1.3 空间向量及其运算的坐标表示（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其运算的坐标表示核心知识点，系统梳理空间直角坐标系建立、向量坐标表示、运算（加减、数乘、数量积）规则，以及平行垂直条件、模与夹角计算等内容，构建从基础概念到几何应用的学习支架。 资料以思维导图统领知识脉络，结合即学即练与分层题型精练，融入正方体动点等实例，培养空间观念与运算推理能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过典例变式查漏补缺，提升用数学语言解决几何问题的能力。

第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 【即学即练3】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·山东·期中）在平行六面体中，已知点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算法则，可得，代入坐标，即可得答案. 【详解】由题意 所以. 故选：A 【典例2】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出向量的坐标判断得解. 【详解】由点，点，得. 故选：C 【变式1】（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得中点坐标，再由终点坐标减去起点坐标得到向量坐标. 【详解】中点，则. 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算即可得到答案. 【详解】因为向量， 所以. 故选：D. 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算法则计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：C 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 【典例2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 【变式1】（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 【变式2】（25-26高二上·河南·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】， ， . 故选：B. 【变式3】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 【典例2】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标运算求解即可. 【详解】， . 故选：C 【变式1】（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据空间向量的数量积的坐标表示求参数即可. 【详解】已知，，且， 所以. 解得. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 【变式3】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 【答案】3 【详解】因为空间向量，， 所以. 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题） 【典例1】（25-26高三上·重庆·期中）已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用空间向量表示出，进而求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 所以， 则， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为0. 故选：A 【典例2】（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 【变式1】（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出 的取值范围. 【详解】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，应用向量线性关系的坐标运算求出，再由向量数量积的坐标运算列式求最值. 【详解】由题意，令且，， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故选：B 【变式3】（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知正四面体的棱长为1，为空间中一点，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】将正四面体补全为正方体，以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标计算求解即可. 【详解】如图，将正四面体补全为正方体，则正方体的棱长为， 如图，以正方体的一个顶点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 故， 则 ， 当且仅当，时取等号， 当点的坐标为时，取最小值为. 题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度）） 【典例1】（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 【典例2】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 【答案】3 【分析】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【详解】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为： 【变式1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据向量共面的条件，，使得，再列方程组求解即可． 【详解】解：向量，，共面， ，使得， ，解得， ，． 【变式3】（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，， 因为，可得，解得， 所以，则. 故选：D. 题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题） 【典例1】（24-25高二上·辽宁·阶段检测）如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，用坐标表示，可求出最大值和最小值. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 当时取到最小值0，当时取到最大值． 故选：C． 【典例2】（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据，利用向量数量积的坐标表示得到，最后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·江西上饶·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，应用向量垂直的坐标表示可得，再应用向量模长的坐标表示及二次函数性质求最小值. 【详解】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量坐标运算求出，，再由两点间的距离公式结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为正三棱柱的底面边长为2，为的中点， 所以，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，， 因为，设，， ， 所以， 所以， 所以，， 所以， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型07空间向量的夹角问题（坐标形式） 【典例1】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   【典例2】（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 【变式1】（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量夹角的坐标表示代入化简可得，结合单位向量模长，代入化简可得，进而可得. 【详解】由已知，均为单位向量，可知， 又，则； 同理，则， 代入， 即，解得， 则， 故选：C. 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 题型08空间向量的投影向量（坐标形式） 【典例1】（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 【典例2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由向量， 可得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 【变式1】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量，，有，， 则向量在向量上的投影向量的坐标为. 【变式2】（2026·江西南昌·三模）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【答案】 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量的坐标为. 【变式3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）. 【答案】 【详解】向量，则，， 所以在上的投影向量为 题型09空间向量的平行、垂直关系（坐标形式） 【典例1】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 【典例2】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【答案】/ 【详解】因为，所以，解得. 【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 【变式2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标运算一一判定即可. 【详解】由题意可知，，. 【变式3】（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量共线的坐标公式列式求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得. 题型10易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数 【典例1】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【分析】根据与的夹角为钝角，首先满足，解出的取值范围，排除共线的情况. 【详解】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 【典例2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 【变式1】（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 【答案】 【分析】由夹角为钝角可得与不共线，且，利用空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为与夹角为钝角，所以与不共线，且， 若与共线，则，解得，故， 由可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 【变式2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 【答案】 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则； 由. 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示求解； （2）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，则， 解得； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． 由（1）知，， 若向量与同向共线，则存在，使得，即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求投影向量，再求模即可. 【详解】因为向量， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为：， 所以向量在向量上的投影长为：. 5．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 6．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   7．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底法和坐标表示的关系，利用待定系数法，即可求解. 【详解】在基底下的坐标为，得， 设向量在基底下的坐标是， 则， 所以解得， 所以向量在基底下的坐标是. 故选：B. 二、多选题 8．（25-26高二上·山东泰安·期末）下列选项正确的是（    ） A．已知点是点在坐标平面内的射影，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．若，则在上的投影向量为 【答案】ABD 【分析】求出点的坐标，并求出，判断A；根据基底的定义判断B；利用空间向量的数量积求与夹角的余弦值，判断C；求出在上的投影向量，判断D. 【详解】点是点在坐标平面内的射影，所以点的坐标为，所以.所以A正确. 若为空间的一个基底，则不在由确定的平面内. 则均在由确定的平面内，且不共线，所以可与构成空间的另一个基底.所以B正确. 已知向量， 若，则， 此时，，所以C错误. 若， 则在上的投影向量为.所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 四、解答题 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. B能力提升 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用空间向量表示出，进而求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 所以， 则， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为0. 故选：A 2．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，应用向量线性关系的坐标运算求出，再由向量数量积的坐标运算列式求最值. 【详解】由题意，令且，， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故选：B 3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题意，与的夹角为锐角，则且与不共线，进而求解即可. 【详解】由， 若与共线，则，即， 则与的夹角为锐角时，有，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】依题意，建立空间直角坐标系，由求得，再由得到动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球，因，则的最小值为到球心B的最小距离减去半径1，计算，利用二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】如图建立空间直角坐标系,    则由题意可得， 则， 则，由可知，动点的轨迹是以B为球心，1为半径的球， 的最小值为到球心B的最小距离减去半径1， 而， 则当时，取到最小值为，故的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)设，，若与互相垂直，求的值； (2)若点P在直线上运动，求当的值最小时，P点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）向量线性坐标运算与向量垂直的坐标条件可得； （2）利用向量共线设，由向量数量积坐标运算用表示，再求二次函数最值可得. 【详解】（1）由题意知， ， 所以， . 又与互相垂直， 所以， 解得. （2）因为点在直线上移动，所以存在实数使得 所以， ， 所以 ， 当且仅当时，上式取得最小值， 所以当的值最小时，点坐标为. C综合素养 1．（2026·江西南昌·三模）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量数量积坐标运算公式计算求解． 【详解】由题意可得， ，， ， 则，所以， ， 所以注意力输出向量为. 2．（2026·江西九江·一模）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的内积公式计算即可． 【详解】，，， ， 计算权重，所以， 可得权重向量， 所以，， ，注意力输出向量为． 故选：A． 3．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积计算公式即可求解． 【详解】如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 则当时取得最小值，此时最小值为． 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，． (1)写出，写出（用含x的式子表示）； (2)当，写出的最小值及此时x的值． 【答案】(1),； (2)的最小值为4，. 【分析】（1）由的定义即可求解. （2）画出图像数形结合求解. 【详解】（1）由题可知： ,. （2）， ，. 在同一个坐标系中作出的图像如下图所示： 因为， 则函数的图像是图中加粗部分折线， 由，得，则， 由，得，则， 由图可知，当时，有最小值4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 2.1空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． 2.2空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 【即学即练1】（25-26高二下·江苏苏州·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 知识点02：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点03：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 【即学即练2】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 【即学即练3】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 第三部分 题型精讲 题型01空间向量的坐标表示 【典例1】（25-26高二上·山东·期中）在平行六面体中，已知点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·辽宁朝阳·阶段检测）已知点，点，则向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·北京·期中）三角形中，，，，则边上的中线向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·北京·期中）已知向量，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）空间直角坐标系中，，则（   ） A． B． C． D． 题型02空间向量的坐标运算 【典例1】（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西渭南·期末）若向量，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·河南·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）已知，则等于（    ） A． B． C． D． 题型03空间向量数量积（坐标形式求空间向量的数量积） 【典例1】（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【典例2】（25-26高二上·广东佛山·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东河源·期末）已知，，且，则（   ） A．-5 B．1 C．3 D．5 【变式2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知空间向量，，则 _______． 题型04空间向量数量积（坐标形式求空间向量数量积的最值范围问题） 【典例1】（25-26高三上·重庆·期中）已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【典例2】（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 【变式1】（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·湖南岳阳·开学考试）已知正四面体的棱长为1，为空间中一点，则的最小值为________． 题型05空间向量的模（坐标形式求空间向量的模（距离，长度）） 【典例1】（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_____. 【变式1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 【变式3】（25-26高二上·广东深圳·期中）设，向量，且，则（    ） A． B． C．4 D．3 题型06空间向量的模（坐标形式求空间向量模的最值（范围）问题） 【典例1】（24-25高二上·辽宁·阶段检测）如图所示，为棱长为1的正方体内部（含边界）一点，则的最值之和为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 【变式1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江西上饶·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是__________． 题型07空间向量的夹角问题（坐标形式） 【典例1】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【变式1】（25-26高二上·福建泉州·期末）在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 题型08空间向量的投影向量（坐标形式） 【典例1】（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西南昌·三模）已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_________. 【变式3】（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知，则在上的投影向量为__________.（用坐标表示）. 题型09空间向量的平行、垂直关系（坐标形式） 【典例1】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【典例2】（25-26高一下·河北保定·阶段检测）已知空间向量，，若，则实数的值为_________． 【变式1】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【变式2】（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知空间向量，，，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（25-26高一下·广西南宁·期末）已知向量，，且，则__________． 题型10易错题型根据空间向量成锐角（钝角）求参数 【典例1】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【典例2】（25-26高二下·湖南娄底·开学考试）已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【变式1】（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为_________. 【变式2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是______. 【变式3】（25-26高二上·甘肃武威·期中）已知向量． (1)若，求实数k； (2)若向量与所成角为锐角，求实数k的取值范围． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 3．（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 4．（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 6．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·贵州黔东南·期中）已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二上·山东泰安·期末）下列选项正确的是（    ） A．已知点是点在坐标平面内的射影，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，若，则为钝角 D．若，则在上的投影向量为 三、填空题 9．（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 四、解答题 10．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． B能力提升 1．（25-26高三上·重庆·期中）已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 2．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 4．（25-26高三上·上海·开学考试）正方体棱长为4，点满足，点满足，则的最小值为______. 5．（24-25高二上·云南楚雄·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，. (1)设，，若与互相垂直，求的值； (2)若点P在直线上运动，求当的值最小时，P点的坐标. C综合素养 1．（2026·江西南昌·三模）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江西九江·一模）注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）。在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为。现有，，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）在长方体中，，为线段上一动点，则的最小值为____． 4．（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 5．（25-26高二上·北京·阶段检测）对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值．已知，． (1)写出，写出（用含x的式子表示）； (2)当，写出的最小值及此时x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $