, ，,,, ,…}.由各集合中的元 素可知 . 方法2：判断集合中元素的共性和差异. ,,,,, }.（通分，形式 尽量统一） 因为,,所以与 都表示被3除余1的数，而 表示被6除余1的数，故 . 方法帮 36 题型2 集合的子集、真子集问题 类型1 求子集（真子集） 例13 设,写出集合 的子集，并指出其中哪些是 它的真子集. 方法帮 37 【解析】由，得 ，解方程得 或或 . 故集合,, , 由0个元素构成的集合的子集： . 由1个元素构成的集合的子集：,, . 由2个元素构成的集合的子集：,,,,, . 由3个元素构成的集合的子集：,, . 因此集合的子集为 ,,,,,,,,,,,, . 集合的真子集为 ，，，，，，，,, . 方法帮 38 解题通法 求有限集子集、真子集的三个关键点 （1）确定所求集合； （2）合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素个数从少到多的顺 序逐个写出满足条件的集合； （3）注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 方法帮 39 类型2 求子集（真子集）的个数 例14 (2026·湖北省沙市中学月考)已知集合满足 ，则所有满 足条件的集合 的个数是( ) C A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】因为是的真子集，是的子集，所以 中必含元素1，2， 且至少含有3，4，5中的一个，于是集合的个数等价于集合 的非空子集的个 数，即 . 方法帮 40 解题通法 对于有限集,,,设集合中含有个元素，集合中含有个元素,,且 . 若,则的个数为;若,则的个数为;若 ,则 的个数为;若,则的个数为 . 方法帮 41 练变式3 (2026·江西省九江市外国语学校月考)已知集合 ， ，则满足条件的集合 的个数为( ) B A.15 B.16 C.7 D.8 【解析】集合，， ，1，2， 3，4，，满足的集合的个数即为集合，3，4， 的子集个数，易求集 合，3，4，的子集个数为，所以满足的集合 的个数为16． 方法帮 42 类型3 由子集（真子集）个数求参数 例15 (2026·四川省成都市期中)已知集合 的子集只有两个，则实数 的值为______. 0或4 方法帮 43 【解析】设集合的元素个数为 ， 由题意可得，解得，所以集合 中只有一个元素. 当时，方程即为，解得 ，符合题意； 当时，要使集合中只有一个元素，只需一元二次方程 的判 别式 ， 即，解得，此时 ,符合题意. 综上所述,实数 的值为0或4. 本题本质上是对1.1节题型4集合与方程的综合问题的变式，结合本节 所学子集个数的求解方法判断集合元素的个数，转化为方程根的个数，从而求解参数. 方法帮 44 子题 (2026·上海市市北中学月考)已知集合，若集合 有 3个真子集，则实数 的取值范围为_ _____________. 【解析】因为集合有3个真子集，所以中有2个元素，即 ,所以 ，解得 . 方法帮 45 类型4 求子集（真子集）中的元素之和 例16 已知集合，则集合 的所有非空子集的元素之和为____. 36 【解析】集合的非空子集分别是,,,,,,, .（列举时要按 照一定规律，做到不重不漏） 注意到集合中的每个元素在集合 的所有非空子集的元素之中出现4次， 故所求和为 . 方法帮 46 若,,, ,,则 的所有子集的元素之和为多少？由上 面的解析可知，出现在,,,,, ,,,, ,中，即 在所求和 中出现的次数等于集合,, ,的子集个数（即次）.（去掉 后，集合变 为 ,,, ,,, ,,即集合,, , 的子集） 同理可知，， ，出现的次数，故所求的和为 .若 是求（非空）真子集的元素之和，则为 . 方法帮 47 练变式4 (2026·天津市武清区段考)已知集合，， 的所有非空真子集的 元素之和等于9，则 ( ) C A.1 B.2 C.3 D.6 【解析】方法1：集合，，的非空真子集分别为，， ， ，，，，， ，则 ，故 ． 方法2：由，得 ． 方法帮 48 题型3 由集合间关系确定参数 例17 (2023· 新课标Ⅱ卷)设集合,,,, ， 若，则 ( ) B A.2 B.1 C. D. 方法帮 49 【解析】依题意，有或 . 当时，解得，此时,，，不满足 ； 当时，解得，此时,，,0,，满足.所以 . 方法帮 50 子题 (2026·安徽省池州市期中)已知集合 ， .若，求实数 的取值范围. 【解析】由，得.因为，所以 或 或或， . 若 ,（涉及含参集合的问题，一定不要忽略为 的情况） 则，即.若或，则，解得 ， 此时 ，前后矛盾，舍去；若 ，则2和3是方程的两个根，所以 解得 ，此时 ,符合题意. 综上所述，实数的取值范围为或 }. 方法帮 51 例18 ［教材改编P9 T5（2）］已知集合 , . （1）若,求实数 的取值范围； 【解析】当 时， 由,得 . 当 时，如图1.2-10所示. 图1.2-10 方法帮 52 或 （比较端点值的大小） 解这两个不等式组，得 . 综上可得，的取值范围是 . 方法帮 53 （2）若，求实数 的取值范围. 【解析】当时，如图1.2-11所示，此时 . 图1.2-11 即 不存在,即不存在实数使 , 即的取值范围是 . 方法帮 54 方法帮 55 子题 已知集合或, . （1）若,求实数 的取值范围; 【解析】当 时，如图1.2-12所示. 图1.2-12 由图可知，要使,则或解得 . （注意端点值能否取到） 当 时，由得 . 综上可得,的取值范围是或 . 方法帮 56 （2）若,求实数 的取值范围. 【解析】易知不存在实数使 , 的取值范围是 . 方法帮 57 解题通法 根据集合间的包含关系求参数范围的方法 已知两个集合之间的包含关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集 进行分类讨论，做到不漏解．一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关 系，转化为解方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不 等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到． 方法帮 58 练变式5 已知集合， . （1）若，是否存在集合，使得 ？若存在，求出所有符合题意的集 合 ；若不存在，请说明理由. 【答案】集合 ，1， ， 当时，,集合 ，再由可得， 是 的非空子集，共有（个），分别为，，，，， ， ，，，，1， ． 方法帮 59 （2）能否成为的一个子集？若能，求出 的值或取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】若，则对于方程 ， 当 时，，有 ； 当 时，有,时， },不符合题意； 时,方程有两个实数根，设两根分别为,,则 ,且 实数根是，1， 中的数,无符合题意的组合． 综上可得，实数的取值范围为 }． 方法帮 60 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.下列四个集合中，是空集的是( ) D A. B. C. D. 【解析】 , , ,故A，B，C不符合题意. , ，方程无实数解， ，故D符合题意. 练习帮 61 2.已知集合， ，则下列说法正确的是( ) C A. B. C. D. 【解析】在数轴上表示出集合，，如图D 1.2-1所示，由图可知 ．故选C. 图D 1.2-1 3.已知集合,,，若，则 不可能等于( ) A A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】因为，且为两个元素的集合，所以的所有可能为：, , ，所以 不可能等于2，故选A. 练习帮 62 4.设集合，,，则 的非空子集的个数为( ) C A.3 B.4 C.7 D.8 【解析】要使,,则,4,9，故 中含有三个元素（用公式求解,非空子 集个数为）,所以的非空子集有,,,,,, ,共7 个．故选C. 练习帮 63 5.(2026·湖南省永州市期中)设集合 ，集合 ，若，实数取值的集合为 ，则下列命题正确的为( ) C A. B., } C.集合的非空子集有7个 D.集合 的子集有4个 【解析】由题可得 , 因为,所以 或 }. 当 时， ; 当[[latex8]}时，或,解得或 . 所以实数取值的集合,, ,故A,B错误. 集合的子集有个，非空子集有 个，故C正确，D错误. 练习帮 64 6.［多选题］(2026·湖北省华中科技大学附属中学周测)集合 , ,,,, }之间的关系表述正确的有 ( ) AB A. B. C. D. 【解析】因为,,所以,故 ,故B正确; 取,但 ,故C错误; 因为,,所以,故 ,故A正确; 取,但,故D错误.故选 ． 练习帮 65 7.已知集合，3，，，，若，则实数 的取值集合是 _________. ， 【解析】因为集合，3，，，，且 , 则当时， . 当时， ,不满足集合元素的互异性,舍去; 当时，，3， ，符合题意. 当时，（舍去）或 . 当时，，3，，， ，符合题意. 故的取值集合为， ． 练习帮 66 8.设集合， ． （1）当时，求 的非空真子集的个数； 【答案】，，，0，1，2，3，4， ，元素个数为8， 的非空真子集的个数为 . （2）若，求 的取值范围． 【答案】若，则解得 , 故的取值范围为 ． 练习帮 67 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.(2026·广东省清远市华侨中学周测)已知集合, ,则 满足的集合 的个数为( ) B A.4 B.7 C.8 D.15 练习帮 68 【解析】方法1：因为集合 , , 所以满足条件的集合有,,,,,, ,共7个. 方法2：集合 中有2个元素, 集合 中有5个元素, 故满足条件的集合的个数等价于集合的真子集的个数,因为集合 的真子 集的个数为 , 所以满足条件的集合有 个. 练习帮 69 10.［新定义·集合的厚度］ (2026·天津外国语大学附属外国语学校月考)当集合是 的子集且的元素个数有限时，称的所有元素之和为的“厚度”．集合 的 全部非空子集的厚度之和为( ) A A.800 B.625 C.1 550 D.750 【解析】集合 中任意一个元素在非空子集中出现的次数为 ,又集合的元素之和为 ,所以集 合的全部非空子集的厚度之和为 . 练习帮 70 11.［多选题］已知集合, ,则下列结论正 确的是( ) AD A.不存在实数使得 B.存在实数使得 C.当时， D.存在实数使得 练习帮 71 【解析】对于A,由集合相等的概念可得此方程组无解,故不存在实数 使 得 ,因此A正确. 对于B,由,得即 此不等式组无解,因此B错误. 对于C,当,即时,,符合.当时,要使 ,需满 足解得,不满足,故这样的实数不存在,故当 时, ,因此C错误. 对于D,由C选项分析可得存在实数使得,因此D正确.故选 . 练习帮 72 12.［多选题］(2026·山东省寿光市第一中学月考)已知集合 恰有两 个子集，则 的值可能为( ) AC A. B. C.4 D. 练习帮 73 【解析】由，可得因为集合恰有两个子集，所以 中 只有一个元素. 当时，解得，此时 ，符合题意. 当时，即，则或是方程 的解.（,有两个不同的根，若其中一个根是或 ,由 知可以舍去，恰好满足题意） 当是方程的解时，解得，此时 ，符合题意； 当是方程 的解时，无解. 故或4.故选 . 练习帮 74 13.［新定义·奇偶子集］(2026·江苏省无锡市辅仁高级中学检测)设集合,2, , ,若,将中所有元素的和记为的容量（若为空集，规定 的容量为0），若 的容量为奇（偶）数，则称为 的奇（偶）子集． （1）若,则 的奇子集个数为___； 4 【解析】若， ， 则的奇子集有，，， ，共4个. 练习帮 75 （2）当,2, ,时，的偶子集个数为______．（用 表示） 【解析】对于给定的以及元素1，将 的所有偶子集划分为含1和不含1两类，所有 含1的偶子集去掉1，则变为不含1的奇子集，所有不含1的偶子集加入1，则变为含1 的奇子集. 对所有的奇子集作同样的分析，可得偶子集和奇子集的个数相等. 因为含有个元素的集合的子集个数为，所以偶子集的个数为其一半，即 . 练习帮 76 14.(2026·广东省深圳市高级中学检测)已知 为实数， , ． （1）当时，求 的取值集合； 【答案】因为 , 所以当时，；当时，， ． 又，所以，此时，满足 ． 所以当时，的取值集合为 ． 练习帮 77 （2）当时，求 的取值集合． 【答案】当时，， 不成立； 当时，，， ， 成立； 当，且时，，， , 由，得，所以 . 综上，的取值集合为， ． 练习帮 78 $