第9讲 智慧游戏—巧算二十四（讲义）2026-2027学年五年级下册奥数人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第9讲 智慧游戏——巧算24 一、知识导航 【学习目标】 1. 熟练掌握"固定因数凑数法"，能快速从2×12、3×8、4×6等基本算式出发解题； 2. 理解并运用乘法分配律，将"多余的数"巧妙融入算式； 3. 突破整数思维局限，学会用分数乘法、分数除法求解高难度24点； 4. 培养一题多解的发散思维，提升运算速度与数感。 【游戏规则】 给定四个自然数（通常为1～13），通过＋、－、×、÷四则运算，可以交换数的位置，可以随意添括号，但规定每个数恰好使用一次，连起来组成一个混合运算算式，使最后得数为24。 【核心方法总览】 方法模块 核心思路 适用特征 固定因数凑数法 固定一个数为因数，将另外三个数凑成对应因数（如3×8、4×6） 四个数中存在明显的因数关系 乘法分配律法 利用a×(b±c)=a×b±a×c，将多余的数"吸收"进算式 ① 三个数已能凑24，需将第四个数融入算式（类型B）；② 四个数可拆分为两组含相同因数的乘积（如 a×b + a×c），通过提取公因数合并（类型A） 分数乘法法 允许中间结果为分数，如a×(b±c÷a)=24 出现重复数或较大数时 分数除法法 利用a÷(b－c÷d)=24的形式 常规方法无解时的终极武器 二、方法精讲与典例精析 模块一 固定因数凑数法 "凑24"最基本的思路是利用乘法口诀：2×12=24，3×8=24，4×6=24。解题时可以先固定其中一个数作为一个因数，再尝试将另外三个数通过四则运算凑成对应的另一个因数。也可以先把其中两数相乘，根据积与24的大小关系，用另外两数"补足"或"割去"。 例1 用 2，5，6，8 四个数，按规则算出24。 解法一（固定8，凑3）：8×(6－5＋2) = 8×3 = 24 解法二（积补足法）：5×6－8＋2 = 30－8＋2 = 24 解法三（拆分因数）：(8－5)×(6＋2) = 3×8 = 24 解法四（积割去法）：5×(8－2)－6 = 5×6－6 = 24 例2 用 1，2，8，9 四个数，按规则算出24。 解法一（固定8，凑3）：8×(9÷(2＋1)) = 8×3 = 24 解法二（积补足法）：8×2＋9－1 = 16＋9－1 = 24 解法三（拆分因数）：(9－1)×2＋8 = 16＋8 = 24 解法四（固定9，凑8/3）：9×[8÷(2＋1)] = 9× = 24 【模块小结】 固定因数法的关键是"看一数，凑一数"。看到3想8，看到4想6，看到8想3。如果直接凑不出整数因数，可以尝试"先乘后加减"——两数相乘后，用剩余两数补足或割去差值。 除了“固定因数法”，有时直接用“先乘后加减”也能快速出结果。例如 2，5，6，8，还可以这样算：2×5＋6＋8 = 10＋6＋8 = 24。这种方法在数字间差值较小时很快捷，但它不属于“固定因数凑数”的核心套路，建议优先尝试 3×8、4×6。 模块二 乘法分配律的妙用 在游戏中经常遇到这样的情况：三个数已经能算出24了，可惜还有一个数没有用过。根据规则，每个数必须恰好使用一次。这时可以利用乘法分配律把"多余的数"巧妙地融入算式。 类型A：a×(b＋c) = a×b＋a×c 形式 例3 用 3，3，4，4 四个数，按规则算出24。 【分析】3×4=12，两个3×4相加就是24，即3×4＋3×4=24。 解：利用乘法分配律，3×4＋3×4 = 3×(4＋4) = 3×8 = 24。 例4 用 6，6，1，3 四个数，按规则算出24。 【分析】6×3=18，6×1=6，18＋6=24，即6×3＋6×1=24。 解：6×3＋6×1 = 6×(3＋1) = 6×4 = 24。 类型B：a×b±c = a×(b±c÷a) 形式 当a×b＋c=24（三个数已凑出24），多余的数恰好也是a时，可以将c改写为c÷a×a，再提取公因数a： a×b＋c = a×b＋c÷a×a = a×(b＋c÷a) = 24 例5 用 3，3，6，6 四个数，按规则算出24。 【分析】 观察数字，有重复的3和6。3×6＋6 = 18＋6 = 24，用了3、6、6三个数，多余一个3。固定一个3为因数，目标凑出 24÷3=8。剩余 3、6、6 中，6+6÷3=6+2=8，刚好！ 解： 3×(6＋6÷3) = 3×(6＋2) = 3×8 = 24。 💡【教学提示】 关键思路：用倒推法确定括号内的构造。 例6 用 4，4，4，7 四个数，按规则算出24。 【分析】4×7－4 = 28－4 = 24，用了4、7、4三个数，多余一个4。 解：将多余的4融入： 4×7－4 = 4×7－4÷4×4 = 4×(7－4÷4) = 4×(7－1) = 4×6 = 24。 【模块小结】 乘法分配律是处理"多余数"的利器。类型A适用于有重复数且能拆成两组乘法相加的情况；类型B适用于三数已凑24、第四个数与其中一个因数相同的情况。核心思想是：把多余的数先"除回去再乘出来"，从而提取公因数。 模块三 分数乘法拓展 当我们只允许中间结果为整数时，很多题目是无解的。学习分数以后，我们可以打破这个框框——允许前两次运算的结果出现分数，这样就能找到更多巧妙的解法。分数乘法的基本形式为： a×(b ± c÷a) = 24，其中c÷a可以是分数。 例7 用 3，3，7，7 四个数，按规则算出24。 【分析】如果只用整数，7×3=21，还差3，但另一个7和3很难凑出3。尝试分数思路： 固定7为因数，需要凑24÷7。24÷7 = 3＋3÷7，而3和3÷7都可以由给定的数凑出！ 解：7×(3＋3÷7) = 7×3＋7×3÷7 = 21＋3 = 24。 例8 用 4，4，7，7 四个数，按规则算出24。 【分析】固定7为因数，需要凑24÷7。24÷7 = 4－4÷7。 解：7×(4－4÷7) = 7×4－7×4÷7 = 28－4 = 24。 【模块小结】 分数乘法的关键是"倒推"：固定一个数a为因数，计算24÷a，再看另外三个数能否凑出24÷a这个值（可以是带分数）。常见模式：当有两个相同的数a和另外两个数b、c时，尝试a×(b±c÷a)=24。 模块四 分数除法巧解 分数除法是"巧算24"中最具挑战性的方法。基本思路是：固定一个数a作为被除数，将另外三个数凑成除数a÷24（一个分数），即： a ÷ (b － c÷d) = 24，其中b－c÷d = a÷24。 解题时先确定被除数a，再反推需要的除数，最后用另外三个数凑出这个除数。 例9 用 1，3，4，6 四个数，按规则算出24。 【分析】尝试固定6为被除数，需要除数为6÷24=1/4。 另外三个数1、3、4能否凑出1/4？1－3÷4 = 1－3/4 = 1/4 ✓ 解：6÷(1－3÷4) = 6÷(1/4) = 6×4 = 24。 例10 用 2，3，5，12 四个数，按规则算出24。 【分析】固定12为被除数，需要除数为12÷24=1/2。 另外三个数2、3、5能否凑出1/2？3－5÷2 = 3－2.5 = 1/2 ✓ 解：12÷(3－5÷2) = 12÷(1/2) = 12×2 = 24。 【模块小结】 分数除法的思考步骤：①选择一个数作为被除数a（通常是较大的数）；②计算目标除数=a÷24；③用另外三个数凑出b－c÷d的形式等于该除数。常见的被除数有6、8、12等，对应的除数分别为1/4、1/3、1/2。 三、易错警示 ⚠ 易错点1：遗漏数字或重复使用数字 规则要求每个数恰好使用一次。检查时务必逐个数核对，确保四个数都出现在算式中且各出现一次。例如在3×(4＋4)=24中，看似只用了3和4，但展开后是3×4＋3×4，两个3和两个4各用了一次，符合规则。 ⚠ 易错点2：括号位置错误导致运算顺序不对 括号既能改变运算顺序，也能改变运算符号。添括号时要注意：括号前是减号或除号时，括号内的符号要变号。例如8－(5－2)=8－5＋2，而不是8－5－2。 ⚠ 易错点3：过早放弃，局限于整数思维 很多题目用整数方法看似无解，但引入分数后就能迎刃而解。遇到困难时不要轻易说"无解"，尝试分数乘法和分数除法的思路。 例如3、3、8、8用整数方法无解，但允许分数中间步骤时，8÷(3－8÷3)=24就是经典的分数除法解法。 ⚠ 易错点4：除法中除数为零 在构造b－c÷d的形式时，要确保除数不为零，且最终的除数（b－c÷d）也不为零。例如：8 ÷ (4 - 8 ÷ 2)就是错误的。 四、分层训练 A组 基础巩固（固定因数凑数法） 【题目1】 2，3，4，9 【题目2】 1，5，7，8 【题目3】 3，4，5，6 【题目4】 2，4，7，9 【题目5】 1，3，8，9 【题目6】 2，5，7，8 B组 能力提升（乘法分配律法） ⚠【重要说明】（关于中间步骤的限制） 本组部分题目提供的参考答案中，涉及分数或小数的中间运算。这是为了训练“分数思维”这一核心能力。如果您的老师额外规定“所有中间运算结果必须为整数”，则标有“分数解法”的算式在该规则下不适用，请改用其他整数解法或另寻思路。 【题目7】 2，2，5，9 【题目8】 3，3，5，5 【题目9】 4，4，5，6 【题目10】 2，2，7，8 【题目11】 5，5，6，6 【题目12】 3，3，8，9 C组 思维拓展（分数乘除法） ⚠【重要说明】（关于中间步骤的限制） 本组部分题目提供的参考答案中，涉及分数或小数的中间运算。这是为了训练“分数思维”这一核心能力。如果您的老师额外规定“所有中间运算结果必须为整数”，则标有“分数解法”的算式在该规则下不适用，请改用其他整数解法或另寻思路。 【题目13】 1，4，5，6 【题目14】 3，6，6，9 【题目15】 2，4，6，7 【题目16】 1，2，3，8 五、参考答案与解析 【题目1】2，3，4，9 解：9÷3×2×4 = 3×2×4 = 24；或 (9＋3)×(4－2) = 12×2 = 24。 【题目2】 1，5，7，8 解：8×(7－5＋1) = 8×3 = 24；或 (8－5)×(7＋1) = 3×8 = 24。 【题目3】 3，4，5，6 解：(5＋3－4)×6 = 4×6 = 24；或 6×(5－4＋3) = 6×4 = 24。 【题目4】 2，4，7，9 解：4×2＋7＋9 = 8＋7＋9 = 24。（积补足法：两数相乘后用加法补足） 【题目5】1，3，8，9 解：9÷3×8×1 = 3×8 = 24；或 8×9÷3×1 = 24。 【题目6】 2，5，7，8 解：(2×5－7)×8 = (10－7)×8 = 3×8 = 24。 【题目7】2，2，5，9 解：(9＋5－2)×2 = 12×2 = 24。（固定2为因数，凑12） 【题目8】3，3，5，5 解：5×5－3÷3 = 25－1 = 24。 【题目9】 4，4，5，6 解：6×(5－4÷4) = 6×(5－1) = 6×4 = 24。（乘法分配律类型B） 【题目10】2，2，7，8 解：8×(7－2×2) = 8×(7－4) = 8×3 = 24；或 7×2＋8＋2 = 24。 【题目11】5，5，6，6 解：5×5－6÷6 = 25－1 = 24；或 5×(6－6÷5) = 5×4.8 = 24（分数乘法）。 (💡注释：后一解法依赖中间步骤产生分数；限定全部中间运算为整数时，该解法无效。) 【题目12】3，3，8，9 解：(8－3)×3＋9 = 5×3＋9 = 15＋9 = 24。 【题目13】 1，4，5，6 解：4÷(1－5÷6) = 4÷(1/6) = 24；或 6÷(5÷4－1) = 6÷(1/4) = 24。（分数除法） 【题目14】3，6，6，9 解：3×(9－6÷6) = 3×(9－1) = 3×8 = 24。（分数乘法） 【题目15】 2，4，6，7 解：6÷(2－7÷4) = 6÷(2－1.75) = 6÷0.25 = 24。（分数除法） 【题目16】 1，2，3，8 解：8÷(1－2÷3) = 8÷(1/3) = 24。（分数除法） 六、知识小结 "巧算24"是一场四则运算的思维体操。解题时按以下顺序逐步尝试： 第一步：【固定因数法】看3想8，看4想6，看8想3，看2想12，看6想4。 第二步：【积补足/割去法】先任取两数相乘，积不足24就加，积超过24就减。思路简单直接，适合快速尝试。 第三步：【乘法分配律法】 ①四数可拆为两组含相同因数的乘积时，提取公因数合并(如 3×4+3×4=3×(4+4))； ②三数已凑24、第四数恰为相同因数时，用倒推法构造 a×(b±c÷a)把多余数融入。 第四步：【分数乘法】固定一个数为因数a，倒推 24÷a（可得到分数），再用另外三个数凑出该值，构造 a×(b±c÷a)=24。 第五步：【分数除法】固定一个数为被除数a，倒推 a÷24，用另外三数凑出 b−c÷d 的形式，构造 a÷(b−c÷d)=24。 【记住】没有所谓"唯一正确"的解法，同一组数往往有多种不同的算式。勤于练习，你的数感和运算速度一定会突飞猛进！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ — 祝贺你完成了本讲的学习，开启你的智慧大脑之旅！ — 学科网（北京）股份有限公司 $