第二章 一元二次函数、方程和不等式 A卷 学业水平达标卷-【金卷1号】2026-2027学年高中数学必修第一册单元检测AB卷（人教A版）

第二章一元二次函数、方程和不等式 A卷学业水平达标卷 (时间：120分钟满分：150分) 授 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知x>0,y>0,且2x十y=xy,则x十2y的最小值为 墩 A.8 B.8√2 C.9 D.9√2 2.如果a<0,一1<b<0,那么下列不等式成立的是 A.aabab B.ab>ab-a 中咖 C.ab-a-ab D.ab-ab>a 與 3.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 ) 棒 A.MN B.M≥N C.M<N D.M<N 4.设A=”+(m、n为互不相等的正实数)，B=一x2+4x一2，则A与B的大小关系是 恝 A.A>B B.A≥B C.A<<B D.A≤B 5.若两个正实数c,y满足4x十y=xy且存在这样的x,y使不等式x十义<m2+3m有解， 名 4 则实数m的取值范围是 ( 荞 A.(-1,4) B.(-4,1) C.(-∞，-4)U(1,+∞) D.(-∞，-3)U(0,十∞) 6.已知关于x的不等式ax2十bx十c>0的解集为{xx<一1或x>3},则下列结论正确的 是 ( e A.a<0 ☒ B.a+b+c>0 的 C.c>0 D.cx-bx+a<0的解集是(-o∞，-号)U(1,+∞) 7.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160一2x, 生产x件所需成本为C(元)，其中C=500十30x,若要求每天获利不少于1300元，则日销 量x的取值范围是 () A.20≤x≤30，x∈N B.20≤x≤45，x∈N9 C.15≤x≤30，x∈N" D.15≤x≤45，x∈N1 8.若不等式2+虹<0对一切实数x都成立，则实数及的取值范用是 A.-3<k<0 B.-3≤k≤0 C.-3<k≤0 D.k<一3或k≥0 9.已知x>0,y>0且1+4=1，若x十y>m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是() A{≥引 B.{x|x≤-3}》 C.{xx≥1} D.{x-9<x<1} 10.若不等式ax2十bx一2<0的解集为{x|-2<x<1},则a十b= A.-2 B.0 C.1 D.2 1.已知正实数a,6满足。6十=1，则a+2%的轻小值为 A.6 B.8 C.10 D.12 12.下列命题正确的个数是 ①a+b≥2Jab(ab>0); ②若a>b>0,c<d<0,则ac<bd; ③不等式1+是>0成立的一个充分不必要条件是x<-1或x>1: ④若4,6c(i=1,2)是全不为0的实数，则1-么-9”是“不等式a,x+6,x十c1>0 a2 b2 C2 和a2x2+b2x十c2>0解集相同"的充分不必要条件. A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.不等式x2十x一2<0的解集为 14.若x∈R,则1x与2的大小关系为 15.已知x>0,则7-x- 的最大值为 16.若不等式a.x2+bx-2>0的解集为x -2<x<-1,则a十6等于 10 三、解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.(10分)已知函数f(x)=x2-(2m+1)x十m2+m,m∈R (1)若m=1,求f(x)在区间[一1,3]上的最大值与最小值； (2)若f(x)在区间[一2,1]上是增函数，求m的取值范围. 18.(12分)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万 元，七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售 总额与七、八月份销售总额相等.若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x的最 小值是？ 19.(12分)已知a,b是实数. (1)求证：a+b≥2a一2b一2，并指出等号成立的条件； (2)若ab=1,求a2+4b2的最小值. -11 20.12分)1)已知>2.求八)=，92十x的最小值： (2)已知y是正实数，且x+y=9,求是+3的最小值。 21.(12分)已知二次函数f(x)=a.x2十bx+c(a,b,c为常数)，若不等式f(x)≤0的解集为 {x-1≤x≤6}且f(1)=-10. (1)求f(x); (2)对于任意的x∈R,不等式f(x)≥(2k一5)x一7恒成立，求k的取值范围. 22.(12分)用作差法比较2a2十2b2与(a+b)2的大小. 124-4m>0 =0有一正一负根台{ m<0 0日m<0,所以“m<019.[解】()a=4,故B={x-5≤x≤3)，AUB=x -5≤x≤7}， 是“关于x的方程x2一2x十m=0有一正一负根”的充 Cu(AUB)=(-∞，-5)U(7,+∞) 要条件，故D正确，综上所述，B、D正确，故选BD.] (2)“x∈A”是“x∈B”的充分条件，故A二B, 12.BCD[A={y|y=(x-1)2+1,0≤x≤3}={y11≤ (3-2a≤-3 y≤5}，B={yly=x2+1,1≤x≤3}={y2≤y≤10)， 故2a-5≥7 故A-B={x|x∈A且x在B〉={x|1≤x<2},B-A (2a-5≥3-2a ={xx∈B且x年A}={x|5<x≤10}. 解得a≥6，故a的取值范围是[6，十∞) A*B=(A-B)U(B-A)=[1,2)U(5,10].故！20.[解]由A={xx2-5.x+6=0),则A={2,3}. 选BCD.] B={xx2-5.x+a=0}, 13.[0,十o∞)[已知命题p:]x∈R,x2-m≤0为真命 ∴B为方程x2-5x十a=0的解集. 题，则实数m的取值范围为[0，十o∞).] ①若B≠，则B二A, 14.{aa>-1}[因为A∩B ∴.B={2}或B={3}或B={2,3}, ≠，所以集合A,B有公共 当B={2}时x2-5.x十a=0有两个相等实根，即x1= 元素，作出数轴，如图所示， -10a12 x2=2,x1十x2=4≠5不合题意，同理B≠{3}， 易知a>-1.] 当B={2,3}时，2十3=5，a=2×3=6,符合题意： 15.{5,6,7,8,9}[因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, Cw(AUB)={1,3),所以AUB={2,4,5,6,7,8,9}, ②若B=0,则4=25-4a<0,即a>25 4 由A∩(CuB)={2,4}知，{2,4}二A,{2,4}≤CuB.所 综上所述，实教a的取值范围为a=6或a>空， 以B={5,6,7,8,9.] 16.0[.A二B.则x任A时，m=0,m(1-n)=0. !21.[证明](1)由题意得方程x2+2x十a=0有实数解， x∈A时，必有x∈B,∴.m=n=1,m(1-n)=0. .△=22-4a≥0，得a≤1， 综上可得，m(1一n)=0.] ∴.实数a的取值范围是{aa≤1}； 17.[解](1)因为集合A=(1,十∞)， (2):N={xx2+x=0)={0,-1}, 由补集的定义可得CuA=(-o∞，1] .M∩N≠☑，∴.0∈M或-1∈M, (2)因为集合B=[1,2],集合C={x|a≤x≤2a-1},: 则a=0或a=1. 且C二B,所以分C=⑦和C≠☑两种情况： 22.[解](1)由AUB=B,知ACB. 若C=⑦，则有2a-1<a,解得a<1;若C≠， r2a-1≥a 若A=,即3-2a<2a≥子时符合题意. 要使C二B成立，则有a≥1 解得1a≤之 13-2a>2a 当A≠时，由题意得 2a-1≤2 15a+1≥3-2a .37 综上所述：实数a的取值范国（一o∞，立 综上得a的取值范国是a≥号， 18.[解](1)当m=1时，求集合B={x-1≤x≤3}， (②)当A=,即a≥子时AnB=必， AUB={x|-2<x≤3}. (2)若选择条件①，A∩B=, 3-2a>2a 当A≠⑦时，由题意得{ 当B=☑时，m-2>2m十1，解得m<-3, 5a+1≤2a 当B≠⑦时， 解得a≤一 3 /m-2≤2m+1 m-2≤2m+1 由A∩B=财可得 或{ 2m+1≤-2 m-2≥2 综上a的取值范国是a≤-了或≥是 解得-3m<-号成m≥4， 第二章一元二次函数、方程和不等式 综上m的取值范国是(-0，-2]U[4,十∞) A卷学业水平达标卷 若法择条件③AB八，则案合B是集合A的子条，1.C[由2江十y=,>0>0得：号+子-1， 当B=时，m-2>2m+1,解得m<-3, /m-2≤2m+1 x+2y=(x+2y)(月+2）=5+号+≥5+ 当B≠0时，有 -2<m-2 2m+12 2√停·区-9（当且仅当号-即=8y=3时取 解得0<m<2' .1 等号)，∴x十2y的最小值为9.故选：C.] ;2.D[由选项可知，仅需要比较a,ab,ab2三个数的 综上m的取值范周是(-∞，-3U(0,7)】 大小， 71 显然，a<0,ab>0,ab2<0,所以ab最大， 9.D[x>0,y>0,且1+4=1， 由-1<b0可得，0<b2<1, x y 所以ab2-a=a(b2-1)>0,即ab2>a 可得ab>ab2>a.故选：D.] +y=+w(+号)=5+￥+号>2√2号 3.A[因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2 +5=9, 4a-(a2-2a-3) 当且仅当x=3,y=6时取等号， =a2-2a+3=(a-1)2+2>0恒成立， ∴.(x+y)mim=9, 所以M>N.故选：A.] 由x+y>m2+8m恒成立， 4.A[m、n为互不相等的正实数，则m≠” 可得m2+8m<(x十y)min=9, 解得：-9<m<1,故选：D.] 所以A=+>2√贸·是=2， :10.D[不等式a.x2+bx-2<0的解集为 {x-2<x<1},则方程a.x2+bx-2=0根为-2、1， B=-x2+4x-2=-(x-2)2+2≤2，x=2时， Bmax=2,所以A>B.故选：A.] b=-2+1 4+1=1, 则 ,解得a=1,b=1, 5.C [4x+y=zyy 2 =-2×1 a +学-(+)·（+）2++≥2+ ∴.a十b=2, y 4.x 故选：D.] 停4 1.B[因为。6十1，且a,6为正实教 当且仅当号=言y2=16y==8时￥号底立， 所以a+6+叶1=(a+叶什1D(46+)=4十 所以m2+3m>4,m2+3m-4=(m+4)(m-1)>0, 解得m<-4或m>1, 8+4”+1≥5+2V×40。=, b+1 a+b a+b 所以m的取值范围是（一∞，-4）U(1,十∞). 故选：C.] 当且仅当》，即a=叶2时等号浅立， 6.D[因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{xx<-1: 所以a+2b+1≥9，a十2b≥8. 或x>3}, 故选：B.] 所以a>0且-1,3是方程ax2+bx十c=0的两个根， 12.B[当a>0,b>0时，a+b≥2ab,当且仅当a=b 所以-1+3=-b 4,-1X3=9 时取等号，若a=-1、b=-1满足ab>0,显然a十b<2 a √ab,故①错误；若a>b>0,c<d<0,则-c>-d>0, 所以b=-2a,c=-3a, 因为a>0,所以A错， 故-ac>-bd,故ac<d,故②正璃：使不等式1十子 因为a>0,c=-3a,所以c<0,所以C错， 因为a>0,b=-2a,c=-3a,所以a+b十c=-4a<0, >0,整理得十1>0，故x>0或x<-1,所以不等式 B错， 因为b=-2a,c=-3a, 1十>0成立的一个充分不必要条件是<-1或 所以cx2-bx十a<0可化为-3a.x2+2ax+a<0,所以： x>1,故③正确；不等式x2+x+1>0与x2+x十2>0 3.x2-2x-1>0, 1 的解条都为R,但是≠分若片=片=马则不 方程：3x2-2x-1=0的解为x=一号或x=1,所以不 等式x2+x+1>0与-x2-x-1>0的解集不相同， 等式cx2-b.x十a<0的解集是 (-0,-3)U1,十o∞)：放选：D.] 故若a、b:、c,(i=1,2)是全不为0的实数，则“1= a2 7.B[由题意知日销量x件时， 么=1"是“不等式a1x2+b1x十c1>0和a22+b,x b2 c2 利润是y=(160-2x)x-(500+30x)=-2.x2+130x 十c2>0解集相同”的既不充分也不必要条件，故④错 -500,-2x2+130x-500≥1300， 误.故选：B.] (x-20)(x-45)≤0,20≤x≤45.故选：B.] 13.{x-2<x<1}[由x2+x-2<0,得-2x<1, 8C[2A+kr一名<0对一切实数x都成立， 故其解集为{x-2<x<1}.] ①k=0时，-号<0恒成立， 号“合 ②k≠0时，{ =2+36<0解得-3<<0， k<0 + 综上可得，一3<k≤0，故选：C.] 72 15.1[因为x>0,则7-x- 9 :20.[证明](1)因为x-2>0, 所以f(x)= 9 9 7-(+)≤-2…=1 2+(x-2)+2≥2 -2·(-2)+ x 2=8, 当且仪当=号，即3时，学号成立] 当且牧当1一2-”2时，即当=5时，等号成主 16.-13[由已知得-2和-子是方程ar2+bx-2=0 因此，函数)=”2十>2》的最小值为8： 的两根 、6 (2)因为xy是正实数，且x十y=9,所以十y=1, 9 ,解得二4 -2x(） 2 1b=-9 则+多=号(x+y)(+)=日 ∴.a+b=-13.] (位+警+≥(V+)+ 9 17.[解](1)当m=1时， =2-+8=(-2}- 当且仅当义-3且x十y=9时取等号，此时1十3 x y y :-1≤x<3,f(x)在(-1，豆)单调递减，在 取得最小值4十2 9 21.[解](1)由f(x)≤0的解集为{x-1≤x≤6}且 (侵，3)单调递增， f(1)=-10, 又f(-1)=6,f(3)=2 知一1,6为方程a.x2十bx十c=0的两实数根， ∴.f(x)max=f(-1)=1+3+2=6, b=-1+6 m=f(）=子 =-1×6 (2)f(x)=x2一(2m十1)x十m2十m图像的对称轴方 故入a a+b+c=-10 程为x= 2m+1 2 (a>0 ,f(x)在区间[-2,1]上是增函数. 解得a=1,b=-5,c=-6, 2n1≤-2，得m≤-号 所以f(x)=x2-5.x-6. 2 (2)由(1)知f(x)=x2-5x-6, m的取准龙因是（的，昌引 则由x∈R,f(x)≥(2k-5)x-7恒成立，得x2-2kx +1≥0恒成立， 18.[解]六月份销售额为500万元，七月份销售额比六： 由题意得△=4k2一4≤0 月份递增x%,则七月份销售额为：500(1十x%), 解得一1≤k≤1，所以k的取值范围为[一1,1]. 八月份销售额比七月份递增x%,则八月份销售额为：！22.[解]2a2+2b2一(a十b)2 500(1+x%)2, =2a2+2b2-a2-2ab-b2 九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等， =a2-2ab+b2 则九月份销售额为：500(1十x%),十月份销售额为：： =(a-b)2 500(1+x%)2, :(a-b)2≥0 则一月至十月份销售总额为：3860十500+2[500(1+： 所以2a2+2b2≥(a+b)2. x%)+500(1+x%)2], 第二章一元二次函数、方程和不等式 因为一月至十月份销售总额至少达7000万元， B卷高考水平提升卷 则3860十500+2[500(1+x0)+5001+x%)2]1.B[由a-b=反+，-， ≥7000， 化简为：(x%)2十3.x%-0.64≥0，解得x%>0.2或 且(2+√3)2=5+2√6>7，故a>b: x%≤-3.2（舍），则x≥20，故x的最小值为20. 由a-c=22-6且(2√2)2=8>6，故a>c: 19.[解](1)证明：因为a2+b2-(2a-2b-2)=a2+b2 b-c=(√7+√2)-（√6+√3） -2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0， 且(6+√3)2=9+2w18>9+2W/14=(7+√2)2， 所以a2+b2≥2a-2b-2, 故c>b.所以a>c>b,故选：B.] 当且仅当a=1,b=一1时，不等式中等号成立. (2)a2+4b2=a2+(2b)2≥2·a·(2b)=4ab=4, 2.B[由题意，一和3是方程ar2+6十2=0的两个 [a=√2{a=-√2 且仅当a=2b,即-号或它时，不等式中 派，由市选充这舒：名十日会且宁×甘已 a 2 解得：a=-12,b=-2, 等号成立.所以a2十4b2的最小值为4. 所以a十b=-14.故选：B.] 73