精品解析：广东省广州仲元中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

广东仲元中学2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数的和后根据复数的几何意义判断. 【详解】由已知，对应点坐标为，在第四象限. 2. 已知全集，集合，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 3. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球O和圆柱的空间位置关系，结合勾股定理求出球的半径，进而即可求出球的表面积． 【详解】由题意可知，球O和圆柱的空间位置关系如图所示， 设球的半径为， 由题意可知，， 则在直角中，， 所以球的表面积． 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 48 D. 288 【答案】B 【解析】 【详解】的展开式通项为：， 要得到的展开式中的系数，分两类讨论： ①取1乘的项：令，解得，对应系数为， ②取乘的项：令，解得，对应系数为， 将两类系数求和，得的总系数为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，化简得到，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由. 6. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 7. 已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合椭圆的定义得，，在中由勾股定理得，再结合求解. 【详解】如图，连接，设，则，，， 在中，，即， 所以，所以， 在中，，即，所以. 8. 已知函数，对于正实数a，定义集合，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出分段函数的图像，利用图像的平移进行求解. 【详解】当，，而，所以恒成立，则单调递增（凹函数）， ∴如图所示：令 ，∴， ∵，令 ，解出， ∴ ， 令，∴， ∵，，且， ∴如图可知， ， ∴. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的求解步骤求解；对于B，由方差可得这组数的均值，据此得到总和即可；对于C，根据二项分布求出，再利用方差的线性关系计算即可；对于D，根据正态分布的对称性计算概率即可． 【详解】对于A，样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23共10个数， 从小到大排列为12，13，15，18，19，21，23，24，26，27， 由于，故第70百分位数为第7和第8个数的平均数， 即，故A错误； 对于B，由方差的公式可知，这组样本数据的平均数是6，这组样本数据的总和为，故B正确； 对于C，易得，则，故C正确； 对于D，若服从正态分布， 则，故D正确． 10. 如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B. 异面直线与所成的最大角为 C. 不存在点使得 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先作出截面，再求其面积即可；对于B，利用异面直线所成角的求法即可判断；对于C，利用线面垂直证明线线垂直即可判断；对于D，点到平面的距离为为定值，利用体积公式即可判断. 【详解】 对于A，取的中点，的中点，的中点， 连接、、、、，由于均为所在边的中点， 所以，，， 所以过、、三点的平面截正方体所得截面为正六边形，其边长， 故其面积为，故A正确； 对于B，设中点为，连接，则易得平面， 则异面直线与所成的角可用表示， 在中，， 当为的中点时，，此时取最小值， 此时有， 因异面直线与所成的角， 由余弦函数的单调性，可得，故B不正确； 对于C，若为中点，由B项易得平面， 因平面，则， 由于，，由，可得， 又平面，所以平面，又平面，故，即C不正确； 对于D，由图知，点到平面的距离为，而， 故，即三棱锥的体积为定值，故D正确． 11. 设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列求和，即可判断A和B，利用等比数列求和，结合二项式定理证明不等式，即可判断C和D． 【详解】由，可得， 则由，显然有，数列是“均增数列”，故A正确； 由等差数列是“均增数列”，且， 则由可得：，故B正确； 当，取时，， 要证明，只需要证明， 即证， 则只需要证明， 当为奇数，不等式显然成立， 当为偶数，要证明， 因为，对任意都成立， 所以，即对任意为偶数也成立， 即原不等式对任意都成立， 所以存在负数，使得数列是“均增数列”，故D正确； 由于是“均增数列”， 由于，，不满足，故C错误； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则____． 【答案】 【解析】 【详解】已知，则，解得． 13. 在中，角，，的对边长，，分别为3，5，7，则的外接圆半径等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出一个内角的正弦值，再结合正弦定理求解外接圆半径. 【详解】由余弦定理可得， 又， 所以， 由正弦定理， 所以. 14. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线方程及点坐标，设出直线的方程并联立曲线，再由韦达定理和抛物线焦半径公式可解点，然后可求的面积. 【详解】如图，因为抛物线的焦点，所以，解得， 则抛物线的方程为，准线方程为，， 易知直线斜率存在，设方程为， 联立，整理得, 由韦达定理得，， 又，，且 ∴，即代入， 整理得，解得或（舍）， 所以，，所以， 的面积等于 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． （1）求双曲线的焦距； （2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距； （2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可. 【小问1详解】 由题意得： ， 又，可得， ，则双曲线的焦距为． 【小问2详解】 双曲线的方程为， 右焦点坐标为， 设直线的斜率为． 直线的方程为：， 联立，整理得， 因 设，则 ． 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【小问1详解】 因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 17. 在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． （1）当点是棱中点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接． 因底面是正方形，则点是中点，又因点是棱中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以平面. （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再证，进而建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得的坐标，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为侧面底面，平面底面， 因，平面,则平面． 又因平面,则． 因为，，满足,则得． 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，则,且， 则,,, 设平面的法向量为． 由,故可取． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以． 整理得，解得或,经检验均符合题意. 故线段的长为或． 18. 某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． （1）求的概率； （2）证明：对任意正整数，恒成立； （3）已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券．求平台赠送该用户的优惠券金额的期望． 【答案】（1） （2）由题意知即求前辆车都没有接单的概率， . 对任意的正整数s，t， （3）元 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件同时发生的乘法概率公式求解； （2）利用条件概率公式，结合化简，即可证明； （3）借助（2）将等价转化为，确定优惠券金额的分布后，代入期望公式直接运算即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，， 平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为， 则， 所以， 即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【小问1详解】 若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东仲元中学2025-2026学年度第二学期高二年级期末考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知复数，，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知全集，集合，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. 48 D. 288 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 7. 已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对于正实数a，定义集合，且，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 样本数据13，15，24，12，18，27，21，26，19，23的第70百分位数为23 B. 若一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 如图，在棱长为的正方体中，M，N分别是，的中点，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论中正确的是（ ） A. 当点为中点时，过三点的平面截正方体所得截面面积为 B. 异面直线与所成的最大角为 C. 不存在点使得 D. 三棱锥的体积为定值 11. 设是数列的前项和，若，不等式恒成立，则称数列为“均增数列”，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“均增数列” B. 若等差数列是“均增数列”，则公差 C. 若是“均增数列”，则 D. 若，则存在负数，使得数列是“均增数列” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则____． 13. 在中，角，，的对边长，，分别为3，5，7，则的外接圆半径等于________． 14. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴的交点为，若过点的直线与交于两点，且，则的面积等于__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． （1）求双曲线的焦距； （2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 16. 已知数列的首项，且满足. （1）证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 在四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，，，点是棱上一点． （1）当点是棱中点时，求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 18. 某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单．假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立．记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为． （1）求的概率； （2）证明：对任意正整数，恒成立； （3）已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为．平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券．求平台赠送该用户的优惠券金额的期望． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $