第2章 有理数的运算 单元复习（4大知识点+10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版七年级数学上册

第2章 有理数的运算 知识点1：有理数的加减法 1.有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得； 一个数同相加，仍得这个数。 2.有理数减法与加减混合运算 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 加减混合运算：先将减法统一为加法，写成省略加号和括号的和的形式，再利用加法交换律、结合律简化运算。 知识点2：有理数的乘除法与倒数 1.有理数乘法 类别 规则说明 两数相乘 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得 多个非0数相乘 负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负（奇负偶正） 运算律 交换律：；结合律：；分配律： 2.倒数与有理数除法 倒数：乘积为的两个数互为倒数；没有倒数。 除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 知识点3：有理数的乘方与混合运算 1.乘方的概念与符号法则 定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，叫做指数。 符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；的任何正整数次幂都是。 2.有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 知识点4：科学记数法与近似数 1.科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。的值等于原数的整数位数减。 2.近似数与精确度 近似数：接近实际数值的数。 精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 【基础必考题型】 【题型1】有理数加减运算基础应用 1.核心知识点: 有理数的加法、减法法则 有理数加减混合运算 2.解题方法技巧: 求温差、高差类问题，用最高值减最低值，转化为有理数减法 混合运算优先将同号数、互为相反数的数结合，简化计算 【例题1】.（2026·河北唐山·三模）某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·四川绵阳·期末）在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）某冷库的温度是，现需将温度降低以保存特殊疫苗，降温后的温度是多少？ 【变式题1-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）某股民上周五买进股票1000股，每股27元．本周每日涨跌情况如下（单位：元）：，，，，．问本周五收盘时，每股多少元？ 【题型2】有理数乘除运算与倒数辨析 1.核心知识点: 有理数乘除运算法则 倒数的定义与性质 2.解题方法技巧: 乘除混合运算先统一为乘法，再根据“奇负偶正”确定符号 求倒数时注意：正数的倒数为正，负数的倒数为负；带分数先化为假分数再求倒数 【例题2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 【变式题2-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【变式题2-2】.（2026·湖南·二模）2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【变式题2-3】.（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：． 【题型3】有理数乘方的概念与符号判断 1.核心知识点: 乘方的定义（底数、指数、幂） 乘方的符号法则 2.解题方法技巧: 注意区分与：前者底数是，后者底数是 判断符号直接用“正数任何次幂正，负数奇负偶正”的法则，无需计算具体数值 【例题3】.（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）计算：（   ） A． B． C．0 D．2 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）计算的算式是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）_______． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型4】科学记数法的表示与还原 1.核心知识点: 科学记数法的定义 科学记数法与原数的互化 2.解题方法技巧: 表示大数时，先确定（满足），再数整数位数求 还原原数时，将的小数点向右移动位即可 【例题4】.（25-26七年级下·河北石家庄·期末）据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·重庆綦江·期末）据国家统计局发布，2026年月乡村消费品零售额为220200000万元，其中，220200000用科学记数法表示为______． 【变式题4-2】.（2026·安徽芜湖·二模）“十四五”期间，安徽省累计建设筹集公租房万套，其中万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【题型5】近似数的精确度判断 1.核心知识点: 近似数的精确度概念 科学记数法形式的近似数精确度判断 2.解题方法技巧: 普通近似数看最后一位数字所在的数位 科学记数法形式的近似数，需先还原原数，再看最后一位的数位 【例题5】.（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）把精确到百位的近似值是______． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【变式题5-2】.（25-26七年级上·河南周口·期末）把38.964精确到十分位的结果是____． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【培优高频题型】 【题型6】有理数混合运算的巧算（运算律应用） 1.核心知识点: 有理数混合运算顺序 乘法分配律等运算律的灵活应用 2.解题方法技巧: 除法形式的分配律，先转化为乘法再使用分配律 逆用分配律提取公因数，可大幅简化计算；注意符号的一致性 【例题6】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）计算下列各题（能简便运算的请简便计算）． (1) (2) 【变式题6-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)． (2)． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·北京·课后作业）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1： ． 例2： ．　 (1)； (2)． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【题型7】有理数运算循环程序框图题 1.核心知识点: 有理数混合运算 循环判断与迭代计算 2.解题方法技巧: 严格按照程序步骤逐步计算，每一步都验证是否满足输出条件 多次循环时记录每次的结果，找到规律可快速求解 【例题7】.（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【变式题7-1】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）按下图的程序计算，如果输入0，则输出的结果为____． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型8】有理数运算的实际应用 1.核心知识点: 有理数加减乘除的实际意义 方案比较与最优选择 2.解题方法技巧: 先明确正负号的实际含义，再根据题意列式计算 方案对比类问题，分别计算各方案的结果，再结合要求选择最优解 【例题8】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【变式题8-1】.（25-26七年级下·北京顺义·期末）焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【变式题8-2】.（21-22七年级上·河南焦作·期中）焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【变式题8-3】.（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 【压轴素养题型】 【题型9】绝对值分类化简与型定值探究 1.核心知识点: 绝对值的代数意义 有理数符号判断与分类讨论思想 2.解题方法技巧: 先根据乘积或和的符号确定正、负数的个数，按正负数量分类，做到不重不漏 利用的性质，将绝对值分式转化为的加减运算，简化推导 【例题9】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【变式题9-1】.（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【变式题9-2】.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【变式题9-3】.（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即时，则＝＝； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设则＝． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是 ； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【题型10】有理数新定义运算题型 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移 有理数混合运算规则 2.解题方法技巧: 先精读新定义的运算规则，明确运算顺序和特殊限制 将新定义运算转化为常规的加减乘除、乘方运算，按顺序计算 【例题10】.（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）定义一种新的运算，观察下列各式： ， ， ， ． (1)根据观察到的规律，计算； (2)用代数式表示的结果； (3)若，请计算的值． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·重庆·阶段检测）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)设，，试比较与的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）新定义：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空： ______； (2)若，则______； (3)已知点A在数轴上表示的数为n，且点A到原点的距离为3，设，求Ｍ的值． 易错点 1.乘方概念混淆：误将等同于，忽略底数的范围，导致符号判断错误；混合运算时颠倒运算顺序，先算加减后算乘除、乘方。 2.运算转化符号错误：减法转化为加法时，减数未变号；除法转化为乘法时，除数未取倒数或符号出错。 3.科学记数法失误：确定时忽略的限制，或的取值计算错误；判断科学记数法的精确度时，未还原原数直接判断。 4.分配律使用错误：运用乘法分配律时漏乘括号内的某一项，或符号处理错误。 5.非负性应用漏解：认为只有绝对值具有非负性，忽略平方的非负性；或多个非负数和为时，只令其中一个为。 重点 1.有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，以及混合运算的顺序与运算律巧算。 2.倒数、科学记数法、近似数的基本概念与实际应用。 3.绝对值与乘方的非负性，以及代数式求值的综合应用。 难点 1.有理数混合运算的巧算技巧，以及复杂多步运算的准确性与符号把控。 2.绝对值的几何意义与最值问题，需要数形结合与分类讨论能力。 3.新定义、规律探究、数轴动点等创新题型，对知识迁移和逻辑推理能力要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 3．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．定义新运算，则______________． 5．的倒数是________． 6．在数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是______． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) 8．数轴上点A表示，点B表示3，求A、B两点之间的距离． 9．已知 ，且 ，求 的值． 10．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数的运算 知识点1：有理数的加减法 1.有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得； 一个数同相加，仍得这个数。 2.有理数减法与加减混合运算 减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 加减混合运算：先将减法统一为加法，写成省略加号和括号的和的形式，再利用加法交换律、结合律简化运算。 知识点2：有理数的乘除法与倒数 1.有理数乘法 类别 规则说明 两数相乘 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与相乘，都得 多个非0数相乘 负因数个数为偶数时积为正，负因数个数为奇数时积为负（奇负偶正） 运算律 交换律：；结合律：；分配律： 2.倒数与有理数除法 倒数：乘积为的两个数互为倒数；没有倒数。 除法法则：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数，即；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 知识点3：有理数的乘方与混合运算 1.乘方的概念与符号法则 定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，叫做指数。 符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；的任何正整数次幂都是。 2.有理数混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 知识点4：科学记数法与近似数 1.科学记数法 把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。的值等于原数的整数位数减。 2.近似数与精确度 近似数：接近实际数值的数。 精确度：近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 【基础必考题型】 【题型1】有理数加减运算基础应用 1.核心知识点: 有理数的加法、减法法则 有理数加减混合运算 2.解题方法技巧: 求温差、高差类问题，用最高值减最低值，转化为有理数减法 混合运算优先将同号数、互为相反数的数结合，简化计算 【例题1】.（2026·河北唐山·三模）某家用冰箱的温度显示屏显示冷冻室温度为，冷藏室温度为，则冷藏室温度比冷冻室温度高（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用冷藏室温度减去冷冻室温度，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解∶， 即冷藏室温度比冷冻室温度高． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·四川绵阳·期末）在综合实践课中，同学们探究得出，某地日出、日落时刻关于正午时刻对称．若该地日出时刻为，日落时刻为，则当天太阳高度达到最大值的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，太阳高度达到最大值的时刻为正午时刻，且日出与日落关于正午对称，因此正午时刻是日出和日落时刻的平均值，计算即可得到结果． 【详解】解：∵日出、日落时刻关于正午对称，太阳高度最大值出现在正午， ∴正午时刻为日出时刻与日落时刻的平均值， ∵，， ∴当天太阳高度达到最大值的时间为． 【变式题1-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）某冷库的温度是，现需将温度降低以保存特殊疫苗，降温后的温度是多少？ 【答案】 【详解】由题意，降低即为， 所以降温后的温度 ． 【变式题1-3】.（26-27七年级·全国·暑假作业）某股民上周五买进股票1000股，每股27元．本周每日涨跌情况如下（单位：元）：，，，，．问本周五收盘时，每股多少元？ 【答案】元 【分析】初始价格加上所有涨跌幅，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 即本周五收盘时，每股元． 【题型2】有理数乘除运算与倒数辨析 1.核心知识点: 有理数乘除运算法则 倒数的定义与性质 2.解题方法技巧: 乘除混合运算先统一为乘法，再根据“奇负偶正”确定符号 求倒数时注意：正数的倒数为正，负数的倒数为负；带分数先化为假分数再求倒数 【例题2】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 【变式题2-1】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 【变式题2-2】.（2026·湖南·二模）2026的倒数是（    ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 【变式题2-3】.（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：． 【答案】 【分析】先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 【题型3】有理数乘方的概念与符号判断 1.核心知识点: 乘方的定义（底数、指数、幂） 乘方的符号法则 2.解题方法技巧: 注意区分与：前者底数是，后者底数是 判断符号直接用“正数任何次幂正，负数奇负偶正”的法则，无需计算具体数值 【例题3】.（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）计算：（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，根据乘方的意义先确定符号，再计算即可． 【详解】解：， 故选：C 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山西临汾·期末）计算的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方和乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据乘方和乘法的意义列式即可． 【详解】解：原式表示10个2相加，10个3相乘，再将结果相加， 10个2相加即为，10个3相乘即为， 那么原式， 故选：A． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·四川成都·期中）_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是利用积的乘方公式进行简便运算．先将转化为，再写成以为底的幂，最后利用幂的运算性质化简． 【详解】解： ． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·广东江门·期中）下列各对数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题需依据乘方运算的符号规则与运算顺序，分别计算每个选项中两个式子的结果，再对比是否相等． 【详解】解：∵，，， ∴A选项数值不相等，不符合题意； ∵，，， ∴B选项数值相等，符合题意； ∵，， ∴C选项数值不相等，不符合题意； ∵，， ∴D选项数值不相等，不符合题意， 故选：B 【题型4】科学记数法的表示与还原 1.核心知识点: 科学记数法的定义 科学记数法与原数的互化 2.解题方法技巧: 表示大数时，先确定（满足），再数整数位数求 还原原数时，将的小数点向右移动位即可 【例题4】.（25-26七年级下·河北石家庄·期末）据不完全统计，2026年石家庄市中考报名人数大约147000人，数据147000用科学记数法可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：147000用科学记数法可以表示为． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·重庆綦江·期末）据国家统计局发布，2026年月乡村消费品零售额为220200000万元，其中，220200000用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值． 【详解】解：将原数转变为符合要求的的形式，可得，原数变为时，小数点向左移动了位，因此， ∴． 【变式题4-2】.（2026·安徽芜湖·二模）“十四五”期间，安徽省累计建设筹集公租房万套，其中万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万，由科学记数法可得． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 【题型5】近似数的精确度判断 1.核心知识点: 近似数的精确度概念 科学记数法形式的近似数精确度判断 2.解题方法技巧: 普通近似数看最后一位数字所在的数位 科学记数法形式的近似数，需先还原原数，再看最后一位的数位 【例题5】.（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）把精确到百位的近似值是______． 【答案】 【详解】解：， ∴把精确到百位的近似值是． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·云南普洱·期末）用四舍五入法，取近似值：______（精确到） 【答案】 【分析】精确到即保留两位小数，需观察千分位上的数字，依据四舍五入法进行取舍即可． 【详解】解：精确到即保留两位小数，观察的千分位数字为7，因为，根据四舍五入法，向百分位进1，百分位上的5加1后变为6，所以． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·河南周口·期末）把38.964精确到十分位的结果是____． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数； 精确到十分位即保留一位小数，依据百分位上数字的大小，运用四舍五入法取近似值即可． 【详解】解：把精确到十分位的结果是． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·福建泉州·期末）响应国家体育健康年号召，年月日晋江马拉松热情开跑，万名跑友畅跑世遗赛道，用奔跑诠释全民健身的活力，用脚步丈量爱拼敢赢的城市底色！晋江马拉松的半马赛道总里程约为公里，其中近似数“”精确到____________位． 【答案】千分 【分析】本题考查近似数的精确度．熟悉近似数的精确度由最后一位数字所在的数位决定，是解题的关键． 对于小数，根据最后一位数字在千分位上确定它精确到的数位． 【详解】解：近似数“”的最后一位数字是，位于千分位，因此精确到千分位． 故答案为：千分． 【培优高频题型】 【题型6】有理数混合运算的巧算（运算律应用） 1.核心知识点: 有理数混合运算顺序 乘法分配律等运算律的灵活应用 2.解题方法技巧: 除法形式的分配律，先转化为乘法再使用分配律 逆用分配律提取公因数，可大幅简化计算；注意符号的一致性 【例题6】.（25-26九年级上·浙江杭州·期中）计算下列各题（能简便运算的请简便计算）． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方、绝对值、除法，再算乘法，后算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用乘法运算律有时能进行简便计算． 例1：． 例2：． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法公式，解决本题的关键是熟练并灵活运用乘法公式. （1）利用乘法分配律简便运算. （2）利用乘法分配律简便运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·北京·课后作业）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1： ． 例2： ．　 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法运算律，掌握对原式进行变形是解决此题的关键； （1）对原式进行变形为，然后利用乘法的分配律进行计算即可； （2）逆用乘法的分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·北京·课后作业）计算下列各题．（能用简便方法的要用简便方法） (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3)11 (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数加法：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． （1）先把两个负数相加，然后进行异号两数的加法运算； （2）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （3）先把两个负数和两正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （4）先把负数和正数分别相加，然后进行异号两数的加法运算； （5）先进行同分母分数的加法运算，然后通分，再进行加法运算； （6）先进行同分母分数的加法运算，再进行加法运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【题型7】有理数运算循环程序框图题 1.核心知识点: 有理数混合运算 循环判断与迭代计算 2.解题方法技巧: 严格按照程序步骤逐步计算，每一步都验证是否满足输出条件 多次循环时记录每次的结果，找到规律可快速求解 【例题7】.（25-26七年级上·山东滨州·期末）有一个数值转换程序，其工作原理如下图所示： 若输入的值为1，则输出的结果为_____． 【答案】/ 【分析】考查了有理数的混合运算，程序流程图的理解，求代数式的值，严格遵循流程、准确计算是解题的关键．解题关键是弄清题意，根据题意把的值代入，按程序一步一步计算即可求得结果． 【详解】解：明确流程图的运算为，判断能否成立， 若成立，输出 y； 若不成立，将 y 作为新的 x 再次代入运算，直到满足条件， 将代入上式，得， 将代入上式，得，， 输出的结果为． 故答案为：. 【变式题7-1】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）按下图的程序计算，如果输入0，则输出的结果为____． 【答案】 【分析】本题考查流程图与有理数的混合运算，掌握好有理数混合运算的法则是关键． 根据流程图写出对应的计算公式进行计算即可． 【详解】解：由流程图可得，第一次的结果为， ∵， ∴重新输入计算 第二次的结果为， ∵， ∴重新输入计算 第三次的结果为， ∵， ∴输出结果． 故答案为：． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的数是，则输出数是________． 【答案】 【分析】依据程序图中的程序，利用有理数的混合运算的法则解答即可． 本题主要考查了有理数的混合运算，正确理解程序图中的程序并依据程序列式计算是解题的关键． 【详解】解：若输入的数是，则， 所以， 此时输入的数是，则， 则， 所以输出， 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是一个运算程序示意图，若第一次输入的值为，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的流程图运算，熟练掌握运算法则和分析每一步的输出结果找出规律是解题的关键． 把代入运算，分析每一步的运算结果找出规律即可解答． 【详解】解：第一次输入，则， 第二次输入，则， 第三次输入，则， 第四次输入，， 第五次输入，则， 第六次输入，， ∴在接下来的输入中，奇数输出的结果为，偶数的输出结果为， ∵为奇数， ∴输出的结果为， 故选：A． 【题型8】有理数运算的实际应用 1.核心知识点: 有理数加减乘除的实际意义 方案比较与最优选择 2.解题方法技巧: 先明确正负号的实际含义，再根据题意列式计算 方案对比类问题，分别计算各方案的结果，再结合要求选择最优解 【例题8】.（26-27七年级·全国·小升初衔接）2026年世界杯将于2026年6月在北美（美国、加拿大和墨西哥）举行．为了备战世界杯，某运动员沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑．记该运动员在跑道上的某一位置为点O，那么在点O的3秒后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于点O的哪个方向？相距多少米？ 提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负． 【答案】 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【分析】根据速度，时间，路程之间的关系，结合有理数的乘法，以及绝对值的意义进行计算，即可解题． 【详解】解：某运动员以每秒钟9米的速度向东跑． 时间在当下及之后，向东运动， 3 秒后：距离为米； 2 秒后：距离为米； 1 秒后：距离为米； 0 秒：距离为米； 时间在当下之前，可理解为向西运动， 1 秒前：距离为米； 2 秒前：距离为米； 3 秒前：距离为米． 则可填表如下： 3秒后 2秒后 1秒后 0秒 1 秒前 2秒前 3秒前 位于点O方向 东 东 东 西 西 西 距点O的距离 27米 18米 9米 0米 9米 18米 27米 【变式题8-1】.（25-26七年级下·北京顺义·期末）焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给的顺序，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序维护，总时长最少为． （2）由（1）得，按照的顺序维护，总时长最少为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 要求三条路线维护完成的总时长不超过，满足条件的维护顺序为或或（写出一种即可）． 【变式题8-2】.（21-22七年级上·河南焦作·期中）焦作市交警大队一辆警车沿着南北方向的公路巡视，某天早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向北为正方向，当天行驶记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)B在A地哪个方向？相距多少千米？ (2)若该警车每千米耗油升，那么这天共耗油多少升？ (3)若油箱中有升油，中途是否需要加油？若需要，至少加多少升？ 【答案】(1)在地的南方，相距千米 (2)共耗油升 (3)需要加油，至少升 【分析】本题主要考查了正数与负数、有理数的加法、乘法的应用． （1）把这些数值相加，根据结果就可知道在哪个方向，相距多少千米． （2）绝对值相加，乘以每千米耗油量即可． （3）总耗油量减去油箱已有油量即可得出至少加油量. 【详解】（1）解： （千米） 答：在地的南方，相距千米． （2）解：（千米） （升） 答：这天共耗油升． （3）解： ， （升） 答：需要加油，至少升. 【变式题8-3】.（2026·广东东莞·二模）小明计划购买一块用于记录日常运动和健康数据的智能手表，拟通过统计方法对三款备选产品进行综合评分选购、他围绕智能手表的核心指标设计评分项目，结合用户反馈确定评价层级，并依据个人使用需求制定计分规则，相关信息如下： 层级赋分：“非常好”赋3分，“良好”赋2分，“一般”赋1分． 计分规则：总分健康监测准确性运动模式丰富度电池续航外观颜值佩戴舒适度． (1)从计分规则可以看出，小明最重视哪一个评分项目？ (2)请计算每款智能手表的总分，按此计分规则，小明会选购哪款智能手表？ (3)结合本次计分规则的设计逻辑，分析“B款手表‘非常好’的项目数量最多，但小明未选择它”的原因． 【答案】(1)“健康监测准确性” (2) 解：A款智能手表得分：分． B款智能手表得分：分． C款智能手表得分：分． 按此评分规则，小明会选购C款智能手表． (3) 解：B款智能手表被评为“非常好”的四项权重分别为2，1，1，1，而被评为“一般”的那一项的权重是4，重要程度高，对总分影响大． 【分析】（1）根据评分规则分析即可； （2）分别求出三款手表的得分，取得分最高的手表即可； （3）根据权重分析即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小明最重视“健康监测准确性”这一评分项目． （2）略 （3）略 【压轴素养题型】 【题型9】绝对值分类化简与型定值探究 1.核心知识点: 绝对值的代数意义 有理数符号判断与分类讨论思想 2.解题方法技巧: 先根据乘积或和的符号确定正、负数的个数，按正负数量分类，做到不重不漏 利用的性质，将绝对值分式转化为的加减运算，简化推导 【例题9】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）有理数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，解答下列问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式加减等，根据数轴上的点所在的位置，准确判断各个代数式的符号是解题的关键． （1）根据数轴得到，从而得出，，，然后化简绝对值即可； （2）根据，得出，，，，然后化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，，，， ∴ ． 【变式题9-1】.（24-25六年级上·上海·阶段检测）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)0 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴判断即可； （2）根据正负性去绝对值进行化简即可； （3）判断有理数的正负进行化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：， 故，； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：， ， ∴ ． 【变式题9-2】.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）请利用绝对值的性质，解决下面问题： (1)已知，是有理数，当时，则______；当时，则______． (2)已知，，是有理数，当时，的值为______． (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1)， (2)3或或1或 (3)1 【分析】（1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． （3）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的意义、有理数的加法，乘除运算的含义，分类讨论的思想方法，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式题9-3】.（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求 的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即时，则＝＝； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设则＝． 综上所述，值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是 ； (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了化简绝对值和有理数除法，解题关键是会用分类讨论思想进行分情况解题； （1）根据或两种情况分类讨论，分别求解即可； （2）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b，c都是负数，两种情况分类讨论，分别求解即可； （3）根据当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，得出求解即可． 【详解】（1）解：当时， ①a，b都是正数，即，则， ②当a，b都是负数时，即，则， 故答案为：． （2）解：当时， ①当a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，不妨设，则， ②当a，b ，c都是负数，即，则， 故答案为：或． （3）解：当时， a，b，c中有一个为负数，另两个为正数或a，b ，c都是负数， ∵， ∴a，b，c中有一个为负数，另两个为正数，不妨设 ，则 ， ，， 故答案为：． 【题型10】有理数新定义运算题型 1.核心知识点: 阅读理解与知识迁移 有理数混合运算规则 2.解题方法技巧: 先精读新定义的运算规则，明确运算顺序和特殊限制 将新定义运算转化为常规的加减乘除、乘方运算，按顺序计算 【例题10】.（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）定义一种新的运算，观察下列各式： ， ， ， ． (1)根据观察到的规律，计算； (2)用代数式表示的结果； (3)若，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，整式的加减，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义直接求解即可， （2）根据新定义直接求解即可， （3）由，得到，再将所求式子化简，最后将代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知． （2）根据题意，可知． （3）根据题意，可知， ， 将代入，得． 【变式题10-1】.（25-26七年级上·重庆·阶段检测）小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)设，，试比较与的大小，并说明理由； (3)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)10；0 (2)当，；当时，；当时，，理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则表示出与，再利用作差法比较大小即可； （3）根据绝对值的非负性可知，由且，整理得到，分类讨论求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10；0； （2）解：， ， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 当时，则，即； ∴当，；当时，；当时，； （3）解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴； 当时，则，舍去； 当时，则， 解得， ∴， ∴， 解得或； ∴综上所述，所有满足条件的x的值为或． 【点睛】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算，第3问有一定难度，通过分类讨论去绝对值，再结合绝对值的几何意义求解是解题的关键． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·湖南长沙·期中）定义“数对映射”，对于任意有理数x，y，若，则；若，则．例：． (1)计算：________；________； (2)如，求m的值； (3)在（2）的基础上，若，求整数n的所有可能值． 【答案】(1)， (2) (3)0或1 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解新定义的运算． （1）根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分，，根据新定义的运算，得出关于m的方程，然后解方程即可； （3）分，，根据新定义的运算，得出关于n的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：因为，所以； 因为，所以． （2）解：已知，分情况讨论： 当，， ∴，但不满足，舍去；           当，， 所以，成立，所以．           综上：． （3）解：因为，所以，分情况讨论： 若，则，即， 又，所以，所以，即，无解；           若，则， 对于整数，使得，只需n为非负整数，所以或．           综上：n的值为0或1． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）新定义：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空： ______； (2)若，则______； (3)已知点A在数轴上表示的数为n，且点A到原点的距离为3，设，求Ｍ的值． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义代入计算即可求解； （2）先根据新定义运算，然后合并同类项解答即可； （3）先根据题意计算出，再分，两种情况利用新定义的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：因为点到原点的距离为， 所以， 当时， ， ， ， ， ， 所以； 当时， ， ， ， ， ， 所以； 综上， 的值为． 易错点 1.乘方概念混淆：误将等同于，忽略底数的范围，导致符号判断错误；混合运算时颠倒运算顺序，先算加减后算乘除、乘方。 2.运算转化符号错误：减法转化为加法时，减数未变号；除法转化为乘法时，除数未取倒数或符号出错。 3.科学记数法失误：确定时忽略的限制，或的取值计算错误；判断科学记数法的精确度时，未还原原数直接判断。 4.分配律使用错误：运用乘法分配律时漏乘括号内的某一项，或符号处理错误。 5.非负性应用漏解：认为只有绝对值具有非负性，忽略平方的非负性；或多个非负数和为时，只令其中一个为。 重点 1.有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，以及混合运算的顺序与运算律巧算。 2.倒数、科学记数法、近似数的基本概念与实际应用。 3.绝对值与乘方的非负性，以及代数式求值的综合应用。 难点 1.有理数混合运算的巧算技巧，以及复杂多步运算的准确性与符号把控。 2.绝对值的几何意义与最值问题，需要数形结合与分类讨论能力。 3.新定义、规律探究、数轴动点等创新题型，对知识迁移和逻辑推理能力要求较高。 【对应练习题】 一、单选题 1．据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可求解； 【详解】解：将写成科学记数法的形式，先确定，满足. 原数的小数点向左共移动了位，故，故； 2．若a为有理数，则下列式子结果为正数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性判断各选项式子的取值范围，即可选出结果一定为正数的选项． 【详解】∵对任意有理数，都有，， A选项，当时，，0不是正数，A选项不符合题意； B选项，当时，，0不是正数，B选项不符合题意； C选项，∵，∴，无论取任何有理数，结果都是正数，C选项符合题意； D选项，当时，，结果为负数，D选项不符合题意． 3．地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 【详解】解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 二、填空题 4．定义新运算，则______________． 【答案】 【分析】根据题中新定义的运算规则，结合有理数混合运算法则计算即可求出值． 【详解】解： ． 5．的倒数是________． 【答案】/ 【详解】解：的倒数是． 6．在数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是______． 【答案】和 【分析】利用相反数的定义结合数轴上两点间距离的性质求解即可． 【详解】解：点和点分别表示互为相反数的两个数， 原点到点与原点到点的距离相等，且两个数一正一负， ，两点间的距离是， 原点到点和点的距离都等于， 这两点所表示的数分别是和． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 8．数轴上点A表示，点B表示3，求A、B两点之间的距离． 【答案】7 【详解】解：依题意，， ∴A、B两点之间的距离为． 9．已知 ，且 ，求 的值． 【答案】 或 【分析】根据绝对值的定义得到，由，得到，据此代值计算即可． 【详解】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ， 又因为 ， 所以： ① 当 时， 必须为 ，此时 ； ② 当 时， 可以为 ，此时 ，（若 ，则 ，舍去） 综上， 的值为 或 ． 10．某校学生食堂要购进袋土豆，以每袋千克为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录(单位：千克)如下： 每袋与标准质量的差 0 2 3 袋数 1 3 4 3 3 4 2 (1)求这袋土豆的平均质量是多少？ (2)若土豆每千克的售价为元，求买这袋土豆共需多少钱？ 【答案】(1)千克； (2)元 【分析】（1）先计算袋土豆与标准质量的差值总和，再结合标准总质量求出实际总质量，最后除以袋数得到平均质量； （2）利用“总价=总质量×单价”的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】（1）解： (千克)， 20袋土豆的实际总质量为(千克)， 平均质量为(千克)． （2）解：总费用为(元)， 答：买这袋土豆共需元． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $