平抛运动与一元二次方程根的分布实践活动 -2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理学习任务单聚焦平抛与斜抛运动规律及一元二次方程根的分布，衔接数学二次函数与物理平抛运动知识，通过轨迹方程实现跨学科迁移，以实验观察、模型推导、数据验证和策略调整为学习支架。 特色在于真实情境下的科学探究闭环，双线任务满足分层需求，小组分工促进全员参与，数字化工具辅助模型可视化。培养科学探究能力、科学思维中的模型建构与逻辑推理，提升学生理论联系实际及团队协作的科学态度与责任。

平抛运动与一元二次方程根的分布实践活动 一、作品基础信息 项目 平抛运动与一元二次方程根的分布实践活动 作品名称 平抛运动与一元二次方程根的分布实践活动 学段学科 【高中】【数学物理】 适用年级 【高一下】“建议在数学已完成‘二次函数与一元二次方程’章节、物理已完成‘平抛运动’规律教学后实施” 作业类型 【跨学科综合实践作业】 提供 基础版（必做） 与 进阶版（选做） 双线任务： 1.基础版：完成题1~2推导及数据验证，至少进行1轮比赛策略调整。 2.进阶版：完成题3~5中全部或部分模型修正，并尝试使用Excel或Python绘制轨迹图像，对比不同模型的预测差异。 完成时长 课内集中活动约60至90min，建议分割为4段，以供改善抛球策略，课外数据处理与报告撰写约60min。基础版建议用时20min，进阶版40min 设计者 陈晨 教材版本与章节对应表 教材版本 物理对应内容 数学对应内容 人教A版 必修第二册第五章"抛体运动" 必修第一册第二章"一元二次函数、方程和不等式" 人教B版 必修第二册第五章"抛体运动" 必修第一册第三章"函数与方程、不等式之间的关系" 湘教版 必修第二册第五章"抛体运动" 必修第一册第二章"一元二次函数、方程和不等式" 沪教版 必修第二册第二章"抛体运动" 必修第一册第二章"等式与不等式" 一元二次不等式的求解 苏教版 必修第二册第五章"曲线运动" 必修第一册第三章"不等式" 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 北师大版 必修第二册第五章"抛体运动" 必修第一册第一章"预备知识" 一元二次函数与一元二次不等式 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求： · 对应《普通高中物理课程标准（2017版2020修订）》：物理必修2“曲线运动”中“通过实验，探究并认识平抛运动的规律”； · 《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中对应内容为必修第一册“函数主题”下的“函数与方程”中“结合二次函数图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数”。 · 核心素养聚焦：科学探究（实验设计、数据收集）、模型建构（平抛/斜抛模型）、数学工具应用（方程与不等式求解）。 教材地位： · 本作业整合了苏教版物理必修2“平抛运动”与数学必修第一册“二次函数与一元二次方程”内容。前者是动力学分析的基础模型，后者是代数与几何结合的经典载体。两者通过“抛体轨迹方程”自然衔接，实现跨学科知识迁移。 教学重难点： · 物理重点：建立抛体轨迹方程并理解各参数物理意义； · 物理难点：1.建立运动分解思想；2.实验探究中变量的识别与控制；3.误差来源的系统归因. · 数学重点：将轨迹方程转化为一元二次函数零点分布问题并求解参数范围。 · 数学难点:1.数形结合思想的灵活运用;2.多个约束条件的综合推理;3.函数与方程思想的贯通。 · 跨学科衔接难点：1.物理符号与数学符号的对应转化；2.学生可能在“时间变量消去”这一代数操作与“轨迹方程”物理意义对应上存在认知障碍。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 已掌握平抛运动基本规律（水平匀速、竖直自由落体）、二次函数图像与性质（开口方向、顶点、零点）、一元二次方程求根公式与韦达定理；具备基本实验操作（使用刻度尺、秒表）及数据表格记录能力。 现有困惑 概念混淆 初速度 vs. 瞬时速度； 转化障碍 物理方程 → 数学零点分布条件； 归因薄弱 误差来源（空气阻力、读数、出手角度）缺乏系统分析框架； 迁移不足 理论解 → 实际投掷策略缺乏操作经验。 差异分析 班级中约1/3学生数学建模能力较强，可挑战考虑空气阻力的修正模型；约1/2学生能完成基础平抛与斜抛理论推导，但模型修正环节需要支架提示；约1/5学生需重点强化数据记录规范与基础方程求解。 3.设计意图 本作业以“棒球投掷落点精准度挑战”为真实情境，引导学生经历“实验观察→建模假设→数据验证→模型修正→策略优化”的完整科学探究闭环。 通过将平抛/斜抛轨迹方程等价转化为二次函数零点分布问题，学生不仅巩固了物理运动分解思想与数学根的分布理论，更在数据拟合、误差分析、多因素耦合讨论中发展系统思维。 作业通过组内分工（主投手、数据记录员、策略分析师、反思记录员）确保全员参与，旨在让学生亲历“理论指导实践、实践反馈修正理论”的工程思维过程，最终达成对学科知识深层理解与迁移应用的双重目标。 在进阶任务中，鼓励学生借助Excel或Python进行数据拟合与轨迹可视化，利用AI辅助查阅阻力模型等拓展资料，培养数字化学习与创新能力。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 T1 能准确表述平抛运动与斜抛运动的位移、速度方程，并能解释轨迹方程与二次函数的关系 物理观念、数学抽象(跨学科素养) 能准确利用数学语言精准刻画轨迹方程，符号使用无误 能力运用 T2 能根据目标区域范围，利用一元二次方程根的分布条件推导初速度的理论取值范围 科学思维、逻辑推理 是否能够利用一元二次方程实根分布的知识得到理论解.能列出含参不等式组并正确解出完整区间，区间端点值计算无误 能力运用 T3 能规范使用测量工具记录实验数据，并运用差值法或图像法处理数据 科学探究、数据分析 是否能够详实准确的记录实验数据,有效数据不少于5组，且每组重复测量不少于3次取平均值 思维发展 T4 能批判性地分析简单模型与实测偏差的原因，并提出至少一种有效的修正策略（如考虑空气阻力、出手角度优化） 模型建构、批判性思维 是否能够针对实际情况对物理模型进行修正，并根据实际情况提出较为可行的投掷策略 情感态度 T5 在小组合作中主动承担数据记录或策略分析角色，并能结合比赛结果进行反思总结 科学态度与责任 是否能够在总结中提出自己的看法与可以改进的部分，客观地评价本次实验的得与失 注：本作业所涉核心素养参照《普通高中物理课程标准（2017版2020修订）》与《普通高中数学课程标准（2017版2020年修订）》中关于科学探究、数学建模、数据分析等素养的具体描述。 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 实验探究与理论推导 记录水平投掷（平抛）实验数据，推导轨迹方程，结合一元二次方程根的分布求初速度理论范围，并验证预测与实际落点的吻合度。 T1,T2,T3 通过“实测数据→理想建模→理论预测→实验验证”的完整闭环，让学生初步建立用代数工具（根的分布）解决物理参数范围问题的意识。 方程：，初速度范围 验证：能准确将实测速度与理论区间对比，并得出“落入/为落入”的明确结论 2 实验探究与理论推导（变式） 记录仰角（斜抛）实验数据，推导轨迹方程，结合根的分布求初速度范围，并对比平抛结果，分析不同出手方式对落点精度的影响。 T1,T2,T4 引入角度变量，深化运动合成与分解思想；通过比较平抛与斜抛的初速度允许区间宽度，引导学生定性分析哪种方式对“手感力度误差”容忍度更高。比较两个初速度区间长度，分析其与仰角的关系 方程： 范围：由一元二次函数实根分布推导出关于初速度. 比较：能指出在相同的高度下，斜抛通常允许的初速度范围更大(即更加容易控制). 3 实践操作与策略制定 根据理论解调整目标线间距，分组进行多轮投掷比赛，记录实际落点与数据，每组投掷10次（或限定时间5分钟），以落入目标区域的次数计分。目标线间距可根据班级水平动态调整，若某组命中率为0或100%，则适当缩小/扩大间距重新比赛 T3,T5 将纸面理论迁移至真实竞技场景，让学生在“成功与失败”的即时反馈中检验理论有效性，培养团队协作、沟通决策及实事求是的科学态度。 数据：比赛数据记录表填写完整、规范。 策略：能依据理论区间解释成功或失败原因（如“力度偏大导致初速度超出上限”），并形成具体策略（如“固定出手角度30°仰角，控制在某档力度（六成或七成力度）”）。鼓励学生用量化语言描述力度档位 4 模型修正与高阶思维探究 探究除重力外影响成绩的变量（阻力、旋转等），筛选有效实验数据，对理想模型进行修正，推导新理论解，并重新制定优化后的抛球策略。 T4,T5 打破理想模型局限，引导学生正视真实物理场景的复杂性，培养批判性思维、信息筛选能力及工程上“迭代修正”的核心思想。 修正因素：能提出至少1项合理因素（如空气阻力、出手高度微小波动）。 修正过程：能说明选取哪些数据组进行拟合（如剔除明显受侧风影响的离群数据点（落点横向偏移大于3倍标准差）、剔除出手高度与目标高度偏差过大的数据组等）。 新策略：修正后的策略需结合定量（如修正系数）或半定量分析（如“强风（逆风）等效于增加水平阻力，适当降低出手高度可缩短飞行时间，从而减少阻力累积影响。”）。 5 综合实践与反思评价 再次调整目标线，应用修正后的模型采用五局三胜制，每局每组投掷5次。每局结束后允许小组根据当前数据微调策略，验证修正效果，并撰写小组反思报告，可以从以下几点展开。（1）原始模型预测准确率 vs. 修正后模型预测准确率对比；（2）本组在数据采集、模型修正、策略执行中各环节的最大收获与最大失误；（3）如果再有一次机会，会在哪个环节做出不同选择；（4）对“物理+数学”结合解决问题的切身体会。 T4,T5 通过多轮迭代循环，强化“实践→反思→优化”的科学方法论，培养在真实约束下做决策的能力，同时锻炼学术写作与表达素养 验证：能对比修正前后的命中率或落点分布，客观评价修正效果（成功/部分成功/无效并分析原因）。 反思：报告需包含理论模型的局限性、团队分工得失、对“跨学科方法”的新认识。 五、作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 平抛与斜抛轨迹方程推导完全正确，一元二次方程根的分布条件运用熟练，代入计算无误，无公式混淆或符号错误。（能正确列出含参不等式组并解出完整区间） 方程推导有少量运算失误或符号漏写，但核心物理关系与数学建模思路正确，经提示能自行纠正。 无法写出完整轨迹方程，或根的分布条件使用混乱（如漏判对称轴），基本概念存在明显偏差。 20% 能力运用 数据记录规范、有效位数合理；处理数据时能灵活选用差值法或图像法；能将5组以上实测数据与理论区间系统对比，计算准确，分析全面。 数据记录基本完整，但处理略显粗糙（如未取多次平均值）；能完成理论对比，但计算有少量差错或对比组数不足。 数据缺失严重或记录混乱；未进行有效的“预测-实测”对比，或对比过程缺乏必要计算。 30% 思维发展 修正因素挖掘深入（如能对空气阻力做定量分段讨论），模型修正逻辑严密、有数据支撑；最终策略具有独创性或显著提升命中率；反思报告体现深刻的批判性思考。 能提出1项合理的修正因素（如阻力），但修正过程较依赖教师提示或简化处理；策略合理但缺乏量化依据；反思能点出问题但分析较浅。 修正因素脱离实际（如忽略主要变量）或无法提出修正方案；策略制定毫无依据（随机乱投）；反思流于形式或无反思。（“如修正因素选择了‘风速’但未记录任何风速数据”） 30% 情感态度 在小组中主动承担核心任务（如主投手/数据主分析），积极与组员交流策略；乐于分享失败经验，能结合多轮比赛结果进行深度的自我改进总结。 能按要求参与合作，完成分配任务（记录/测量），与他人有基本交流；有简单的赛后总结但较为笼统（如“下次要用力更稳”）。 参与度低，被动旁观或依赖他人代劳；对比赛结果漠不关心，无任何反思或总结记录。 20% 建议评分规则：总分=各维度得分×权重之和。等级划分建议：A（≥85）、B（70—84）、C（＜70） 六、试题详情 抛体运动比赛策略探究实践活动 材料准备：高速摄像机、棒球若干、投掷高度尺、投掷水平距离尺. 推荐器材说明：高度摄影机主要用于准确回放得出棒球出手的高度、投掷出手到棒球第一次水平距离，棒球从离手开始第一次落地的时间.建议按4—6人/组配置，每组棒球3—5个、卷尺3把、秒表2块（或手机计时器）。 替代方案：推荐使用高速摄像机以获取精确数据；若条件不具备，可采用秒表+地面标记+多名观测员报数的方式进行替代（误差范围约±5%），替代方案可能存在数据无法找回的缺陷，因此建议采用推荐器材。 实验器材的布置：上述材料按照下图布置. 现场布置的主要参数如下所示：投掷线与目标线1的距离为，投掷线与目标线2的距离为，投掷高度为，水平实际偏移距离，设定水平偏移宽度最大为. 实验全程打开高速摄影机，用于测量投掷开始到棒球第一次落地的时间.每轮比赛组内轮换角色，确保每位成员至少担任一次主投手和一次数据记录员. 探究实验内容 1.探究手感力度与棒球初速度的定性关系 学生进行自由抛球练习（约20min）左右，（推荐时间分配参考：5分钟熟悉器材与场地→10分钟固定出手高度练习→5分钟）尝试不同力度并记录初始数据。期间进行数据记录，可参考记录表格如下所示，并自主感受自身出手时的投球力道关于初速度之间的关系。不要求定量分析. 请探究如何利用半定量的方法建立自身出手时的投球力道关于初速度之间的关系 （注意：在投掷时尽量不要使得棒球强烈自转，是否强烈自转可通过观察棒球飞行过程中表面缝线的旋转速度进行粗略判断。若球出手后轨迹发生明显的左右弯曲，说明自转较强，该次数据应标记为‘含强自转’单独分析。） 投球次数 出手时的初速度（取高速摄影机前s（参考值约s）的位移进行计算）. 1 2.基础平抛运动探究 正式比赛开始，给定投掷高度，学生使用不同的力量进行多次水平投掷，要求球恰好落在目标线1与目标线2之间.记录学生投掷的距离后，进行数据处理.填写下表，用于计算不同力量投掷的距离. 记录实验数据并回答下面的问题 （1）利用平抛时的棒球轨迹方程，并与一元二次方程根的分布相结合推导初速度范围 （2）将各此投掷的实际初速度与理论解得到的范围进行比较，判断是否会落入目标区，并与实际落入结果对比. 数据记录表如下所示. 投掷线与目标线1的距离： 投掷线与目标线2的距离： 目标投掷高度： 实际投掷高度 实际投掷距离 棒球出手到第一次落地时间 出手时的初速度（取高速摄影机前s（参考值约）的水平位移与竖直位移，按计算合速度，同时由确定出手仰角. 注：“给定”指要求学生在投掷时尽量保持某一固定出手高度（如1.2m）；“实际”指通过影像回放或高度尺读取的实际出手高度. 3.斜抛运动对比 记录实验数据并回答下面的问题 （1）推导考虑投掷角度时，棒球轨迹方程。 （2）比较相同高度下平抛与斜抛的哪种投掷方式更易控制，并定性解释哪种出手方式对力度误差的容忍度更高。 其他条件不变，改变棒球出手的纵向角度，再次进行实验，数据记录表如下所示. 投掷线与目标线1的距离： 投掷线与目标线2的距离： 目标投掷高度： 实际投掷高度 实际投掷距离 棒球出手到第一次落地时间 棒球出手的角度 重新调整目标线1与目标线2的距离，并根据理论解与实际数据，安排学生分组进行投球，指定投球次数，看哪个队能够更多地将棒球投入指定区域（注意两目标线的距离可以根据情况调整，避免过大或过小）. 4.影响因素探究 其他影响棒球抛出准确度的因素如下所示，查找资料结合自己的经验回答下列问题. (1)空气阻力、自转，根据自身情况，选择性探究,定性了解这些因素对抛球准确度的影响. (2)风向、湿度，查阅相关资料，并结合人工智能的回答，了解这些因素影响抛球准确性的物理学原理. 若借助AI辅助查阅，需在报告中注明所用AI工具，不得直接复制. 5.模型修正与策略实践闭环 修正当前的物理模型，使得实际预测值能够更加贴合实际值.结合实际实验数据探究如下问题： （1）自主根据已有的数据信息挑选对修正模型有用的数据 （2）根据挑选的数据进行模型修正，并得到理论解，根据理论解重新制定抛球策略。 使用AI时需在报告中注明所用AI工具、提示词（prompt）及对AI回答的筛选与加工过程，不得直接复制AI回答作为结论。 制定完成策略后，重新调整目标线1与目标线2的距离，重复过程7,与过程8.（比赛次数不宜过少，如果过少达不到学生探究符合实际物理场景的模型的过程体验。推荐比赛可进行5轮，采取5局3胜制） 可选阅读材料（考虑空气阻力模型的微分方程推导）： 该部分为教师参考资料或学有余力学生的拓展阅读，不要求全体学生掌握，仅作为模型修正时的参考工具. 问题背景：考虑空气阻力与一次方成正比，即，为阻力系数，阻力方向与速度方向反向，抛球高度为. 求解方法：以地面为坐标原点，沿着地面方向为轴，垂直于地面为轴，投掷点高度为坐标为.利用微元法列出以下两个方程，并给出问题的初始条件与边界条件. 初始条件. 解得，. ,, 消去时间变量可得最终轨迹方程为 . 式中的需要利用测得的的数值进行拟合. 6.验证比赛与反思 将上述实验过程整理为报告，主要可以从以下方面展开.1.验证比赛的执行过程：对照实验的设置；数据记录的精细化；分阶段成绩的统计；2.修正结果的系统验证：模型预测精度的对比；残差分析；模型适用范围的界定；3.实验反思：理论模型的局限性；跨学科方法论的价值；团队分工与执行得失；个人成长与迁移价值； 7.成果展示与答辩 每组准备5分钟汇报PPT或展板，内容包括：实验设计→理论推导→比赛数据→模型修正→反思总结。答辩环节由其他小组或教师提问，重点考察模型修正的逻辑合理性及对跨学科方法的理解深度。建议安排1课时进行班级展示与互评。 七、答案与解析 1.探究手感力度与棒球初速度的定性关系 【答案】建议将手感力度档位（轻/中轻/中/中重/重）”对应“预估初速度相对大小（很小/小/中/大/很大）”，以便与后续定量数据进行对照。 2.基础平抛运动探究 1.【答案】以地面为坐标原点，沿着地面方向为轴，垂直于地面为轴，投掷点高度为坐标为.轨迹方程为，出手时的初速度需满足. 模型验证方法：实际落在目标线间的棒球，验证实际的初速度是否落在理论解初速度的范围； 实际未落在目标线间的棒球，验证实际的初速度是否未落在理论解初速度的范围； 【解析】初始建模，利用平抛运动计算初始速度范围. 平抛运动，位移公式 轨迹方程为，要使得该轨迹方程零点恰好落在区间内， 假设出手高度一定，则 解得出手时的初速度需满足. 3.斜抛运动对比 【答案】以地面为坐标原点，沿着地面方向为轴，垂直于地面为轴，投掷点高度为坐标为. 棒球的轨迹方程为. 出手时的初速度需满足 模型验证方法：实际落在目标线间的棒球，验证实际的初速度是否落在理论解初速度的范围； 实际未落在目标线间的棒球，验证实际的初速度是否未落在理论解初速度的范围； 【详解】斜抛运动，位移公式 轨迹方程为 由一元二次函数的实根分布可知，要使方程在有零点， 需保证， 通过实验时学生对两种投掷方式能否投掷入指定区域的难易程度，感性认识比较平抛与斜抛时对力度误差的容忍度的高低.一般而言，根据日常经验，斜抛比平抛更易控制出手力度，因此对力度误差的容忍度更高。 4.影响因素探究 【答案】1.（1）空气阻力对抛球准确度的影响：阻力方向与速度方向相反，会减小水平射程，导致实际落点比理想平抛/斜抛方程预测值偏近，且初速度越大，偏差越明显。 （2）旋转的球带动周围空气，两侧气压不同，会产生横向偏转力（如“香蕉球”），使球偏离投掷线与目标线所在的竖直平面，造成左右方向的落点误差。 2.（1）风向对抛球准确度的影响：逆风等效于增大了空气阻力水平分量，使水平加速度（负向）增大，射程缩短；顺风反之。侧风则会产生横向加速度，使落点偏离中线，偏离距离与风速和飞行时间成正比。 （2）空气湿度对抛球准确度的影响：潮湿空气的密度比干燥空气略小（水蒸气分子量18小于空气平均分子量29），因此湿度大时空气阻力略微减小，理论上球会飞得更远一些。但在一般棒球投掷尺度（<50m）下，湿度影响远小于风速，通常可忽略不计。 5.模型修正与策略实践闭环 【答案】（1）可能需要利用的数据处理方式：横向与纵向组成的平面抛出速度与纵向直线的夹角，竖直与横向组成的平面抛出速度与横向直线的夹角（角度的定义如下图所示）的获取方式：在摄影机影像中，在棒球抛出间隔为0.05s时的数据，获得其与初始点的横向、纵向、竖向位移，然后利用计算即可. （2）策略一：普通平抛运动，利用手感控制投球初速度的投球策略 策略二：普通斜抛运动，利用手感控制投球初速度的投球策略 策略三：考虑空气阻力的斜抛模型，利用手感控制投球初速度的投球策略 策略四：考虑初始速度对最终投掷距离的影响最小的投球策略 【解析】（1）略 （2）在求解该问题中可以鼓励学生借助AI寻找思路，并利用计算机工具对式子进行求解，并进一步抛球策略。（以下给出4种常见的抛球策略） 策略一：普通平抛运动，利用手感控制投球初速度的投球策略 平抛运动，位移公式 轨迹方程为，要使得该轨迹方程零点恰好落在区间内， 假设出手高度一定，则 解得出手时的初速度需满足. 为了便于应用，固定抛射高度，然后凭借手感扔球. 策略二：普通斜抛运动，利用手感控制投球初速度的投球策略 以地面为坐标原点，沿着地面方向为轴，垂直于地面为轴，投掷点高度为坐标为. 斜抛运动 位移公式 轨迹方程为 由一元二次函数的实根分布可知，要使方程在有零点， 需保证 于是可解得 为了便于应用，固定抛射高度以及抛射夹角，然后凭借手感扔球. 策略三：考虑空气阻力的斜抛模型 在棒球运行过程中还会受到空气阻力的作用，且空气阻力随着初速度的增加，影响随之增大.因此抛球时如考虑空气阻力，投射角度、高度与初速度应当随之改变. 只要求学生提出问题与假设，然后可以直接给出轨迹方程，供学生修正模型.同时也可鼓励学生使用AI模型解答提出的问题，并根据实际情况，在AI模型的基础上作出修正，获得最终答案. 以下是考虑空气阻力与一次方成正比，即，为阻力系数，阻力方向与速度方向反向时的轨迹方程推导过程，以供参考. 初始条件. 解得，. ,, 消去时间变量可得 . 式中的需要利用测得的的数值进行拟合. 按照此方程要使得零点恰好落在， 则需要 如果给定，利用数值解法可解出的取值范围. 为了方便应用，固定抛射高度以及抛射夹角，然后凭借手感进行投球. 策略四：考虑初始速度对最终投掷距离的影响最小的投球策略 在影响比赛成绩的变量中，力量最不容易控制，但是出手角度与出手高度容易控制。因此落在区间的最佳策略为尽量使得初始速度对最终投掷距离的影响最小，即使得初始速度允许的范围最大。 以地面为坐标原点，沿地面方向为轴，垂直于地面为轴，投掷点高度为坐标为. 斜抛运动 位移公式 轨迹方程为 由一元二次函数的实根分布可知，要使方程在有零点， 需保证 于是可解得 要使得可取得的范围最大，必须使得 有最大值.该式为关于的函数. 令，则 于是， 设 则 令，得到驻点满足的方程 设该方程的正根为，则此时，此时最大值为 即此时对于扔球选手的力度掌握要求最小. 学科网（北京）股份有限公司 $