2.2 基本不等式 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦基本不等式，通过“积”与“和”的关系引入，结合赵爽弦图、圆的几何解释等直观素材，衔接重要不等式，构建从概念推导到应用的学习支架，包含98张PPT，涵盖基础梳理、例题讲解、分层训练及思维导图。 其亮点在于分层训练对接高考难度，融入数学文化（如《九章算术》勾股容方）和实际应用（广告牌设计），以“数学思维”引导推理，“数学语言”构建模型，助力学生提升解题能力与数学素养，教师可直接用于一体化教学，提高效率。

高一数学●2024人教A版必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 基本不等式 本节学习基本不等式及其推导过程，掌握“一正、二定、三相等”使用条件，会运用不等式求解最值问题，能够处理简单实际应用题，体会转化与化归的数学思想。。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括98张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 理知识丨知识详解 知识点1 基本不等式 1 重要不等式 ，，有（【常用变形】不等式可以变形为 ， ，等），当且仅当 时，等号成立. 知识剖析（1）重要不等式的实质是实数平方的非负性，不等式中， 的取值既可以 是某个具体的数，也可以是一个代数式. （2）当且仅当的含义： ①当时等号成立，即 ； ②仅当时等号成立，即 . 返回目录 4 2 基本不等式 如果，，（【明易错】一定要保证, 都是正数） 那么，当且仅当 时，等号成立. 其中，叫做正数,的算术平均数，叫做正数, 的几何平均数.基本不等式表 明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （基本不等式与重要不等式 是不同的，尤其是重要不等式的应用条件是任意实数，而基本不等式的应用条件是 两个正实数） 返回目录 5 3 基本不等式的几何解释教材链接 教材P45探究 图2.2-1 如图2.2-1,是圆的直径,点是上一点，, .过 点作垂直于的弦,连接,, . 在和中,因为 , ,所以 . 又,所以 . 所以,即 . 因为,所以（当且仅当点与点重合，即 时,等号成 立）. 基本不等式的几何解释是圆中任意一条半弦长（弦长的一半）不大于半径长. 返回目录 6 特别提醒 基本不等式的常见变形及常用结论 1.基本不等式的常见变形：, . 2.基本不等式的常用结论 （1），当且仅当 时取等号； ，当且仅当 时取等号. （2）（,同号），当且仅当 时取等号； （,异号）,当且仅当 时取等号. 返回目录 7 例1 ［教材改编P39探究］(2026·四川省德阳市月考)图2.2-3是在北京召开的第24届 国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.该图可作为一个数学结论的一个 几何解释，这个数学结论可能是( ) C 图2.2-3 A.如果，那么 B.如果，那么 C.对任意正实数和，有，当且仅当 时等号 成立 D.对任意正实数和，有，当且仅当 时等号成立 返回目录 8 【解析】图中的四个直角三角形是全等的,设直角三角形的两条直角边分别为, ，则 大正方形的边长为 ， 易知，整个正方形的面积大于或等于这四个直角三角形的面积和，即 ,当且仅当 时等号成立，此时中间空白的正方形消失， 即整个正方形被分成四个全等的等腰直角三角形.故选C. 该题从几何意义角度解释了重要不等式. 返回目录 9 知识点2 最值定理 已知, 都是正数， （1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值 ，即 ； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 ,即 . 最值定理简记：和定积最大，积定和最小. 返回目录 10 知识剖析（1）利用基本不等式求最值时要牢记三个关键词：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正. 当,时，, ,（要把各项变为正项）则 ,得，当且仅当 时，等号成立. ②二定：各项之和或各项之积为定值. 例如，当时，求的最小值，需变形为 ，这时 为定值，且,，则当且仅当，即 时， 取得最小值，最小值为4. ③三相等：必须验证取等号时条件是否具备. （2）应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需根据具 体的问题进行合理的拆、凑、配等变换. 返回目录 11 例2 (2026·山东省邹城市实验中学月考)已知，，且，则 的 最大值为( ) C A.16 B.25 C.36 D.49 【解析】因为，（一正），（二定），即 ， 当且仅当（三相等）时取等号，所以 的最大值为36． 返回目录 12 例3 (2026·浙江省温州市期中)已知两个正数，满足，则 的最小值 为( ) B A.3 B.6 C. D. 【解析】因为， 为正数， 所以，当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值为6. 返回目录 13 知识点3 基本不等式的变式与拓展 1 基本不等式链 ， 当且仅当时等号成立.其中为,的调和平均数，为, 的平方平 均数.（也叫均方根，指的是这两数平方的算术平均数的算术平方根） 此不等式链又常以, 的形式出现. 返回目录 14 其几何意义如图2.2-2所示. 返回目录 2 基本不等式的拓展 （1）三元基本不等式：（,,均为正实数）,当且仅当 时， 等号成立.（它的常用变形： .参加强基计划的同学可重点掌握） （2）推广到元的基本不等式为（,, , 均为正实 数）,当且仅当 时，等号成立. 例4 ［多选题］(2026·重庆市巴蜀中学校诊断)若，，且 ，则下 列不等式恒成立的是( ) CD A. B. C. D. 返回目录 16 【解析】，，且 ， ，，即,当且仅当 时取等号． （为正数,因此 ），故A，B错误； ， , ,故C恒成立； ,， ,故D恒成立． 返回目录 17 基本不等式其他应用形式： ； ； . 返回目录 18 方法帮丨解题突破 题型1 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧 类型1 配凑法求最值 例5（1）函数 的最大值是 _ __. 方法帮 返回目录 19 【解析】方法1：.（调整 的系数，使原等式中出现 和为定值的代数式） ,， ， ,当且仅当，即 时取等号. 故当时， . 方法2：由知, ,当且仅当 ,即 时取等号. 故当时, . 方法帮 返回目录 20 （2）已知，则 的最大值为___. 1 【解析】方法1：（配凑法） 因为，所以 , 所以 （添常数，凑积为定值）（提负号,保证各项均为正数）, 当且仅当,即 时取等号,所以最大值为1. 方法2：（换元法） 令，则 , ，当且仅当 ，即 , 时取等号,所以最大值为1. 方法帮 返回目录 21 方法帮 返回目录 22 类型2 拆项法求最值 例6 函数 的最小值是___. 8 方法帮 返回目录 23 【解析】方法1： ,（分子常数化， 连续两次利用配凑法构造出了需要的代数式） , , ,当且仅当,即 时取等号. 故当时， . 方法2：（换元法） 令,则 , 则,当且仅当，即 时 取等号. 故当时， . 方法帮 返回目录 24 二次与一次比值型函数最值求法: （1），当且仅当 时取等号； （2），当且仅当 时取等号. 方法帮 返回目录 25 类型3 分组并项法或多次应用基本不等式求最值 例7（1）若,是正数，则 的最小值是 ___. 4 【解析】, 是正数， （之所以如此组合,是因为它们的积都是定值），当且仅当即 （之所以如此组合,是因为它们的积都是定值）时取等号. 故 的最小值为4. 方法帮 返回目录 26 （2）若实数,满足，则 的最小值为___. 4 【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 即或 时等号成立．（连续两次使用基本不等式要保证等号成立的一 致性） 方法帮 返回目录 27 方法帮 返回目录 28 解题通法 利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，求函数或代数式的最值，需对函数或代数式进行恒等变形及配凑， 使“和”或“积”为定值.常见的变形手段为拆、并、配. （1）拆——裂项拆项 当分子的次数高于分母的次数时，将分式进行整式分拆——分拆成整式与“真分式” 的和，再根据分式分母的形式对整式进行凑项，为应用基本不等式创造条件. （2）并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先部分应用基本不等式，再 组与组之间应用基本不等式得出最值. 方法帮 返回目录 29 （3）配——配式、配系数 为使“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件进行合理配式或配系数，使匹配后 的和式中两部分乘积为定值，或配以恰当的系数后，使积式中的两项之和为定值. 注意以下两点：（1）使用基本不等式求最值时一定要满足“一正、二定、三相等”; （2）多次使用基本不等式求最值时，一定要保证每一个等号成立的一致性. 方法帮 返回目录 30 练变式1 [教材改编P48习题2.2 T1（1）](2026·黑龙江省齐齐哈尔实验中学月考) 已知，则 的最小值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】因为，所以 ,所以 （配凑成与分母一样的形式）， 当且仅当，即 时取等号． 方法帮 返回目录 31 练变式2 (2026·河南省郑州市期中)已知，则 的最小值为___. 9 【解析】因为，所以 ， 所以 （以分母的形式为依据,向着可拆分的方向前进），当且仅当 ，即时等号成立，故 的最小值为9. 方法帮 返回目录 32 练变式3 (天津高考题)若,,则 的最小值为_____. 【解析】 （多个式子组合时,优先选用能减少 字母的组合）, 当且仅当（注意验证等号成立的一致性）即 时取等号, 所以的最小值为 . 方法帮 返回目录 33 类型4 “ 1”的代换与消元法 例8 已知,,且,则 的最小值为____. 16 方法帮 返回目录 34 【解析】方法1：（“1”的代换） ， . （利用“1”的代换，构造出“齐次式”，实现“一正、二定”） ,, ， 当且仅当,即 时，取等号. , 当,时， . 方法2：（消元法）, . ,,.（确定 的范围） ,且 ， 方法帮 返回目录 35 ， 当且仅当,即时取等号，此时 . 当,时， . 方法3：（配凑法）， , ,则,即 . 由可知, , 则 ,当且仅当 ，即，时取等号， . 方法帮 返回目录 例9 (2026·湖北省黄梅县育才高级中学期中)当时， 的最小值为 ( ) B A.8 B.9 C.10 D.12 【解析】由，得 ，所以 ， （【巧变换】此处用到了隐含的“1”的代换，解题时就是要朝着新增的式子整体是1 的方向思考） 当且仅当，即 时等号成立， 所以 的最小值为9． 方法帮 返回目录 37 例10 已知,,,则 的最小值为_________. 【解析】方法1： （的分母为二次，因此分子上的“1”需代换为 ，从而化简得到齐次式）,当 且仅当，即, 时取等号， 所以最小值为 . 方法2： , （只代换 上的1，构造齐次式后，再进行1的代换） 方法帮 返回目录 38 所以 ,当且仅当 ，即,时取等号，所以最小值为 . 方法帮 返回目录 类型5 求同时含有与 类型的问题 例11 (2026·陕西省榆林市期中)若正数,满足,则 的最小值是 ( ) D A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】方法1：（消元法） 由条件得 ， （很容易想到的思路是消去一个变量，不妨一试） 由,知,（确定 的范围） 从而 方法帮 返回目录 40 （转化配凑成分子不含变量的形式）,当且仅当,,即, 时取等号.故 的最小值为5. （方法1在消元后，将分子常数化，运用配凑法求最值，运算复杂，此时也可采用换 元法，减少计算量） 方法2：同方法1可得 ， 令，则 ， 则 ，当且仅 当，即 时取等号， 方法帮 返回目录 所以当，时， 的最小值为5. 方法3：（常数代换法） 对原条件式转化得 （变形确定常数）, 则 （巧妙借助了“1”的代换）,当且仅当,,即, 时取等号. 故 的最小值为5. （方法3思路清晰，过程简单易上手，对思维有较高要求，适合变形后等式一边为常 数的情况） 方法帮 返回目录 解题通法 消元法求最值的思路 消元法，即根据条件与所求代数式中含有的两个变量，从简化问题的角度思考，消 去一个变量，转化为只含有一个变量的代数式，进而转化为求代数式的最值．有时 会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．注意所保留变量的取 值范围. 方法帮 返回目录 43 常数代换法求最值的基本步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： （1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）； （2）把确定的定值（常数）变形为1； （3）把“1”的代数式与所求最值的代数式相乘或相除，进而构造和或积的形式； （4）利用基本不等式求解最值． 方法帮 返回目录 44 练变式4 已知，，且，则 的最小值为( ) A A. B. C.9 D.7 【解析】因为，，且 ， 所以 ， 当且仅当，时等号成立，所以 的最小值为 ． 方法帮 返回目录 45 练变式5 [教材改编P58 T5](2026·河南省漯河市期中)已知， ，且 ，则 的最小值为( ) A A.2 B.3 C. D. 方法帮 返回目录 46 【解析】方法1：（消元法） ， ， ，, , ，当且仅当 ，即 时取等号．故 的最小值为2. 方法2:,,即 , ,当且仅当 , 且,即时取等号.故 的最小值为2. （【另解】, ,整理得 ,即,, , ,解得,即 的最小值为2.该方法虽然用到了一元二次不等式 的解法，但它却是一种常用也好用的方法.同学们学完下节内容后不妨再来回味一下） 方法帮 返回目录 47 题型2 基本不等式的应用 类型1 证明不等式 例12 设,,均为正数，且 . 证明： （1） ; 【解析】由,, 得 （当且仅当 时等号成立）. 由题设得 ， 即 ， 所以，即 . 方法帮 返回目录 48 （2） . 【解析】因为,, , 所以,即 ，当且仅当 时等号成立.（对于此类问题，往往通过拆式、配式，两两应用基本不等式， 然后运用叠加或叠乘的方法证得） 故 . 方法帮 返回目录 49 证明不等式可以顺证（从左到右），也可以逆证（从右到左），通 常是从较复杂的一边往较简单的一边证明．常用思想是合理配式，恰当放缩，其关 键是凑、配、换. 方法帮 返回目录 50 类型2 解恒成立问题 例13 设,，不等式恒成立，则 的最小值为____. 方法帮 返回目录 51 【解析】方法1：（分离参数法） 由题意知，不等式 恒成立，（对于恒成 立求参问题，若条件允许，常采用分离参数法求解） 则必须大于或等于 的最大值. 而 （对于含根号的式子,一般进行平 方处理）,当且仅当 时取等号. 故的最大值为 ， 故，即的最小值是 . 方法2：（利用平方平均数和算术平均数求解） 因为,所以 , 方法帮 返回目录 52 当且仅当 时等号成立. 因为,所以,所以 , 即的最小值是 . 方法帮 返回目录 解题通法 分离参数法解决恒成立问题的步骤 对于变量和参数可分离的不等式恒成立问题，常采用分离参数法求解，其解题步骤 为： 第一步，对待含参的不等式，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是 参数，另一端是变量表达式的不等式； 第二步，求出含变量一边的代数式的最值； 第三步，由此推出参数的取值范围，得出结论. 一般地，若（为含某一变量的代数式）恒成立，则;若 ，则 ； 若，则；若，则 . 方法帮 返回目录 54 练变式6 (2026·湖南省邵阳市月考) 已知，，若不等式恒成立，则 的最大值为( ) C A.9 B.12 C.16 D.10 【解析】根据题意可知， 恒成立（【关键点】先分离参数）， 即转化成求 的最小值.又 ，当且仅当 时取等号， 所以，即 的最大值为16. 方法帮 返回目录 55 类型3 解决实际问题 例14 ［数学建模·广告牌设计］如图2.2-4，要设计一张矩形广告牌， 该广告牌含有大图2.2-4小相等的左、右两个矩形栏目（图中阴影部 分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为 ，两 栏之间空白的宽度为 ．怎样设计广告牌的高与宽的尺寸 （单位： ），能使矩形广告牌面积最小？ 解决本题的关键有三点：一是善于迁移，即在读懂题目的前提下， 正确建模转化；二是引入合适的变量，建立正确的广告牌面积表达式；三是能正确 地运用基本不等式求最值. 方法帮 返回目录 56 【解析】设每个矩形栏目的高为，宽为，广告牌的面积为 ,则 ，其中, . 易知广告牌的高为，宽为 . （弄清栏目的宽、高与广告牌的宽、高之间的关系是求解关键） 广告牌的面积 ， 当且仅当时等号成立，此时，代入得, . 即当,时， 取得最小值，为24 500. 故当广告牌的高为，宽为 时，可使矩形广告牌的面积最小. 方法帮 返回目录 57 解题通法 方法帮 返回目录 58 题型3 与三个实数有关的最值问题 例15 (2026·江西省鹰潭市月考)设正实数,,满足，则当 取得最小值时， 的最大值为( ) C A.0 B. C.2 D. 方法帮 返回目录 59 【解析】 ， ，（遇到此类题，首先想到减元） 又,, 为正实数， ， 当且仅当，即 时等号成立, 此时 ， 当且仅当，,时， 取得最大值，最大值为2． 方法帮 返回目录 60 练变式7 已知实数,,满足,,则 的最大值是_ __. 【解析】由，得,由 ，得 ,，故的最大值为 . 方法帮 返回目录 61 新考法 数学文化 例16 ［多选题，数学文化·勾股容方］(2026·河南省开封高级中学质检)《九章算术》 中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家 刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图2.2- 5（1），用对角线将长和宽分别为和 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角 形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形 进行重组，得到如图2.2-5（2）所示的矩形，该矩形长为 ，宽为内接正方形的 边长.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图2.2-5（3）,设为斜边 的中点，作直角三角形的内接正方形的对角线，过点作于点 ，则 下列推理正确的是( ) 方法帮 返回目录 62 图2.2-5 A.由题图（1）和题图（2）的面积相等得 B.由可得 C.由可得 D.由可得 √ √ √ 方法帮 返回目录 方法帮 返回目录 64 【解析】对于A,由题图（1），（2）的面积相等得，所以 ， 故A错误. 对于B,因为，所以，所以 ， 设题图（3）中内接正方形的边长为 ，根据三角形相似（"青”表示的三角形和 相似）可得，解得，所以 . 因为（当不重合时,是直角边,是斜边），所以 ，整理 可得 ，故B正确. 对于C,因为为斜边 的中点， 所以 ，（【会应用】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 方法帮 返回目录 65 因为，所以 ， 整理得 ，故C正确. 对于D,因为，所以，整理得 ，故D正确. 方法帮 返回目录 高考帮丨考向追踪 考向1 利用基本不等式求最值 例17 (2025·北京)已知, ，则( ) C A. B. C. D. 【解析】由，当且仅当 时等号成立可知，A错误. 若，,，则必有，但 不一定成立，所以 B错误. 因为,，，当且仅当 时等号成立，所以C正确. 因为,，所以，当且仅当 时等号成立，所以D错 误.故选C. 高考帮 返回目录 67 例18 ［多选题］(2022·新高考全国Ⅱ卷)若,满足 ，则( ) BC A. B. C. D. 高考帮 返回目录 68 给什么 得什么 所给的条件“”，左边有和，是关于, 的二次齐 次式，右边为常数“1”. 求什么 想什么 对于A,B，需要由条件确定（关于, 的一次齐次式）的范围，可考虑 对条件变形，配凑一个出来，即 ，而 ，于是就得到关于的不等式 ，即 ,所以 ，所以A不正确，B正确. 对于C,D，需要由条件确定的范围，可对“”中的 进行变形，即，于是有，即 ，所 以C正确，D不正确． 高考帮 返回目录 69 命题探源 本题可视为取材于教材第58页【复习参考题2】的第5题，题设条件 简洁，要求考生探求及 的取值范围，需要考生灵活运 用基本不等式以及化归与转化等数学知识和思想方法才能正确解答. 素养探源 素养 考查途径 数学运算 代数式的恒等变形以及最值的求解. 逻辑推理 利用基本不等式推断出有关结论. 提分探源 对于选择题，最常用的还有特殊值排除法，如取 ，满足 ，但，排除A选项；取 ， ，满足，但 ，排除D选项.由于 是多选题，故选 . 高考帮 返回目录 70 例19 (2025·上海)设,,,则 的最小值为___. 4 【解析】由题意知， ，当 且仅当，即, 时取等号. 高考帮 返回目录 71 例20 (天津高考题)已知,，且，则 的最小值为___． 4 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当,即且 ， 即或 时等号成立. 故 的最小值为4. 高考帮 返回目录 72 练习帮丨分层巩固 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.已知，为正实数，且，则 的最小值是( ) B A.4 B.8 C.16 D.32 【解析】，,，当且仅当且 ，即 ，时取等号， 的最小值为8．故选B． 练习帮 返回目录 73 2.(2026·安徽省A10联盟期中)已知，当取最小值时，实数 的值为 ( ) B A.1 B. C. D. 【解析】由得 ，所以 , 当且仅当，即 时等式成立. 所以,取最小值时，实数 . 练习帮 返回目录 74 3.(2026·江苏省扬州市调研)已知正实数,满足,则 的最小值为( ) D A. B.4 C. D.8 【解析】,，，，即 ，当且仅 当,即，时取等号， 的最小值为8． 4.(2026·河南省部分高中月考)已知正实数,满足,则 的最小值为 ( ) C A.9 B.8 C.3 D. 【解析】, ， ，当且仅当 时取等号．故选C． 练习帮 返回目录 75 图2.2-1 5.［新考法·数学文化］ (2026·北京市第三十 五中学期中)数学里有一种证明方法为无字证 明，是指仅用图形而无须文字解释就能不证 自明的数学命题．如图2.2-1（1）（2），其 中四边形为矩形， 为等腰直角三 角形，设, ，则 A A. B. C. D. 借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是( ) 练习帮 返回目录 76 【解析】由题意可知 也为等腰直角三角形，所以在题图（1）中，图形的面积 .在题图（2）中，矩形 的面 积.由两图面积关系直观得出，即，当且仅当 时等号 成立． 练习帮 返回目录 77 6.［多选题］ (2026·江苏省南菁高级中学期中)若,, ，则下列 说法正确的是( ) ACD A.的最大值为 B. 的最小值是4 C.的最大值为2 D.的最小值为 练习帮 返回目录 78 【解析】因为，，则，即，当且仅当 时取等号，故A正确. 因为 ，当且仅当 时取等号，此时与已知条件 矛盾，故B错误. ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C正确. （“1”的代换） ，当且 仅当，即,时取等号，故D正确.故选 ． 练习帮 返回目录 79 7.已知, ，且，若恒成立，则实数 的取值范围是 ___________. 【解析】由题意知， ， 当且仅当，且,即时，等号成立， 的最小值为9， 又 恒成立， ，即的取值范围为 ． 练习帮 返回目录 80 图2.2-2 8.［新考法·数学建模］ (2026·四川省内江市第一中学月考)动物园 要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各 面用钢筋网围成，如图2.2-2所示． （1）现有长 的钢筋网材料，则每间虎笼的长、宽分别为多少 时，可使每间虎笼的面积最大？ 【答案】设每间虎笼的长、宽分别为,,每间虎笼的面积为 ， 则，即 ， ，当且仅当,即， 时，等 号成立. 故当每间虎笼的长、宽分别为， 时，每间虎笼的面积最大. 练习帮 返回目录 81 （2）若使每间虎笼的面积为 ，则每间虎笼的长、宽分别为多少时，可使围成 四间虎笼的钢筋网总长度最小？ 【答案】由题意，设每间虎笼的长、宽分别为， , 则钢筋网总长，当且仅当，即 时， 等号成立，此时每间虎笼的长、宽分别为, . 练习帮 返回目录 82 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.(2026·湖南省长沙市期中)已知，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. 【解析】因为，所以 (【技巧】此类题 的关键是根据分母的结构进行配凑) ，当且仅当 时取等 号．故选A． 练习帮 返回目录 83 10.［多选题］ (2026·四川省仁寿第一中学校月考) 下列说法正确的是( ) AC A.若，则的最大值为 B.函数 的最小值为2 C.已知，，，则的最小值为 D.若正数,满足，则 的最小值为3 练习帮 返回目录 84 【解析】（配凑出 ,使和为定值） ，当且仅当，即时等号成立， 正确. 设，，， ， 当且仅当,即时等号成立，的最小值为3， 错误. ， . ， 当且仅当，且,即， 时等号成立， 的最小值为， 正确. ， ,（首先考虑减元） 练习帮 返回目录 85 , , ，当且仅当 时等号成立， 的最小值为4， 错误. 故选 ． 练习帮 返回目录 11.［多选题］ (2026·江苏省南京市中华中学月考) 下列与基本不等式有关的命题中正确的是( ) CD A.若，则 B.若，，，则的最小值为 C.若，，，则 D.若，，，则 的最小值为2 练习帮 返回目录 87 【解析】当， 时，A显然不成立； ，，，则 ， 当且仅当 时取等号，B错误； ，， ，则 ，当且仅当 且 ，即， 时取等号，C正确； ，，，令， （合理换元,与所求式子产生联 系），则，， ，则 练习帮 返回目录 88 ， 当且仅当时取等号，即 时取等号，D正确． 故选 ． 练习帮 返回目录 12.［教材改编P49 T7,新考法·学科综合］ (2026·广东省兴宁市齐昌中学质检)阿基米 德有句名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理， 即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位 顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出 黄金放 在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取 黄金放在天平左 盘中使天平平衡；最后将称得的和黄金交给顾客.则顾客购得的黄金______ . （填“大于”“小于”或“等于”） 大于 练习帮 返回目录 90 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且 , 则 , , 故购得的黄金大于 . 练习帮 返回目录 13.若正数,满足,则 的最小值是_____. 【解析】方法1：（消元法） 因为正数,满足,所以 （解此类题没有思路时,就先尝试消元）,所以 , 所以 , 当且仅当,即 时取等号, 故的最小值是 ． 方法2：因为,所以,则 ,即 ,所以,当且仅当 ,即 时取等号，故的最小值为 . 练习帮 返回目录 92 14.(2026·江苏省苏州市测试)问题：正数,满足，求 的最小值．其中 一种解法是：，当且仅当 ， 且，即且 时取等号，学习上述解法并解决下列问题. （1）若正实数,满足,求 的最小值. 【答案】若正实数,满足,则 , 所以，当且仅当 ，即 ，时取等号，所以的最小值为 . 练习帮 返回目录 93 （2）若正实数,,,满足，且,试比较和 的大小， 并说明理由. 【答案】正实数,,,满足，且 , 则 , 因为 , 当且仅当 时取等号, 所以 , 所以 . 练习帮 返回目录 94 （3）若，利用（2）的结论，求代数式 的最小值，并 求出使得最小的 的值. 【答案】若， , 令，，则 ,（巧妙借助第（2）问的已知条件） 令， , 所以 ,（由第（2）问的结论可得） 当且仅当即 时取等号, 结合，解得， , 即，所以 ． 所以的最小值为，此时 . 练习帮 返回目录 95 C 培优练丨能力提升 15.［新定义·权方和不等式］ (2026·河北省石家庄二中期中)权方和不等式描述的是 若干正数的加权方幂之和与其和的同次幂之间的关系，在求多元变量最值时有很广 泛的应用，该不等式由杨克昌教授于1985年命名并系统研究，其二元形式为： ，其中，，，均为正实数，当且仅当 时，等号成立．更一 般的元形式为：，其中， 均为正 实数，当且仅当 时，等号成立．请同学们根据上述权方和不等式解 决下列问题. 练习帮 返回目录 96 （1）已知，则函数 的最小值为___. 【解析】因为,所以,即 ,根据权方和不等式,得 ,当且仅当,即 时等号成立. 所以函数的最小值为 . 练习帮 返回目录 97 （2）已知，，均为正实数，且，则 的最小值为____. 36 【解析】因为,,均为正实数,且 , 所以,当且仅当 ,即 时等号成立, 所以 的最小值为36. 练习帮 返回目录 98 $