2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷（广东省深圳市适用）

**基本信息** 高三开学考数学模拟卷，覆盖函数、几何、概率等核心知识，通过社团招新情境（概率题）和导数与数列综合题，考查数学眼光、思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、向量、数列、函数、立体几何、解析几何、概率|基础题（如集合运算）到中档题（函数最值），梯度合理| |填空题|3/15|三角、圆与双曲线、等差数列|结合圆与双曲线交汇（第13题），考查综合应用| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率统计、圆锥曲线、导数与数列|社团招新情境（第17题）体现数学语言表达，导数与数列结合（第19题）考查创新思维，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷 （广东省深圳市适用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合、，再求即可. 【详解】集合， ， 则. 2．若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可. 【详解】因为，所以移项化简得， 所以. 3．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 4．设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出等比数列公比的平方，再利用等比数列片段和的性质计算． 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 5．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 【答案】B 【分析】先根据正四棱台的几何特征求出高，再代入棱台体积公式计算即可． 【详解】求上下底面的对角线长度：正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长为，故上底面对角线长为；下底面边长为，故下底面对角线长为； 上底面顶点在下底面的射影落在下底面的对角线上，可得侧棱在底面的投影长度为； 已知侧棱长为，由勾股定理得棱台的高； 计算体积： 上底面面积，下底面面积， 代入棱台体积公式 ． 7．已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，把四边形面积转化为关于的表达式，再结合抛物线设点求的最小值，进而得到面积最小值. 【详解】由圆，得，故圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，，且， 因此四边形的面积： ， 在中，由勾股定理得， 即当取最小值时，取最小值，从而取得最小值. 设抛物线上点的坐标为， 则 ， 因为，则当时，取得最小值，即， 代入得，故四边形面积的最小值为. 8．将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次，记第次正面向上的点数为，，，则的所有可能抛掷情况数为（     ） A．96 B．54 C．48 D．32 【答案】B 【分析】结合题意得到与或，再列出所有情况，最后利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】结合题意，设三次点数的最小值为，最大值为，剩下的为，且， 当时，，而，不满足，故排除， 则，此时，故或， 当，时，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当，时，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当时，有种情况，由分类加法计数原理得情况数如下， 共有种情况. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 10．已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 【答案】AD 【分析】先求出圆 的圆心和半径，由圆上的点到定点距离的最小值等于圆心到定点的距离减去圆半径，求得，结合两点间距离公式及二次函数的最值，判断A；根据正弦定理及正弦函数的最值求得的范围，从而得到的范围判断B；分析 构成的三角形面积最大值情况，判断C；由 恒成立，得，得关于的不等式，求解可得 的取值范围，判断D. 【详解】圆 的圆心为，半径为，又， 对于A，因 为圆 上的动点，则. 而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以A正确； 对于B，由，得点在圆外. 当三点共线时，； 当三点不共线时，由正弦定理得，， 所以. 因为，所以. 又，所以. 综上所述，，所以B错误； 对于C，设点到直线的距离为，则的面积. 因为点在圆上，所以的最大值等于半径为，所以. 当或时，. 所以 构成的三角形面积无最大值，所以C错误； 对于D，若 恒成立，则恒成立， 即恒成立，化简得， 解得或，所以D正确. 11．已知，，定义，下列表述不正确的是（     ） A．有最小值 B．无极大值 C．对任意，都有， D．不存在实数，使得直线与有四个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，且，，，成等差数列 【答案】BC 【分析】首先化简函数定义：，即取和中较小值.先求导得到，，故.结合奇偶性、单调性，的对称性、单调性分析的图像性质，逐一判断选项. 【详解】由 知 为偶函数. ，. 当 时，.故 在 上单调递增. 又 ，故 在 上为正， 在 上单调递增. 令 ，则 为偶函数， ，，故 在 上单调递增. 又 ，故 在 上为正， 在 上单调递增. ，即将 向左平移两个单位. 此时， 关于直线 对称，且在 上单调递增. 又由绝对值的性质可知 ，即 . 注意到 ，，可作出示意图， 不妨设 与 交于点 ，则 .即 . 对于A，结合图象知 ，A表述正确. 对于B， 在 上单调递增， 上单调递减，故 ，B表述错误. 对于C：∵关于直线对称，∴ 对任意实数，有. 又∵ 在上单调递增，在上单调递减，且的分界点，即： 当时，；当时，，且此时. 分两种情况讨论： ① 当时， ∵ ，∴ . 若，即，则，故. 若，即，则， 故. 综上，当时，. ② 当时，令， 则，， 由①的结论可知，即，故. 由于的取值正负不定时，与的大小关系不确定，因此无法直接比较二者大小. 此处，可取任意实数，无法判断与的大小关系，故该部分不成立. 对于D：当（为的极大值）时，与有四个交点， 其中为的根，满足；为的根，满足. 若四个数成等差数列，设公差为，则，联立和得，对应. 此时，，二者不相等，不存在这样的，故D表述正确. 【点睛】方法归纳：对于取最值的复合函数，先明确其本质为两个函数的上下包络，结合原函数的奇偶性、对称性、单调性分析图像特征，可快速判断极值、交点等性质；涉及等差数列的交点问题，利用函数对称性可简化推导. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，则 __________. 【答案】 【分析】利用已知条件得到，然后结合二倍角的正切公式即可求解. 【详解】已知 ，展开得，即， 则，由于，所以，所以，即， 由二倍角的正切公式，可得. 13．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆圆周的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的3倍，则双曲线的离心率为_________. 【答案】 【分析】先根据四等分圆周的几何条件得到交点坐标，结合“圆直径是双曲线实轴3倍”求出参数，将交点代入双曲线方程得，最后代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】圆的半径为，直径为. 由题意知，圆的直径是双曲线实轴长的倍，双曲线实轴长为， 因此，. 因为四等分圆周，第一象限的交点的极角为， 坐标为， 将代入双曲线方程得 . 离心率，且，因此， 因此双曲线的离心率. 14．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 【答案】9 【分析】考查等差数列的性质以及数列求和的最值问题，解题的关键在于根据条件得出，，分析出，，即可求解. 【详解】，因为，数列为等差数列，故，，则公差， 当时，，当时，， 分析数列：，，，， ，，，，，， ，则， 当时，此时，则显然，故取最小值时. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边的等式转化为角的关系式，结合已知求出，再借助已知条件变形结合正弦定理求得边长； （2）把用与表达，代入化简得到，利用基本不等式确定的上界，进而推出的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. 因为，所以，又，所以. （2）因为，所以，因为， 所以. 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 16．（15分） 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)因为为中点，且，所以，即， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以. (2) 【分析】（1）先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）建立空间直角坐标系，通过证明平面得到与平面所成角为，可得，，进而利用空间向量求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以． 又，，所以，所以，则， 由（1）知平面，所以，，两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则，，， 由，，，平面，得平面， 所以与平面所成角为， 所以， 解得，，所以，则，， 所以，，． 设平面的一个法向量为， 由，得，可取， 设平面的一个法向量为， 由，得，可取 设二面角为． ， 则， 所以二面角的正弦值为. 17．（15分） 某社团举办招新活动，分为初试、复试、终试三个环节（需通过初试才有资格参加复试，通过复试才有资格参加终试）．现有甲、乙、丙三人报名参加，且三人通过初试、复试的概率相互独立，概率情况统计如下表（其中）： 初试通过概率 复试通过概率 甲 乙 丙 (1)请通过计算说明谁进入终试的概率最大； (2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）记三人中进入终试的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)乙进入终试的概率最大 (2)(ⅰ) (ⅱ) 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【分析】（1）由相互独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）（i）由甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为求解即可； （ii）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，由此列出分布列，并求解期望. 【详解】（1）设甲，乙，丙三人进入终试的事件分别为，，，则 ， ，所以当时，单调递增， 对称轴为，此时取得最大值为，所以，小于， 当时，则为，大于，所以，即乙进入终试的概率最大. （2）（i）恰有两人进入终试的概率为： ，解得，即，解得或，因为，所以. （ii）由（i）可知，则，则的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的可能取值为： 所以 18．（17分） 已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】(1) (2)（i） （ⅱ） 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）连接，由题意知， 则， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，. 所以，，所以曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，所以， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以， 由，，得，解得. 不妨设，则，． 所以的面积. 19．（17分） 已知， (1)求函数的极值； (2)正项数列满足，， ①若不等式对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围； ②若，求实数λ的最小值． 【答案】(1)极大值为0，无极小值 (2)① ；②2 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数在不同区间的单调性，进而求解函数的极值. （2）（i）对给定的递推关系变形，结合（1）中得到的时的结论，推导数列的单调性，结合首项得到的取值上界，即可确定实数的取值范围. （ii）将不等式变形后结合递推关系转化为关于的恒成立不等式，通过换元构造新函数，多次求导判断函数单调性，结合常用不等式验证临界值的充分性，最终求得的最小值. 【详解】（1），， 函数在区间上递增，在区间上递减， 的极大值为，无极小值. （2）由，得，由（1）知，当时，，即， ，，即， 所以数列是递减数列，即， 即实数的取值范围是. ，即， ，令， ， 令函数， ，，使函数在区间上递减， 即在恒成立， 又，，使函数在区间上递减， 令函数，即在恒成立， ． 现证明，即证明， 令，整理得， 构造函数，则， 易证，，即， 所以函数在区间上递增，即， 即成立，所以的最小值为2． 【点睛】方法归纳： 1. 本题为导数与数列结合的综合题型，前后设问关联性强，第一问的函数结论是第二问推导的重要工具，解题时需优先利用前面小问得到的不等式简化推导过程. 2. 处理数列中的参数恒成立问题时，可通过换元将离散的数列问题转化为连续的函数最值问题，借助导数研究函数单调性、最值求解参数范围. 3. 当一次求导无法直接判断符号时，可对导函数再次求导，逐步推导原函数的单调性，求解参数临界值后需进行充分性验证，保证逻辑严谨. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三上学期开学考数学模拟卷 （广东省深圳市适用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，其中，，若，，则可以是（     ） A． B． C． D． 4．设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 5．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，该正四棱台的体积为（    ） A．518 B． C．350 D． 7．已知点为抛物线上一动点，过点作圆的两条切线，，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次，记第次正面向上的点数为，，，则的所有可能抛掷情况数为（     ） A．96 B．54 C．48 D．32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 10．已知点 ，点 为圆 上的动点，则（ ） A． B．存在点 使 C． 构成的三角形面积最大值为 D．若 恒成立，则 的取值范围为 11．已知，，定义，下列表述不正确的是（     ） A．有最小值 B．无极大值 C．对任意，都有， D．不存在实数，使得直线与有四个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，且，，，成等差数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，则 __________. 13．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆圆周的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的3倍，则双曲线的离心率为_________. 14．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，则最小时的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知的内角所对的边分别为，. (1)若，，求； (2)若，求的最小值. 16．（15分） 如图，四棱柱的底面为直角梯形，，，，．点为的中点，且． (1)证明：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求二面角的正弦值． 17．（15分） 某社团举办招新活动，分为初试、复试、终试三个环节（需通过初试才有资格参加复试，通过复试才有资格参加终试）．现有甲、乙、丙三人报名参加，且三人通过初试、复试的概率相互独立，概率情况统计如下表（其中）： 初试通过概率 复试通过概率 甲 乙 丙 (1)请通过计算说明谁进入终试的概率最大； (2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为． （ⅰ）求实数的值； （ⅱ）记三人中进入终试的人数为，求的分布列与数学期望． 18．（17分） 已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 19．（17分） 已知， (1)求函数的极值； (2)正项数列满足，， ①若不等式对任意的正整数n成立，求实数m的取值范围； ②若，求实数λ的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $