湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷二

**基本信息** 高三开学数学模拟卷，以函数、几何、代数等主干知识为载体，通过基础题与综合题分层设计，考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配开学初学情诊断与能力摸底需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、集合、函数奇偶性等|基础概念辨析，如复数象限判断（数学抽象）| |多选题|3/18|导数应用、立体几何动点|多维度能力考查，如正方体动点轨迹（空间观念）| |填空题|3/15|二项式定理、等比数列、双曲线|双空设计梯度，如双曲线离心率取值与几何意义（数学思维）| |解答题|5/77|三角、立体几何、导数综合|分层设问，如导数极值点论证（逻辑推理）、抛物线切线证明（数学建模）|

湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷二 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知，若，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 3．已知集合，集合，求（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线方程为：，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 5．函数为定义在上的奇函数，当时，，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 6．已知是数列的前项和，是等差数列，若，则（    ） A．18 B．24 C．32 D．42 7．已知，则 （    ） A． B． C． D． 8．设随机变量，函数在定义域上是单调递增函数的概率为，则（    ） 附：若，则. A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设函数，在上的导数存在，且，则当时（    ） A． B． C． D． 10．已知表示集合A中整数元素的个数，若集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点使得 B．三棱锥体积的最大值为 C．当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，的系数是______. 13．设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则______. 14．已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 16．如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 17．记为等比数列的前项和，已知，，且． (1)求的通项公式； (2)若的各项呈现正负相间的变化规律，求，判断，，是否成等差数列，并说明理由． 18．已知抛物线，过其准线上一点作的两条切线，切点分别为，则： (1)求抛物线的方程； (2)求证：； (3)若，求直线的斜率. 19．已知． (1)若，求的图象在处的切线方程． (2)若有三个极值点，，． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《湖南省长沙市2026-2027学年高三8月入学考试数学模拟试卷二》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A A A C D B CD ABD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】首先化简复数，再结合复数的几何意义，即可判断. 【详解】， 所以复数所对应的点为，在第二象限. 2．C 【详解】因，故，故，所以，故． 3．A 【分析】根据二次根式大于等于零求解集合A，再根据交集的运算即可得答案. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 4．A 【分析】根据渐近线方程公式直接求解即可. 【详解】由双曲线方程为，得，则， 则其渐近线方程为． 故选：A. 5．A 【详解】由题意得，. 6．C 【分析】由是等差数列，根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由题设是等差数列，， 则的公差为，故， 则得，故. 故选：C. 7．D 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】. 8．B 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则， 所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：B. 9．CD 【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断. 【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意， 若，则，故A错误(排除)， 若，则，故B错误(排除)； 对于CD，因为，在上的导函数存在，且， 令，则，所以在上单调递增， 因为，即，所以， 由得， 则，故C正确； 由得， 则，故D正确. 故选：CD. 10．ABD 【分析】根据不等式求解，明确集合的元素，由题意以及集合的交并补运算，可得答案. 【详解】由不等式，解得；由不等式，解得， 因为，，所以，，，. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】通过点位于处时，可判断A，通过点是到平面距离最大的点，即可判断B，确定的轨迹是以为圆心、1为半径的一段圆弧，再得到即为二面角的平面角，进而可判断C，通过确定是与平面所成角，得到点轨迹是线段，及圆弧，即可判断D. 【详解】 因为，分别是棱，的中点，则， 又，所以，即当点位于处时，显然满足，故A正确； 对于B，在正方体中，易知为正三角形，， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 又在正方体表面上，点到平面距离最大， 此时三棱锥是棱长为的正四面体， 又点到平面的距离， 则，故B正确； 对于C，且在侧面矩形内，则的轨迹是以为圆心、1为半径的一段圆弧， 因为，，，平面， 所以平面，故， 又因为平面平面平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作交于点， 中，，越大，二面角越大，即越大， 当取圆弧与的交点，即与圆弧相切时，最大，所以， 即二面角的正切的最大值为2，故C错误； 对于D，由平面平面，得直线与平面所成的角为， 连接，，由平面平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接， 由平面，得是与平面所成角， 而，则，因此点轨迹是线段，及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，故D正确． 12． 【分析】利用二项展开式的通项公式，求出系数. 【详解】展开式的通项． 令，得， 则． 13． 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程，求得的值，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，可得， 整理得，即， 因为，可得，所以. 又因为，所以，所以. 14． 【分析】空一：可用、表示出直线的斜率，结合渐近线斜率与双曲线交点个数计算即可得； 空二：利用内切圆圆心与三角形角平分线的关系可得，则可得为的中点，再利用双曲线定义计算与勾股定理及离心率定义计算即可得. 【详解】空一：设向渐近线作垂线，垂足为H， 则， 由与渐近线平行的直线与双曲线最多一个交点， 而直线与双曲线左右支各有一交点，故， 则，故； 空二：设的内心为，则， 故内心在以为直径的圆上，连接，又， 则，设， 则，所以， 而， 所以，所以，即， 又，所以，即H为的中点， 又，，所以，则， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 所以，即， 所以离心率. 故答案为：；. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等面积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 16．(1) (2) 【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值； （2）利用向量法可求出点到平面的距离． 【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 又分别是棱，，的中点，，． 所以, 所以有：， 设平面的法向量为，则有 所以，令，有， 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）因为，由（1）有平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为：. 17．(1)或 (2)，，成等差数列，理由如下： 由（1）知，且的各项呈现正负相间的变化规律， 则，即，所以. 因为， 即，所以，，成等差数列． 【分析】（1）由求出首项，再通过对用首项公比展开进一步化简求出公比，最后得到通项公式 （2）由题目要求得到公比，再有（1）中的通项公式，求出的通项公式. 再验证的值. 【详解】（1）设数列的首项为，公比为， 因为，则，可得， 且，则，可知，， 可得，解得， 所以或. （2）略 18．(1)； (2)由（1）知，抛物线：，设，求导得， 直线的斜率，整理得，同理， 因此为方程的两个根，，而直线斜率， 则，所以. (3). 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，进而求出即得. （2）由（1）的结论，设出切点坐标，利用导数求出切线斜率，结合斜率坐标公式推理得证. （3）由（2）中信息，求出直线的方程，进而求出其斜率. 【详解】（1）抛物线的准线为，由点在的准线上，得， 所以抛物线的方程为. （2）略 （3）若点，即， 则由（2）知，，， 因此点的坐标满足方程，即， 则直线的方程为，其斜率为， 所以当时，直线的斜率为. 【点睛】 19．(1) (2)（i） （ii）由（i）知，，且即 要证，即证， 即证，即证，即． 即证，即证． 设， 则．     则单调递增，而，则，即，， 即，即证毕． 【分析】（1）考查导数的几何意义，通过求导得到切线斜率，结合切点坐标即可求得切线方程. （2）（i）先对原函数求导，将极值点问题转化为导函数零点问题，分离参数后通过研究新函数的单调性与值域确定参数范围； （ii）将待证不等式逐步等价转化，最终转化为极值点偏移问题，通过构造对称函数证明结论. 【详解】（1）当时，，，故切点为． ，故． 切线斜率为2，得切线方程：， 所以的图象在处的切线方程为． （2）（i），设， 若，则单调递增，即其至多有一个零点，即至多有两个极值点，不可能有三个极值点，故．     当时，恒成立，故时； 当时，即为的一个极小值点．     又，则在上单调递减，在上单调递增， 即有最小值． 有三个极值点，即有两个变号零点，，即解得．     （ii）略 【点睛】方法归纳： 1. 已知极值点个数求参数范围，可将问题转化为导函数零点个数问题，通过分离参数、研究辅助函数的单调性与值域求解. 2. 双变量不等式证明可通过等价转化，转化为极值点偏移问题，构造对称函数结合单调性证明. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $