25.2.1 配方法 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“配方法”，核心知识点包括直接开平方法解x²=p与(x+n)²=p型方程，以及配方法解一元二次方程的完整步骤。课堂导入通过x²=4、(x+3)²=5等具体方程，引导学生回顾平方根意义，搭建从平方根知识到降次思想的学习支架，衔接新旧知识。 这份导学案以“自学—合作—精讲—提升”为主线，设置情境引入、知识点学习、例题自学等环节，注重培养学生抽象能力与推理意识。分层作业覆盖基础到拓广，习题设计结合实际问题，助力学生理解配方原理，提升用数学语言表达方程求解过程的能力，适合学生自主探究与教师课堂教学使用。

25.2.1 配方法 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1. 理解降次思想，掌握直接开平方法解形如 x²=p；(x+n)²=p 类型一元二次方程，能根据p 的正负判断方程实数根情况。 2. 理解配方法的原理，掌握二次项系数为1、不为1的一元二次方程配方步骤，会用配方法解一元二次方程。 3. 能判断配方后 (x+n)²=p 中p符号，判断方程有无实数根。 4. 体会转化、降次的数学思想，把一元二次方程转化为一元一次方程求解。 学习重点：直接开平方法；配方法解一元二次方程完整步骤；完全平方公式配方。 学习难点：二次项系数不为 1 时先化系数为 1；正确配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；判断方程有无实数根。 【学生自学】 （阅读教材P5-9配方法部分） 一、情境引入 1. 若 x²=4，根据平方根的意义，可得 x=____________，两根 x₁=__________，x₂=________。 2. 解方程 (x+3)²=5，把 x+3 看作整体，直接开平方得：___________________； 可得两个一元一次方程：______________、________________； 解得根：x₁=___________，x₂=_________。 二、知识点学习 1. 直接开平方法 对于方程 x²=p： (1) 当 p>0 时，方程有________实数根，x₁=__________，x₂=___________； (2) 当 p=0 时，方程有________________实数根，x₁=x₂=_______； (3) 当 p<0 时，因为任何实数平方都非负，方程______________。 拓展：形如 (x+n)²=p p>0：x+n=±；x₁=__________，x₂=_______________； p=0：x+n=0；x₁=______________，x₂=_______________； p<0：无实数根。 本质：降次，把二次方程转化为两个________________方程。 2. 配方法定义 通过把方程左边配成________________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 配方核心依据完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 对 x²+mx 配方：两边加上________________，可凑完全平方。 配方法一般步骤： ①移项：把常数项移到方程的________边； ②化 1：当二次项系数不等于 1 时，方程两边同时________________，把二次项系数化为 1； ③配方：方程两边同时加上________________________________； ④写成完全平方形式：(x+n)²=p； ⑤开平方：根据 p 取值判断有无实根，有根则转化为一元一次方程求解。 思考：解方程 x²+6x+4=0，移项得 x²+6x=-4，两边为什么加 9，可以加别的数吗？ 3. 配方后 (x+n)²=p 根的情况 (1)p>0：________________________________________________； (2)p=0：________________________________________________； (3)p<0：________________________________。 三、例题自学 例 1 解下列方程： (1) 4x²-3=0； (2)(x+2)²-9=0。 解：(1)移项，得 4x²=3，二次项系数化为 1，得________________； 直接开平方，得 x=______________________；即 x₁=__________，x₂=__________。 (2) 移项，得________________；开平方得 x+2=±3； 得 x+2=3 或 x+2=-3；解x₁=___________，x₂=_____________。 例 2 解下列方程： (1) x²-8x+1=0； (2) 2x²+1=3x； (3) 3x²-6x+4=0 解：(1)移项，得 x²-8x=-1 配方，两边加上 4²：x²-8x+16=-1+16 写成完全平方：____________ __________；开平方得_____________； 解得 x₁=__________，x₂=____________。 (2) 2x²+1=3x 解：移项：2x²-3x=-1；二次项系数化为 1：________________________； 配方，两边加 (3/4)²：___________________________________________； 写成完全平方：(x-3/4)²=1/16； 开平方：x-3/4=±1/4；解得 x₁=___________，x₂=____________。 (3) 3x²-6x+4=0 解：移项：3x²-6x=-4；二次项系数化为 1：_____________________________； 配方：x²-2x+1²=-4/3+1²，得______________________； 因为平方数不能为负数，所以原方程________________。 四、自学小测 1. 填空配方： (1) x²+10x+____________=(x+____________)² (2)x²-12x+____________=(x-____________)² (3)x²+5x+____________=(x+____________)² (4)x²-(2/3)x+____________=(x-____________)² 2.(2026・河南模拟) 用配方法解方程 x²-4x-5=0，配方后正确的是（） A.(x-2)²=1 B.(x-2)²=9 C.(x+2)²=9 D.(x-4)²=21 【合作学习】（讨论交流） 1. 直接开平方法适用什么样结构的一元二次方程？开平方一定要注意什么？ 2. 配方法中，二次项系数为 1 和不为 1，操作上最大区别是什么？为什么一定要先把二次项系数化为 1 再配方？ 3. 配方时，等式两边必须同时加上 “一次项系数一半的平方”，只加左边行不行？为什么？ 4. 得到 (x+n)²=p 之后，什么时候没有实数根？ 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 开平方一定要带上_______________；不要漏掉负根。 2. 二次项系数不为 1，必须先_____________，再配方，不能直接加一次项系数一半的平方。 3. 配方是等式变形，等式________________都要加上同一个数，不能只加左边。 4. 得到 (x+n)²=p，若 p<0，直接判定：________________。 【总结提升】 1. 直接开平方法针对 x²=p 与 (x+n)²=p，利用________________意义实现降次。 2. 配方法步骤：移项→________________→配方→写成完全平方→开方求解。 3. 配方关键：二次项系数化为 1 后，两边同时加上________________________________。 4. 数学思想：________________思想，把二次方程转化为一元一次方程。 【课内自测】（课堂完成） 1. 解下列方程（直接开平方法） (1) x²-9=0 (2) 2x²-8=0 (3) 9x²-5=3 (4)(x+6)²-9=0 (5) 3 (x-1)²-6=0 (6) x²-4x+4=5 2. 用配方法解下列方程 (1) x²+10x+9=0 (2) x²-x-7/4=0 (3) 3x²+6x-4=0 (4) 4x²-6x-3=0 (5) x²+4x-9=2x-11 (6) x (x+4)=8x+4 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1.(2025・重庆一模) 一元二次方程 (x-1)²=16 的根是（） A.x₁=5,x₂=-3 B.x₁=4,x₂=-4 C.x₁=17,x₂=-15 D.x₁=1,x₂=-1 2. 把下面方程配方成 (x+n)²=p 形式 (1) x²-6x-7=0 (2)2x²-4x-6=0 B 组【能力提升・选做】 3.(2026・山东临沂期末) 用配方法解方程 3x²-2x-1=0，写出完整步骤。 4. 求证：无论 x 取何实数，代数式 x²-6x+11 的值恒大于 0。 C 组【拓广探索・培优】 5. 已知代数式 x²+y²-4x+6y+13=0，求 x、y 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法 导学案【解析版】 【学习目标】 1. 理解降次思想，掌握直接开平方法解形如 x²=p、(x+n)²=p 类型一元二次方程，能根据 p 的正负判断方程实数根情况。 2. 理解配方法的原理，掌握二次项系数为 1、不为 1 的一元二次方程配方步骤，会用配方法解一元二次方程。 3. 能判断配方后 (x+n)²=p 中 p 符号，判断方程有无实数根。 4. 体会转化、降次的数学思想，把一元二次方程转化为一元一次方程求解。 学习重点：直接开平方法；配方法解一元二次方程完整步骤；完全平方公式配方。 学习难点：二次项系数不为 1 时先化系数为 1；正确配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）；判断方程有无实数根。 【学生自学】 （阅读教材对应配方法部分） 一、情境引入 1. 若 x²=4，根据平方根的意义，可得 x=±2，两根 x₁=2，x₂=-2。 2. 解方程 (x+3)²=5，把 x+3 看作整体，直接开平方得：x+3=±； 可得两个一元一次方程：x+3=、x+3=-； 解得根：x₁=-3+，x₂=-3-。 二、知识点学习 1. 直接开平方法 对于方程 x²=p： (1) 当 p>0 时，方程有两个不相等的实数根，x₁=，x₂=-； (2) 当 p=0 时，方程有两个相等的实数根，x₁=x₂=0； (3) 当 p<0 时，因为任何实数平方都非负，方程没有实数根。 拓展：形如 (x+n)²=p p>0：x+n=±；p=0：x+n=0；p<0：无实数根。 本质：降次，把二次方程转化为两个一元一次方程。 2. 配方法定义 通过把方程左边配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 配方核心依据完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²。 对 x²+mx 配方：两边加上 (m/2)²，可凑完全平方。 配方法一般步骤： ①移项：把常数项移到方程的右边； ②化 1：当二次项系数不等于 1 时，方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为 1； ③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④写成完全平方形式：(x+n)²=p； ⑤开平方：根据 p 取值判断有无实根，有根则转化为一元一次方程求解。 思考：解方程 x²+6x+4=0，移项得 x²+6x=-4，两边为什么加 9，可以加别的数吗？ 答：一次项系数 6 一半是 3，平方得 9，加上 9 左边才能凑成完全平方；不能加别的数。 3. 配方后 (x+n)²=p 根的情况 (1) p>0：方程有两个不相等实数根； (2) p=0：方程有两个相等实数根； (3) p<0：方程没有实数根。 三、例题自学 例 1 解下列方程： (1) 4x²-3=0；(2)(x+2)²-9=0。 (1) 解：移项，得 4x²=3，二次项系数化为 1，得 x²=3/4； 直接开平方，得 x=±/2；即 x₁=，x₂=-/2。 (2) 解：移项，得 (x+2)²=9；开平方得 x+2=±3； 得 x+2=3 或 x+2=-3；解得 x₁=1，x₂=-5。 例 2 解下列方程： (1) x²-8x+1=0；(2) 2x²+1=3x；(3) 3x²-6x+4=0 (1) 解：移项，得 x²-8x=-1 配方，两边加上 4²：x²-8x+16=-1+16 写成完全平方：(x-4)²=15；开平方得 x-4=±； 解得 x₁=4+，x₂=4-。 (2) 2x²+1=3x 解：移项：2x²-3x=-1；二次项系数化为 1：x²-(3/2) x=-1/2； 配方，两边加 (3/4)²：x²-(3/2) x+(3/4)² = -1/2+(3/4)²； 写成完全平方：(x-3/4)²=1/16； 开平方：x-3/4=±1/4；解得 x₁=1，x₂=1/2。 (3) 3x²-6x+4=0 解：移项：3x²-6x=-4；二次项系数化为 1：x²-2x=-4/3； 配方：x²-2x+1²=-4/3+1²，得 (x-1)²=-1/3； 因为平方数不能为负数，所以原方程没有实数根。 四、自学小测（教材练习改编） 1. 填空配方： (1) x²+10x+25=(x+5)² (2) x²-12x+36=(x-6)² (3) x²+5x+25/4=(x+5/2)² (4) x²-(2/3) x+1/9=(x-1/3)² 2.(2026・河南模拟) 用配方法解方程 x²-4x-5=0，配方后正确的是（B） A.(x-2)²=1 B.(x-2)²=9 C.(x+2)²=9 D.(x-4)²=21 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 直接开平方法适用什么样结构的一元二次方程？开平方一定要注意什么？ 答：左边是完全平方，右边是非负数；开平方必须写正负号，不能丢掉负根。 2. 配方法中，二次项系数为 1 和不为 1，操作上最大区别是什么？为什么一定要先把二次项系数化为 1 再配方？ 答：不为 1 必须先两边除以二次项系数化为 1；只有系数为 1，才能直接加上一次项系数一半的平方凑完全平方。 3. 配方时，等式两边必须同时加上 “一次项系数一半的平方”，只加左边行不行？为什么？ 答：不行，等式性质，等式两边必须同时加同一个数，等式才仍然成立。 4. 得到 (x+n)²=p 之后，什么时候没有实数根？ 答：当 p<0 时，实数平方不能是负数，无实数根。 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1. 开平方一定要带上正负号；不要漏掉负根。 2. 二次项系数不为 1，必须先化为 1，再配方，不能直接加一次项系数一半的平方。 3. 配方是等式变形，等式两边都要加上同一个数，不能只加左边。 4. 得到 (x+n)²=p，若 p<0，直接判定：方程没有实数根。 【总结提升】 1. 直接开平方法针对 x²=p 与 (x+n)²=p，利用平方根意义实现降次。 2. 配方法步骤：移项→化二次项系数为 1→配方→写成完全平方→开方求解。 3. 配方关键：二次项系数化为 1 后，两边同时加上一次项系数一半的平方。 4. 数学思想：降次转化思想，把二次方程转化为一元一次方程。 【课内自测】 1. 解下列方程（直接开平方法） (1) x²-9=0 解：x²=9，x=±3；x₁=3，x₂=-3 (2) 2x²-8=0 解：x²=4，x=±2；x₁=2，x₂=-2 (3) 9x²-5=3 解：9x²=8，x²=8/9；x=±2/3；x₁=2/3，x₂=-2/3 (4)(x+6)²-9=0 解：(x+6)²=9，x+6=±3；x₁=-3，x₂=-9 (5) 3 (x-1)²-6=0 解：(x-1)²=2，x-1=±；x₁=1+，x₂=1- (6) x²-4x+4=5 解：(x-2)²=5，x-2=±；x₁=2+，x₂=2- 2. 用配方法解下列方程 (1) x²+10x+9=0 解：移项 x²+10x=-9；配方 x²+10x+25=-9+25，(x+5)²=16； x+5=±4；x₁=-1，x₂=-9 (2) x²-x-7/4=0 解：移项 x²-x=7/4；配方 x²-x+1/4=7/4+1/4，(x-1/2)²=2； x-1/2=±；x₁=1/2+，x₂=1/2- (3) 3x²+6x-4=0 解：移项 3x²+6x=4；系数化 1 x²+2x=4/3； 配方 x²+2x+1=4/3+1，(x+1)²=7/3； x+1=±/3；x₁=-1+/3，x₂=-1-/3 (4) 4x²-6x-3=0 解：移项 4x²-6x=3；系数化 1：x²-(3/2) x=3/4； 配方：x²-(3/2) x+9/16=3/4+9/16，(x-3/4)²=21/16； x-3/4=±/4；x₁=(3+)/4，x₂=(3-)/4 (5) x²+4x-9=2x-11 解：整理：x²+2x=-2；配方：x²+2x+1=-2+1，(x+1)²=-1； ∵平方不能负数，方程无实数根。 (6) x (x+4)=8x+4 解：整理 x²-4x=4；配方 x²-4x+4=4+4，(x-2)²=8； x-2=±2；x₁=2+2，x₂=2-2 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 1.(2025・重庆一模) 一元二次方程 (x-1)²=16 的根是（A） A.x₁=5,x₂=-3 B.x₁=4,x₂=-4 C.x₁=17,x₂=-15 D.x₁=1,x₂=-1 2. 把下面方程配方成 (x+n)²=p 形式 (1) x²-6x-7=0 解：移项：x²-6x=7；配方：x²-6x+9=7+9；(x-3)²=16 (2) 2x²-4x-6=0 解：系数化 1：x²-2x-3=0；移项 x²-2x=3；配方 x²-2x+1=3+1；(x-1)²=4 B 组【能力提升・选做】 3.(2026・山东临沂期末) 用配方法解方程 3x²-2x-1=0，写出完整步骤。 解：移项：3x²-2x=1 二次项系数化为 1：x²-(2/3) x=1/3 配方，两边加 (1/3)²： x²-(2/3) x+1/9=1/3+1/9 (x-1/3)²=4/9 开平方：x-1/3=±2/3 x₁=1，x₂=-1/3 4. 求证：无论 x 取何实数，代数式 x²-6x+11 的值恒大于 0。 证明：配方：x²-6x+11=(x-3)²+2 ∵(x-3)²≥0，∴(x-3)²+2≥2>0； ∴无论 x 取何实数，原式的值恒大于 0。 C 组【拓广探索・培优】 5. 已知代数式 x²+y²-4x+6y+13=0，求 x、y 的值。 解：分组配方： (x²-4x+4)+(y²+6y+9)=0 (x-2)²+(y+3)²=0 ∵平方非负，两个非负数相加等于 0，则各自为 0 ∴x-2=0，y+3=0，得 x=2，y=-3 学科网（北京）股份有限公司 $