1.1 集合的概念课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念与运算，涵盖元素特性、表示方法及常用数集，通过实例导入结合基础、中档、拔高分层练习，搭配思维导图搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“数学思维”为核心，通过分类讨论（如集合与方程综合问题）和结构化解题培养推理能力，用规范符号（∈、∉）和描述法强化“数学语言”表达，助力学生系统掌握知识，教师可实现一体化教学提升效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 本节学习集合与元素的概念，了解集合中元素的确定性、互异性、无序性，掌握集合的表示方法，能够识别常用数集，初步建立集合的数学思维 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括89张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 集合与元素的含义 1 集合与元素的含义 一般地，我们把研究对象（具有广泛性.）统称为元素，把一些元素（具有共同特征 或属性.）组成的总体（具有整体性）叫做集合（简称为集）. 我们通常用大写拉丁字母,,, 表示集合，用小写拉丁字母,,, 表示集合中 的元素. 教材帮 4 知识剖析 对集合概念的理解 1.描述性：“集合”是一个原始的、不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面” 等概念一样，都只是描述性的说明. 2.对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事与物等，都可以看 作“对象”，即集合的元素.它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、点、图形、人、 物等. 3.元素：具有共同的特征或共同的属性的对象. 4.总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成 了集合，这个集合就是这些对象的总体. 教材帮 5 2 元素与集合的关系 关系 概念 符号 读法 属于 如果是集合的元素，就说属于集合 . 属于 . 不属于 如果不是集合中的元素，就说不属于集合 . 不属于 . 特别提醒 1.对于元素与集合，在与 这两种情况中必有一种且只有一种情况成立. 2.符号“ ”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系,注意开 口方向.（开口方向都向着集合） 教材帮 6 3 集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的，也 就是说，给定一个集合，那么一个元素在 或不在这个集合中就确定了. 若用集合 表示中国各省的省 会，则郑州，洛阳 . 互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的，也 就是说，集合中的元素是不重复出现的. 若实数,是集合 中的两个元 素，则 . 无序性 构成集合的元素间无先后顺序之分. 由1，0构成的集合和由0，1构 成的集合是同一个集合. 教材帮 7 4 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的（与元素顺序无关，即无序性），我们就称这两 个集合是相等的.集合与集合相等记作 . 知识剖析 （1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等． （2）集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可能相等.比如由所有大 于0且小于5的自然数构成的集合与由1，2，3，4构成的集合相等． 5 集合的分类 教材帮 8 例1 ［多选题，教材改编P2引例］下列各对象可以组成集合的是( ) ACD A.1到20内的所有质数 B.中国著名的数学家 C.我国古代四大发明 D.某学校今年入学的高一学生 判断指定的一组对象能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准. 【解析】 选项 分析 结果 A 1到20内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19，是确定的. √ B 如何才算著名？标准不明确. C 我国古代四大发明为造纸术、指南针、火药、印刷术，是确定的. √ D 集合中元素明确，能构成集合. √ 教材帮 9 因数、质数与合数 （1）因数：整数除以整数的商正好是整数而没有余数，称是 的因数.如 ，3和都是 的因数. （2）质数：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数.即 质数的正因数只有1和它本身.（质数又称素数） （3）合数：在大于1的自然数中，除了1和它本身外还有其他正因数. 教材帮 10 例2 ［教材改编P5习题1.1 T1］用符号“ ”和“ ”填空： （1）设集合是正整数的集合，则0___，___ ； 【解析】正整数是不包含0的自然数，如1,2,3, ,显然0和都不属于 . （2）设集合是小于的所有实数的集合，则___,___ . 【解析】因为，所以属于；因为 ，所以 不属于 ． 教材帮 11 问题质疑 已知,, 为集合中的三个元素，它们可构成某一个三角形的三边的长，那么此三角 形能否为等腰三角形？ 根据集合元素的互异性可知，,, 三个元素互不相等，若此三个元素构成某 一三角形的三边长，则此三角形一定不是等腰三角形． 教材帮 12 知识点2 集合的表示方法 1 常用数集及其记法 数集 意义 符号 非负整数集（或自然数集） 全体非负整数组成的集合 正整数集 全体正整数组成的集合 或 整数集 全体整数组成的集合 有理数集 全体有理数组成的集合 实数集 全体实数组成的集合 教材帮 13 特别提醒 <m></m>，<m></m>,<m></m>的区别与联系 1.<m></m>为非负整数集（或自然数集），而<m></m>或<m></m>表示正整数集，不同之处就是<m></m>包括0， 而<m></m>不包括0. 2.<m></m>和<m></m>的含义是一样的，注意不要误记.（*在右上角（天上）,<m></m>在右下角 （地下）） 教材帮 14 2 集合的表示方法 方法 含义 自然语言 用文字叙述的形式描述集合的方法. 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的 方法.花括号里的元素用逗号隔开，如，2， . 描述法 用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法.基本形式为 , 是集合的代表元素，集合是的取值（或变化）范围， 是集合中 元素所具有的共同特征.用图表示如下： __________________________________________________________________________________________________ 教材帮 15 方法 含义 图示法 用平面上封闭曲线（例如：圆、矩形、椭圆等）的内部表示集合的方法. 续表 教材帮 知识剖析 使用列举法表示集合时的注意点 1.花括号“”表示“所有”“整体”的含义.如实数集可以写为{实数 ，不能写成{实数 集，全体实数， }. 2.列举元素时注意元素的互异性.如方程 有两个相等实数根，但它的 根构成的集合只能表示为 . 3.根据集合中元素的无序性，元素的书写一般不考虑顺序.如由1,2,3构成的集合可表 示为，， . 教材帮 17 4.用列举法表示集合时要遵循以下规则： （1）元素个数少且有限时，全部列举，如,，2，3， ； 与是不同的，是集合的元素，集合是由一个元素组成的集合 （2）元素个数多且有限时，在不发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为 代表，其他元素用省略号表示，如“从1到100的所有自然数”可以表示为 ，2，3， ， ； （3）元素个数无限但有规律时，可类似于（2），如自然数集可以表示为 ，1， 2，3， . 不是所有集合都能用列举法表示. 教材帮 18 对描述法的几点说明 1.描述法还有文字描述法，即用文字描述元素具有的特征，再用“ ”括起来表示集 合的方法，如{自然数}= . 教材帮 19 2.使用描述法表示集合时要注意： ①竖线前写清元素的代表符号，如不能写成 ; ②竖线后用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式等； ③不能出现未被说明的字母，如中 未被说明，故元素是不确定的； ④所有描述的内容都要写在花括号内，如“, ”不符合要求，应 写为, ; ⑤如果从上下文的关系看，，是明确的，那么， 可以省略，只 写元素，如集合也可表示为 . 3.多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如 或 等. 教材帮 20 例3 ［多选题,教材改编P5练习T2］下列表示正确的是( ) AD A. B. C. D. 【解析】0是自然数（0是最小的自然数），即有 ，故A正确； 不是整数，即有 ，故B错误； 是负整数，即有 ，故C错误； 是无理数，即有 ，故D正确. 教材帮 21 常用数集之间的关系 教材帮 22 例4 用列举法表示下列集合： （1） }=_____________; ，3，4， 【解析】 , 且能整除6. 又, ,3,4,5， ，3，4， . （2） }=_____________. ，2，3， 【解析】由（1）知，当为0，3，4，5时， 相应的值分别为1，2，3，6，都是自 然数，，2，3，.（集合的代表元素是,注意与集合 区分） 教材帮 23 用列举法表示集合的步骤 ①求出集合中的元素； ②把各元素列举出来，并用花括号括起来； ③检查元素是否符合集合中元素的互异性. 教材帮 24 例5 用描述法表示下列集合： （1）{，，，， }； 【解析】可表示为，且 ． （2）偶数集； 【解析】可表示为，}．（奇数集可表示为, }） （3）被3除余2的正整数组成的集合； 【解析】可表示为， }． 设被3除余2的数为，则，，但此题要求 为正整数，故 ，，也可以写成，.（注意此时 从1开始） . . 教材帮 25 （4），，，， ． 【解析】可表示为， ． 集合中各元素为正整数的平方，故各元素可表示为， ，也可以写成 ，．（注意此时 从0开始） . . 教材帮 26 用描述法表示集合的步骤 ①弄清元素的形式； ②写出代表元素，写在“ ”前面； ③确定元素所具有的属性，写在“ ”的后面; ④用花括号把它们括起来． 教材帮 27 知识点3 数集和点集 集合的元素类型多以数、点、图形或方程等形式出现，对于已知集合,必须弄清集合 元素的形式，特别是对于用描述法给定的集合，要弄清它的代表元素是什么，代表 元素有何属性. 一般地，在用描述法表示数集与点集时，数集的代表元素用一个字母表示，点集的 代表元素用有序实数对表示，即通常表示数的集合， 通常表示点的 集合. 教材帮 28 知识剖析 学生在求一次函数与 图象的交点组成的集合时,要么 无所适从，无法找到解题的切入点（由于教材在此之前没有出现点集），要么写错 集合（解方程组得于是将集合写成， ），究其原 因是没有弄清楚点集的含义.此题的集合是由平面直角坐标系中两个一次函数图象的 交点组成的，应写为}或,而，是两个方程 ， 组成的集合，两者有本质区别.#2 教材帮 例6 指出下列集合的含义： （1） ; （2） ; （3） ; （4） . 教材帮 30 【解析】 集合 集合的含义 数集 表示函数 的自变量的所有取值组成的 集合，即 . 表示函数 的所有函数值组成的集合， 即 . 表示方程的解集，即, . 点集 表示函数 图象上所有的点组成的集合. 教材帮 31 方法帮丨解题突破 题型1 元素与集合关系的判断与应用 类型1 元素与集合关系的判断 例7 ［多选题,教材改编P5习题1.1 T1（3）］(2026·江西省会昌中学月考)若集合 ，则下列关系正确的是( ) AD A. B. C. D. 方法帮 32 【解析】由可得 , 解得或 ， 所以， ， 因此，，， （运用直接法判断元素是否在集合中） 方法帮 33 解题通法 多选题的解答技巧 多选题比单选题的区分度更大，是数学高考题型中不易得满分的题型，因此，突破 多选题的解法对于高考提分至为关键.如何快速而准确地解答是对基础知识与基本方 法掌握程度的考验. 除运用直接法一一确定所有选项外，还应多分析选项之间的关系（是否对立、是否 相近或类似、是否有间接关系或递进关系、是否有上下位关系、是否有等价关系 等），进而确定选项.#1.3 方法帮 34 除此之外，还有特例排除法、数形结合法、构造法等.一般地，数学多选题的正确选项 为2个或3个，既然是多选题就不会只有1个正确选项，也不会有4个正确选项，因为这 样会降低试题的区分度和有效率.因此当确定了3个正确选项，或排除了2个选项，便可 确定答案，而无须再判定其他选项了，这样就为解决其他题目提供了时间和精力. 特别强调“宁缺毋滥”原则.由于多选题的指导语是“全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分”，因此，解答多选题，尽量把有把握的正确选项选出来， 对于难以判定的选项放弃选择，这样既可确保得部分分，又节约了时间.#1.5 方法帮 35 例8 已知集合,， }. （1）试分别判断，，与集合 的关系; 【解析】 ， 因为0,，所以 ；（运用推理法判断该元素是否满足集合中元素的共同特 征） ， 因为，，所以 ； ， 因为9，，所以 . 方法帮 36 （2）设,，证明 . 【解析】因为,,所以可设,,且,,, , 所以 . 因为,,所以 . 方法帮 37 数学思维 思维过程 栏目意义 给什么得什么 由,,可知集合是由整数与 的整数倍的和组成的集合. 对题目给出的条 件进行联想，并 推出一些结论. 求什么想什么 在（1）中，判断元素与集合的关系，关键看所给 元素是否能够写成一个整数与 的整数倍的和. 同样在（2）中，是要证明 存在这样的特征. 依据求解目标思 考应该朝哪些方 向走. 方法帮 38 数学思维 思维过程 栏目意义 差什么找什么 在（2）中，由,可设 （其中,）,（其中 , ），于是只需证明 展开后为一个整数与 的整数倍的和即可. 找到连接条件与 结论之间的桥梁. 续表 方法帮 39 解决一道数学题乃至很多问题的关键就是要把问题的条件与结论关 联在一起，即把连接条件与结论之间的隐形桥梁挖掘出来.依照本例【学审题】的三 个入口进行审题，有助于我们快速打通思路，挖掘隐形桥梁.【学审题】实质就是综 合分析法，它的好处在于：在这里我们提出固定的三个审题入口，每当我们需要解 决问题时，分别从这三个入口想一想，就会快速找到解决问题的途径.因此掌握了 【学审题】，就等于拿到了解题的万能钥匙. 方法帮 40 解题通法 判断元素与集合关系的方法 1.直接法:若集合中的元素是直接给出或者可求出的，则只要判断该元素在已知集合 中是否出现即可. 2.推理法:对于没有直接给出或无法求出元素的集合，只要判断该元素是否满足集合 中元素的共同特征即可. 方法帮 41 练变式1 [多选题]设集合，集合,, ，则下列是 集合 中元素的是( ) ABC A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】因为集合，2，，集合,, ，（【易错点】 注意, 可以相等） 所以，对比各选项可知，选 . 方法帮 42 类型2 已知元素与集合的关系求参数的值或取值范围 例9 若，则实数 的取值范围是__________. 方法帮 43 例10 ［多选题］(2026·江苏省徐州市睢宁县菁华高级中学月考)若, , ，则实数 的可能取值为( ) ABD A.4 B.2 C.1 D. 方法帮 44 【解析】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论. 当时，，此时,,故 符合题意； 当时，，此时 ,（【明易错】求得参数的值后，要 将参数值代回原集合进行检验，判断集合中元素是否满足互异性，否则易造成错解） 不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，经检验 符合题意. 综上可知，或 . 方法帮 45 解题通法 已知元素与集合的关系求参数的思路 当时，若集合是用描述法表示的，则 一定满足集合中元素的共同特征，如满 足方程（组）、不等式（组）等；若集合是用列举法表示的，则一定等于集合 中的某个元素.反之，当 时，结论相反. 利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素 的互异性对求得的参数值进行检验. 方法帮 46 练变式2 (2026·广东省佛山市联考)已知集合，若且 ， 则 的取值范围是( ) C A.} B. C.} D. } 【解析】因为且 ，（1满足不等式，2不满足不等式） 所以解得 . 方法帮 47 题型2 已知集合相等求参数 例11 ［教材改编P9 T5（1）］设,，若集合,,,, ，则 ___. 2 第1步 方法帮 48 第2步 第3步 只有 这一种情况成立. 第4步,, . 两个集合相等，其元素完全相同，顺序可以不同，解题过程中要注 意,， . 方法帮 49 例12 (2026·河北省承德市高新区第一中学月考)已知集合，, , ，且，则 ( ) A A. B.1 C. D.0 【解析】方法1：因为集合,,,，且 ，所以 解得 . 方法2：若集合，则, 中元素的积（【小结论】若两个集合相等，则两集合 中元素的和与积均相等）相等， 所以,即，解得 . 经验证，符合集合中元素的互异性，且两个集合相等. 方法帮 50 解题通法 已知集合相等求参数的方法 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系.先分析一个集合中的元素 与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解.当 集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否使集合 中的元素满足互异性. 也可以由结论：两集合相等，则两集合中元素的和与积均相等快速求解,也需验证集 合中的元素是否满足互异性. 方法帮 51 练变式3 已知数集，，,,，则由实数 的值组成的集合为 _______． , 方法帮 52 【解析】方法1：若，则，此时,,,,,, , ,,，故 满足题意； 若，则，此时 ， 这不符合集合中元素的互异性（注意检验），故 不满足题意； 若，则，此时,,,,,,, , ,，故 满足题意. 故所求集合为, . （讨论对象也可以是或 ，但解题思路是一致的） 方法2：因为两集合相等，所以两集合中元素的和相等. 所以,即，解得 . 经检验,均满足题意.故所求集合为， . 方法帮 53 题型3 集合表示方法的应用 例13 ［教材改编P6 T4］用适当的方法表示下列集合： （1）方程组 的解集； 【解析】解方程组得 故解集可用描述法表示为 ，（注意代表元素为）也可用列举法表示为 . （2）所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； 【解析】小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11,可用列举 法表示为，5，7， . 方法帮 54 （3）方程 的实数根组成的集合； 【解析】方程的实数根为1和，因此可用列举法表示为， ,也 可用描述法表示为 . （4）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； 【解析】集合的代表元素是点，可用描述法表示为且 . （5）二次函数 的图象上所有的点组成的集合; 【解析】二次函数 的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点 ，其中,满足 ，由于点有无数个，则用描述法表示为 . 方法帮 55 （6）二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合. 【解析】二次函数 的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元 素为 （注意（5）（6）的区别，（5）是点集，（6）是数集），是实数，故可用描 述法表示为 . 方法帮 56 有些集合既可以用描述法也可以用列举法表示，二者可以相互转化， 比如本例的（1）（3）；有些集合更适合用列举法表示，比如本例的（2）；有些集 合只能用描述法表示，比如本例的（4）（5）（6）. 解题通法 选用列举法或描述法的原则 要根据集合中元素所具有的属性选择适当的表示方法. 何谓适当方法？这需要我们准确把握列举法和描述法的优缺点.列举法的特点是能清 楚地展现集合的元素，通常用于表示元素较少的集合，当集合中元素较多或无限时， 就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便，通常用于表示元素具有 明显共同特征的集合，当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时，就不宜 采用描述法. 方法帮 57 练变式4 [多选题]下列说法错误的是( ) BCD A.在平面直角坐标系内，第一、三象限内的点组成的集合为 B.方程的解集为, C.集合用列举法表示为,0, D.集合，5，9，13，用描述法可以表示为,, 方法帮 58 【解析】对于A，第一象限内的点满足，，第三象限内的点 满 足， ，故A正确； 对于B，方程的解为故解集为 ，（是一个点集）故B错误； 对于C，，即，解得或或 ， 因为，所以集合用列举法表示为 ，故C错误； 对于D，当时，，集合，5，9，13， 中不存在该元素，所以D错误. 故选 . 方法帮 59 题型4 集合与方程的综合问题 对于一元二次方程，, 时方程有两个不相等的实根，时方程有两个相等的实根， 时方程没有实 根.这给我们求解方程的解集中元素的个数问题提供了依据.下面我们来具体探讨. 方法帮 60 例14 (2026·广东省肇庆市第一中学月考)若集合 中只有一个元素，则 ( ) D A. B. C.0 D.0或 方法帮 61 【解析】由题意知 有一个实数解或有两个相同的实数解. 当时（注意对二次项系数的讨论），方程有一个解 ； 当时，由,解得 . 故的值为0或 . 上述例题是最基础的一元二次方程与集合的交汇问题，体现了最基 本的分类讨论思想，以此题为母题，通过改变条件或结论得到一系列变式.这些问题 的解决，有利于我们掌握解决集合与方程的综合问题的通性通法. 方法帮 62 子题 若把题干中的条件“只有一个元素”改为“至多有一个元素”或“至少有一个元素”， 我们该如何求解实数 的取值范围？ 【答案】或， } 【解析】“至多有一个”表示有一个或者有0个，“至少有一个”表示有一个或者有两个. 由上面示例的求解过程可以知道，当时，方程有一个解 ，符合题意，因 此只需当时，求解或 即可. 方法帮 63 例15 满足,,0,1,,且关于的方程 有实数解的有序数对 的个数为( ) B A.14 B.13 C.12 D.10 【解析】,,0,1, ,可分下列两种情形. ①当时，方程为 ,此时一定有解. 当,0,1,2时，满足条件的有序数对为，，， . ②当时，方程为一元二次方程，因为有实数解，所以 ,所以 .当,1,2时，满足条件的有序数对为，， ， ，，，，， .（在列举有序数对时，注意不要遗漏， 要按一定规律列举） 故满足关于的方程有实数解的有序数对 的个数为13. 方法帮 64 解题通法 集合与方程的综合问题的求解思路 对于方程 的实数解集的元素个数问题，一般思考过程如下: 第一步：判断方程的类型，先考虑是否为0，若不是，则执行第二步;若是，再看 是否为0.若，则方程有唯一解，即解集中的元素个数为1;若, ，则方 程有无数解，即解集为无限集;若, ，则方程无解，即解集中的元素个数为0. 第二步：判断一元二次方程解的情况，考虑一元二次方程 的根的判别式 , 若，则解集中有两个元素；若，则解集中有一个元素；若 ，则解集 中的元素个数为0. 方法帮 65 练变式5 (2026·广东省中山市期中)已知集合 . （1）若集合中有两个元素，求实数 的取值范围； 【答案】 集合 中有两个元素， 关于的方程 有两个不等的实数根， ，且，即，且 . 故实数的取值范围是或 . 方法帮 66 （2）若集合中至多有一个元素，求实数 取值范围. 【答案】当时，方程为,，集合 只有一个元素，符合题意； 当 时， 若关于的方程 有两个相等的实数根， 则集合中只有一个元素，即， ， 若关于的方程没有实数根，则集合 中没有元素，即 , . 综上可知，实数的取值范围是或 . 方法帮 67 新考法 思维创新 例16 [新定义·融洽集]集合关于运算 满足：（1）对任意的, ,都有 ;（2）存在,对任意,都有,则称关于运算 为“融洽集”.现给出下列集合和运算： 是非负整数， 为整数的加法； 是偶数， 为整数的乘法； 是二次三项式， 为多项式的加法. 其中关于运算 为“融洽集”的是____.（写出所有满足条件的序号） ① 方法帮 68 条件（1）即对于中任意两个元素，，经过新运算 后结果仍在 中；条件（2）即在中存在一个特殊元素,使得与中任意一个元素 ，经新运算 后仍是 本身. 【解析】是非负整数， 为整数的加法，满足对任意, ,都有 ,且存在,使得,所以①中的关于运算 为“融洽集”； 是偶数， 为整数的乘法，若存在，使 ,则 ,与矛盾，所以②中的关于运算 不是“融洽集”； 是二次三项式， 为多项式的加法，两个二次三项式相加得到的可能 不是二次三项式，比如,所以③中的关于运算 不是“融洽集”. 综上可知，关于运算 为“融洽集”的只有①. 方法帮 69 新定义型集合问题是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已 学的集合知识来求解的一种新型集合问题.集合中的“新定义”经常以数学符号的形式 出现，这类题目形式新颖，能很好地考查学生的逻辑推理等核心素养，因此在近年 成为各类考试的新切入点.求解此类问题时，应充分利用题目所给的信息，准确地将 其转化为已掌握的知识进行求解. 方法帮 70 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：25分钟 1.在“①难解的题目；②方程 在实数集内的解；③平面直角坐标系中第四 象限内的所有点；④很多多项式”中，能够组成集合的是( ) A A.②③ B.①③ C.②④ D.①②④ 练习帮 71 【解析】①难解的题目，不满足元素的确定性，不能组成集合； ②方程的解为或，即方程 在实数集内的解组成的 集合为， ； ③直角坐标平面上第四象限内的所有点组成的集合为, ； ④很多多项式，不满足元素的确定性，不能组成集合. 故选A. 练习帮 72 2.(2026·广东省茂名市联考)已知，2，，则 的取值为( ) C A.1 B.1或2 C.0或2 D.0或1或2 【解析】若，则 ，不满足互异性； 若，则，此时集合为，2， ，满足题意； 若，则或（已验证，不符合），当时，集合为，2， ，满 足题意． 综上， 的取值为0或2. 练习帮 73 3.(2026·四川省眉山市期中)已知集合.若1是集合 中的 一个元素，则集合 ( ) C A. B. C.{-， D.{， 【解析】，，， 集合 中的方程为 ，解得或,， . 4.若，1，，，，,，，则 中元素的个 数为( ) C A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】由，1，，，，,， ， 得，3，4，6，，所以 中元素的个数为5．故选C． 练习帮 74 5.(2026·安徽省芜湖市期中)已知集合，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以,, ,1,2,4， 若，则 ，符合题意； 若，则 ，符合题意； 若，则 ，符合题意； 若，则 ，符合题意； 若，则 ，符合题意； 若，则 ，不符合题意. 所以 . 练习帮 75 6.［多选题］ (2026·广东省茂名市田家炳中学月考) 下列说法中不正确的是( ) ABC A.0与 表示同一个集合 B.集合，与 表示同一个集合 C.方程的所有解的集合可表示为，1， D.集合 不能用列举法表示 练习帮 76 【解析】0是一个元素（数），而 是一个集合，二者是属于的关系，因此A不正确； 集合，表示数3，4构成的集合，而 表示点集，因此B不正确； 方程的所有解的集合可表示为， ，因此C不正确； （也可由集合中元素的互异性判断C错误） 集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，因此D正确.故选 ． 练习帮 77 7.已知，，，，，，若 ，则实 数 的值为___. 1 【解析】方法1：当时，,,1,,,1,,满足 ; 当时，,,,,,,},不满足 ; 当 时，无解. 综上， . 方法2：因为两集合相等，所以两集合中元素的和相等. 所以 , 即，解得或 . 当 时，两集合不相等； 当 时，符合集合中元素的互异性，且集合相等. 故 . 练习帮 78 8.用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； 【答案】月，3月，5月，7月，8月，10月，12月 . （2）大于 小于12.8的整数的全体； 【答案】，，，0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, . （也可表示为 ） （3）所有能被3整除的数的集合； 【答案】, . （4）方程 的解集； 【答案】 . 练习帮 79 （5）不等式 的解集； 【答案】 . （6）抛物线 上的点组成的集合. 【答案】 . 练习帮 80 B 综合练丨高考模拟 建议时间：20分钟 9.(2026·江西省九江市月考)已知,, 为非零实数，集合 ，则下列判断正确的是( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意，分4种情况讨论： ①,,全部为负数时，也为负数，则 ； ②,,中有一个为负数时，也为负数，则 ； ③,,中有两个为负数时，为正数，则 ； ④,,全部为正数时，也为正数，则 . 则，0， ，分析选项可得A符合．故选A． 练习帮 81 10.［多选题］ 已知集合 中有且仅有一个元素， 那么 的值为( ) BC A. B.1 C. D.0 【解析】当，即 时， 若，则 ，符合题意， 若，则，无解，集合 中没有元素，不符合题意； （切勿以为二次项系数为0，方程就有1个解） 当，即 时， 则 ， 解得（舍）或 . 综上，的值为1或.故选 . 练习帮 82 11.(2026·湖北省武汉市第十一中学月考)设集合,3,, ， ,，已知且，则 的取值集合为____. 【解析】因为，即,3,, ， 所以或 . 若，则或 , 当时， ，不符合集合中元素的互异性; 当时，，3，4， ，符合题意. 若，即，则或 ， 练习帮 83 由上面讨论知 不符合题意， 当时，，3，10， ，符合题意. 故或 . 又，即,，所以 ， 解得且 . 综上所述，的取值集合为 . 练习帮 12.数集满足：，若实数是集合中的一个元素，则 一定也是集合 中的 一个元素，求证： （1）若，则集合 中还有其他两个元素； 【答案】若，则 ， 若，则 ， 若，则 ， 故当时，集合中必含有另外两个元素， . 练习帮 85 （2）集合 不可能是单元素集合． 【答案】假设集合中只有一个元素，由题意可知，因为集合 为单 元素集合，所以 ， 即， ，此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合 不可能是单元素集合． 练习帮 86 C 培优练丨能力提升 13.［多选题，新定义·完美集］(2026·山东省新泰第一中学质检)若集合 具有以下两 条性质，则称集合 为一个“完美集”. （1）且 ； （2）若,，则，且当时， . 据此判断以下结论正确的有( ) BCD A.集合，0， 是“完美集” B.有理数集 是“完美集” C.设集合是“完美集”，若,，则 D.设集合是“完美集”，若,，则 练习帮 87 【解析】对A选项，， 集合不是“完美集”， 选项错误. 对B选项，有理数集（有理数集，，，， 当 ， 即时， ）满足“完美集”的两个条件， 选项正确. 对C选项， 集合是“完美集”，，又，，，即 , ，即， 选项正确. 对D选项，集合是“完美集”，若， ，则有以下3种情况： ①当时， ； ②当时， ； 练习帮 88 ③当且时，，，，， ，即 ，，又， 由C选项可知，即 ，同理 ，，又，， ， 即，，，即， . 综合①②③可得,集合是“完美集”，若,，则， 选项正确．故选 ． 练习帮 89 $