专题3.4 函数的奇偶性与对称性（9类必考点）-2026年初升高暑期数学自救计划（人教A版必修第一册）

专题3.4 函数的奇偶性与对称性 【知识梳理】 1 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 3 【考点2：由奇偶性求函数值】 4 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 4 【考点4：抽象函数的奇偶性】 4 【考点5：已知奇偶性求参】 5 【考点6：函数图象的识别】 6 【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 7 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 8 【考点9：判断或证明函数的对称性】 9 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 3. 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 4．函数奇偶性的应用 求解析式 利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解 求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法 比较大 小问题 一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小 抽象不等 式问题 其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 5．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 6．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 7．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）（多选）下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 5．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整. （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； 【考点2：由奇偶性求函数值】 1．（25-26高一上·浙江·期中）已知，，则______. 2．（2025·湖南·高考真题）已知为奇函数，，则 ． 3．（25-26高二上·上海宝山·开学考试）设（其中a､b､c为常数，），若.则___________. 4．（25-26高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 5．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数（为常数），若，则_______. 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 2．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时_______ 3．（25-26高一上·河北邯郸·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是______． 4．（2026年广东省中山市镇区五校高一上学期期中联考数学试卷）奇函数在上的表达式为，则在上的表达式为____________. 5．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数定义域为，当时，，则______；当时，______． 【考点4：抽象函数的奇偶性】 1．（【智】08作业（八）函数的奇偶性、周期性-【育博苑】2027高考一轮数学北师）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 2．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】）设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 3．（2026·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 4．（25-26高二下·河北·期末）（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．可能在上单调递增 5．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 【考点5：已知奇偶性求参】 1．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（25-26高一·河北保定·周测）已知函数，若是偶函数，则实数的值为 A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 4．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设 是定义在上的奇函数，则______ 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【考点6：函数图象的识别】 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数的图象大致是（    ） A．       B．   C．   D．   4．（25-26高一上·江苏常州·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 1．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2.3函数与方程[文]-《备战2026年高考精选考点专项突破题集》）定义在R上的偶函数，当时，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知偶函数的定义域为R．且在上为增函数，比较与 的大小（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是上的偶函数，且在上为增函数，若，且，则 A． B． C． D．无法比较与的大小 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 1．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点9：判断或证明函数的对称性】 1．（25-26高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 2．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 4．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 函数的奇偶性与对称性 【知识梳理】 1 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 3 【考点2：由奇偶性求函数值】 6 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 8 【考点4：抽象函数的奇偶性】 9 【考点5：已知奇偶性求参】 12 【考点6：函数图象的识别】 14 【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 17 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 20 【考点9：判断或证明函数的对称性】 23 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 (1)定义： 奇函数 偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 图象特征 关于原点对称 关于y轴对称 (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. 2．函数奇偶性的判断方法 (1)定义法： (2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y轴)对称. 3. 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇． 4．函数奇偶性的应用 求解析式 利用奇偶性将待求值转化到方程问题上，进而得解 求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法 比较大 小问题 一般解法是利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小 抽象不等 式问题 其解题步骤为：①将所给的不等式化归为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题 5．函数图象的对称性 (1)图象关于点成中心对称图形：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)-b为奇函数. (2)图象关于直线成轴对称图形：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数g(x)=f(x+a)为偶函数. 6．函数图象的识别、判断 (1)排除法：利用特殊点的值来排除； (2)利用函数的奇偶性、单调性来判断. 7．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 【考点1：判断或证明函数的奇偶性】 1．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中是奇函数且是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，但不是增函数，故A错误； 是奇函数，且在上是增函数，故B正确； 是偶函数，故C错误； 定义域为，是非奇非偶函数，故D错误. 2．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，函数，其定义域为，关于原点对称， 且，所以是奇函数，且在上单调递减，所以A符合题意； 对于B，函数，则满足，即函数的定义域为， 所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，且， 可得函数为偶函数，所以C不符合题意； 对于D，函数，根据幂函数的性质得，函数在上单调递增，所以D不符合题意. 3．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 4．（25-26高一下·四川泸州·期中）（多选）下列关于函数的说法中，正确的有（   ） A．的定义域为 B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．的值域为 【答案】AD 【分析】根据函数的奇偶性得出函数为奇函数，再利用单调性的定义，得到函数在上单调递增，结合基本不等式和对称性，即可求解. 【详解】因为函数， 可知，所以函数的定义域为，故A正确； 且，所以为奇函数，故B错误； 任取，且， 则， 因为，则且，可得， 所以在上单调递减，故C错误； 当时，，当且仅当时，等号成立， 又由结合为奇函数，可得的值域为，故D正确. 5．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）已知是奇函数，是偶函数，试将下图中的函数图象补充完整. （2）判断下列函数的奇偶性： ①； ②； ③； 【答案】 （1）由为奇函数，其图象关于原点对称，故大致图象如下， 由为偶函数，其图象关于轴对称，故大致图象如下， （2）①偶函数，②奇函数，③非奇非偶函数. 【分析】（1）根据奇偶函数图象的对称性画出大致图象即可； （2）利用奇偶性的定义判断各函数的奇偶性. 【详解】（1）略 （2）①的定义域为R，且，即函数为偶函数， ②的定义域为R，且，即函数为奇函数， ③的定义域为R，且，即函数为非奇非偶函数. 【考点2：由奇偶性求函数值】 1．（25-26高一上·浙江·期中）已知，，则______. 【答案】 【分析】代入解析式，根据两式相加可得答案. 【详解】因为，， 所以， ， 两式相加可得，所以. 故答案为： 2．（2025·湖南·高考真题）已知为奇函数，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到，再由奇函数性质，即可得出结果. 【详解】由得，所以， 又为奇函数，所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记奇函数性质即可，属于基础题型. 3．（25-26高二上·上海宝山·开学考试）设（其中a､b､c为常数，），若.则___________. 【答案】31 【分析】由已知得，，由此能求出． 【详解】 （其中，，为常数，，， ， ． 故答案为：31． 4．（25-26高三上·山东临沂·期末）函数是奇函数．若函数，则___________． 【答案】28 【分析】由函数奇偶性建立等式，代入，求得，代入，求得. 【详解】由题意可知，所以. 因为，且，所以， 所以. 5．（25-26高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数（为常数），若，则_______. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性即可求解 【详解】设，则， 即，且定义域为R，∴是奇函数， 所以，，两式相加得， 所以，. 故答案为：. 【考点3：由奇偶性求函数解析式】 1．（25-26高二下·吉林长春·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则时，的解析式为________________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】已知是定义在上的奇函数，则 当时，， 则时，有，则， 因此. 2．（25-26高一上·湖北孝感·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则当时_______ 【答案】 【分析】设，则，根据题意，得到，代入即可求解. 【详解】设，则， 因为函数为奇函数，且当时，， 可得， 故当时. 故答案为：. 3．（25-26高一上·河北邯郸·期中）设是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，函数的解析式是______． 【答案】 【解析】由题意知时，利用已知的解析式求出，再由奇函数，得出时的解析式. 【详解】解：设，则，又因为函数是奇函数， 所以 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解析式，即把自变量的范围转化到已知的范围内求对应的解析式，属于基础题型. 4．（2026年广东省中山市镇区五校高一上学期期中联考数学试卷）奇函数在上的表达式为，则在上的表达式为____________. 【答案】 【分析】设，求出的表达式，然后利用奇函数的定义可得出函数在上的表达式． 【详解】当时，， 设，则，则， 由于函数为奇函数，则． 故答案为：． 5．（25-26高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数定义域为，当时，，则______；当时，______． 【答案】 【分析】先结合奇函数性质，利用已知函数解析式求得，再通过奇函数的定义，求解时的函数表达式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，， 所以. 当时，，则. 故答案为：，. 【考点4：抽象函数的奇偶性】 1．（【智】08作业（八）函数的奇偶性、周期性-【育博苑】2027高考一轮数学北师）已知函数（，且）对任意不等于0的实数，都有，则为（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既为奇函数也为偶函数 【答案】B 【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出函数图像关于轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性. 【详解】函数定义域为，关于原点对称. 令得，即， 令得，即， 令，得，即， 所以是偶函数， 故选：B． 2．（【新东方】【2021.4.27】【宁波】【高一上】【高中数学】【00109】）设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法结合函数奇偶性的定义进行判断即可. 【详解】对任意，有 令，得 ， 令，得，即 令，得，即函数为偶函数. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的应用，根据函数奇偶性的定义集合抽象函数的关系，利用赋值法是解题的关键，属于一般题. 3．（2026·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】根据题意，令、取特殊值逐一验证四个选项即可. 【详解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 4．（25-26高二下·河北·期末）（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．可能在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令赋值判断A； 令和赋值判断B； 令赋值判断C； 由，可得，令，求出，判断D. 【详解】令，则，故A正确； 令，则，即， 令，则，即，故B正确； 令，则，即，所以为奇函数，故C错误； 当时，由，可得， 令，则，此时在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．是增函数 【答案】ACD 【分析】令可得，再令，可判断A；令，可判断B；令求出的解析式可判断C；根据C求出的解析式可判断D. 【详解】令得，所以，令，得，把代入可得，因为，所以，故A正确； 令，得， 故B错误； 令得，在上是奇函数，故C正确； 因为，令，则，代入得，即， 则，该函数在R上是增函数，故D正确. 故选：ACD 【考点5：已知奇偶性求参】 1．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据恒成立，即可求得实数值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，即恒成立， 所以恒成立，故. 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，解题关键是明确偶函数的定义，是基础题. 2．（25-26高一·河北保定·周测）已知函数，若是偶函数，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：原函数对称轴是，向左平移一个单位后对称轴为，解得. 考点：函数的奇偶性. 3．（25-26高二下·河北·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 4．（第04讲函数的奇偶性（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）设 是定义在上的奇函数，则______ 【答案】2 【分析】由题设得，进而求出a，再检验即可. 【详解】因为 是定义在上的奇函数， 所以，即， 故， 此时 ，所以， 满足 是定义在上的奇函数， 所以. 5．（25-26高一下·四川泸州·期中）设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 【考点6：函数图象的识别】 1．（25-26高一下·山东潍坊·期中）函数的图象大致为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后利用函数的单调性确定正确选项. 【详解】令，其定义域为，关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B，C； 又因为，当时，函数单调递增，函数单调递增， 所以函数在上单调递增，故排除选项A，选项D正确. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A. 【详解】函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，故排除B和C； 当时，，故排除A. 故选：D. 3．（25-26高一上·河北石家庄·期中）函数的图象大致是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性排除AB，再结合特殊点的函数值排除C. 【详解】因为，且其定义域为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以可排除AB； 又，所以可排除C. 故选：D 4．（25-26高一上·江苏常州·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性，可排除BD，代入特殊值检验，即可得答案. 【详解】由题意得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，排除BD， 又，所以A错误，C正确. 故选：C 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，这就是数形结合的思想.在数学的学习和研究中，常利用函数的图象来研究函数的性质，也常利用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用排除法及函数的奇偶性的定义，结合赋值法可求得结果. 【详解】由题可知，函数定义域为，即， 所以， 所以为奇函数，排除选项A； 当时，，排除选项B； 当时，分母，分子，此时函数值小于零，排除选项C； 故选：D. 【考点7：利用单调性与奇偶性比较大小】 1．（25-26高一上·安徽·期中）已知定义在上的偶函数在上单调，且，则，的大小顺序是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的性质将自变量转化到同一单调区间，再根据单调性比较函数值大小. 【详解】因为是偶函数，所以， 已知，由偶函数性质，因此， 所以在上单调递减； 数值大小关系为， 所以， 所以即. 故选：B. 2．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段检测）已知定义在上的函数在内为减函数，且为偶函数，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，即可得到，，再根据函数的单调性即可判断. 【详解】为偶函数，， ，， ，定义在上的函数在内为减函数， ，即， 故选：B． 3．（2.3函数与方程[文]-《备战2026年高考精选考点专项突破题集》）定义在R上的偶函数，当时，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数在的单调性，利用偶函数和定义，，然后比较大小可得． 【详解】∵函数是偶函数，∴，， 又在上是增函数，， ∴，∴， 故选： A. 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性，这类比较大小问题一般是把自变量值利用偶函数转化同一单调区间上，然后再由单调性比较出大小． 4．（25-26高一上·陕西西安·期中）已知偶函数的定义域为R．且在上为增函数，比较与 的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据偶函数及在上的单调性，可得在上的单调性，比较与的大小，结合题意，即可得答案. 【详解】因为偶函数的定义域为R．且在上为增函数， 所以在为减函数，且， 又因为，根据在为减函数， 所以，即， 故选：D 5．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）设是上的偶函数，且在上为增函数，若，且，则 A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】B 【分析】根据已知可得，利用单调性可得，根据偶函数性质可知，从而得到结果. 【详解】由得：，又     为上的偶函数，且在上为增函数     本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数奇偶性和单调性比较函数值的大小关系，关键是能够利用奇偶性将自变量变为同一个单调区间之内，从而利用单调性求得结果. 【考点8：利用单调性与奇偶性解不等式】 1．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质得出在上单调递减，再根据单调性及奇偶性解不等式即可． 【详解】因为是偶函数，即关于直线对称，在上单调递增， 所以在上单调递减， 又，所以， 或，解得或． 4．（25-26高一下·云南丽江·期末）设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定函数的单调性，分情况将不等式变形利用函数的单调性求解. 【详解】因为对任意的且，都有不等式， 所以函数在单调递增， 因为是奇函数，所以对，，且， 即函数是偶函数. 因为函数在单调递增，所以函数在单调递减， 当可化为或 又为偶函数，，所以①或②， 由①得，解得; 由②得，可得，解得； 综上不等式的解集是. 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 【考点9：判断或证明函数的对称性】 1．（25-26高一上·北京·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是4，那么在上是（   ） A．减函数且最小值是4 B．减函数且最大值是4 C．增函数且最小值是4 D．增函数且最大值是4 【答案】C 【分析】由偶函数在对称区间上的单调性相反求解即可. 【详解】偶函数在上是减函数且最小值是4，所以， 则在上是增函数且最小值为， 故选：C 2．（25-26高二下·重庆·期末）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可得， 又由函数是偶函数，其图象关于轴对称，可得的图象关于对称， 即，所以，即， 因为，可得. 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）已知是定义在的奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】由是奇函数，则， 所以， 所以的图象关于对称，则， . 4．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可. 【详解】设，， 则，所以函数为奇函数， 则，即. 故选：D. 5．（25-26高三上·河北秦皇岛·开学考试）已知为上的减函数，设函数，则满足不等式的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出的奇偶性，再根据函数的单调性即可求解. 【详解】解：由题意知：的定义域为，关于原点对称， 当时，，， 则， 当，， 当时，，， 则， 故为偶函数， 又 为上的减函数， 在上单调递减，在上单调递增， ， ，即，解得：. 故选：B. 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $