四川省字节精准教育联盟2027届高三上学期暑假素养提升反馈练习（开学一轮摸底）数学试题

**基本信息** 2027届高考数学一轮摸底练习，以AI赋能精准测评，通过数据统计、立体几何证明、概率应用等情境，考查数学眼光、思维与语言，适配开学阶段素养提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|统计（中位数/方差）、向量、三角函数、导数几何意义|第1题以数据实例考查数据意识，第4题结合切线方程强化数学思维| |多选|3/18|函数性质、圆的方程、圆锥曲线|第11题立体几何判定，融合空间观念与推理能力| |填空|3/15|椭圆离心率、函数新定义、数列与不等式|第13题正因数个数新定义，培养创新意识| |解答|5/77|立体几何证明、解三角形、概率分布、圆锥曲线、导数综合|第17题展销会抽奖情境，考查概率应用与数学语言表达；第19题导数极值点问题，体现逻辑推理与创新思维|

秘密★试卷启封前[练习时间：2026年8月20日16:00~18:00] SCGK 字节精准教育联盟·一轮摸底 2027年普通高等学校招生全国统一考试 （高2027届暑假素养提升反馈练习） 数 学 ZJ-GZ-GA-2027S-G27-GSRXMD AI赋能·精准测评 考生注意： 1. 练习分为试题卷和答题卡两部分，试题卷和答题卡各1张。 2. 试题卷共4页，答题卡共2面，满分150分，测试时间120分钟。 3. 练习前，同学们务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将试题卷和答题卡内项目填写清楚。 4. 同学们作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 5. 考试结束后，请将试题卷、答题卡和草稿纸一并交回。 ◈预祝你们考试成功◈ 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。 1．数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（   ） （A）中位数为5 （B）方差为1.6 （C）平均数为5 （D）85%分位数为8 2．在中，D是线段AC的中点，E是线段BD的中点，则（   ） （A） （B） （C） （D） 3．已知角与的终边关于轴对称，且，则的最大值是（    ） （A） （B） （C） （D） 4．曲线在点处的切线方程为（     ） （A） （B） （C） （D） 5．抛物线的焦点和抛物线的焦点之间的距离为（    ） （A） （B） （C） （D） 6．已知函数的最小值为－1，则实数a＝（    ） （A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 7．设数列满足，数列满足，数列是由数列公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，设数列的前项和为，则（    ） （A）838 （B）842 （C）846 （D）850 8．设集合为平面中点构成的集合，.从中随机取一个点(不包含)，该点与构成的直线与轴平行的概率为（    ） （A） （B） （C） （D） 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．设，则（    ） （A） （B） （C） （D） 10．已知表示圆，则下列结论正确的是（    ）． （A）圆心坐标为 （B）圆心坐标为 （C）半径 （D）半径 11．如图，圆锥的底面半径为，高为，是的直径，点在上，且，为的中点，则（   ） （A）平面 （B）为等边三角形 （C）平面 （D）圆锥的侧面积为 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 13．已知函数的函数值等于的正因数的个数．例如，，则______． 14．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列，则的最大值为__________． 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．（本题13分） 如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，分别是棱的中点． (1)证明：平面． (2)证明：平面. 16．（本题15分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，且，求的值． 17．（本题15分） 某市举办“数字科技商品”展销会，现场进行抽奖活动．已知奖箱中共有3个标记一等奖、6个标记二等奖的标签．二等奖的标签中有个标记“国产”，其余标记“合资”、所有标签除了内容不同，其余完全相同．若从箱中一次性随机抽取2个标签，恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率是抽到2个均标有“国产”的概率的3倍． (1)求的值； (2)若甲有连续三次抽奖的机会，每次从箱中一次性随机抽取2个标签，抽完后放回箱中．表示甲三次抽奖中每次恰好获得一个一等奖和一个二等奖的次数，求的分布列及数学期望； (3)若乙从箱中一次性随机抽取3个标签，已知其中至少有一个是二等奖“合资”，求抽到的3个标签中恰有两个一等奖的概率． 18．（本题17分） 已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 19．（本题17分） 已知函数． (1)当时，证明：． (2)若恒成立，求的取值范围． (3)若有两个极小值点，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数的最大值． 数学试题 第 1 页（共4页） 472--2701 数学试题 第 1 页（共4页） 472--2701 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★考试结束前[练习时间：2026年8月20日18:00] SCGK 字节精准教育联盟·一轮摸底 2027年普通高等学校招生全国统一考试 （高2027届暑假素养提升反馈练习） 数学参考答案与试题解析 ZJ-GZ-GA-2027S-G27-GSRXMD AI赋能·精准测评 一、选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。在每题所给出的四个选项中，只有一项是正确的。 1．B 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】将数据重写排列，然后分别按照中位数，方差，平均数，百分位数概念计算判断即可. 【详解】将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8， 中位数为，平均数为， 由，所以85%分位数为第9个数为8， 方差为， 所以ACD正确，B错误. 故选：B 2．D 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量的线性运算即可求解 【详解】因为是的中点，所以； 又是的中点，根据向量中点性质：， 将代入得： . 3．B 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、求cosx(型)函数的值域 【分析】推导出，利用余弦函数的基本性质可得出的最大值. 【详解】因为角与的终边关于轴对称，则，故， 因为，，所以， 故的最大值为. 故选：B. 4．D 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【详解】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 5．D 【难度】0.95 【知识点】求平面两点间的距离、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为， 故两焦点之间的距离． 6．A 【难度】0.94 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】求导，研究函数的单调性，得到函数的最小值，列出方程，求出的值. 【详解】，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增．故当时函数取得极小值，也是最小值．故，所以a＝－1． 故选：A． 7．D 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和 【详解】由可知是以2为首项，以2为公差的等差数列， 由可知是以2为首项，以3为公差的等差数列， 所以是以2为首项，以6为公差的等差数列， 所以. 8．C 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【详解】设中随机取一个点，且点不与点重合， 若直线与轴平行，则，可知， 设样本空间为，直线与轴平行为事件A， 则，， 所以该点与构成的直线与轴平行的概率为. 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分。在每题所给出的四个选项中，有多项是正确的，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．ABD 【难度】0.88 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的乘方、共轭复数的概念及计算 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 10．AD 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】配方后化为圆的标准方程进而即得. 【详解】由可得， 所以圆心坐标为，半径为. 故选：AD 11．ABD 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算、证明线面平行、证明线面垂直 【分析】先由圆锥的性质和几何关系，利用中位线定理判断线面平行，结合母线长与余弦定理判断三角形形状，再通过圆锥侧面积公式直接计算；对于选项C，采用反证法，假设线面垂直推出线线垂直，再通过计算三角形边长验证矛盾，从而判定该选项错误。 【详解】 对于A，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，A正确； 对于B，在中，，，， 在中，，，， 在中，，，， ， 所以，所以为等边三角形，B正确； 对于C，连接，假设平面， 因为平面，平面，所以 在中，，，， 所以，所以为等腰三角形， 故与不垂直， 这与矛盾，因此假设不成立，C错误； 对于D，根据圆锥侧面积公式，所以圆锥的侧面积为，D正确． 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12． 【难度】0.94 【知识点】求椭圆的顶点坐标、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解. 【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为， 由题意可得，解得， 所以，则， 所以的离心率. 故答案为：. 13． 【难度】0.82 【知识点】求函数值 【分析】将分解质因数，取质因数的不同组合即可求解. 【详解】将分解质因数：，而也为因数， 则所有正因数为：，共个. 14． 【难度】0.28 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 四、解答题：共5小题，满分77分。解答时要写出相应的步骤与公式定理，在必要的地方写出文字描述。 15．【难度】0.66 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、面面平行证明线面平行、证明面面垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由平面与平面垂直的性质定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理得平面平面，最后由平面与平面垂直的性质定理得平面； （2）取棱的中点，连接，由平面与平面平行的判定定理得平面∥平面，进而证得∥平面. 【证明】(1) ∵平面平面，平面平面， 平面，∴平面. ∵平面，∴平面平面. ∵四边形是菱形，∴. 又平面，平面平面， ∴平面． (2) 取棱的中点，连接. ∵分别是棱的中点， ∴∥，∥. ∵∥，∴∥. ∵平面，平面， ∴∥平面； 同理由∥，得∥平面. ∵平面， ∴平面∥平面； 又平面，∴∥平面. 16．【难度】0.66 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由正弦定理和辅助角公式得，求出； （2）由正弦定理和余弦定理得，开方可得答案 【解】（1）因为，由正弦定理得， 又，所以，所以， 即，， 又，所以，所以，所以； （2）由（1）知，，又， 则由正弦定理得． 由余弦定理可得，所以， 所以， 根据正弦定理得，， 因为，则，所以， 所以． 17． 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、计数原理与概率综合 【解】（1）设从箱中一次性随机抽取2个标签， 恰好抽到一个标有“国产”一个标有“合资”的概率为，抽到2个均为“国产”的概率为， 因为，，其中， 因为，所以， 所以， 解得； （2）甲每次抽取2个签，恰好抽到一个一等奖和一个二等奖的概率为， 因为随机变量可以取， 其中， ， ， ， 所以的分布列用表可以表示如下： 0 1 2 3 所以． 另解：因为，所以． （3）设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，其中至少有一个是二等奖“合资”， 设事件：乙从箱中一次性随机抽取3个签，抽到的3个签中恰有两个一等奖． 则所求问题即为：事件发生条件下发生的概率， 由（1）知，6个标记二等奖的标签中，有3个标记“国产”，有3个标记“合资”， 则，， 所以 所以已知其中至少有一个是二等奖“合资”，抽到的3个签中恰有两个一等奖的概率为. 18． 【难度】0.76 【知识点】轨迹问题——椭圆、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中向量点乘问题 【分析】（1）曲线上动点满足，得出，求出几何量，即可得到椭圆的方程； （2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论． 【解】（1）由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，， 所以， 故所求椭圆的方程为； （2）若以为直径的圆经过原点， 设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得， 则，． 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即． 又， 于是，解得， ， 当时，，符合条件， 所以以为直径的圆经过原点，． 19．【难度】0.23 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）构造函数并利用导数判断单调性，进而证明不等式即可. （2）对原函数合理同构得到，再转化为，最后结合分离参数法求解最值即可. （3）建立方程关系，变量代换，构造函数求最值. 【解】（1）由题意得函数的定义域为． 当时，，求导得， 令，求导得，令，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， ，故成立． （2）由题意得，， 令，， 则时，时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，而等价于， 又因，则在上成立，令，， 则，得到在上单调递增， 则．所以，即． （3），则， 令，由题意得不符合题意；， 当时，在递减，在递增， 得到，，，，， 而有两个零点， 且，故， 若，，，单调递减， 若，，，单调递增， 若，，，单调递减， 若，，，单调递增， 此时的极小值点为，且，． 两边取对数得，，， 令，则，代入解得，， 于是， 设，求导得， 令，得到， 令，，单调递增，令，，单调递减， 而，，， 所以在内存在唯一零点，， 使得在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值． 则， 而，得到，故整数的最大值为2． 数学试题参考答案与试题解析 第 1 页（共13页） 472--2701 学科网（北京）股份有限公司 $■ 数学答题卡 班级 姓名 考场号 座位号 贴条码区域 学号 药 1,答题前请将姓名、班级、考场.座号和准考证号填写清楚 2,客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净 正确填涂■ 考生禁填 (山监考老师涂 3.主观题必须使用黑色签字笔书写， 事 4,必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效 错误填涂 缺考☐ 5,保持答卷清洁完整。 YXIOI 【量】☑w哑白 违规☐ 1- 选择题：共8小题，每小题5分，满分40分。 1 IALIBIICIIDI 5 [A][BI ICI ID] 6 IA][BI IC]ID] 3 [A][B]ICI[D] 7【A1IBC[D 4 [A][B]IC]ID] 8[A1[B1IC1[D1 二、选择题：共3小题，每小题6分，满分18分 9 IAIIBIICIIDI 10 [AIIBIICIIDI 11 IAIIBIIC]ID] 三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分。 12. 13. 14. 请勿在此区域作答或 者做任何标记 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：共5小题，满分77分。 15.(13分) A B D B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 ■ 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页