专题01 立体几何中的平行问题（七大压轴题专项训练）高二数学沪教版必修第三册

**基本信息** 以判定与性质定理为核心，通过“解题通法-题型归纳-压轴挑战”三级体系，系统构建平行问题的逻辑推理与空间想象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心方法总结|明确“两条底线原则”，提炼六大核心问题解法|从线线、线面、面面平行的判定与性质出发，构建基础逻辑框架| |题型归纳（7题型）|每题型含例+变式|题型模版（特征+方法），如线面平行判定“找平行线”|从基础定理应用到截面、轨迹、探索性问题，层层递进| |压轴挑战|14题|综合运用平行关系解决复杂几何问题|整合多知识点，提升空间观念与推理能力|

专题01 立体几何中的平行问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面平行的判定定理 题型二、线面平行的性质定理 题型三、面面平行的判定定理 题型四、面面平行的性质定理 题型五、简单的截面问题 题型六、平行问题中的轨迹问题 题型七、平行的探索性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 空间平行类立体几何问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕线线平行、线面平行、面面平行的判定与性质定理、平面截面作图、空间动点轨迹、存在性探究六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是证明平行时必须完整补齐对应定理的全部前提条件，缺条件则推导不成立，二是判断空间位置关系、作图、求轨迹时，需结合几何体直观图验证，避免仅凭平面思维误判. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面平行的判定定理 题型模版 1.特征：题干给出棱柱、棱锥等几何体，已知平面内直线与平面外直线平行，要求证明直线与平面平行。 2.方法：在目标平面内寻找一条与已知直线平行的直线，常借助中位线、平行四边形、相似三角形推导线线平行；严格满足“平面外一条直线、平面内一条直线、两直线平行”三个条件，书写完整证明步骤。 【例1】如图，四棱锥的底面是平行四边形，点E，F分别是，的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与线段交于点Q，作出平面与平面的交线（要求说明做法），并求． 【答案】(1)证明：取M为的中点．因为，，所以，且． 又底面为平行四边形，所以，且． 因为E为的中点，所以．于是，且， 故四边形为平行四边形，从而． 又平面，平面，所以平面． (2)延长，交于点G，连接．因为，所以平面， 又，所以平面．同理平面，且平面， 所以平面平面． 因为E是的中点，且四边形为平行四边形，由平行线性质知C是的中点． 又F是的中点，所以在中，与分别为两条中线， 由题意得，则Q是的重心，故． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【例2】已知在直三棱柱中，M为棱的中点，O为线段的中点．求证：平面； 【答案】设为中点，连接， 又O为线段的中点，则且， 由M为棱的中点，则且， 所以，，故四边形为平行四边形，则， 由平面，平面，则平面. 【详解】略 【变式1-1】四棱锥中，与为等腰直角三角形，，为的中点．为的中点，为的中点，证明：平面PAB；    【答案】取的中点，的中点，连接、、， 因为与为等腰直角三角形，， 不妨设，所以，所以， 因为、分别为、的中点，所以，所以， 因为，所以，所以，且， 所以四边形FGMN为平行四边形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB. 【详解】略 【变式1-2】如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱，上的点，点M是线段AC的中点，． (1)求证平面AEF； (2)若，求多面体的体积 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取AE的中点O，连接OF，OM，由O，M分别为AE，AC的中点， 得，，而，且，则， 且，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面． （2）在棱柱中，取BC中点G，连接AG，则AG为四棱锥的高， 而，四棱锥的体积， 由，得，三棱柱的体积， 所以多面体的体积为． 【变式1-3】某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面 ； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1) 取的中点，连接 ，， 因为 是的中点，所以 是 的中位线， 因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且， 故且， 因此四边形是平行四边形，得， 又平面 ，不属于平面 ， 所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ， 因为是下底直径，在下底圆周上，故， 设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2， 的面积， 是中点，故， 因为 是​中点，平面， 故， ​到底面的距离为圆台的高，​ 因此： ​， 因为，当时三棱锥体积取最大值： . 题型二、线面平行的性质定理 题型模版 1.特征：已知直线与平面平行，过该直线作辅助平面与已知平面相交，求解交线相关平行、线段长度问题。 2.方法：根据线面平行性质直接得到已知直线与交线平行；利用平行线传递关系推导其他平行关系，结合平面几何边长比例计算线段。 【例3】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，为的中点，在上，平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，与相交于点， 因为四棱锥的底面是平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以，故， 因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以. 【例4】如图，在三棱柱中，点E是棱的中点，点D是棱上的一点，且平面，则_______． 【答案】 【详解】连接，交于点，再连接， 如图所示，则， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以． 【变式2-1】如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1) 取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. (2) 由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 【变式2-2】如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l． (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 平面，平面，所以直线平面； （2）由（1）知，直线平面，平面， 平面与平面的交线为直线l，所以， 平面，平面，所以直线平面. 【变式2-3】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：． 【答案】(1)证明如下： 取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为为四棱锥，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. (2)证明如下： 连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面,在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 题型三、面面平行的判定定理 题型模版 1.特征：给出几何体，需要证明两个平面互相平行，平面内存在两组相交直线。 2.方法：在其中一个平面内找出两条相交直线，分别证明这两条相交直线都平行于另一平面；必须保证两条直线相交，不可使用两条平行直线推导面面平行。 【例5】下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 【例6】如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的部分为多面体，是的中点. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积. 【答案】(1)证明：因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为四边形为正方形，所以⊥，故； (2)证明：由（1）得， 因为平面，平面，所以平面， 又，，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又，，故四边形为平行四边形，故， 故， 所以过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形为四边形， 正方体棱长为2，故，， 又，同理，不平行， 故四边形为等腰梯形， 高为， 所以等腰梯形的面积为. 【变式3-1】如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，、为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明：连接， 在中，因为，所以，且． 又，，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． (2)证明：由（1）得，又平面，平面， 所以平面. 在中，因为，所以，所以． 又平面，平面，所以平面． 又因且，平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-2】如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1) 点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. (2) 取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 【详解】（1）略 （2）略 【变式3-3】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明:在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， AI而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． (2)证明:由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【分析】 【详解】（1）略； （2）略. 题型四、面面平行的性质定理 题型模版 1.特征：已知两个平面互相平行，作第三个平面与这两个平面相交，求证交线平行，或求解线段比例。 2.方法：直接运用面面平行性质得出两组交线互相平行；结合相似、平行线分线段成比例定理计算线段长度、比值。 【例7】如图，已知平面平面，点在平面和平面之间，且，，，若，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得，，所以与相似. 因为，所以，所以， 所以. 【例8】已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则__________. 【答案】15 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 【变式4-1】如图，在正方体中，分别是棱，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面. 【答案】(1)连接，因为分别是棱的中点，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面； (2)连接，可得，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱，的中点， 所以，得， 又因为平面，平面，所以平面， 且，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式4-2】如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【分析】 【详解】（1）由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， 所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为． （2）略 【变式4-3】如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面EFCB所成的二面角为．证明：平面    【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 题型五、简单的截面问题 题型模版 1.特征：在正方体、长方体、棱柱上给定若干截点，要求画出截面图形、判断截面形状、计算截面周长或面积。 2.方法：利用“两点确定一条直线”延长棱找截面交点，依托线面平行、面面平行确定截面边界；作图后检验截面各边是否符合空间平行关系，再结合平面图形公式计算。 【例9】如图，正方体的棱长为4，P为正方形的中心，Q为棱的中点，则过点A、P、Q的截面周长为（   ） A． B． C． D．74 【答案】C 【详解】如图所示， 取的中点，且点靠近点，且点靠近点， 连接， 由P为正方形的中心知，过点P， 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，且， 又∥∥，，所以四边形为平行四边形， 所以∥，且，所以∥，且， 所以四边形为平行四边形，且平面过、、三点， 所以过点A、P、Q的截面为平面， 因为正方体棱长为4，所以，， 则截面四边形的周长为：. 【例10】在棱长为的正方体中，为线段上靠近的三等分点，过点、、的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为______. 【答案】 【详解】设截面交棱于点，连接、，如图所示， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因为，由等角定理结合图形可得， 又因为，故为等腰直角三角形，且，， 易知，且，同理可得， 故四边形为等腰梯形，如下图所示： 在平面内分别作，，垂足分别为点、， 因为，，，故四边形为矩形，所以， 在和中，，，， 所以， 所以， 由勾股定理可得， 故截面面积为. 故答案为：. 【变式5-1】如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，在棱上，且． (1)过点，，作三棱柱的截面，并写出作法； (2)求证：平面． 【答案】(1)作法：①连接并延长交的延长线于点G； ② 连接，交​于点H； ③ 连接， 则四边形即为所求过的截面. (2)由题意知，即，故， 是的中点，则，故≌，则， 而，故,即, 又，则∽,则,结合， 故，又是的中点，故，即H为的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，故平面， 即平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式5-2】如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点． (1)证明：NP//平面； (2)作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程），并求出交线的长度之和． 【答案】(1)证明：如图，取的中点，连接， 因为N，P分别为线段AB，A1C的中点， 所以，， 又因为正三棱柱ABC-A1B1C1，,所以. 因为平面，平面，所以平面. 同理可证平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以NP//平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略； （2） 如图，过的直线交的延长线于点，连接，并延长交于点，交于点，连接，直线与的延长线交于点，连接，与交于点，连接，则五边形即为所求. 因为正三棱柱的棱长均为2， 所以由图可知，， 因此，， 由余弦定理得， 在平面内，，过作交于点， 则， 则，，即为中点， 所以， 所以五边形的周长为． 【变式5-3】如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60°的角，且，平行于AD与BC截面分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (1)求证：截面EFGH为平行四边形； (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知，平面，平面， 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以，所以. 所以截面为平行四边形. （2）因为成角为60°，所以或，设， 因为，， 所以，由，得. 所以平行四边形的面积为. 当且仅当，即时等号成立，即为的中点时，截面的面积最大为. 题型六、平行问题中的轨迹问题 题型模版 1.特征：几何体上存在动点，满足动点与定点连线始终平行于某一固定平面或直线，求动点轨迹。 2.方法：根据线面平行判定，确定动点所在的固定平面；结合几何体棱、面的边界限制，判断轨迹为线段、直线，标注轨迹范围。 【例11】在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接， 因为，所以是平行四边形， 所以平面，不在平面内，所以平面， 同理可得平面， 平面， 所以平面平面， 则当点在线段上时，平面， 所以点的轨迹长度为.    故选：C. 【例12】如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 【变式6-1】在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示取中点分别为和，连接. 是中点，是中点，. 又平面，平面，平面. 同理，是中点，是中点，. 又平面，平面，平面. ，平面，平面平面. 又平面平面，点是侧面上的一个动点， 且平面， 点的轨迹为线段. 正三棱锥的棱长均为2，，分别为，的中点， 是的中位线，故. 即动点的轨迹的长度是1. 【变式6-2】在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点满足，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为_________． 【答案】/ 【详解】如图，取上靠近的三等分点，的中点，连接，， 则在正方形中，可得. 又平面，平面，所以平面. 又因为分别是的中点，所以，且， 可知四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. 因为平面，， 所以平面平面. 又点在侧面内，且平面， 所以即为点的轨迹，. 故答案为： 【变式6-3】如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为_______． 【答案】 【详解】 如图，取的中点，的中点，连接，则， ∵平面平面，∴平面， ∵为的中点，∴， ∵平面平面，∴平面， ∵平面平面，∴平面平面， ∵是侧面上一点，且平面， ∴的轨迹为线段， 由得点的轨迹的长度为． 故答案为：. 题型七、平行的探索性问题 题型模版 1.特征：几何体棱上存在未知动点，设问是否存在点使线面平行、面面平行，若存在求出动点位置。 2.方法：先假设满足平行关系，反向推导需要的线线平行条件；利用中位线、比例线段确定动点分线段的比值，最后正向书写证明过程验证成立。 【例13】如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，，，分别为棱，的中点．    (1)证明：平面． (2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点，使得平面平面？如果存在，求出点的位置，并求出的最大值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)取的中点，连接. 中，分别为的中点， ， 分别为的中点， ， ，故四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面. (2)存在，理由如下： 取中点为，连接，， 在中，分别为的中点， ， 平面平面， 平面. 因为且，且、分别为、的中点， 所以，且， 所以，四边形为平行四边形， ，且， 平面平面， 平面， 由，且平面， 故平面平面. 所以点存在，且， 即点在线段上移动，可使平面平面， 当点运动到时，此时的最大值，最大值为2. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【例14】如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，分别为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)求证：平面； (3)直线上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为平面平面， 所以平面， 又平面平面平面，所以. (2)取中点，连接， 则在中，， 又在中，， 则， 即四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面. (3)存在，为中点；当为中点时，平面平面. 证明如下：取的中点为，连接， 则在中，， 又平面平面，则平面， 同理可证，平面， 又平面 ， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式7-1】如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且    (1)求证：D，B，F，E四点共面； (2)求证：平面； (3)棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以，    又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； (2) 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接，     为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 【变式7-2】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点. (1)求证：； (2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由. 【答案】(1) 在梯形中，，又面，面， 面，面，面面，， ，. (2) 取中点，连接，， ，分别为，的中点， ，平面，平面， 平面， 取的中点，连接，则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面平面， 所以平面，，、平面，平面平面， 是上的动点，平面，平面， 当为中点时，平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-3】如图1，直角梯形中，，将直角梯形绕旋转一周得到如图2的圆台，为圆台的母线，且是的中点．在线段上是否存在一点，使平面？说明理由；    【答案】 线段上存在一点，使平面．理由如下： 过作，垂足为，过作，垂足为， 由为中点，又， 所以为靠近点的四等分点. 取靠近点的四等分点，连接， 则，又， 所以，而平面平面，所以平面． 同理平面，又，平面， 所以平面平面，平面， 所以平面， 故线段上存在一点，使平面，且.    【详解】略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，过点，，作正方体的截面，所得截面的面积是______． 【答案】 【详解】 取的中点的中点的中点，连接， 则正六边形为对应的截面，又正六边形的边长为， 所以截面的面积为：. 故答案为：. 2．在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________ 【答案】 【详解】在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接，连接， 由，，得，又，得四边形是平行四边形， 则，平面，平面， 因此平面； 又，，得，平面，平面， 因此平面，又平面，平面，， 则平面平面，而侧面，平面， 于是平面，则点在侧面与平面的交线上， 即点的轨迹为线段，又，所以点在侧面上的轨迹长度为. 3．如图正方体的棱长为，，分别是棱，中点，点为底面内（包括边 界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，取中点，连接，，， 点，分别为，中点， ， 又几何体为正方体， 则，， 四边形为平行四边形， ， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又直线与平面无公共点， 平面， 点平面， 点平面， 又点平面，且平面平面， 点， 即动点的轨迹为线段， 且， 故选：B. 4．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则______. 【答案】 【详解】如图，在线段上取点，使得. 连接，，，记，， 连接，因为直线平面，且平面平面， 所以. 因为四边形是平行四边形， 所以为线段的中点，则为线段的中点. 因为，，所以， 所以，即. 因为为线段的中点，所以是线段的中点， 则，所以，则. 故答案为： 5．如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 延长，连接， 由四边形为平行四边形可知， 则，即， 又平面平面，且平面平面， 平面平面，则， 又，所以， 由四棱柱可知，， 即，， 又，， 故选：A. 6．如图所示，已知多面体的底面是正方形，底面，，.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为底面是正方形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面， 且与相交于点， 所以平面平面， 又平面，所以平面. 7．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，， 为底面圆上的点，，，是母线的中点．    (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明：连接，因为，， 所以且，则四边形是平行四边形， 所以. (2)证明：取中点，连接 ， 因为是中点，所以，， 而，，则，， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面.   ； 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 8．如图，梯形是圆台的轴截面，，分别在底面圆，的圆周上，为圆台的母线，，已知，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)若三棱锥的体积为，求圆台的体积． 【答案】(1)∵在梯形中，，， ∴，， 又G为的中点，∴，∴， 故四边形为平行四边形，∴. 又平面，平面， ∴平面. ∵分别是，的中点， ∴. 又平面，平面， ∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设由（1）可知，则为三棱锥的高h. 故， 由，可得， ∴. 又∵，， ∴. 故， ∴. 故圆台的体积. 9．如图所示，在正四棱锥中，P为侧棱上的点，且，Q为侧棱的中点，平面平面． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】 【详解】（1） 设，连接， ，Q为侧棱的中点，为的中点， 又是正四棱锥，为的中点， 在中有， 平面，平面， 平面； （2）在正四棱锥中，有， 平面，平面，平面； 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得． 10．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)过三点作正方体的截面，求该截面的面积． 【答案】(1)证明：连接交于点，连接， 在正方形中，对角线与互相平分，所以为的中点， 在中，因为为的中点，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接， 因为分别是的中点，可得， 在正方体中，可得，所以， 所以过三点作正方体的截面为梯形， 因为正方体的棱长为4，可得， 过点作，可得， 所以该截面的面积为. 11．如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】(1)证明：由四棱柱的性质知，∥， 平面，平面，∥平面． 同理∥平面， ，平面，且， ∴平面∥平面． (2)存在 【分析】 【详解】（1）略； （2）在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 12．如图，几何体为正三棱台，且，点满足． (1)证明：平面． (2)若为的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，所以为的中点． 连接．因为，所以， 则为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． （2）连接．因为分别为的中点，所以， 又平面平面，所以平面． 因为为的中点，，所以， 所以为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面． 因为，所以平面平面． 13．如图，等边三角形，且点A，B分别为线段与的中点.将沿折叠后使点O与点P重合，得到四棱锥.设点E为线段上一点，且. (1)证明：平面； (2)求四棱锥与三棱锥的体积之比. 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接， 由题可知，且. 则易有与相似，且相似比为1:2，即. 又，则，故， 因为平面，平面，故平面. (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）设四棱锥的体积为，高为，四边形的面积为， 三棱锥的体积为，高为，三角形的面积为，与之间的距离为， 三棱锥的体积为，三棱锥的体积为， 由题有， 又，故，即， 则，又， 有， 即四棱锥与三棱锥的体积之比为. 14．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01立体几何中的平行问题 目 录 解题通法一明晰核心解法， 助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、线面平行的判定定理 题型二、线面平行的性质定理 题型三、面面平行的判定定理 题型四、面面平行的性质定理 题型五、简单的截面问题 题型六、平行问题中的轨迹问题 题型七、平行的探索性问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 空间平行类立体几何问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕线线平行、线面平行、面面平行的 判定与性质定理、平面截面作图、空间动点轨迹、存在性探究六大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一 是证明平行时必须完整补齐对应定理的全部前提条件，缺条件则推导不成立，二是判断空间位置关系、作 图、求轨迹时，需结合几何体直观图验证，避免仅凭平面思维误判 ◆ 同题型归纳一精讲夹型题法，赤实解题报基 题型一、线面平行的判定定理 题型模版 1.特征：题干给出棱柱、棱锥等几何体，己知平面内直线与平面外直线平行，要求证明直线与平面平行。 1/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：在目标平面内寻找一条与已知直线平行的直线，常借助中位线、平行四边形、相似三角形推导线 线平行：严格满足“平面外一条直线、平面内一条直线、两直线平行”三个条件，书写完整证明步骤。 【例1】如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，点E,F分别是CD,PB的中点。 D E B (I)求证：EFII平面PAD: PO (②)设平面AEF与线段PC交于点O,作出平面AEF与平面PBC的交线（要求说明做法），并求QC. 【例2】己知在直三棱柱 BC-4BC中，M为楼4A的中点，O为线段CB的中点.求证： AA 4011 平面 MBC 2/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】四棱锥P-ABCD中，△ACD与△ABC为等腰直角三角形，∠ADC=90,∠BAC=90°，E为 BC的中点，F为PD的中点，G为PE的中点，证明：FGII平面PAB; B D E ABC-ABC CC BB 【变式1-2】如图所示，直三棱柱 的底面是边长为2的正三角形，点E,F分别是棱 上的点，点M是线段AC的中点，EC=2FB=2. C A E B C M B (I)求证BMI∥平面AEF: 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 002 AACC AC=2AA=2AC=4 B 【变式1-3】某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面 为等腰梯形， 为底面圆周上异于A,C的动点，P是BC的中点 A 2”” 0n. D CP AAB (1)求证：直线∥平面 题型二、线面平行的性质定理 题型模版 1特征：己知直线与平面平行，过该直线作辅助平面与己知平面相交，求解交线相关平行、线段长度问题。 2方法：根据线面平行性质直接得到已知直线与交线平行：利用平行线传递关系推导其他平行关系，结合 平面几何边长比例计算线段。 【例3】如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，E为AD的中点，F在PA上，PCI/平面 AP BEF,则AF=(） D 4/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1 C.2 D.3 BC-ABC中，点：是楼的中点，点D是棱8C上的一点，且E AA 【例4】如图，在三棱柱 B平面 BD ADC,则DC A E B 【变式2-1】如图，己知四棱锥P-ABCD的高为2，底面ABCD是边长为2的正方形，点E,F分别为 AD,PC PCD∩PBE=I 的中点，设平面 平面 D D E (I)证明：DF1I平面PBE: (2)证明：DF/l: 【变式2-2】如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A,B的点，P为平面ABC外一点，E,F分别是 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PC,PB 的中点，记平面F与平面 ABC 的交线为直线. B (I)求证：直线EF∥平面ABC: (2)求证：直线I∥平面PBC. 【变式2-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N分别是AB,PC的中点. D M ()求证：MNI/平面PAD: (②)在DN上取一点G(不与D,N重合)，设过点G和PA的平面交平面BDN于GH,求证：PA/GH. 6/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三、面面平行的判定定理 题型模版 1特征：给出几何体，需要证明两个平面互相平行，平面内存在两组相交直线。 2方法：在其中一个平面内找出两条相交直线，分别证明这两条相交直线都平行于另一平面；必须保证两 条直线相交，不可使用两条平行直线推导面面平行。 【例5】下列四个正方体中，A,B,C为所在棱的中点，D,E,F为正方体的三个顶点，则能得出平面ABC1/ 平面DEF的是() C B D D B B C D D D ABC ACD-ABCD 【例6】如图是一个棱长为2的正方体被平面 截去一部分后，剩余的部分为多面体 E是 BC 的中点， 7/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D C B AC⊥BD (1)证明： ②证明：平面48C∥平 ADC ”平面 D (3)过点C,E, 的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积 【变式3-1】如图已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD为梯形，AD/BC,SA=AB=BC=2,AD=3,P、 2为侧棱SD上的点，且DP:PO:QS=3:2:4,点M为SA上的点，且3AM=AS. S M (1)求证：CP/平面SAB: (2)求证：平面BM0II平面ACP. 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】如图，在正方体 BCD-4B,CD中，E为楼DD的中点，F为棱的中点 DD BB M D A B E D B CF ABCD CD于点P,求证： C.B.P (1)连接并延长，交平面 三点共线； ②点M在楼钱的延长线上，且4M=4,求证：平而M8Dy平面EC 【变式3-3】如图，在四棱锥P-ABCD中，BCI/AD,AB⊥BC,2AB=2BC=AD=2,设E,F,O 分别为PD,PA,AD的中点， D B (1)证明：CE11平面PAB: (2)证明：平面BOF11平面CDE. 9/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、面面平行的性质定理 题型模版 1.特征：已知两个平面互相平行，作第三个平面与这两个平面相交，求证交线平行，或求解线段比例。 2方法：直接运用面面平行性质得出两组交线互相平行；结合相似、平行线分线段成比例定理计算线段长 度、比值。 【例7】如图，已知平面C∥平面ABC,点P在平面a和平面ABC之间，且PAnu=D,PBna=E, PCOa=F ,若PD:D1=1:3 则 SADEF:S△ABc= () FL A.1:3 B.1:4 c.1:8 D.1:9 ABCD-ABC D M,N,E,F .AB AD,BC,CD 【例8】如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点 D B A B (I)求证：B,D,E,F四点共面： 10/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：BF∥平面AMN 【变式4-1】己知平面a‖川平面B川平面Y,两条直线，m分别与平面a,B,y相交于点A,B,C和D,E,F,若 AB=6.DE 2 DF=5,则AC= 【变式4-2】如图，圆锥PO的表面积为15π，AB是底面圆的一条直径，Q是PA的中点，C,D是底面圆 上的两点， CPIAB'劣弧1C的长为，PA=24B --B (1)若一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A,求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：QC/平面PBD. 【变式4-3】如图，在四边形ABCD中，AB1/CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF1/AD, AB=3AD,CD=2AD EFDA EF EFD'A EFD'A 将四边形 沿 翻折至四边形 ,使得平面 与平面EFCB所成的 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二面角为60°.证明：ABI/平面CDF B 题型五、简单的截面问题 题型模版 1.特征：在正方体、长方体、棱柱上给定若干截点，要求画出截面图形、判断截面形状、计算截面周长或 面积。 2方法：利用“两点确定一条直线”延长棱找截面交点，依托线面平行、面面平行确定截面边界；作图后 检验截面各边是否符合空间平行关系，再结合平面图形公式计算。 ABCD-ABCD CCB DD. 【例9】如图，正方体 的棱长为4，P为正方形 的中心，Q为棱 的中点，则过 点A、P、Q的截面周长为() D C 0; By P D A, 2√85 B 4V5+2√6 c.45+217 D.74 12/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例10】在棱长为°的正方 ABCD-AB,CD中，M为线段 G上靠近C的三等分点，过点4、M、D 的平面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为一 【变式5-1】如图，在三棱柱 BC-ABG中，E,F分别是4G,BG的中点，D在棱M上，且 AD= (I)过点B,D,E作三棱柱的截面，并写出作法： (2)求证：AFM平面BDE. 【变式5-2】如图，已知正三棱柱ABC-ABC的棱长均为2，M,N,P分别为线段BB1,AB,AC的中点. B M BCC B (1)证明：NP/平面 13/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)作出过M,N,P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程）， 并求出交线的长度之和 【变式5-3】如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60的角，且AD=BC=a,平行于AD与BC截面 分别交AB、AC、CD、BD于点E、F、G、H. (I)求证：截面EFGH为平行四边形： (2)当点E在AB的何处时截面EFGH的面积最大？最大面积是多少？ 题型六、平行问题中的轨迹问题 题型模版 1特征：几何体上存在动点，满足动点与定点连线始终平行于某一固定平面或直线，求动点轨迹。 2方法：根据线面平行判定，确定动点所在的固定平面：结合几何体棱、面的边界限制，判断轨迹为线段、 直线，标注轨迹范围。 14/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BB CC 【例11】在棱长为2的正方 ABCD-ABCD中，棱 ,CC的中点分别为E,F,且点C在侧面 ABB A 内，若FG/平面4G5,则点G的轨迹长度为() ACE A v3 B.2 D.2V2 BC-48C中，4B=4,AC=3,BC=5,M=6,D为C中点，E为 BB 【例12】如图，三棱柱 上一点， B丽=3BE,∠ACD=120°，M为侧面4CC上一点，且BM/平面DE，则点M的轨迹的长 度为() D A.2 B C,v② D.1 【变式6-1】在棱长均为2的正三棱锥P-ABC中，点M是AC的中点，点N是侧面PBC上的一个动点， 当MN∥平面PAB时，动点N的轨迹的长度是() 5 A.2 B. C.5 D.1 【变式621在棱长为2的正方体ABCD-A8CD中，p是棱BC的中点，点O满足0-号CC,点P在 BBCC 侧面 4F平面 内，且 P吧，则点F的轨迹长度为， ABC-AB C 的底面边长是2，侧棱长是 3,M.AC 【变式6-3】如图，正三棱柱 为 的中点， N是侧面 BCCB 内的动点，且MW/平面1G,则点V的轨迹的长度为 15/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型七、平行的探索性问题 题型棋版 1.特征：几何体棱上存在未知动点，设问是否存在点使线面平行、面面平行，若存在求出动点位置。 2方法：先假设满足平行关系，反向推导需要的线线平行条件：利用中位线、比例线段确定动点分线段的 比值，最后正向书写证明过程验证成立。 【例13】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，AD=2,E,F分别为棱PC, AB的中点. D B (1)证明：EFII平面ADP, (2)在底面四边形内部（包括边界）是否存在点G,使得平面GEF∥平面ADP？如果存在，求出点G的位 置，并求出FG的最大值；如果不存在，请说明理由. 16/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例14】如图所示，己知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M,N,K分别为AB,PC,PA的中点， 平面PBC∩平面APD=I. M (1)证明：I‖BC; (2)求证：MNI‖平面PAD: (3)直线PB上是否存在点H,使得平面WKH‖平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明：若不 存在，请说明理由 【变式7-1】如图，在正方体 CD-ABCD中，点G.B,R,P分别为楼4B,DG,BG,M 的中 3 点，点M是棱AD,上的一点，且MD=4AD E M B D G B (I)求证：D,B,F,E四点共面； 17/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：D,GW平面DBFE: AN 3)棱AB,上是否存在一点N使平面PMN∥平面DBFE？若存在，求AB的值：若不存在，请说明理由. 变式7-2】如图所示，在四枝锥E-4BCD中，底面4BCD为梯形，BC4D,BC=2AD,面PBCO 2 PAD=I,E是PD的中点， E M (1)求证：1IAD: (2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MNII平面PAB？说明理由 【变式73】如图1，直角标形HBCD巾，B=CD=24D=2D1CDAB/CD.将直角稀形ABCD绕 AD旋转一周得到如图2的圆台，EF为圆台的母线，且CF=4,M是BC的中点.在线段CF上是否存在一 点N,使MN∥平面AEFD?说明理由： 18/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 ◆◆ 同压轴挑战一支克离难压轴，突孩思维上保 ABCD-ABC D 1.如图，已知正方体 的棱长为2，E,F,G分别为D,B, C的中点，过点E, F,G作正方体的截面，所得截面的面积是 D A B G E B 、DD 2.在棱长为4的正方体 CDD,C上的动点，且 BCD-4BGD中，E为楼D0的中点，F是侧面D “平 面Be ,则点F在侧面 CDDC 上的轨迹长度为 19/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B C E D B& C ABCD-ABCD 3.如图正方体 的枝长为2，E,F分别是棱14 ,40中点，点P为底面 ABCD 内（包 DP 括边界)的一动点，若直线DP与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为() D E D A② B V5 C,2 D V3 P-ABCD ABCD PC=3PF PD=APE I 4.如图，在四棱锥 中，四边形 是平行四边形， 直线 平面 ACE,则= ABCD-ABCD ABCD 5.如图，四棱柱 中，四边形 为平行四边形，E,尸分别在线段DB,DD 上，且 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE DF 1 CG EBFD3,G在CC上且平面AEFM平面BDG,则CC() C B 3 B.3 C.3 D. ABCDEP ABCD 6.如图所示，已知多面体 的底面 是正方形，PAL底面MBCD,DE=A,>0 证明 CE∥平面PAB 7.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SA=13,C,D为底面圆O上的点，CD∥AB, AB=2CD=10,E是母线SB的中点 B (1)求证：OC/AD: (2)求证：CE∥平面SAD 21/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8知图，形48CD是圆台O0的制.E,F分别在底面日0.O的圆用上，F为园台的号线 002 ∠D0E=60 OB,BF的中点 ，已知CD=4,MB=8,G,H分别为0，B, E 02 B CGH∥平面 OFE (1)证明：平 5V3 (②)若三棱锥c-GBH的体积为3，求圆台O,0,的体积. 9.如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上的点，且SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，平面 SABn平面SCD=I. S D B ()证明：B01I平面PAC: 22/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明：AB∥1， 10.如图，在棱长为4的正方体 BCD-ABCD中，E为“的中点. A D B C E以 A D B AC∥ (1)求证： 平面BDE C,D,E (2)过 三点作正方体的截面，求该截面的面积. ABCD-ABCD 11.如图，已知四棱柱 的底面为菱形. B A B 23/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABC DAC (1)求证：平面∥平面 C DAC (2)在直 CC上是否存在点P,使BP∥平面 2.知图，几何体ABC-DEr为F三棱台，且0E-25,点G满足FG-历+号历 (I)证明：AG∥平面CFEB (2)若H为CE的中点，证明：平面BGHI∥平面ADFC. 13.如图，△OCD等边三角形，且点A,B分别为线段OD与OC的中点将△OAB沿AB折叠后使点O与点 P重合，得到四棱锥P-ABCD.设点E为线段PC上一点，且CE=2EP. D D (I)证明：AP∥平面BED: (2)求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-BDE的体积之比. 24/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M,N,O分别为BC,PA,PB的中点 ○ B M (I)求证：点Q,N,C,D四点共面 (2)求证：平面MNO/1平面PCD PE (3)在线段PD上是否存在一点E,使得MN11平面4CE?若存在，求出PD的值：若不存在，请说明理由， 25/25