第三章 函数的概念与性质 A卷 学业水平达标卷-【金卷1号】2026-2027学年高中数学必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第三章 函数的概念与性质 A卷学业水平达标卷 赳 (时间：120分钟满分：150分) 授 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是 A.y=|x|,u=√ ☒ B.y=√T,s=(WE) C.y= x2-1 x-1 m=n+1 D.y=√x+I·√/x-1,y=√x-1 蜘 中咖 2.函数)=2的定义域为 部 A.(1,+∞) B.[1,+o∞) C.[1,2) D.[1,2)U(2,+∞) 3.若偶函数f(x)在（一∞，一1]上是增函数，则 A.f(-)Kf-1D<f2) B.f(2)<<-D g C.f2)<-1D<f(-号) D.f(-1)<f-2)<f2) 4.函数f(x)=√3十2x一x的单调递增区间是 () A.(-∞，1] B.[1,+∞) C.[1,3] D.[-1,1] 5.已知函数f(x+1)是偶函数，当1<x1<x2时，[f(x2)一f(x1)](x2-x1)>0恒成立，设 荞 a=f(-)b=f(2)c=f3).则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.b<a<c 6.若函数f(x)=(2.x-1)(x+a 为奇函数，则a= ☒ A.2 R号 c D.1 的 7.已知偶函数)的定义域为R,当x∈D,十e©)时，)-则/x-1)<1的解集 为 21 A(合，) B(-o,) c(侵+∞ D.(-o,2u(2,+∞） 8.现有下列函数：①y=x;②y=();③=4x2;④y=x+1;⑤y=(x-1);⑥y=x; ⑦y=a(a>1),其中幂函数的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 9.已知函数f(x十2)的定义域为(-3,4)，则函数g(x)= f(c）的定义域为 √/3x-1 A(34) B(信2 c(信 D.(合 10.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R,有f1+x)=-f(1一x),当x∈[0,1] 时，f(x)=x2十x一2，则下列结论错误的是 () A.f(x)是以4为周期的周期函数 B.f(2021)+f(2022)=-2 C.函数y=f(x)-log2(x十1)有3个零点 D.当x∈[3,4]时，f(x)=x-9x+18 11.已知f(2x-1)=4x2+3,则f(x)= A.x2-2x+4 B.x2+2x C.x2-2x-1 D.x2+2x+4 12.已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且满足f(一x十2)=f(x十2)，则下列结论不正确 的是 () A.f(4)=0 B.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x+8)=f(x) D.若f(-3)=-1,则f(2021)=-1 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2,且f(x+1)=f(x十6)，则f(10)十f(4) 14.判断大小：5.251 (选填“>”或“<”)5.262. x,I<a, 15.设f(x)= 、 z2,x≥a. 若f(2)=4,则a的取值范围为 16.已知幂函数f(x)=x”1(m∈Z)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则函 数f(x)的解析式是 22 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.(10分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2x一x2.求当x<0时， f(x)的解析式. 18.12分)设函数)=e+是，其中e≈2.71828.证明： (1)函数f(x)是偶函数； (2)函数f(x)在(0，十∞)上单调递增. 19.(12分)已知函数f(x)=x2-(2m+1)x+m2+m,m∈R. (1)若m=1,求f(x)在区间[一1,3]上的最大值与最小值； (2)若(x)在区间[一2,1门]上是单调函数，求m的取值范围. —23 20.(12分)已知函数f(x)=kx2-2x+4. (1)当k=1时，求f(x)在区间[t,t+2]上的最小值； (2)若函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，求实数k的取值范围. 21.(12分)双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向.根据工信 部最新数据显示，截至2023年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关， 某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x(千辆)获利W(x)(万元)， 30x+350,0<x≤2， W(x)= 该公司预计2023年全年其他成本总投入为(20x 2x2+40x+340,2<x≤6， 十10)万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2023年的全年利润为f(x) (单位：万元). (1)求函数f(x)的解析式； (2)当2023年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？ 22.(12分)已知幂函数y=x”-2m3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，十o∞)上是减 函数. (1)求m的值. (2)若(a十1)<(3-2a),求a的取值范围. 24“>京，所以本命题是真命题： 5> x<1或x>2,且x<-1或x>1同时成立， 解得x<-1或x>2, 选项D子>石古>0品0，o>b, ! 故p,q至少有一个成立时，x的取值范围为[一1,2]. ;19.[解](1)当a=0时，A={x-3<x<1},B={x ∴.b一a<0,.ab<0,所以本命题是真命题，故 0x≤1}，AUB={x|-3<x≤1. 选BCD.] (2)A∩B=0 11.CD[由题得A={xa-1<x<a十1〉， 当A=时，2a-3≥a十1，解得a≥4， B={x1x<5,x∈R}, 1a<4 a<4 又因为A∩B=0,所以a十1≤1或a-1≥5，即a≤0 当A≠时，2a32≥1或a+1<0' 或a≥6.故满足题意的有选项C,D.故选CD.] 解得：2≤a<4或a≤-1，综上所述： 12.AD[①由xt2>yt2可知t>0,.x>y, 实数a的取值范围(-∞，-1]U[2,十∞). 故xt2>yt2→x>y: :20.[解](1)当a=3时，A={x-1≤x≤5}， ②当t>0时，x>y:当t<0时，x<y, 又B={x|x≤1或x≥4}， 故xt>yt力x>y: .A∩B={x|-1≤x≤1或4≤x≤5}： ③由x2>y2,得|x>y为x>y,故x2>y2为x>y: (2)若a>0,则A={x2-a≤x≤2十a}≠， ④0<1<1>x>,故选AD.] 又CwB={x1<x<4}, x y ∴.由A∩(CuB)=A得A≤CuB, 13.(-o∞，4][当B=0时，有 m+1≥2m-1,则m≤2. 2m-1 经-好01 当B≠☑时，若B二A,如图」 21.[解](1)因为AUB=B,所以ACB, m+1≥-2， /a-1≥0 则2m-1≤7， 所以a+1s3即1a≤2： m+1<2m-1, (2)因为A∩B≠☑， 解得2<m≤4.综上，m的取值范围为（一∞，4].] 所以0a+1<3或0<a-1<3, 14.{xx是直角三角形}[根据三角形的分类可知，！ 所以-1<a<4. CuA={xx是直角三角形或钝角三角形}，CuB=22.[解]因为不等式x2+ax-b<0的解集是 {xx是直角三角形或锐角三角形}，所以CuA∩CuB=! {x2<x<3}, [xx是直角三角形].] 所以x1=2,x2=3是方程x2十ax-b=0的解， 15.(-2,2][当2-a=0时，不等式化为4>0，恒成立， 所以a=2符合题意； 由韦达定理十2=一a, 解得a=一5，b=-6, 1x1x2=-b, 当2-a≠0时，关于x的不等式(2-a)x2-2(a-2)x 故不等式bx2-a.x+1≤0为-6x2+5.x+1≤0， 十4>0对一切实数x都成立， 即6.x2-5x-1≥0台(6.x+1)(x-1)≥0， |2-a>0, 需4a-2)2-4x42-a)<0' 解得≤-日或≥1， 解得-2<a<2. 故不等式6x2-5x+1≥0得其解集 综上可知，实数a的取值范围是（一2,2].] 为{xx≤- 日成≥1小 16.25[.x>0,y>0,xy=2, :2x+IDy+1D=2xy+2x+y+1=2x+y+5 第三章函数的概念与性质 √2x+y √2x+y √/2x+y A卷学业水平达标卷 √22+y十/2x+ 5 =≥25.] !1.A[对于A,y=|x和u=√0的定义域都是R,对应 17.[解](1)因为A={.x|2≤x<7},B={x3<x<: 关系也相同，是同一个函数，故选项A正确： 10},所以AUB={x|2≤x<10}. 对于B,函数y=√x2的定义域为R,函数s=(F)2的 (2)因为A={x2≤x<7},C={xx<a 定义域为[0，十∞)，定义域不同，不是同一个函数，故 且A∩C≠0， 选项B错误； 所以a>2,即a的取值范围为(2，十o∞). 18.[解](1)设A={x√x-I≤1}={x1≤x≤2}， 对于C,画载y号的定又战为≠1，画数m B={x|-1≤x≤a}, n十1的定义域为R,定义域不同，不是同一个函数，故 因为9是p的必要非充分条件，所以A是B的真子： 选项C错误： 集，则a≥2， 对于D,函数y=√x十I·√x一I的定义域为 所以实数a的取值范围为[2，十∞). {xx≥1}，函数y=√x2-1的定义域为 (2)当a=1时，p:1≤x≤2，q:-1≤x≤1， (-∞，一1]U[1,十∞)，定义域不同，不是同一个函 当p,q都不成立时， 数，故选项D错误，故选：A.] 77 1x-1≥0 2D[由题意2≠0解得x≥1且x≠2， 即>了所以画数()的定义藏为（宁6） 故选：D.] 故选：C.] 3.B[因为f(x)在(-o∞，一1]上是增函数， ；10.B[因为f(1+x)=一f(1一x),且f(x)为偶函数， <1 所以f(x+4)=f(1+x+3)=-f(1-(x+3)= 且-2< -f(-2-x)=-f(-(2+x) 所以f( 2<()K-1D =-f(2+x)=-f(1+1+x)=f(1-(1+x))= f(-x)=fx), 又f(x)为偶函数，所以f(一2)=f(2), 故f(x)的周期为4，故A正确. 则f2<f(-)-1D 由f(x)的周期为4，则f(2021)=f(1)=0, 故选：B] f(2022)=f(2)=-f(0)=2, 所以f(2021)+f(2022)=2,故B错误； 4.D[函数f(x)=√3十2x-x的定义域需要满足3+ 令y=f(x)-log2(x+1)=0, 2x-x2≥0，解得f(x)定义域为[-1,3]，因为y=3+ 2x-x2在[-1,1]上单调递增，所以f(x)= 可得f(x)=log2(x+1), 作函数y=log2(x十1)和y=f(x)的图像如下图 √3+2x-x2在[-1,1]上单调递增，故选：D.] 所示， 5.D[函数f(x+1)是偶函数， ∴.函数f(x)的图像关于直线x=1对称， y=log,(x+1) 则f(-）)=f(受)月 fx) 当1<x1<x2时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, ∴.函数f(x)在区间(1，十o∞)上为增函数. 则f2)<f(号）f(3. 即f2<f()Kf3. .b<a<c.故选：D.] 由图可知，两个函数图像有3个交点，故C正确： 当x∈[3,4]时，4-x∈[0,1]，则f(x)=f(-x) 6.A[由函数fx)=2-r十0为奇画数， f(4-x)=(4-x)2+(4-x)-2=x2-9.x+18,故D 可得f(-x)=-f(x), 正确.故选：B.门 一x 所以-2x-1)(-x+0=一(2x-1)(x+a)1 11.D[令1=2x-1,则x=1+1, 2 所以-x(2x-1)(x十a)=-x(-2x-1)(-x+a),化 简得：2(2a一1)·x2=0恒成立， f)=4() +3=t2+2t+4: 所以2a-1=0,即a=2, 1 所以f(x)=x2+2x+4. 故选：D.] 经验证f(x)= 2x :12.B[对于A:因为f(x)是定义域在R上的奇函数，所 2-1De+)aT 以f(0)=0,又f(-x+2)=f(x+2), 定义域关于原，点对称，且满足f(一x)=一f(x), 令x=-2代入可得f(4)=f(0)=0,故A正确； 1 对于B:因为f(-x十2)=f(x十2)， 故a=2故选：A.] 所以f(x)图象关于x=2对称，无法确定是否关于直 7D[:-2-+3-1+ 线x=1对称，故B错误； x+1 x+1 对于C:因为f(x)为奇函数， f(x)在[0，十∞)上单调递减，又f(x)为偶函数， 所以f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2), f(分)=1，x-D<1…fx-1D<f(2）: 所以f(x+4)=-f(x), 则f(x十8)=-f(x+4)=f(x),故C正确： x-1>2解得<分或>号 对于D:由C选项可得，f(x)的周期为8， 所以f(2021)=f(253×8-3)=f(-3)=-1,故D “fx-1)<1的解集为(-∞，2)U(侵十©)月 正确；故选：B.] 故选：D.] :13.-2[因为f(x+1)=f(x+6), 8.B[幂函数满足y=x“形式，故y=x3,y=x满足条 所以fx)=f(x十5).因为f(x)是R上的奇函数，所 件，共2个.故选B.] 以f(0)=0,则f(10)=f(5)=f(0)=0, 9.C[因为函数f(x十2)的定义域为(-3,4)， f(4)=f(-1)=-f1)=-2. 所以f(x)的定义域为(-1,6).又因为3.x-1>0, 所以f(10)+f(4)=-2.] 78 14.>[y=x1在(0，+o∞)上是减函数，5.25<5.26， t2+2t+4,t≤-1 ∴.5.251>5.261： 所以f(x)min=3,-1<t<1 :y=5.26是增函数，-1>-2， t2-2t+4,t≥1 .5.261>5.262 (2)当k=0时，f(.x)=-2x+4在[2,4]上递减，符合 综上，5.251>5.26-1>5.262.] 题意 15.a≤2[若2∈(-∞，a),则f(2)=2不合题意. ∴.2∈[a,十o∞)，.a≤2.] 当<0时，f)的开口向下，时称轴x=长2. 16.f(x)=x1[函数的图象与x轴、y轴都无交点， 所以函数f(x)在区间[2,4]上单调递减，符合题意. ∴.m2-1<0,解得-1<m<1. 当>0时，f(x)开口向上， :图象关于原点对称，且m∈Z, 要使函数f(x)在区间[2,4]上单调递减， .m=0,∴.f(x)=x1.] 则需x= 4,郎得0 17.[解]，f(x)是定义在R上的奇函数 综上所迷，k的取值范国为（一∞，4」 17 ∴.f(-x)=-f(x), 设x<0,则-x>0, 21.[解](1)由已知，f(x)=W(x)-(20x+10), 因为当x>0时，f(x)=2x-x2 /30x+350,0<x≤2， 所以：f(-x）=2(-x)-(-x)2=-2x-x2= 又W(x)= -2x2+40x+340,2<x≤6， -f(x) 10.x+340,0<x≤2， 即x<0时，f(x)=2x+x2, .f(x)= 2x2+20x+330,2<x≤6， 2.x-x2,x≥0 ∴.f(x)= 110x+340,0x≤2 2x+x2,x<0 (2)由(1)有：f(x)= -2x2+20x+330,2<x≤6， 18.[解](1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称， 当0<x≤2时，f(x)=10x十340，则当0<x≤2时， 又：f(-x)=e+1=1+e=f(x) f(x)≤f(2)=360;当2x≤6时， e x er f(x)=-2.x2+20.x+330=-2(x-5)2+380, 函数f(x)是偶函数. 即x=5时，f(x)max=380, (2)任取x,x2∈(0，+∞)，设0<x1<x2, 360<380,.f(x)的最大值为380， 则f(x1)-f(x2)=e5 e-e3-1 1 故当2023年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利 润是380万元. =(e-e)(e,+x,-1 ex+xz 22.[解](1)因为幂函数y=xm-?m3(m∈N*) 在(0，十∞)上单调递减， :y=e'是增函数，且0<x1<x2, 所以m2-2m-3<0,解得-1<m<3, ∴.e<e2,e1+x>l. 又m∈N*,所以m=1,2, .f(x1)-f(x2)0,即f(x1)<f(x2). 当m=1时，y=x4, ∴.函数f(x)在(0，十o∞)上单调递增. 当m=2时，y=x3, 19.[解](1)当m=1时，f(x)=x2-3x+2= 因为函数图像关于y轴对称， (-2》-子，-1K<3通数在[-1,2)上单调 所以m2-2m-3是偶数，因此m=1; (2)由(1)可得m=1,故(a十1)号<(3-2a)号 递减，在[受，3]上单河遂增， 为(a+1)亨<(3-2a)号， f(x)max=f(-1)=1+3+2=6, 因为y=x寸在（一∞，0），(0，十∞)上均为减函数， f0m=f(经)=- 所以(a十1)亨<(3-2a)-寸等价于： a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3 (2)f(x)=x2-(2n+1)x十m2+m图像的对称轴方 3 程为c=2m,十1，fx)在区间[-2,1门上是单调函教， 2a,解得a<-1支号<a<号， 2 故-2成1，得m<-号或m≥ 故a的取位范国为ala<一1或号<a<受 2 m的取值范禺是(-∞，-]U[2,+∞)： 第三章函数的概念与性质 B卷高考水平提升卷 20.[解](1)k=1,f(x)=x2-2x十4=(x-1)2+3, 当t十2≤1，t≤-1时， 1.B [令x+1=t(t≥2或t≤-2)，x2+ f(x)min=f(t+2)=(t+2-1)2+3=t2+2t+4, 当1<1<1+2，-1<t<1时，f(x)min=f(1)=3, (e+2)）°-2=2-2.…f0)=2-2fm)=m2-2 当t>1时，f(x)min=f(t)=t2-2t+4, =4,∴m=士√6.故选：B.] 79