专题 2.2 有理数的减法 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的减法这一核心知识点，系统梳理减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）、加减混合运算（转化为加法并省略括号）、实际应用（求差值与变化量）及高频易错点，在有理数加法基础上延伸，为混合运算与实际问题解决搭建学习支架。 该资料亮点在于分层题型设计与核心素养融合，夯实基础题强化运算能力，综合提升题如数轴上的减法运算培养几何直观与抽象能力，同步检测通过多样化题型助力课后查漏补缺，体现用数学思维解决温度、海拔等实际问题的应用意识，课中辅助教学，课后帮助学生巩固提升。

专题 2.2 有理数的减法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点1】有理数减法法则 2 【知识点2】有理数加减混合运算 2 【知识点3】有理数减法实际应用 2 【知识点4】高频易错总结 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接运用有理数减法法则计算 3 【题型2】有理数减法法则辨析 4 【题型4】减法的实际应用（求差值） 7 四.题型精析（综合提升） 9 【题型2】数轴上有理数的减法运算 9 【题型5】有理数加减混合运算 11 【题型6】有理数加减运算中的简便运算 15 【题型7】有理数加减混合运算实际应用题 18 五.同步检测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 经历有理数减法法则的推导过程，理解有理数减法的意义； 2. 掌握有理数减法法则，能熟练将减法运算转化为加法运算； 3. 会进行有理数加减混合运算，掌握省略加号和括号的书写形式； 4. 能运用有理数减法、加减混合运算解决温度、海拔、账目收支等实际问题。 （二）重难点 重点：有理数减法法则；有理数加减混合运算。 难点：减法变加法时符号的变换；省略括号和加号的加减混合运算。 二.知识梳理与解读 【知识点1】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式： 【要点提示】 减法运算两步变形：①减号变加号；②减数变成它的相反数。被减数保持不变。 【知识点2】有理数加减混合运算 1. 运算思路：先把全部减法依据法则转化成加法，算式变为全加法算式； 2. 省略加号括号写法：把算式中各个加数的括号和它前面加号省略，写成省略加号的和的形式。 3. 计算技巧：转化成加法后，使用加法交换律、结合律简便运算。 【知识点3】有理数减法实际应用 用正负数表示相反意义的量，利用减法求差值（高低差、海拔差、变化量）。 【要点提示】求差值=大数−小数；求变化量=末状态−初状态。 【知识点4】高频易错总结 1. 做减法只改变运算符号，忘记把减数改为相反数；被减数不能改变符号； 2. 省略括号时，数字前面符号处理出错； 3. 混合运算中，移动数字时，没有连同数字前面符号一起移动。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接运用有理数减法法则计算 解题技巧：减法转加法：减号变加号，减数变为相反数，被减数不变，再按有理数加法计算。 【例题1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）13；（2）；（3）；（4）18.18 （1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【变式1】（2024·上海宝山·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）计算的结果等于______． 【答案】 解：． 【变式3】（25-26七年级上·四川阿坝·阶段检测）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据有理数的减法计算法则求解即可； （2）根据有理数的减法计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． （1）解：原式． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【题型2】有理数减法法则辨析 解题技巧：抓住“两变一不变”：①运算符号：减号加号；②减数：变为相反数；不变：被减数不变。 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）请判断下列计算过程是否正确？若不正确，请说明从哪一步开始出现错误，并给出正确的解答过程． ① ② ．③ 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减的运算，加法交换律和结合律，理解有理数加法运算法则是解答关键． 从第①步开始去括号时应是，而原解析过程还是，然后按正确的计算方法来求解． 解：计算过程不正确，从第①步开始出现错误．正确的解答过程如下： ． 【变式1】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．两个负数的和都是负数 B．0减去一个数，仍是这个数 C．两个正数的差是正数 D．减去一个数等于加上这个数 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减运算性质，根据运算法则逐一判断选项正误即可，熟练掌握有理数加减法则：同号相加取同号，异号相减看大小；减去一个数等于加其相反数是解决此题的关键． 解：∵ 两个负数相加，和仍为负数，如，∴ 选项A正确，符合题意； ∵ 0减去一个数等于该数的相反数，如 ，∴ 选项B错误，不符合题意； ∵ 两个正数的差不一定是正数，如 ，∴ 选项C错误，不符合题意； ∵ 减去一个数等于加上该数的相反数，而非该数本身，如，∴ 选项D错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）珍珍同学在计算“”时，做法如下： （第①步） （第②步） （第③步） 珍珍同学对照答案后发现计算结果是错误的，则她出错的步骤是第______步（填序号），本题正确的结果应是_________． 【答案】 ② 2 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，简便运算；掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键，根据运算法则确定第②步计算错误，再按照减法运算法则正确的计算即可． 解：她出错的步骤是第②步， ， 故答案为：②， 2 ． 【变式3】（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）在计算时，马小虎的做法如下         ①             ②         ③ （1）在马小虎同学的计算过程中，开始出错的步骤是______（写序号即可）． （2）在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：减去一个数等于加上这个数的______． （3）请写出该题正确的计算过程和结果． 【答案】（1）②；（2）相反数；（3） 【分析】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减法运算法则，即可求解； （2）根据有理数的加减法运算法则，即可求解； （3）根据有理数的加减法运算法则，即可求解． （1）解：开始出错的步骤是②， 故答案为：②； （2）解：减去一个数等于加上这个数的相反数， 故答案为：相反数； （3）解： ． 【题型3】减法的实际应用（求差值） 【例题3】（24-25七年级上·新疆喀什·期中）某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． （1）该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ （2）盈利（或亏损）了多少元 ？ 【答案】（1）盈利；（2）盈利了37元 【分析】本题考查正数和负数，有理数四则运算的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． （1）所得的正负数相加，然后计算出总售价，再与进价相比较即可得到答案； （2）用总售价减去进价即可． （1）解：∵， ∴总售价为：（元）， ∵， ∴该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利了； （2）解：由（1）可知总售价为397元，总进价为360元， ∴（元）， ∴盈利了37元． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：， 即这天最高气温比最低气温高． 【变式2】（26-27六年级上·上海·开学考试）一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 【答案】295 解：∵第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”， 第二瓶饮料检测员记的是“”， ∴第二瓶饮料实际净含量为：． 【变式3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了到达小明家，继续向东走了到达小红家，然后向西走了到达小刚家，最后返回百货大楼． （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，向西为负方向，1个单位长度表示，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）； （2）小明家与小刚家相距多远？ 【答案】（1）解：如图所示：A、B、C分别表示小明、小红、小刚家， （2）相距9千米 【分析】本题主要考查了有理数加减运算的应用题． （1）A、B、C分别表示小明、小红、小刚家，根据题意，在数轴上标出点A、B、C，即可求解； （2）用5减去，即可求解． 解：（1）略 （2）解：， 答：小明家与小刚家相距． 四.题型精析（综合提升） 【题型4】数轴上有理数的减法运算 【例题4】（24-25七年级上·河南新乡·期中）根据绝对值的意义和有理数在数轴上表示的点的位置关系，回答下列问题： 探究： （1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； （3）数轴上表示和3的两点之间的距离是 ； 归纳： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离记作 ； 应用： 若数，数，求数m和数n两点间的距离． 【答案】探究：（1）3；（2）4；（3）7；归纳：；应用： 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值，有理数的减法运算，熟练掌握数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可得到结论； （2）根据数轴上两点间的距离公式即可得到结论； （3）根据绝对值的定义即可得到结论． 归纳：根据前面总结归纳得出结论即可； 应用：把m、n值代入归纳的结论，计算即可． 解：探究：（1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是； （3）数轴上表示和3的两点之间的距离是； 归纳：一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于， 故答案为：． 应用：当，时， ， ∴数m和数n两点间的距离为． 【变式1】（2025·河北邢台·一模）如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用表示的点和点到点的距离相等即可求解． 解：， ． 所表示的数为． 故选：． 【点拨】本题考查数轴，解题的关键是熟练掌握表示两点之间距离的方法． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴的动点问题是解题关键． 根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分点B在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 解：∵点B与原点的距离是个单位长度， ∴点B表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点A表示的数为或； 故答案为：或． 【变式3】（24-25六年级上·山东青岛·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮助我们把数和点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，体现了数形结合的数学思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们利用数轴进行以下探究活动： （1）如图1，在数轴上点表示的数是____________，点表示的数是____________，，两点的距离是____________； （2）在数轴上，移动点，使它到点的距离为2，则点移动的距离为____________； （3）小明将刻度尺放在图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点，如图2．此时点对应刻度尺上的刻度，点E对应刻度，求数轴上点表示的数． 【答案】（1），5，8；（2）10或6；（3）数轴上点表示的数为 【分析】本题考查了用数轴表示有理数、数轴上两点间的距离及数轴上动点问题： （1）根据在数轴上表示有理数的方法即两点间的距离公式可得解； （2）根据数轴上两点间的距离即可求解； （3）根据A，B两点的距离可得数轴与刻度尺之间的比例尺，再根据比例尺即可求解； 解题的关键是掌握数轴上表示有理数的方法及两点间的距离公式． （1）解：由数轴得： 点A表示的数是，点B表示的数是5， 则A，B两点的距离为：， 故答案为：；5；8． （2）解：∵到点A的距离为2的点表示的数是或， ∴将点B向左移动个单位长度或个单位长度， 故答案为： 10或6． （3）解：由（1）得：， ， 则数轴上1个单位长度对应刻度尺为， ， 点E距离点A两个单位长度， 故点E所表示的有理数为：． 【题型5】有理数加减混合运算 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）8；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则和运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （2）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （3）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （4）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别求出的值，即可得到答案． 解：； ， ， ； ． 【变式2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【答案】 【分析】本题考查了裂项法进行有理数加减运算，关键是裂项相消法求和；观察原式，每一项为两个连续整数倒数的差的绝对值，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，发现裂项相消，即中间项相互抵消，只剩首尾部分项化简即可． 解：原式， ， 故答案为： ． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：用适当的方法计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）11（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，涉及减法转化为加法、加法运算律的应用以及绝对值的性质等知识点．熟练掌握有理数的运算法则、运算律以及绝对值的性质是解题的关键． （1）先将减法转化为加法，再按照从左到右的顺序依次计算； （2）将小数化为分数，再利用加法交换律和结合律进行简便计算； （3）利用加法交换律和结合律，把分母相同的分数结合在一起进行计算； （4）先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再将减法转化为加法进行计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 【题型6】有理数加减运算中的简便运算 【例题6】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，正确理解拆项法，把带分数拆成整数与分数两个部分是解题的关键． 根据拆项法的定义，先把带分数拆成整数与分数两个部分，然后分别进行计算即可． 解：解　原式 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 解：， ， ， ， ． 故选：A 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】50 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式两项两项合并正好得50个1，最后计算结果即可． 解：原式 ， 故答案为：50． 【变式3】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算题： （1）； （2）； （3）+ ； （4） 【答案】（1）；（2）1；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数减法法则（减去一个数等于加上它的相反数），并灵活运用加法交换律、结合律对算式分组，简化计算过程． （1）先根据有理数减法法则，将减法转化为加法，统一算式符号，再合并所有有理数； （2）观察到带分数与带分数、小数与小数可分组，利用加法交换律和结合律，分别将与、与结合，再计算每组结果并相加； （3）同理，将小数分组，把与、与分别结合，简化小数间的计算； （4）发现相邻两个数为一组（如、），每组结果均为，先计算总组数，再用组数乘每组结果得最终答案． 解：（1） ； （2） （3） （4） 【题型7】有理数加减混合运算实际应用题 【例题7】（24-25七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． （1）最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ （2）若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】（1）最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米；（2）共用了8分钟． （1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期中）北京冬天某日上午的温度是，中午上升了达到最高温度，到夜间最冷时为零下，则这天的昼夜温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．上升用加，下降用减求出最后的温度，然后用最高气温减去最低气温，计算即可得答案． 解：， 故选B． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据温度变化规则，逐步计算降温与开库后的温度变化即可． 解：∵初始温度为， ∴降温3小时：每小时降温，共降温，温度变为， 开库一次：温度上升，变为， 降温2小时：每小时降温，共降温，温度变为， 再次开库：温度上升，变为， 降温4小时：每小时降温，共降温，温度变为， 未达到降温下限，故最终温度为， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； （2）通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 【答案】（1），，；（2）少万人 【分析】分别计算出各天的人数即可求解． （1）解：∵日：； 日：； 日：； ∴； ∴月日的客流量比月日的客流量少万人； 日：； 日：； 日：； 日：； 日：； ∵， ∴日的客流量最多，日的客流量最少； 故答案为：， （2）解：∵， ∴月日的客流量比月日的客流量少万人． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·四川自贡·模拟预测）比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的减法法则计算即可得出结果． 解：所求数为． 2．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 解： ． 故选D． 4．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）在“□”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同学们对加法运算定律的认识以及了解.我们通过题干给出的信息，可以知道题目要求我们运用加法的交换律和结合律，即，我们知道分数相加减，一般把分母相同的放在一起，因此A选项分母与题干中的分母相同，这样这道题目就解答出来了. 解：当“”里的数为时，可用交换律和结合律； 即； 故选：A 5．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据气温上升为正、下降为负列出算式，再依据有理数加减法法则计算即可，理解题意是解题的关键． 解：， 故选：． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 【答案】C 【分析】根据点B所表示的数，分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点A表示的数． 解：当点A沿数轴向右移动3个单位长度时，则A表示的数为：； 当点A沿数轴向左移动3个单位长度时，则A表示的数为． 7．（23-24七年级上·青海海东·阶段检测）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点拨】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 8．（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得出，，再逐项判断即可得出答案． 解：①根据图示知，，故①正确； ②根据图示知，，故②错误； ③根据图示知，、，则．故③错误； ④根据图示知，，，则，，所以．故④正确． 综上所述，正确的结论是． 9．（25-26七年级上·山西忻州·期中）小华用1个“”表示“”，用1个“”表示“”，借助图1解释了算式“”的运算过程与结果类似的，可以用图2解释的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，理解图示是解题的关键． 根据图示可知图2表示的是7减去的计算，据此求解即可． 解：由题意得，借助图2可以解释算式的运算过程与结果， 故选：A． 10．（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数. 解：∵ 连分数展开式为 先计算最内层： 然后： 最后： ∴ 原始分数为 故选A. （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点A，B在数轴上，表示的数分别为和2，则A，B两点之间距离为________． 【答案】3 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为和2， ∴A，B两点之间的距离为． 12．（25-26六年级上·上海青浦·开学考试）冬天室内温度是，室外温度是，那么室内温度比室外温度高_______． 【答案】36 【分析】求室内温度比室外温度高多少，用室内温度减去室外温度，根据有理数减法法则计算即可. 解：， 所以室内温度比室外温度高. 13．（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键． 根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可． 解：， ， ， ． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·新疆和田·阶段检测）计算： ______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先将减法转化为加法，再根据加法结合律求解即可． 解： ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某地某天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是_________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法，根据正负数的意义，上升记为正，下降记为负，利用有理数加法法则列式计算． 解：，即这天夜间的气温是， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·四川广元·期中）定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数的差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于1，2，3进行“非负差值运算”，，则对于，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是_______． 【答案】35 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据“非负差值运算”的定义，对于给定的四个有理数，需计算所有两数组合的差（大数减小数），再将这些差进行求和． 解：由题意得， ，，，，，， ， 故答案为：35． 17．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个不透明的袋子中装有5个小球，小球上分别标有数字：，，，，，小球除数字外完全相同．现从袋子中随机摸出四个小球，将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□-□”中的“□”内，计算所得算式的结果，计算结果的最小值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据题意正确列式是关键．根据计算结果最小，又是减法运算，所以第一个数字为最小的负数，后面三个不选负数． 解：由题意得， 当摸出的四个小球上的数字为，，，时，计算结果最小， 即． 故答案为：． 18．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）计算下列各式： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）10；（4） 【分析】本题考查了有理数的加法、减法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算； （3）根据有理数的减法运算法则计算； （4）根据有理数的减法运算法则计算． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）先去括号，然后进行有理数加减运算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算即可． （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据题干提供的信息列式计算即可． （1）解： ． （2）解： ． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是． （1）合格产品的实际直径最小可以是，最大可以是多少毫米？ （2）另一个零件的标注为，该零件直径的标准尺寸有些模糊．已知该零件的七个合格产品的直径分别为，，，，，，，则该零件直径的标准尺寸是多少毫米？（注：标准尺寸为整毫米数） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法与减法的应用，熟练掌握正负数的应用是解题关键． （1）利用标准尺寸加上即可得； （2）先求出给出的七个合格产品尺寸中，最大与最小尺寸，再求出标准尺寸的范围，由此即可得． （1）解：， 答：最大可以是． （2）解：给出的七个合格产品尺寸最大为，最小尺寸为， 所以标准尺寸在和之间， 因为标准尺寸为整毫米数， 所以该零件直径的标准尺寸是． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，请仿照上面的方法计算： （1）______； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）利用拆项法变形后，利用有理数的运算法则进行计算即可． （1）解：原式 ． 故答案为：． （2）解：原式 ． 【点拨】本题考查有理数的加减混合运算，结合题意将各式进行正确的变形是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察下列等式：，， 将以上三个等式的两边分别相加得： （1）计算： （直接写结果） （2）计算：（直接写结果） （3）探究并计算： ①； ②． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【分析】（1）利用题目给出的式子进行计算即可； （2）结合题目给出的规律，进行裂项相加即可； （3）①利用题目给出的方法，找到新的规律，再裂项相加即可；②将每一项转化为：，再进行计算即可． 解：（1） ， ， ； （2） ， ， ； （3）①原式 ， ； ②原式 ， ． 【点拨】本题考查有理数的运算规律探究，理解并掌握题目给出的运算规律是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.2 有理数的减法（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点1】有理数减法法则 2 【知识点2】有理数加减混合运算 2 【知识点3】有理数减法实际应用 2 【知识点4】高频易错总结 2 三.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】直接运用有理数减法法则计算 3 【题型2】有理数减法法则辨析 3 【题型4】减法的实际应用（求差值） 4 四.题型精析（综合提升） 5 【题型2】数轴上有理数的减法运算 5 【题型5】有理数加减混合运算 6 【题型6】有理数加减运算中的简便运算 6 【题型7】有理数加减混合运算实际应用题 7 五.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 经历有理数减法法则的推导过程，理解有理数减法的意义； 2. 掌握有理数减法法则，能熟练将减法运算转化为加法运算； 3. 会进行有理数加减混合运算，掌握省略加号和括号的书写形式； 4. 能运用有理数减法、加减混合运算解决温度、海拔、账目收支等实际问题。 （二）重难点 重点：有理数减法法则；有理数加减混合运算。 难点：减法变加法时符号的变换；省略括号和加号的加减混合运算。 二.知识梳理与解读 【知识点1】有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 公式： 【要点提示】 减法运算两步变形：①减号变加号；②减数变成它的相反数。被减数保持不变。 【知识点2】有理数加减混合运算 1. 运算思路：先把全部减法依据法则转化成加法，算式变为全加法算式； 2. 省略加号括号写法：把算式中各个加数的括号和它前面加号省略，写成省略加号的和的形式。 3. 计算技巧：转化成加法后，使用加法交换律、结合律简便运算。 【知识点3】有理数减法实际应用 用正负数表示相反意义的量，利用减法求差值（高低差、海拔差、变化量）。 【要点提示】求差值=大数−小数；求变化量=末状态−初状态。 【知识点4】高频易错总结 1. 做减法只改变运算符号，忘记把减数改为相反数；被减数不能改变符号； 2. 省略括号时，数字前面符号处理出错； 3. 混合运算中，移动数字时，没有连同数字前面符号一起移动。 三.题型精析（夯实基础） 【题型1】直接运用有理数减法法则计算 解题技巧：减法转加法：减号变加号，减数变为相反数，被减数不变，再按有理数加法计算。 【例题1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 （1） （2） （3） （4） 【变式1】（2024·上海宝山·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）计算的结果等于______． 【变式3】（25-26七年级上·四川阿坝·阶段检测）计算： （1）； （2） （3）； （4）． 【题型2】有理数减法法则辨析 解题技巧：抓住“两变一不变”：①运算符号：减号加号；②减数：变为相反数；不变：被减数不变。 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）请判断下列计算过程是否正确？若不正确，请说明从哪一步开始出现错误，并给出正确的解答过程． ① ② ．③ 【变式1】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）下列说法中，正确的是（   ） A．两个负数的和都是负数 B．0减去一个数，仍是这个数 C．两个正数的差是正数 D．减去一个数等于加上这个数 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）珍珍同学在计算“”时，做法如下： （第①步） （第②步） （第③步） 珍珍同学对照答案后发现计算结果是错误的，则她出错的步骤是第______步（填序号），本题正确的结果应是_________． 【变式3】（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）在计算时，马小虎的做法如下         ①             ②         ③ （1）在马小虎同学的计算过程中，开始出错的步骤是______（写序号即可）． （2）在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：减去一个数等于加上这个数的______． （3）请写出该题正确的计算过程和结果． 【题型3】减法的实际应用（求差值） 【例题3】（24-25七年级上·新疆喀什·期中）某儿童服装店用 360 元购买了 8 套儿童服装 ，准备以一定价格出售 ，8 套服装的售价不完全相同 ，若每套服装的售价以 50 元为标准 ，超出的记作正数 ，不足的记作负数 ，记录如下（单位 ：元） ：，，，，，，，． （1）该服装店卖完这 8 套儿童服装后 ，是盈利还是亏损 ？ （2）盈利（或亏损）了多少元 ？ 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连某景区当日最高气温，最低气温，这天最高气温比最低气温高（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27六年级上·上海·开学考试）一种饮料瓶身标注的净含量是，经检测，第一瓶饮料的实际净含量是，检测员记作“”，第二瓶饮料检测员记的是“”，那么第二瓶饮料的实际净含量是________． 【变式3】（25-26七年级上·云南昆明·期中）一辆货车从百货大楼出发负责送货，向东走了到达小明家，继续向东走了到达小红家，然后向西走了到达小刚家，最后返回百货大楼． （1）以百货大楼为原点，向东为正方向，向西为负方向，1个单位长度表示，请你在数轴上标出小明、小红、小刚家的位置（小明家用点A表示，小红家用点B表示，小刚家用点C表示）； （2）小明家与小刚家相距多远？ 四.题型精析（综合提升） 【题型4】数轴上有理数的减法运算 【例题4】（24-25七年级上·河南新乡·期中）根据绝对值的意义和有理数在数轴上表示的点的位置关系，回答下列问题： 探究： （1）数轴上表示5和2的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ； （3）数轴上表示和3的两点之间的距离是 ； 归纳： 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离记作 ； 应用： 若数，数，求数m和数n两点间的距离． 【变式1】（2025·河北邢台·一模）如图，数轴上点表示的数为，经过点折叠这条数轴，使数轴在点两侧的部分完全重合，若点右侧的点与数轴上表示的点重合，则点所表示的数为（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为6个单位长度，则点A表示的数是________． 【变式3】（24-25六年级上·山东青岛·期中）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴帮助我们把数和点建立起对应关系，可以用它揭示数与形之间的内在联系，体现了数形结合的数学思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，请同学们利用数轴进行以下探究活动： （1）如图1，在数轴上点表示的数是____________，点表示的数是____________，，两点的距离是____________； （2）在数轴上，移动点，使它到点的距离为2，则点移动的距离为____________； （3）小明将刻度尺放在图1的数轴下面，使刻度尺上的刻度0对齐数轴上的点，如图2．此时点对应刻度尺上的刻度，点E对应刻度，求数轴上点表示的数． 【题型5】有理数加减混合运算 【例题5】（2025七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）_____. 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：用适当的方法计算： （1） （2） （3） （4） 【题型6】有理数加减运算中的简便运算 【例题6】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）阅读下面文字： 对于，可以按如下方法计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法． 仿照上面的方法，请你计算：． 【变式1】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段检测）计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【变式3】（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）计算题： （1）； （2）； （3）+ ； （4） 【题型7】有理数加减混合运算实际应用题 【例题7】（24-25七年级上·贵州安顺·期末）某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． （1）最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ （2）若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【变式1】（24-25七年级上·河南郑州·期中）北京冬天某日上午的温度是，中午上升了达到最高温度，到夜间最冷时为零下，则这天的昼夜温差是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在温控范围内，肉联厂的冷藏库能使冷藏食品每小时降温（冷藏库温度到达零下后自动停止降温），每开库一次，温度上升，现有的肉放入冷藏库，3小时后开一次库，2小时后再次开库，再关上库门4小时，此时肉的温度是________． 【变式3】（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）某市客运管理部门对中秋国庆假期八天客流变化量进行了不完全统计，数据如下（用正数表示客流量比前一天上升数，用负数表示客流量比前一天下降数）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 变化量/万人 （1）10月3日的客流量比10月1日的客流量少___________万人；在10月1日至10月8日期间，10月___________日客流量最多，10月___________日客流量最少； （2）通过计算说明10月8日的客流量比10月1日的客流量多多少人或少多少人？ 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2024·四川自贡·模拟预测）比少的数是（     ） A． B．1 C． D． 2．（2026·河北廊坊·二模）与相等的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河南驻马店·阶段检测）在“□”里填上一个数，使式子“”能用运算律进行简便计算，则这个数可能是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）一天早晨的气温是，中午上升了，晚上又下降了，晚上的气温是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，一光点从数轴上点出发，在数轴上运动3个单位长度到达点．若点所表示的数为1，则点所表示的数是（   ） A． B．5 C．或4 D．或3 7．（23-24七年级上·青海海东·阶段检测）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 8．（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）有理数，在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（   ） ①；②；③；④． A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·山西忻州·期中）小华用1个“”表示“”，用1个“”表示“”，借助图1解释了算式“”的运算过程与结果类似的，可以用图2解释的算式是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级上·江苏南通·期中）按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点A，B在数轴上，表示的数分别为和2，则A，B两点之间距离为________． 12．（25-26六年级上·上海青浦·开学考试）冬天室内温度是，室外温度是，那么室内温度比室外温度高_______． 13．（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：=______． 14．（25-26七年级上·新疆和田·阶段检测）计算： ______． 15．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某地某天早晨的气温是，中午上升了，夜间又下降了，那么这天夜间的气温是_________． 16．（25-26七年级上·四川广元·期中）定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数的差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于1，2，3进行“非负差值运算”，，则对于，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是_______． 17．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）一个不透明的袋子中装有5个小球，小球上分别标有数字：，，，，，小球除数字外完全相同．现从袋子中随机摸出四个小球，将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“□-□-□-□”中的“□”内，计算所得算式的结果，计算结果的最小值为_______． 18．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）计算下列各式： （1） （2） （3） （4） 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）计算下列各式． （1）； （2） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义：表示不超过的最大整数． （1）求的值； （2）求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）图纸上一个零件的标注为，表示这个零件直径的标准尺寸是． （1）合格产品的实际直径最小可以是，最大可以是多少毫米？ （2）另一个零件的标注为，该零件直径的标准尺寸有些模糊．已知该零件的七个合格产品的直径分别为，，，，，，，则该零件直径的标准尺寸是多少毫米？（注：标准尺寸为整毫米数） 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 对于，可以进行如下计算： 原式 ． 上面这种方法叫拆项法，请仿照上面的方法计算： （1）______； （2）． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）观察下列等式：，， 将以上三个等式的两边分别相加得： （1）计算： （直接写结果） （2）计算：（直接写结果） （3）探究并计算： ①； ②． 2 / 30 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