精品解析：广东深圳外国语学校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

深圳市外国语学校2025-2026学年第二学期期末考试数学试题 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 的展开式中二项式系数和为，则含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边在第一象限，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设数列满足，则的前50项和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方体中，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成两部分，则较小的部分与较大的部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 当时，从点出发沿着该八面体表面到点的最短路程为 D. 当该八面体表面积为时，二面角的大小为 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 是的极小值点 C. 当时，函数有个零点 D. 不等式的解集为 11. 已知集合，为表格如图，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任取三个不同的数，三个数之和为奇数的概率为 B. 从中任取三个不同的数，三个数之和为3的倍数的概率为 C. 将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是奇数的概率是 D. 将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是3的倍数的概率是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线与焦点之间的距离为____________． 13. 已知函数关于直线对称，且，则____________． 14. 若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位:万元)作为解释变量，销售量(单位:万件)作为响应变量，已知与之间呈现出线性相关关系，，. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 3 11 15 （1）求的值以及关于的经验回归方程； （2）从上述5组数据中任意挑选2组，记为其中残差值为正数的组数，求的分布列和数学期望. 参考公式:. 16. 在锐角中，角所对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 17. 已知数列满足：，，设． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 已知，函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若在定义域上只有1个零点，求的取值范围； （3），证明不等式：. 19. 我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”．如图所示的椭圆柱中底面长轴，母线，分别为下底面椭圆的左右焦点，动点在线段上（不与重合），为下底面过点的一条动弦（不与重合），当时，直线平面． （1）求底面椭圆的离心率； （2）若，三棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥外接球表面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市外国语学校2025-2026学年第二学期期末考试数学试题 考试时长：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 故. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数运算以及共轭复数定义即可求解. 【详解】由题得，， 所以，故. 3. 若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求向量的模，再对模长等式平方，利用数量积公式建立方程，最后解三角方程求夹角. 【详解】因为，所以. 设与的夹角为. 由，可得， 所以，解得. 4. 的展开式中二项式系数和为，则含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数和及通项公式求解即可. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为32，所以，得， 所以展开式的通项公式为，， 令，解得：， 所以展开式中含项的系数为：. 5. 已知角的终边在第一象限，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． 6. 设数列满足，则的前50项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的关系作差结合分类讨论计算通项公式，再根据等差数列求和公式计算即可. 【详解】因为，当时，； 当时，；， 所以，即，；当时，不满足； 所以，则时的前项和为. 所以. 7. 如图，正方体中，为正方形的中心，为棱的中点，过点的平面将正方体分成两部分，则较小的部分与较大的部分体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面的性质作出截面图形，再由台体及正方体的体积公式计算即可. 【详解】如图，共线，过点作直线交于中点，连接， 则平面即为过点的截面， 所切出来的多面体为三棱台，记其体积为，设正方体棱长为， 则， 则另一部分体积为，， 所以体积之比为. 8. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点， 直线与双曲线C右支交于点，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆周角定理和等腰三角形的性质得到平行关系，再借助中位线性质确定有关线段长度；结合双曲线的定义求出焦半径，最后利用余弦定理求离心率． 【详解】因为在以为直径的圆上，所以． 又三点共线，故． 由，知为等腰三角形． 取的中点，则，从而． 在中，为的中点，所以为的中点，故 设，则，． 点在双曲线左支上，所以 点在双曲线右支上，且，所以即，解得． 因此 故为等边三角形，． 又，． 在中，由余弦定理，得 所以，故双曲线的离心率为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 当时，从点出发沿着该八面体表面到点的最短路程为 D. 当该八面体表面积为时，二面角的大小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先借助平行四边形、菱形得证 “线线平行”，再证明线面平行； 对于B，利用反证法判断线面垂直不成立； 对于C，将空间面展开为平面，利用“两点之间线段最短”求解； 对于D，先由表面积求出侧面三角形的高，再构造二面角的平面角，用余弦定理求值. 【详解】对于A：如图，连接交于点O，则点O为正方形的中心，平面， 由可知，，所以四边形为平行四边形， 又，故四边形为菱形，由，平面，平面，得平面，故A正确； 若平面，则，与矛盾， 故B错误； ，所以与为等边三角形， 展开至同一平面，连接交于，则为中点，故路程最短为， 其他路径同理可得路程最短为，故C正确. 对于D：该八面体八个面都是全等的等腰三角形，则， 取中点，则，，则二面角的平面角为， 因为，所以，所以，， 由得，所以， 故，，即，故D正确. 10. 函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 是的极小值点 C. 当时，函数有个零点 D. 不等式的解集为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：根据奇函数定义和性质求函数的解析式；对于B：求导，利用导数分析函数在内的单调性和极值；对于CD：根据奇函数的定义结合选项B可得函数的图象，根据图象分析判断. 【详解】对于A：因为函数是定义域为的奇函数，则， 当时，则，可得，故A正确. 对于B：当时，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增；在内单调递减， 所以是的极小值点，故B正确； 对于C： 当时，由选项B可知：在内单调递增；在内单调递减， 则，且当x趋近于时，趋近于0， 结合奇函数性质可得函数的图象，如图所示， 由图像可知：当时，与有3个不同的交点，即函数有3个零点，故C错误； 对于D：由可得或， 由图象可得：或， 所以不等式的解集为，故D错误. 11. 已知集合，为表格如图，则下列说法正确的是（ ） A. 从中任取三个不同的数，三个数之和为奇数的概率为 B. 从中任取三个不同的数，三个数之和为3的倍数的概率为 C. 将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是奇数的概率是 D. 将中所有数填入，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是3的倍数的概率是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分类加法原理结合古典概率计算即可判断A；利用分步乘法原理结合古典概率计算即可判断B；利用分类加法、分步乘法原理和排列组合结合古典概率计算即可判断C；利用分类加法、分步乘法原理和排列组合结合古典概率计算即可判断D. 【详解】对于A，设三数之和为奇数为事件，中， 奇数的有，偶数的有，要想三数之和为奇数，可以三数均为奇数，也可以1奇数2偶数，即：从中任选3个； 或中任选1个，再在中任选2个，故，故A正确； 对于B，设三数之和为3的倍数为事件，中， 除以3余数为0的有，除以3余数为1的有，除以3余数为2的有， 要想三数之和为3的倍数，可以三数余数相同，也可以余数分别为，即：从中选3个；或中选3个； 或中选3个；或从中选1个，中选1个，中选1个，故，故B正确； 对于C，设每行每列之和为奇数为事件，中，由A知总共有5个奇数，且要想三数之和为奇数， 可以三数均为奇数，也可以1奇数2偶数，则这三行与这三列的奇数个数均为， 因此必有一行和一列均为奇数，其他4个位置为偶数，故，故C错误； 对于D，设每行每列之和为3的倍数为事件，中，由B知总共有4种情况可以使得三数之和为3的倍数， ①若有某一行的数除以3的余数相同，则剩余两行所有数除以3就没有该余数， 则剩余任何一行都不会出现余数为，因此剩余两行必然是每行的数除以3的余数也都相同， 即三行余数分别为，此时每列的余数都是，符合题意，共有种余数分布； ②若有某一列的数除以3的余数相同，与①同理可得三列余数分别为， 此时每行的余数都是，符合题意，共有种余数分布； ③若每行每列的数除以3的余数都是，共有种余数分布； 故，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线与焦点之间的距离为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线标准方程求得焦点坐标，再利用两点之间距离公式即可求解. 【详解】由题得，抛物线焦点为， 抛物线即的焦点为， 所以两焦点之间的距离为. 13. 已知函数关于直线对称，且，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】解法1：求函数导数，由对称轴得导数为0，求得，即可求得函数.由题意列出关于的方程，由正弦函数的有界性得到方程的解，求得，即可求得结果. 解法2：由辅助角公式化简函数，由对称轴求得，即可求得函数.由题意列出关于的方程，由正弦函数的有界性得到方程的解，求得，即可求得结果. 【详解】解法1：，， 由题意知的一条对称轴为，所以，解得， 所以原式. 因为，即， 因为， ①若，，则，， 所以，. ②若，，则，，所以，. 综上所述，. 解法2：， 由题意知的一条对称轴为，， 所以 ，所以， 所以，所以原式. 因为，即， 因为， ①若，，则，， 所以，. ②若，，则，，所以，. 综上所述，. 14. 若方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用偶函数的性质，将问题转化成在区间上有2个零点，令，结合条件得有2个正根，再利用二次方程根的分布，即可求解. 【详解】令，则有4个零点， 由，当时，定义域为， 当时，，所以或，则的定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 则在正负半轴的定义域区间上各有个零点，且不是零点， 当在正半轴的定义域区间上时，，有2个零点， 令，则，消得， 即，因为，，所以， 则，所以， 则有2个正根，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费(单位:万元)作为解释变量，销售量(单位:万件)作为响应变量，已知与之间呈现出线性相关关系，，. (投入经费) 1 2 3 4 5 (销售量) 3 11 15 （1）求的值以及关于的经验回归方程； （2）从上述5组数据中任意挑选2组，记为其中残差值为正数的组数，求的分布列和数学期望. 参考公式:. 【答案】（1）， （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据，列式求的值，根据表中数据求，即可得回归方程； （2）求各组的残差值，可知可取0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 由，得， 由，得， 联立方程，解得， 由题意可得：，， 则，， 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 依题意可得，，，，，单位均为万件， 所以5组数据中有2组数据残差值为正数，则可取0，1，2， 可得，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 16. 在锐角中，角所对边分别为，且满足. （1）求； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及余弦定理和正弦定理得到，进而化简得到，最后求出角度即可. （2）利用两角差的正弦公式并结合题意得到，，最后利用正弦定理得到，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，左式 ， 所以由余弦定理和正弦定理，可得右式， 故， 而为锐角三角形，， 故，故，故. 【小问2详解】 因为，所以， 所以，，， 所以，即，， 由正弦定理可得，所以， 得到， 所以． 17. 已知数列满足：，，设． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列的递推公式求得数列的递推公式，从而求得数列的通项公式； （2）由（1）得到数列中的通项公式，结合数列的递推公式求得的通项公式，从而求得数列的通项公式.然后讨论的奇偶性，通过分组求和求得数列的前项和． 【小问1详解】 因为，所以，则， 因为为奇数，为偶数，所以， 所以， 即数列是首项为12，公比为4的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以，为奇数， 则，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，为偶数，， 综上所述，. 18. 已知，函数. （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）若在定义域上只有1个零点，求的取值范围； （3），证明不等式：. 【答案】（1） （2） （3）取，由（2）可知时， 即. 取，可得， 所以，，…，， 累加得， 即，得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求得的图象在点处的切线的斜率，从而求得切线方程； （2）分析导函数的零点，讨论函数的单调性，可得其零点个数，由此求得的取值范围； （3）结合（2）的分析，令，可得时，恒成立，即.令，则，累加即可证得不等式：. 【小问1详解】 由，得. 所以的定义域为. 当时，， ， 所以，. 所以的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，所以当在定义域上只有1个零点时，在上没有非零零点. 的定义域为. . ①若，则， 则当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以只有1个零点，即，符合题意； ②若，令，得或， 因为， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又时，且， 所以在上存在唯一的，使得， 所以有2个零点，即，与已知矛盾； ③若，则恒成立，所以单调递增，则只有1个零点，符合题意； ④若，令得或， 因为， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又时，且，所以在上存在唯一的使得， 所以有2个零点，与已知矛盾； 综上所述，若在定义域上只有1个零点，则. 【小问3详解】 略 19. 我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”．如图所示的椭圆柱中底面长轴，母线，分别为下底面椭圆的左右焦点，动点在线段上（不与重合），为下底面过点的一条动弦（不与重合），当时，直线平面． （1）求底面椭圆的离心率； （2）若，三棱锥的体积为2，求直线与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥外接球表面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，进而计算出半焦距和半长轴即可求出椭圆的离心率； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积为2求出点的坐标，进而求得平面的法向量即可求出直线与平面所成角的正弦值； （3）分别设出的外接圆半径，的外接圆半径，三棱锥的外接球半径，利用线段长度关系可得到，再分别求出和的最小值，即可得到三棱锥外接球表面积的最小值． 【小问1详解】 如图，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又由可得，故， 因此半焦距，半长轴， 所以离心率． 【小问2详解】 由于椭圆长轴，短轴，直线两两垂直，故以点为原点，椭圆长轴，短轴，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则平面内椭圆的标准方程为，， 由平面得，所以， 设平面内直线（与不重合），，， 与椭圆联立，消去得，， 故，， ， 令，则，得或（舍），所以， 即，代入椭圆方程解得，， 即坐标系内，， ，，，设平面法向量为， 则，令得， 记直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 【小问3详解】 设外接圆为圆，半径为，外接圆为圆，半径为， 则在平面内垂直平分线上即轴上，同理在轴上， 设三棱锥外接球球心为，半径为， 因为平面平面，所以平面，平面， 设，， 所以，，，． 所以． 对于，， 当且仅当时取等，即为锐角，最大为， 由正弦定理，， 对于，因为，所以 ， 当且仅当时取等，即为锐角，最大为， 由正弦定理，； 所以，当且仅当，时取等， 所以三棱锥外接球表面积的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $