专题04 全等三角形中的动点问题（含最值）10大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

专题04 全等三角形中的动点问题（含最值） （题型突破·举一反三） 题型01 全等中的动点问题（选填类） 题型02 全等中的动点问题（解答类） 题型03 全等动点中的存在性问题 题型04 全等动点中的折返问题 题型05 平面直角坐标系中的全等动点问题 题型06 全等动点中的面积问题 题型07 全等动点中的最值问题 题型08 全等动点中的折叠问题 题型09 全等动点中的旋转问题 题型10 全等动点的综合问题 ▌题型01 全等中的动点问题（选填类） 全等三角形动点解题：先固定不变边角，分析动点运动路程、速度，表示线段长度。分情况讨论动点位置，找出对应全等条件，列等式求解。检验时间取值范围，舍去不合题意解。注意对应顶点不唯一，防止漏解，结合图形判断边相等关系。 【典例】（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ，平分， ∴， ∴当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， 当在线段延长线上时，， ∴， ∵，， ∴ ， 解得：， ∴若与全等，则的值为或， 故答案为：或． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或6 【分析】本题主要查了全等三角形的性质．分三种情况讨论，当E在线段上时，此时D在线段上，当E在线段上，且D在线段上时，当E到达A时，且D在线段上，即可求解． 【详解】解：∵， ∴分别以为斜边的直角三角形， ∴当D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等时，， 当E在线段上，D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E在线段上，且D在线段上时，此时，则 ， ∴， 解得：； 当E到达A时，且D在线段上，此时，则 ，， ∴， 解得：， 综上所述：当t的值为1或或6时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． 故答案为：1或或6 ▌题型02 全等中的动点问题（解答类） 【典例】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【答案】(1)9，12 (2)点Q的运动速度为或； (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，算术平方根的非负性，解一元一次方程． （1）利用非负数的性质求解即可； （2）由题意得，，分两种情况讨论，①，；②，，分别列式计算即可求解； （3）由题意得，，同（2）理，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得，， 故答案为：9，12； （2）解：∵，， ∴，， 设运动时间为，动点Q速度为， 由题意得，， 要使与全等，且， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； （3）解：设运动时间为，动点Q速度为， 以，P，Q为顶点的三角形与全等，此时点P在上， 由题意得，， ①，， ∴，解得； ，即， 解得； ②，， ∴，解得； ，即， 解得； 综上，点Q的运动速度为或； 故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，直线．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动．动点D以的速度在直线上运动，已知，设动点D，E的运动时间为．    (1)当点D沿射线运动时，若，求t的值． (2)当动点D在直线上运动时，若与全等，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作，根据等腰直角三角形性质得到， 根据，得到，根据角平分线性质得到，根据，得到，根据，得到，解得； （2）当与全等时， ，得到，解得． 【详解】（1）解：过点B作， ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 检验知，都是所列方程的解， ∴的值为；    （2）解：当与全等时， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得．    【点睛】本题是全等三角形综合题．考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论是解决问题的关键． 【变式2】（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【变式3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知线段．动点同时从点出发，动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒，当点与点重合时停止运动，连接．设运动时间为秒．    (1)连接，若时，． ①_______． ②求证：，并直接写出的值； (2)若点是线段上的一点，连接． ①当时，若使与全等，求的值； ②若线段上不存在点，使与全等，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①当时，与全等；②的取值范围为 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，不等式求解，方程的运用，理解题意，掌握全等三角形的性质列方程是解题的关键． （1）①根据速度与时间计算即可；②根据题意可得，，当时，，由此列式求解即可； （2）①当时，，分类讨论：当时，，列式求解；当时，，列式求解；②根据题意，分类讨论：当，时，不存在点使与全等，由此列式求解；当，时，不存在点使与全等，由此列式求解． 【详解】（1）解：①动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒， ∴点从的运用时间为， 当时，， 故答案为：； ②证明：根据题意，， ∴， ∵， ∴， 在中，  ， ∴，且， ∴当时，， ∴， ∴，即， ∴ 解得，； （2）解：①当时，，且，如图所示，    当时，， ∴， 解得，， ∴，不符合题意，舍去； 当时，， ∴， 解得，； ∴当时，与全等； ②， ∵线段上不存在点，使与全等，即， ∴当，时，不存在点使与全等， ∴， 解得 ，； 当，时，不存在点使与全等， ∴， 解得，； 综上所述，的取值范围为． ▌题型03 全等动点中的存在性问题 全等动点存在性问题，先设运动时间，表示出动点对应线段长。假设全等存在，找准对应边、对应角，分多类对应情况列方程求解。求出时间后检验是否符合动点运动范围，舍去超出区间的解。注意对应顶点变化易漏解，结合图形验证边长关系，确认是否满足全等条件。 【典例】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）当时，，为等边三角形，进行求解即可； （3）假设存在点为线段中点的情况．过点作交于点．证明，得出相等的线段，然后列方程求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）当时，， ∴为等边三角形， ∴．∴，解得：； （3）存在． 过点作交于点，如图2所示； ∴，， 在中，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为线段中点， ∴，在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，解得：， ∴当秒时，点为线段中点，此时， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用路程速度时间得到，再用等量关系求出； （2）长方形中、，依据全等条件令列式求出t； （3）因为，分和两种全等对应情况分别列方程算出t，再由求出x． 【详解】（1）解：由题意得运动秒，点运动， ，； （2）解：四边形是长方形， ，， 要使，则有，即，解得， 在和中， ， 当时，； （3）解：分以下两种情况： ①当时，，解得， ，， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，； ②当时，，解得， ， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： ∵，，，， ∴，当时，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)存在或，使得与全等 【分析】（1）由题意得，则； （2）证明，，，证明，推出，据此可得结论； （3）分两种情况讨论：①若，则，②若，则，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴； （2）略 （3）解：①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得； 综上所述，存在或，使得与全等． ▌题型04 全等动点中的折返问题 全等动点折返问题，先算单程时间，区分往返各阶段，用时间表示动点实际位置与线段长度。折返后运动方向改变，分段列式，结合全等假设分类讨论对应边相等列方程。求出解后校验时间是否落在对应运动区间，舍去无效解，谨防顶点对应出错和阶段漏算。 【典例】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为_______秒； （2）当t的值为________秒时，与全等． 【答案】 7 或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）根据长方形的性质得出，，根据得出，，说明此时点P在点C处，即可得出点P移动的距离为，最后求出结果即可； （2）分两种情况：当点P在上时，若；当点P在上时，若，结合全等三角形的判定解答即可． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴，，， ∵， ∴，， ∴此时点P在点C处， ∴此时点P移动的距离为， ∴； 故答案为：7； （2）在长方形中，，， ∴， 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 当点P在上时，若， ∵，，， ∴，满足条件， 此时； 综上所述，当t的值为或秒时，和全等． 故答案为：或． 【变式1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发以的速度，沿长方形的边运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为______． 【答案】3秒或8秒或26秒 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，长方形的特征，动点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论．分三种情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时，根据全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在长方形中，，， ①当点P在上时，是等腰三角形， ∴， 在长方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ③当点P在上时，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，秒或8秒或26秒时，是等腰三角形． 故答案为：3秒或8秒或26秒． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形 中，，动点 P 从点 A 出发，以秒的速度沿长方形的边返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)连接，当中有任意两边相等时，求t 的值； (3)Q为边上的一点，且，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等． 【答案】(1) (2)或4或13 (3)4或6或11或13 【分析】本题考查了动点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想是解题关键． （1）根据题中条件求出的长即可求解； （2）分三种情况讨论：①当点P在上时，②当点P在上时，③当点P在上时； （3）连接，要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于，分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵长方形 中，， ∴， 当时，则， ∴此时，点P在上， ∴； （2）解：当点在上时，是等腰三角形，如图， ∵， ∴， 根据题意得： ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时，是等腰三角形，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点P在上时，是等腰三角形．如图所示， ∵， ∴， ∴（秒）， 综上所述，或4或时，是等腰三角形，即中有任意两边相等； （3）解：根据题意，如图，连接， ∵， ∴， ∴要使一个三角形与全等，则以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形的直角边长分别为， 如图，当时， 此时， ∴（秒）； 如图，当时， 此时，则， ∴（秒）； 如图，当时， 此时， ∴（秒）； 当点重合时，， 此时，（秒）； 综上，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等时，t 的值为4或6或11或13． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． 【答案】(1) 证明：设长为， 根据题意可得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 在与中， ， ∴． (2)； (3)或． 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据平行线的性质，可得，，根据运动过程可得，从而可证得结论； （2）根据运动过程，按照的取值范围进行分类讨论，分别表示出线段的长度即可； （3）由，可得，根据线段经过点，可得，证明，可得，结合运动过程列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ，， 当时，， 当时，， ∴． （3）解：∵ ∴， 当线段经过点时，， 在与中， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴或． ▌题型05 平面直角坐标系中的全等动点问题 平面直角坐标系全等动点，先利用坐标表示点的位置、线段长度。分析动点运动，用时间写出动点坐标。假设全等成立，分情况确定对应顶点，结合横纵坐标关系列等式求解。求出时间后检验坐标是否符合运动范围，舍去不合理解，注意多解情况，画图辅助判断对应关系。 【典例】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，t的值为或 【分析】（1）根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、即可； （2）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算； （3）分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ，， 解得，； （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点在线段上时，， ∵的面积等于6， ∴， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， ∵的面积等于6， ∴， 解得， 综上所述，t的值为2或10； （3）解：如图，当点在线段上时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， ，即， 解得； 如图，当点在线段的延长线上时， 同理可得， ，即， 解得； 综上所述，存在，t的值为3或9． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求点、坐标； (2)连接，若存在，且的面积不大于时，求的取值范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的范围是且； (3)存在这样的点，使，的值是或． 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出、的值，即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论，用表示出三角形的面积，然后分别求出的取值范围即可； （3）根据时，一定要使，然后分两种情况：在线段上时或在线段的延长线上进行讨论，求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）解：分为两种情况：①当在线段上时，如图所示： ，， ∴的面积， ∵若的面积不小于， ∴， 解得：； ②当在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴的面积， ∵若的面积不小于， ∴， 解得：； 综上所述：的范围是且； （3）解：∵， ∴， 分两种情况：①当在线段上时，如图所示： ∵， ∴； ②当在线段的延长线上时，如图所示： ∵， ∴； 即存在这样的点，使，的值是或． 【点睛】本题主要考查了绝对值及二次根式的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，解不等式组，注意进行分类讨论是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)存在，或9． 【分析】本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，全等三角形的性质，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质求出m，n的值即可； （2）利用三角形面积公式求解； （3）根据，推出或，可得结论． 【详解】（1）解：且，， ∴，， ，， 点，点， ，； （2）解：连接，t秒后，，， ； （3）解：存在． ， ， ，， ， ， ， ，， ， 或， 或9． 【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则点的坐标为(_____，_____)； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)不变，值为1 (3)存在，或或 【分析】(1) 过点作轴于，则，证，推出，即可得出点的坐标； (2) 过点作轴于，则，证，推出，，可得，即可得出，据此可得的值不变； (3)分为三种情况讨论，分别画出符合条件的图形，构造直角三角形，证出三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得出答案． 【详解】（1）解： 如图，过点作轴于，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，4； （2）解：动点在运动的过程中，的值不变． 过点作轴于，则， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵点的坐标为， ∴， 即的值不变； （3）解：符合条件的的坐标是或或． 分为三种情况： ①如图，过作轴于，则， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即的坐标是； ②如图，过作轴于，过作轴于，则， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 由（2）知，， ∴，， 即的坐标是； ③如图，过作轴于，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即的坐标是， 综合上述，符合条件的的坐标是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形性质的应用，考查学生综合运用性质进行推理的能力，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及运用分类讨论的思想． ▌题型06 全等动点中的面积问题 全等动点面积问题，先根据速度时间表示动点线段长，确定图形底与高。用割补或直接公式写出面积表达式，结合面积条件列方程求解。注意动点位置变化会改变图形形状，需要分段讨论。求出结果后检验时间取值范围，舍去无效解，结合图形区分不同情况避免漏解。 【典例】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】(1) 连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据，分类情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）分情况讨论： 当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)①；② (3)或 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）①根据求解即可． ②根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：6； （2）解：①当点在边上，； ②由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段沿x轴向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着的方向向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是________，当点P出发3秒时，点P的坐标是________，四边形的面积是________； (2)三角形可以看作是哪个三角形经过怎样的平移得到的； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是6．若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； (4)当点P在运动时，请用含t的式子表示出点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)三角形可以看作向右平移5个单位得到 (3)存在，或 (4)当时，点的坐标为；当时，点的坐标为 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，平面直角坐标系，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）由平移的性质得，而点的坐标，即可求解坐标；由题意得，，，求出，此时点在上，即可求解；再由求解面积； （2）证明，由（1）知，则三角形可以看作向右平移5个单位得到； （3）由，求出，再由或求出，即可求出时间，进而可求出坐标； （4）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答． 【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为， 由平移的性质得， 点的坐标， ； 由题意得，，， 点的运动速度为每秒2个单位长度， 出发3秒时，运动的距离为6个单位长度， 此时点在上，且， ∴ 点的坐标为， ∵， ∴ 故答案为：，，； （2）解：∵线段沿x轴向右平移得到线段， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵由（1）知 ∴三角形可以看作向右平移5个单位得到； （3）解：存在， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 或， 解得：， ∴ 综上：或； （4）解： 当点在上运动时，即时， ， 点的坐标为； 当点在上运动时，即时， ， 点的坐标为， 综上，当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． ▌题型07 全等动点中的最值问题 全等动点最值问题，先以速度、时间表示动点线段，结合全等确定约束条件。利用几何模型如垂线段最短、两点之间线段最短分析最值，也可建立代数式求最值。分清动点运动区间，在有效范围内找极值，检验端点与特殊位置，分类讨论，排除不符合全等条件的情况。 【典例】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点，则，那么的最小值为，过点作交于，过点作于点，证明，导角证明得到，则由等腰三角形的性质以及全等三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点Q作的对称点，连接，则，过点作交延长线于点， ∵为角平分线上一动点， ∴点在射线上， ∴， ∴的最小值为，此时重合，点共线， 过点作交于，过点作于点， ∴， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的外角定理等知识点，难度大，解题的关键是正确构造全等三角形． 【变式1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积．过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，证明，得到，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点E，在上取一点，使，连接，，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小，根据垂线段最短可得最小，即最小值为的长， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】过作于，在线段上取一点，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点分别为上一个动点，得到当在上，与重合时，最小． 【详解】解：过作于，在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． ▌题型08 全等动点中的折叠问题 【典例】（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【答案】（1）①； ②证明：如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点F，S，M， 由题可知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【分析】本题考查了图形折叠的性质（折叠前后对应边相等、对应角相等）、角平分线的性质与判定、直角三角形的面积公式及面积法的应用，解题的关键是利用折叠性质转化线段与角的关系，借助角平分线性质构造相等的距离，结合面积法建立等式求解． （1）①根据折叠性质得，推出、；将的面积拆分为与的面积和，代入面积公式后，利用整体代入计算，即． ②过点作的垂线，利用折叠性质（）得垂线，再由平分得垂线，从而推出；根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角平分线上），证明平分． （2）过点作的垂线，结合（1）②的结论及折叠性质（），得；将的面积拆分为、、的面积和，代入面积公式建立等式，代入数值求解． 【详解】（1）①由题可知，， ∴ ． ②略 （2）如图，过点P分别作边的垂线，垂足分别为点G，N，连接， 由题可知，， ∴，由②可知， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【答案】(1) (2) 证明：如图，过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 由折叠知，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分； (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和性质，三角形面积的计算，折叠的性质，解题的关键是： （1）根据折叠得出，，，根据求出结果即可； （2）过点P分别作、、，垂足分别为点F、H、M， 根据角平分线的性质得出，，得出，根据角平分线的判定得出答案即可； （3）过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接，证明，根据，得出，代入数据求出结果即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，， ∴，， ∴ ； （2）略 （3）解：如图，过点P分别作、，垂足分别为点G、M，连接 由折叠知，， ∴， 由（2）知，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，求的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质等面积法求高，解题的关键是作出常用辅助线及熟练掌握折叠的性质． 由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到，由面积法可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，，， 如图，过点D作于点M，作于点N，则， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）； （2），理由如下： ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）先求出，根据折叠得出，根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据三角形内角和定理和折叠的性质得出，根据垂线定义得出，证明，得出； （3）根据折叠可知：，，根据平行线的性质得出，根据，求出，即，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （2）略 （3）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． ▌题型09 全等动点中的旋转问题 【典例】（24-25九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转，旋转后点的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与坐标图形-旋转变换，点的坐标，构建一线三垂直的全等模型，利用全等的性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过P，作y轴的垂线，垂足为E，F． 由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴旋转后点的对应点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，，点为中点，点N在直线上运动，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，理解等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用含度角的直角三角形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：设的中点为，连接，过作交直线于点，如图： 在中，，, ∴， ∵点为中点， ∴ ∴ 根据旋转可得 ， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得：， ∴当点与点重合时，为最小，最小值为线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①； ②解：， 理由如下：直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②略 （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·期中）问题发现： （1）如图①，已知点为线段上一点，分别以线段、为直角边作等腰直角三角形，，，，连接、，则、之间的数量关系为________，位置关系为________． 拓展探究： （2）如图②，把绕点逆时针旋转，线段、交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，已知，，，连接、、，把线段绕点A旋转，若，，请直接写出旋转过程中线段的最大值．    【答案】（1），； （2）仍然成立．理由如下：如图，设与相交于点． ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）延长交于点，证明，得出，，根据，求出，得出即可； （2）设与相交于点，证明，得出，．根据，，得出，证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得出，，，求出，根据，得出．当点在线段的延长线上时等号成立，即可求出的最大值． 【详解】解：（1）     如图，延长交于点，    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 略 （3）．提示：如图，连接，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 当点在线段的延长线上时等号成立，如图，    故的最大值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形三边关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． ▌题型10 全等动点的综合问题 【典例】（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2），； 方法应用： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1） 略 （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：；             【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得结论． 【详解】略 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 【答案】(1) (2) 证明：由题意得，，， 则， ， ， ； (3)或 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积计算． （1）根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式求出； （2）分别用t表示出和，即可证明； （3）分点在线段上、点在线段上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， （2）略 （3）解：， ， 当点在线段上时， ， 时，，即， 解得，不合题意， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 当点在线段上、在上时， ， 时，，即， 解得，， 则当或时，与全等． 【变式3】（25-26七年级下·云南昆明·期末）综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图，，，，，垂足分别为点，．请证明：； (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点； (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 证明：过作于，如图： 由（）得：， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴是的中点； (3)的值为或． 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，有关中点的相关计算，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （）分如图，当在延长线上时，如图，当在线段上时，过点作于两种情况分析求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：如图，当在延长线上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，当在线段上时，过点作于， 同（）理得：，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 综上可得：的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形中的动点问题（含最值） （题型突破·举一反三） 题型01 全等中的动点问题（选填类） 题型02 全等中的动点问题（解答类） 题型03 全等动点中的存在性问题 题型04 全等动点中的折返问题 题型05 平面直角坐标系中的全等动点问题 题型06 全等动点中的面积问题 题型07 全等动点中的最值问题 题型08 全等动点中的折叠问题 题型09 全等动点中的旋转问题 题型10 全等动点的综合问题 ▌题型01 全等中的动点问题（选填类） 全等三角形动点解题：先固定不变边角，分析动点运动路程、速度，表示线段长度。分情况讨论动点位置，找出对应全等条件，列等式求解。检验时间取值范围，舍去不合题意解。注意对应顶点不唯一，防止漏解，结合图形判断边相等关系。 【典例】（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若与全等，则的值为______． 【变式3】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，直线经过的直角顶点C，动点D以的速度从A出发，沿移动到点B，动点E以的速度从B出发，沿移动到A，两动点中有一点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作的垂线，垂足分别为P、Q，若，设运动时间为，则当t的值为________时，以D、P、C为顶点的三角形与以E、Q、C为顶点的三角形全等． ▌题型02 全等中的动点问题（解答类） 【典例】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）在中，，长为，长为，长为，并且．请回答以下问题： (1) ， ； (2)如图，在中，，，，，．在中，动点P从点A出发，沿运动，到点C停止，速度为，若另外有一个动点Q与点P同时出发，动点Q从点B出发，沿运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好有以A，P，Q为顶点的三角形与全等，求出点Q的运动速度； (3)若在中，动点P仍从点A出发，运动轨迹变为沿运动，到点B停止，速度仍为．动点Q运动轨迹不变，仍与点P同时出发，从点B出发沿着运动，到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，仍有以，P，Q为顶点的三角形与全等(为A或B)，此时点Q的运动速度还可以为 ． 【变式1】（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在直角三角形中，，直线．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动．动点D以的速度在直线上运动，已知，设动点D，E的运动时间为．    (1)当点D沿射线运动时，若，求t的值． (2)当动点D在直线上运动时，若与全等，求t的值． 【变式2】（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【变式3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，已知线段．动点同时从点出发，动点沿方向运动，速度为每秒厘米；动点沿射线方向运动，速度为每秒，当点与点重合时停止运动，连接．设运动时间为秒．    (1)连接，若时，． ①_______． ②求证：，并直接写出的值； (2)若点是线段上的一点，连接． ①当时，若使与全等，求的值； ②若线段上不存在点，使与全等，请直接写出的取值范围． ▌题型03 全等动点中的存在性问题 全等动点存在性问题，先设运动时间，表示出动点对应线段长。假设全等存在，找准对应边、对应角，分多类对应情况列方程求解。求出时间后检验是否符合动点运动范围，舍去超出区间的解。注意对应顶点变化易漏解，结合图形验证边长关系，确认是否满足全等条件。 【典例】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，等边的边长为，点在边上以每秒的速度从向运动，到点停止；点在射线上以每秒的速度从向运动，随着点的停止而停止；设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示线段长度： ______， ______； (2)当时，求的值； (3)若运动过程中，线段与边交于点，请问是否存在点为线段中点的情况？若存在，请求出此时的值和的长度；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．    (1) _____；（用含t的式子表示） (2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系为______，并说明理由； (3)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． ▌题型04 全等动点中的折返问题 全等动点折返问题，先算单程时间，区分往返各阶段，用时间表示动点实际位置与线段长度。折返后运动方向改变，分段列式，结合全等假设分类讨论对应边相等列方程。求出解后校验时间是否落在对应运动区间，舍去无效解，谨防顶点对应出错和阶段漏算。 【典例】（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿返回点A，设点P的运动时间为t秒． （1）若，则t的值为_______秒； （2）当t的值为________秒时，与全等． 【变式1】（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在长方形中，，，现有一动点P从点A出发以的速度，沿长方形的边运动，点P返回到点A即停止．设点P的运动时间为，连接，，当是等腰三角形时，t的值为______． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，长方形 中，，动点 P 从点 A 出发，以秒的速度沿长方形的边返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)连接，当中有任意两边相等时，求t 的值； (3)Q为边上的一点，且，直接写出当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与全等． 【变式3】（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度往返运动，点从点出发，沿方向以的速度单向运动，两点同时出发，当点返回到点时停止运动，点同时停止运动且正好停留在点，设点的运动时间为． (1)求证：； (2)请用含的式子表示线段； (3)连接，当线段经过点时，求的值． ▌题型05 平面直角坐标系中的全等动点问题 平面直角坐标系全等动点，先利用坐标表示点的位置、线段长度。分析动点运动，用时间写出动点坐标。假设全等成立，分情况确定对应顶点，结合横纵坐标关系列等式求解。求出时间后检验坐标是否符合运动范围，舍去不合理解，注意多解情况，画图辅助判断对应关系。 【典例】（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，直角坐标系中O为原点，点A、B的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒． (1)_____， ； (2)当的面积等于6时，求t的值； (3)过P作垂直于直线交于点D，交y轴于Q．在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．、两点的坐标分别为，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． (1)求点、坐标； (2)连接，若存在，且的面积不大于时，求的取值范围； (3)过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，且，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线匀速运动，设点P的运动时间为t秒． (1)求、的长； (2)连接，设的面积为S，用含t的式子表示S； (3)过点P作直线的垂线，垂足为D，直线与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式3】（25-26八年级上·河南安阳·期中）如图，平面直角坐标系中有点和轴上一动点，其中，以点为直角顶点在第二象限内作等腰直角，设点的坐标为． (1)当时，则点的坐标为(_____，_____)； (2)动点在运动的过程中，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)当时，在坐标平面内是否存在一点（不与点重合），使与全等？若存在，直接写出出点坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型06 全等动点中的面积问题 全等动点面积问题，先根据速度时间表示动点线段长，确定图形底与高。用割补或直接公式写出面积表达式，结合面积条件列方程求解。注意动点位置变化会改变图形形状，需要分段讨论。求出结果后检验时间取值范围，舍去无效解，结合图形区分不同情况避免漏解。 【典例】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． (1)证明：； (2)四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【变式2】（25-26八年级上·吉林·期末）如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【变式3】（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段沿x轴向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E．动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着的方向向终点D运动，设运动时间为t秒． (1)点C的坐标是________，当点P出发3秒时，点P的坐标是________，四边形的面积是________； (2)三角形可以看作是哪个三角形经过怎样的平移得到的； (3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是6．若存在，请直接写出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由； (4)当点P在运动时，请用含t的式子表示出点P的坐标． ▌题型07 全等动点中的最值问题 全等动点最值问题，先以速度、时间表示动点线段，结合全等确定约束条件。利用几何模型如垂线段最短、两点之间线段最短分析最值，也可建立代数式求最值。分清动点运动区间，在有效范围内找极值，检验端点与特殊位置，分类讨论，排除不符合全等条件的情况。 【典例】（25-26八年级上·重庆·阶段检测）如图，在中，，，，为角平分线上一动点，为边上一动点，的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．6 【变式1】（25-26八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，，，，是的角平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．4.8 B．7 C． D．2.4 【变式2】（25-26七年级下·河南郑州·期末）如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． ▌题型08 全等动点中的折叠问题 【典例】（25-26八年级上·全国·期末）人教版八年级上册数学教材第页第题如下，如图的三角形纸片中,．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的周长为． 【知识应用】在中,，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接． （1）如图1，①若，求的面积； ②求证：平分． 【拓展应用】 （2）如图2，过点P作．若，直接写出的长． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期中）【母题呈现】人教版新教材八年级上册课本60页第12题，如图1的三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为．求的周长． 解：∵是由折叠而得到， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【知识迁移】在中，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，过点E作的平分线交于点P，连接，如图2． (1)若，，求的面积； (2)求证：平分； (3)【拓展应用】在图2的基础上，过点P作，如图3．若，，，求的长度． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，求的长为______． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋中·期末）综合与实践 问题情境：数学课上，同学们以三角形的折叠为主题展开探索，如图1，在中，，，点是边上的一点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处． 初步探究：（1）请直接写出的度数为_________．； 深入探究：（2）“启明小组”将图1中的变为，其它条件不变，过作于点得到图2．试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 类比探究：（3）“攀登小组”认为将非直角三角形折叠也能提出有意义的问题．如图3，中，，为边上一点，将沿折叠，点落到点处，当时，请直接写出此时的度数． ▌题型09 全等动点中的旋转问题 【典例】（24-25九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，已知点，将线段绕点按顺时针方向旋转，旋转后点的对应点的坐标为______． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，，，点为中点，点N在直线上运动，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，连接，则点N在运动过程中，的最小值为________． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·期中）问题发现： （1）如图①，已知点为线段上一点，分别以线段、为直角边作等腰直角三角形，，，，连接、，则、之间的数量关系为________，位置关系为________． 拓展探究： （2）如图②，把绕点逆时针旋转，线段、交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，已知，，，连接、、，把线段绕点A旋转，若，，请直接写出旋转过程中线段的最大值．    ▌题型10 全等动点的综合问题 【典例】（24-25八年级上·吉林长春·期末）综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：；             【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【变式2】（24-25八年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在中，，于点，于点，，，，动点以的速度从点向点运动，同时动点以的速度从点向点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为． (1)求； (2)求证：在运动过程中，无论取何值，都有； (3)请直接写出___________时，与全等？ 【变式3】（25-26七年级下·云南昆明·期末）综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图，，，，，垂足分别为点，．请证明：； (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点； (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $