2.1认识实数（第1课时）教学设计 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦无理数概念及夹逼法估算，通过回顾整数和分数平方性质，结合拼图（两个边长1的正方形拼大正方形）与勾股定理情境引出新数，搭建从有理数到无理数的学习支架。 特色在于情境驱动与探究式教学，用拼图和几何问题培养数学眼光中的几何直观，夹逼法估算过程发展数学思维中的推理意识，巩固练习通过网格线段判断和三角形画图提升数学语言的应用意识。助力学生发展数感与估算能力，为教师提供分层作业设计和可操作的探究活动。

§2.1 认识实数（第1课时） 课时：1 年级：八年级 教师： 日期： 一、教学目的 1. 理解无理数的概念，能判断一个数是否为有理数或无理数。 2. 经历用夹逼法估算无限不循环小数的过程，发展数感和估算能力。 3. 通过对、等数的探究，感受数学的严谨性，激发探索兴趣。 二、教学重点 无理数的概念；用夹逼法估算的值。 三、教学难点 理解不是有理数，是无理数；夹逼法无限逼近的思想。 四、教学过程 【环节一：导入新课】 回顾置疑： (1) 一个整数的平方一定是整数吗？ (2) 一个分数的平方一定是分数吗？ (1) 一个整数的平方一定是整数。 (2) 一个分数的平方一定是分数。 拼图发现新数——无理数 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形． 因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a2＝2，那么a是整数吗？a是分数吗？ 学习了本节知识之后，你就会知道了 由勾股定理可知a满足a²=2，它不是我们学过的数。 2. (1) 如图2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2) 设该正方形的边长为b，b满足什么条件？它是我们学过的数吗？ 图2 由勾股定理可知b满足b²=5，它不是我们学过的数。 【环节二：新课讲授】 新知释疑： 思考·交流：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ (1) 三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ (2) 边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ 借助计算器进行探索。 (3) 小明将他的探索过程整理如下： 边长a 面积S 1＜a＜2 1＜S＜4 1.4＜a＜1.5 1.96＜S＜2.25 1.41＜a＜1.42 1.988 1＜S＜2.016 4 1.414＜a＜1.415 1.999 396＜S＜2.002 225 1.414 2＜a＜1.414 3 1.999 961 64＜S＜2.000 244 49 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ a不可能是有限小数，它的小数位数无限且不循环。 (4) 面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？ b=≈2.23606797…，也不是有限小数，是无限不循环小数。 事实上，a=1.41421356…，b=2.23606797…，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 【环节三：巩固练习】 1. 在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段 有理数的线段：AB、EF、 不是有理数的线段：CD、GH、MN 目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣 效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性． 2. 在正方形网格中分别画出以下四个三角形： (1) 三边长都是有理数； (2) 只有两边长是有理数； (3) 只有一边长是有理数； (4) 三边长都不是有理数。 如图：△ABC三边长都是有 理数；△ADK只有两边长是有理 数；△EFH只有一边长是有理数；△GIJ三边长都不是有理数。 3. 如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗？ 解：因为h²=2²-1²=3，所以h不可能是整数，也不可能是分数，因此h不可能是有理数。 4. 同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？ 解：设正方形的边长为a，对角线长为x，由勾股定理，可得x²=a²+a²=2a²。若a为整数，要使x也为整数，则需2a²是一个整数的平方。由于2a²=2·a²，其中2不是一个整数的平方，所以2a²不是一个整数的平方。因此，正方形的边长和对角线的长度不可能都是整数。 五、教学小结 1. 通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？ 2. 通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？ 3. 通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？ 4. 除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的吗？ 六、作业 必做： 习题2.1问题解决第5题，第6题。 选做： 利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100，共有多少种情况？（注：面积相同的不同画法均视为同一种情况） 预习： 查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数学小论文“我对数系扩充的再认识”。 4 学科网（北京）股份有限公司 $