1.4 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

第2课时　空间中直线、平面的平行　　► 对应学生用书P30 学习目标　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，以培养数学抽象能力．(重点)　2.能用向量方法证明空间中直线、平面的平行关系，以培养逻辑推理能力．(重点、难点)　 如图为某中学运动会升旗仪式的场景，观察图片，旗杆底部的平台与地面平行，旗杆所在直线与护旗学生所在直线平行． 问题1　 旗杆底部平台所在平面的法向量与地面所在平面的法向量有什么关系？ 提示：平行． 问题2　 旗杆所在直线的方向向量与竖直楼面的法向量有什么关系？ 提示：垂直． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P29，说一说“设直线l的方向向量为μ，向量a，b是平面α内的两个不共线向量，若l∥α，则向量μ，a，b有什么关系？”． 提示： 三向量共面，即μ＝xa＋yb. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　 ) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　 ) (3)平面的法向量平行时，两平面平行．(　　 ) 提示：(1)√　(2)×　(3)× 　 直线与直线平行 双杠是男子竞技体操项目之一．它是由金属的架子支撑两条平行的木头、塑胶或合成金属制成的杠．一套典型的双杠动作包括在支撑位置、倒立位置和挂臂位置的转换．双杠于1896年被列为奥运会比赛项目． 问题3　如何利用向量的方法证明图中l1∥l2？如何证明两个向量a，b(b≠0)平行？ 提示：(1)证明两直线的方向向量平行即可． (2)要证a∥b，只需证明a＝λb(λ∈R). 问题4　两条直线平行，它们的方向向量平行吗？ 提示：平行． 利用向量证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 温馨提示 例1　(链接教材：人A版教材P31练习T2)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求证：MN∥AP. 证明：方法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直．以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，N，所以＝(－1，0，1)，，所以，又M∉AP，故MN∥AP. 方法二　由题意可得＝＝，又M∉AP，所以MN∥AP. 类题通法 　 证明线线平行的两种思路 (1)(基向量法)用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明． (2)(坐标法)建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示. 【迁移运用】 1.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，点M在棱BB1上，且BM＝2MB1，点S在棱DD1上，且SD1＝2SD，点N，R分别为棱A1D1，BC的中点．求证：MN∥RS. 证明：方法一　如图所示，建立空间直角坐标系， 根据题意得M，N(0，2，2)，R(3，2，0)，S. 则分别为MN，RS的方向向量， 又＝， 所以，所以∥，因为M∉RS，所以MN∥RS. 方法二　设＝c， 则， ． 所以，所以∥.又R∉MN，所以MN∥RS. 　直线和平面平行 　　　如图所示，这是厦门大学的校门． 问题5　校门上部的下边线m与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行，这是为什么呢？能用向量法证明这一问题吗？ 提示：(1)因为柱子与地面垂直，所以柱子和地面的任意线垂直，那么在地面内存在一条直线l与m在同一平面内，且都与柱子垂直，所以l∥m，由线面平行的判断定理可推出校门上部的下边线与地面平行． (2)能．证明m的方向向量与地面的法向量垂直即可． 问题6　如果直线l的方向向量为u，平面α的法向量为v，且u⊥v，那么l与α平行吗？ 提示：不一定，也可能l在α内， 设u是直线l 的方向向量，n是平面α 的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 温馨提示 (1)证明线面平行的关键是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)特别强调直线在平面外. 例2　(链接教材：人A版教材P30例3)在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB. [思路点拨] 构想 转化 反思 法向 量法 由法向量n·＝0，得出n⊥ PA∥平面EDB的判断方法总结 共线法 由，得出线线平行 共面法 ，得出三向量共面 证明： 如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，设PD＝DC＝a.连接AC，交BD于点G，连接EG，依题意得D(0，0，0)，A(a，0，0)，P(0，0，a)，E，B(a，a，0)． 方法一　设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，又，则有 即即 令z＝1，则所以n＝(1，－1，1)， 又＝(a，0，－a)，所以n·＝(1，－1，1)·(a，0，－a)＝a－a＝0，所以n⊥. 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法二　因为四边形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心， 故点G的坐标为， 所以. 又＝(a，0，－a)，所以，则PA∥EG. 而EG⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 方法三　假设存在实数λ，μ使得， 即(a，0，－a)＝λ， 则有解得 所以， 又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB. 类题通法 　 证明线面平行的方法 (1)设a是直线的方向向量，u是平面的法向量，只需证明a⊥u，即a·u＝0； (2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可； (3)只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线的向量线性表示即可. 　 　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝AB＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由． 解：分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图． 则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0).假设在棱PD上存在符合题意的点E， 设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)． ∵∥， ∴－y－2(z－1)＝0　①. ∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)， 由CE∥平面PAB，可得⊥. ∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，∴y＝1，代入①式得z＝. ∴E是PD的中点，即存在点E为PD的中点时，CE∥平面PAB. 　 平面和平面平行 吊环是男子体操项目之一，“水平十字”是吊环的标志性动作，要求运动员在双臂支撑下，在空中将身体舒展，所形成的平面与地面平行，身体躯干与双臂要形成“十字”形．在比赛中，裁判只要观察运动员双臂躯干是否与地面平行，即可判断该动作是否标准． 问题7　怎样说明人体形成的平面与地面平行？ 提示： 因为人体两臂与地面平行，躯干与地面平行，人体两臂与躯干相交，所以根据平面与平面平行的判定定理可知，人体形成的平面与地面平行． 问题8　如何用平面的法向量说明人体形成的平面与地面平行？ 提示： 把两根吊环看成是人体形成的平面与地面的法向量，两根吊环平行，则人体形成的平面与地面平行． 设n1，n2分别是平面α，β 的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 温馨提示 　 证明面面平行时，必须说明两个平面不重合. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　(链接教材：人A版教材P30例2)在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1. 证明：因为四边形ABCD为等腰梯形，AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，所以BF＝BC＝CF，所以△BCF为正三角形， 所以∠BAD＝∠ABC＝60°， 取AF的中点M，连接DM， 则DM⊥AB，所以DM⊥CD. 以D为原点，DM所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A，F，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，所以＝(0，0，2)，＝，＝＝(0，0，2)， 所以∥∥， 所以DD1∥CC1，DA∥CF， 又DD1∩DA＝D，CC1∩CF＝C，DD1，DA⊂平面AA1D1D，CC1，CF⊂平面FCC1， 所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 类题通法 　 利用空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法：建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，证明两个法向量平行． (2)间接证明法：根据两个平面平行的判定定理，把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行，再利用空间向量证明. 【迁移运用】 3.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：平面EGF∥平面ABD. 证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4). 设BA＝a，则A(a，0，0)，G(，1，4). 法一　因为＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)， 所以＝0， 所以⊥⊥， 所以是平面ABD的法向量． 因为＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)， 所以＝0， 所以⊥⊥， 所以是平面EGF的法向量． 所以平面EGF∥平面ABD. 法二　因为， 所以，所以GF∥BA， 又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD， 所以GF∥平面ABD， 同理EF∥平面ABD， 又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF， 所以平面EGF∥平面ABD. 　　 1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则(　　 ) A．l1∥l2 B．l1与l2相交 C．l1与l2重合 D．l1∥l2或l1与l2重合 解析：选D.∵b＝－2a，∴l1与l2平行或重合． 2．(多选)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，l⊄α，则能使l∥α的是(　　 ) A．a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1) 解析：选AD.若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝0，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，D中a·n＝－3＋3＝0. 3．若两个不重合平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则平面α，β的位置关系为________________________________． 解析：∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. 答案：α∥β 4．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，则实数m的值是________． 解析：∵l∥平面ABC， ∴存在实数x，y， 使a＝x＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)， ∴(2，m，1)＝x(1，0，－1)＋y(0，1，－1)＝(x，y，－x－y)， ∴∴m＝－3. 答案：－3 学科网（北京）股份有限公司 $