专题05 有理数的乘除运算 重难点题型专训 -2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为逻辑链，系统整合4个核心知识点与14类梯度题型，突出运算能力与应用意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|4个核心概念+即时训练|乘法法则（奇负偶正）、运算律应用、倒数求法、除法转化乘法|从有理数乘法概念出发，通过运算律深化性质，以倒数为桥梁过渡到除法，形成完整运算体系| |基础题型|11大题型（含实际应用）|分步运算（符号→绝对值）、混合运算顺序、实际问题建模|覆盖单一运算到综合应用，训练运算准确性与问题转化能力| |提高题型|3类综合题型|数轴与绝对值综合分析、裂项相消规律计算|衔接中考综合考法，培养推理意识与创新思维|

专题05 有理数的乘除运算重难点题型专训（4个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数乘除中的简便运算 9 题型十、有理数四则混合运算 10 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 11 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 题型三、裂项相消法解决规律计算问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江温州·期中）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D．2 2．（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A．8 B．5 C． D．12 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算：________． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）计算的值为（   ） A． B．16 C． D．6 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 1．（25-26七年级上·吉林·期中）若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 1．（25-26七年级下·福建莆田·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 2．（2026·河南平顶山·三模）小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 3．（26-27七年级上·浙江杭州·期中）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【基础题型四 倒数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【例2】（2026七年级上·广西防城港·模拟预测）倒数：与互为倒数等价于___________________． 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 2．（2026·江西·模拟预测）有理数的倒数为_____________． 3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上·湖南张家界·模拟预测）简便运算：________． 1．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 2．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测），应用了______（定律） 3．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【例2】（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 1．（2026·陕西榆林·一模）计算：（   ） A．2 B． C． D．5 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 3．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【例2】（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期中）乐乐用相同的速度跑步，他从第1棵树跑到第5棵树共用了20秒（每两棵树之间的距离相等），如果乐乐跑了100秒，他应跑到第_______棵树 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）某自行车厂组装车间计划一周组装自行车1400辆，平均每天组装200辆，但由于种种原因，实际每天产量与计划量相比有出入．下表是某周的产量情况（超产记为正，减产记为负）： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 增减 通过计算说明： (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (2)自行车厂这周是超产了还是减产了？ (3)该车间实行周计件工资制，每组装一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元，少生产一辆扣20元，该车间共有15名工人，本周平均每人周工资是多少元？（结果精确到个位） 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（2026·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 1．（25-26七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定“☆”是一种特殊的运算符号，且，，，……，则的值为______． 3．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【基础题型九 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【例2】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 3．（25-26七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【基础题型十 有理数四则混合运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 1．（25-26七年级上·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（26-27七年级上·湖北武汉·期中）根据规律，“？”处应填___________． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【基础题型十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，某校体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于计算、丈量、画线，该体育场的直段长80米，则弯道的半圆半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（26-27七年级上·湖北武汉·期中）如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 1．（25-26七年级上·山西吕梁·期中）某市出租车的收费标准是：起步价10元，可乘3千米，3千米到5千米，每千米1.3元，超过5千米，每千米2.4元．某人乘坐了千米的路程，则他应支付的费用是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（24-25七年级上·四川广元·期中）如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．1008 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字______的点重合． 1．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．在图1的数轴上点所对应的数为（   ）    A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和 ①若数轴的单位长度是，那么的值为_____． ②若刻度尺上“”对应数轴上的3那么的值为_____． 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【例2】（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）绝对值小于2025的所有整数的和是______；绝对值不大于3的负整数的积是______． 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）根据算式，，不能得到的结论是（    ） A．两数相乘，同号得正 B．两数相乘，异号得负 C．两数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的积 D．两数相乘，交换因数的位置，积不变 2．（25-26七年级上·全国·课堂例题）（1）计算，先确定结果的符号为______________号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以；_________________________________ （2）计算，先确定结果的符号为______________号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的______________”计算，即；_________________________________ （3）计算，先确定结果的符号为______________号，观察算式将化为假分数______________，所以；______________________ （4）计算，发现被除数为0，所以______________． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【提高题型三 裂项相消法解决规律计算问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【例2】（24-25七年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么______． 利用上面的规律计算：_______． 3．（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 1．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 6．（25-26六年级上·山东泰安·期中）若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0，则这个数是______． 7．（2026七年级下·浙江·模拟预测）若规定，则________． 8．（25-26七年级上·山东聊城·期中）在“”中的每个“□”内，填入“，，，”中的某一个运算符号（不可重复使用），能得到的最大结果是_____________． 9．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中），两个港口相距千米，水由流向，水流速度是千米时，甲船由向行驶，乙船由向行驶，两船在，之间往返航行．已知甲在静水中的速度是千米时，乙在静水中的速度是千米时．则甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用__________小时． 10．（25-26七年级下·北京平谷·期末）某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 13．（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 14．（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 15．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘除运算重难点题型专训（4个知识点+11大题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、两个有理数的乘法运算 1 题型二、多个有理数的乘法运算 2 题型三、有理数乘法的实际应用 3 题型四、倒数 4 题型五、有理数乘法运算律 5 题型六、有理数的除法运算 6 题型七、有理数除法的应用 7 题型八、有理数乘除混合运算 8 题型九、有理数乘除中的简便运算 9 题型十、有理数四则混合运算 10 题型十一、有理数四则混合运算的实际应用 11 第二部分·练提高题型 题型一、有理数乘除法与数轴综合问题 1 题型二、有理数乘除法与绝对值综合问题 2 题型三、裂项相消法解决规律计算问题 3 第三部分・自我检测 知识点01 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值是两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·浙江温州·期中）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 2．（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 知识点02 有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 【即时训练】 1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 2．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 知识点03 倒数 ①倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 ②倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． ③求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 【即时训练】 1．（2026·河北石家庄·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】乘积为1的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数为． 2．（2026·湖北·二模）若，则“”表示的数是______． 【答案】 【分析】利用有理数除法运算结合倒数的定义求解． 【详解】解：由 得 ； 知识点04 有理数的除法 ①有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 ②有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【即时训练】 1．（2026·陕西西安·模拟预测）计算：（   ） A．8 B．5 C． D．12 【答案】C 【详解】解：． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算：________． 【答案】6 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2026·海南·模拟预测）我国元代《算术启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意给出的“同名相乘为正，异名相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，不是负数，不符合要求； 选项B：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项C：，两数同号，同名相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D：，两数异号，异名相乘得负，结果为负数，符合要求． 【例2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）两个连续奇数的积是323，这两个数分别是______和______． 【答案】 17或 或 【分析】分类讨论：①当这两个连续奇数为正数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可；②当这两个连续奇数为负数时，先确定两个连续奇数在到之间，再根据乘积为求解即可． 【详解】解：①当这两个连续奇数为正数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． ②当这两个连续奇数为负数时， ， 两个连续奇数在到之间， 则两个连续奇数可以是或或或， ， 两个连续奇数是． 1．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）计算的值为（   ） A． B．16 C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ 两个乘数符号一负一正，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负， ∴． 2．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算： ________． 【答案】 【分析】将原式变形为，再发现乘积的规律即可求解． 【详解】解： ． 1．（25-26七年级上·吉林·期中）若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则，多个数相乘的积的符号由负因数的个数决定：当负因数个数为奇数时，积为负．已知为负，8为正，故a需为正数才能使积为负．本题主要考查了有理数乘法法则，熟练掌握多个数相乘的积的符号法则是解题的关键． 【详解】解：∵，8，a的积是一个负数， ∴， 符合条件的只有D选项． 故选D． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算．要使三个数的乘积最小，结果应为负数.而三数相乘结果为负数有两种情况：一负两正或三负．根据题中数据，负数只有两个，故只能是“一负两正”的情况．要使“一负两正”的积最小，应取绝对值最大的负数与两个正数相乘． 【详解】解：最小的积为：． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算． 【答案】46 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算括号里的加法，将原式转化为分数的连乘形式，再通过约分进行化简计算即可． 【详解】解： ． 【基础题型三 有理数乘法的实际应用】 【例1】（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 【例2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一本故事书，聪聪每天看20页，6天可以看完．如果他想5天看完，平均每天要看________页． 【答案】 【分析】首先确定书的总页数固定，因为每天看的页数和看的天数的乘积等于总页数，所以先根据已知的每天看20页、6天看完，用乘法计算总页数．因为总页数不变，如果要5天看完，那么用总页数除以5，即可得到平均每天需要看的页数． 【详解】解：总页数 = 每天看的页数 × 原天数， 即 （页）． 平均每天看的页数 = 总页数 ÷ 新天数， 即 （ 页）． 1．（25-26七年级下·福建莆田·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，倡导并践行“低碳”生活是我们每个人的社会责任．下表为王芳家某月部分生活消耗对应的“碳足迹”统计（耗碳量=消耗量×碳排放系数），下列结论正确的是（     ） 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量/ 1 家庭用电 2 水 3 天然气 4 鸡肉 5 牛肉 A．水的耗碳量为 B．牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和多 C．天然气的碳排放系数约为 D．若用电量减少，可减少耗碳量 【答案】D 【分析】根据题目给出的公式`耗碳量=消耗量×碳排放系数`，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A．由表格可知水的耗碳量为，原结论不正确，故此选项不符合题意； B．∵其余耗碳量总和为， 又∵， ∴牛肉的耗碳量比其余耗碳量总和少，则原结论不正确，故此选项不符合题意； C．天然气的碳排放系数为，则原结论不正确，故此选项不符合题意； D．∵家庭用电的碳排放系数为， ∴减少的耗碳量为，则原结论正确，故此选项符合题意． 2．（2026·河南平顶山·三模）小明准备从A，B两款智能手表中选择一款购买，对这两款智能手表进行测评，得到如下评分（满分5分）： 续航能力 健康监测 外观设计 应用生态 A 1 3 2 3 B 3 2 3 1 根据小明对智能手表的要求，计分规则为总分续航能力健康监测外观设计应用生态，则小明应该购买__________款智能手表．（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】分别计算两款智能手表的加权总分，比较总分大小，选择总分更高的一款即可． 【详解】解：A手表的总分为， B手表的总分为， ∵ ∴小明应该购买B款智能手表． 3．（26-27七年级上·浙江杭州·期中）某平台和政府合作推出了“平台政府补贴”优惠政策．为了鼓励消费者购买节能环保产品，这个平台的家电产品政府补贴标准见下表： 能效等级 补贴比例 补充说明 一级能效 产品销售价格的 一级能效产品最高补贴不超过2000元（即超过2000元的，最高只能补贴2000元）；二级能效最高补贴1500元（同前） 二级能效 产品销售价格的 周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴．他购买的电器可能是哪两件？（写出一种情况即可） 【答案】电冰箱和洗衣机或电视机和空调 【分析】求出购买四种电器所获得的政府补贴，即可求解． 【详解】解：购买一台电冰箱，， 则购买一台电冰箱的政府补贴为2000元， 购买一台电视机的政府补贴为元， 购买一台洗衣机的政府补贴为元， 购买一台空调的政府补贴为元， 因为周叔叔家在“平台政府补贴”优惠期内购买了2件家电，一共获得2400元的政府补贴，， 所以他购买的电器可能是电冰箱和洗衣机或电视机和空调． 【基础题型四 倒数】 【例1】（25-26七年级上·吉林长春·阶段检测）下列选项中，的倒数是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据倒数的定义解答即可； 【详解】解：； 【例2】（2026七年级上·广西防城港·模拟预测）倒数：与互为倒数等价于___________________． 【答案】 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 因此与互为倒数等价于． 1．（2026·江苏无锡·模拟预测）的倒数是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可； 【详解】解：， 的倒数是． 2．（2026·江西·模拟预测）有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【答案】(1) 解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴． 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 【例2】（2026七年级上·湖南张家界·模拟预测）简便运算：________． 【答案】 【分析】根据积的变化规律，将各项变形得到相同公因数，再逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 1．（2026·河北邢台·二模）算式可以变形为，依据是（     ） A．乘法交换律 B．乘法分配律 C．移项 D．乘法结合律 【答案】D 【详解】解：原式变形为， 是将三个数相乘的运算顺序从“先算前两个数相乘”变为“先算后两个数相乘”， 符合乘法结合律的特征，故该变形的依据是乘法结合律． 2．（25-26七年级上·天津蓟州·阶段检测），应用了______（定律） 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查乘法分配律，式子，是把相同因数提取出来，将另外的因数相加后再与相乘，应用了乘法分配律． 【详解】解： ， 根据乘法分配律的逆运算，即，其中，，，， ∴提取相同因数后得到，化简为， 故答案为：乘法分配律． 3．（24-25七年级上·山西大同·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 【例2】（26-27六年级·上海·暑假作业）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 1．（2026·陕西榆林·一模）计算：（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】． 2．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 3．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（2026·江苏淮安·模拟预测）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 【例2】（2026·北京顺义·二模）两名同学玩取棋子游戏，游戏规则如下： ①两名同学轮流取棋子； ②每次至少取走一颗棋子； ③每次至多取走几颗棋子由两名同学约定； ④取走最后一颗棋子的同学获胜． 例如：一共有5颗棋子，两名同学约定每次最多取走2颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走2颗棋子． （1）如果一共有6颗棋子，两名同学约定每次最多取走3颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子； （2）如果一共有28颗棋子，两名同学约定每次最多取走4颗，先手的同学为了确保获胜，首次应该取走_________颗棋子． 【答案】 【分析】要确保先手获胜，先手取完第一次后，接下来需保证每一轮两人取棋子的总和为每次最多取棋子数，计算总棋子数除以每次最多取棋子数的余数，余数就是先手首次应该取走的棋子数，之后每轮对手取颗，先手取“每次最多取棋子数”颗，即可保证先手取走最后一颗棋子． 【详解】（1）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由， ，余数为， ∴先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，一轮共取走颗，先手可取走最后一颗获胜． （2）已知总棋子数为，每次最多取颗， 由 ， ，余数为， 因此先手首次应该取走颗棋子． 剩余颗棋子，之后无论对手取颗，先手取颗，每轮共取走颗，经过轮后，先手可取走最后一颗获胜． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】要求准考证号是218号应该在第几考场，就用，如果能整除商是几就在几考场，如果不能整除就在商加1的考场，据此解答即可． 【详解】解：（人）， （考场）． 2．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期中）乐乐用相同的速度跑步，他从第1棵树跑到第5棵树共用了20秒（每两棵树之间的距离相等），如果乐乐跑了100秒，他应跑到第_______棵树 【答案】21 【分析】本题考查有理数除法的应用，先求出每个间隔所花时间，进而即可求解． 【详解】解：∵第1棵树跑到第5棵树共用了20秒，有4个间隔， ∴每个间隔花时间：秒， ∵， ∴他应跑到第21棵树 故答案为：21． 3．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）某自行车厂组装车间计划一周组装自行车1400辆，平均每天组装200辆，但由于种种原因，实际每天产量与计划量相比有出入．下表是某周的产量情况（超产记为正，减产记为负）： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 增减 通过计算说明： (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ (2)自行车厂这周是超产了还是减产了？ (3)该车间实行周计件工资制，每组装一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元，少生产一辆扣20元，该车间共有15名工人，本周平均每人周工资是多少元？（结果精确到个位） 【答案】(1) (2)自行车厂这周是减产了 (3) 【分析】本题考查正负数的实际应用，涉及计划与实际产量的计算、极差求解以及收入计算，理解表格中正负号的含义，并结合计划产量进行计算是解题的关键． （1）分别算出产量最多的一天和产量最少的一天的产量，再计算差值即可求解． （2）根据表格计算计划总产量和实际总产量，进行大小比较即可求解． （3）根据（2）先算出扣掉的部分，再计算总的工资，除以人数即可求解． 【详解】（1）解：根据表格，可知星期四产量最多为辆， 星期六产量最少为辆， 故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车辆． 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车28辆． （2）解：本周计划总产量为辆 实际总产量为辆 ， 自行车厂这周是减产了． 答：自行车厂这周是减产了． （3）解：由（2）可知本周少生产辆，应扣款元， 则本周实际总工资为元， 故本周平均每人周工资是元． 答：本周平均每人周工资是4569元． 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（2026·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 【例2】（25-26七年级上·河南平顶山·期末）五个人聚会，如果每两人要握一次手，那么五个人共握_______次． 【答案】10 【分析】本题主要考查了握手问题．根据每个人需要与其他4个人握手，解答即可． 【详解】解：∵每个人需要与其他4个人握手， ∴总握手次数为次． 故答案为10 1．（25-26七年级上·全国·期末）若”!”是一种数学运算符号，并且，，，，…，且公式的值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意可得： = ． 2．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）规定“☆”是一种特殊的运算符号，且，，，……，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，根据新定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为： 3．（25-26七年级上·广东茂名·期中）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 【答案】不正确，原因是同级运算的运算顺序错误； 【分析】有理数的乘除混合运算属于同级运算，应按照从左到右的顺序依次计算． 【详解】解：不正确，原因是同级运算的运算顺序错误． 正确解答如下： 原式 ． 【基础题型九 有理数乘除中的简便运算】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 【例2】（25-26七年级上·河南安阳·阶段检测）简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算和乘法的分配律，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）利用乘法分配律计算即可得； （2）先将原式化为，再利用乘法分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 （2） 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 2．（25-26七年级上·重庆·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2 (2) (3)0 (4)10 【分析】该题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先将原式化为，再计算即可． （2）根据有理数加减法简便运算法则计算即可． （3）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律逆运用即可解答． （4）先将除法转化为乘法，百分数和小数转化为分数，再根据有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 3．（25-26七年级上·广东河源·期中）学习本节知识后，薛老师给同学们出了这样的两道题： ①； ②． 下面是小刚和小明做的过程： 小刚：解：①原式． 小明：解：②原式． 请回答： (1)小刚和小明的解题都对吗？如果不对，请写出正确的计算过程； (2)小华是个爱动脑筋的好学生，他观察了①、②这两个式子是互为倒数的关系，故先求出①式的结果，即可得到②式的结果，你认为他的思路正确吗？ (3)如果你认为小华是正确的，请试着计算：． 【答案】(1) 小刚的解题是对的，小明的解题是不对的， ②的正确计算过程如下： ； (2)小华的思路正确 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，熟练掌握有理数乘除的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法的运算法则即可解答； （2）根据倒数的性质即可得出结论； （3）先计算的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：小华的思路正确，理由如下： ， ∴①、②这两个式子是互为倒数的关系， 由小刚的解题可得，， ∴，与（1）中的计算结果相符， ∴先求出①式的结果，即可得到②式的结果， ∴小华的思路正确； （3）解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 【基础题型十 有理数四则混合运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·期中）甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 【例2】（25-26七年级上·河南郑州·期中）算式 的计算结果的整数部分为_____． 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数部分和分数部分分别计算，先算出整数部分的和，再通过放缩法估算分数部分的和的范围，即可得到原式结果的整数部分． 【详解】解：原式 整数部分的和为 设分数部分的和为， ∵分子相同，分母越大分数值越小，且所有分母满足分母， ∴ 解得 ∴原式的总和满足 原式， 即 原式， ∴原式计算结果的整数部分为． 1．（25-26七年级上·重庆长寿·期末）在一组互不相等的正整数中任意提取个数，若这m个数的和与积相加正好等于这n个数的和，则称这样的提取为完美提取．例如：在1，2，3，4，5中，因为，，所以提取1，2，4这三个数就是完美提取（提取的数字相同，排序不同，属于同一种提取）．若要在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数中实现完美提取，下列说法正确的个数是（     ） ①6，7是这十个数中的一种完美提取； ②1，2，4，5是这十个数中的一种完美提取； ③这十个数的完美提取一共有4种． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题根据完美提取的定义，先计算1到10的总和，再逐个验证三个说法，统计正确说法的个数即可，考查有理数混合运算的应用． 【详解】解：首先计算1到10这十个数的总和，得． 对①，提取6和7，按定义计算得，等于总和，符合完美提取的定义，故①正确． 对②，提取1，2，4，5，按定义计算得，不符合定义，故②错误． 对③，枚举所有符合条件的完美提取： 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，仅符合，共1种； 当时，最小的乘积为，不可能符合条件； 因此一共只有3种完美提取，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 2．（26-27七年级上·湖北武汉·期中）根据规律，“？”处应填___________． 【答案】 【分析】观察前三个方框里的四个数字，发现第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数，据此解答． 【详解】解：方框1： 方框2： 方框3： 规律：第一行的两个数的和与第二行第一个数的积等于第二行的第二个数． “？”处应填． 3．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： ，，… 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察可得，原式，再计算即可； （2）通过观察可得，原式，再计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【基础题型十一 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，某校体育场是一个400米的半圆式田径场地，为了便于计算、丈量、画线，该体育场的直段长80米，则弯道的半圆半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握圆的周长公式．根据跑道的周长求出弧形部分的长度，根据圆的周长公式求出结果即可． 【详解】解：∵跑道全长400米，其中直道的长为80米， ∴半圆形弯道的半径为（米）， 故选：C． 【例2】（26-27七年级上·湖北武汉·期中）如图，把正方形分成了四个长方形，长________． 【答案】厘米/厘米 【分析】先求出正方形的边长，进而分别求出10平方厘米的长方形和40平方厘米的长方形的长，再作差即可． 【详解】解：正方形的面积为（平方厘米）， 则正方形的边长是10厘米， 10平方厘米和20平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）， 那么10平方厘米的长方形的宽是3厘米，则长是厘米． 同理40平方厘米和30平方厘米的两个长方形组成了一个长为10厘米的大长方形， 则宽为（厘米）． 那么40平方厘米的长方形的宽是7厘米，则长是厘米． 所以的长就是40平方厘米的长方形的长平方厘米的长方形的长． 即（厘米）． 1．（25-26七年级上·山西吕梁·期中）某市出租车的收费标准是：起步价10元，可乘3千米，3千米到5千米，每千米1.3元，超过5千米，每千米2.4元．某人乘坐了千米的路程，则他应支付的费用是（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，根据出租车收费标准，分段计算费用：起步价覆盖3千米，千米部分每千米1.3元，超过5千米部分每千米2.4元，求和即可，理解题意，正确分段计算是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：起步价10元（含3千米）， 千米部分：（元）， 超过5千米部分：元， 故总费用为元， 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川广元·期中）如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米． 【答案】 【分析】先根据等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，将圆柱体积转化为等底等高圆锥体积的倍数，再结合溢出的水的体积，求出单个圆锥的体积。 【详解】解：毫升立方厘米 （立方厘米） 答：每个圆锥形零件的体积是立方厘米． 故答案为：． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图是一块长为30米，宽为15米的长方形空地，政府准备在该空地上铺草坪并修建一条宽为2米的小路（小路宽度处处相同），若铺草坪平均每平方米需要花费100元，则铺设该草坪一共需要花费多少元？ 【答案】42000元 【分析】先算出草坪的面积，然后再利用“铺草坪平均每平方米需要花费100元”列式计算即可． 【详解】解：草坪的面积为：（平方米）， ∴铺设该草坪一共需要花费（元）． 【提高题型一 有理数乘除法与数轴综合问题】 【例1】（25-26七年级上·广东珠海·阶段检测）小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．1008 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴的折叠，掌握知识点是解题的关键． 若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是表示的点，根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到的距离都是1009，从而求解． 【详解】解：折叠使表示1和的点重合，则折痕点是它们的中点：， ∵、两点关于对称且距离为2018， 在的左侧， ∴点到的距离为， 因此点表示的数为． 故选A． 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字______的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查数轴上的规律探究，根据题意，得到0，3，2，1四个数为一组，用，取余即可得出结果． 【详解】解：由题意，从开始，按照0，3，2，1四个数为一组进行循环， ∵， ∴表示的点与圆周上表示数字0的点重合； 故答案为：0 1．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段检测）如图1，点是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度．在图1的数轴上点所对应的数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，结合图1和图2，由题意求出1个单位长度cm，再求出之间在数轴上的距离，即可求解． 【详解】解：由题意得，由图2可得， ∴数轴上的一个长度单位对应刻度尺上的长度为cm， ， ∴（单位长度）， ∴在数轴上点B所对应的数； 故选：D． 2．（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和 ①若数轴的单位长度是，那么的值为_____． ②若刻度尺上“”对应数轴上的3那么的值为_____． 【答案】 1 13 【分析】本题考查数轴与有理数，根据两点间的距离公式和单位长度，逐一进行求解即可． 【详解】解：①由题意，； 故答案为：1； ②因为刻度尺上“”对应数轴上的3， 则数轴的单位长度为， 所以； 故答案为：13 3．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 【答案】(1) (2)13，20 (3)奶奶现在的年龄为岁，甲同学的年龄为岁 【分析】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与甲同学的年龄差，进而求出奶奶的年龄和甲同学的年龄． （1）根据数轴可知3倍的长为，这样长就可以求出来了； （2）A点在6的右侧7单位长度，可以求出A点的数值为13，B点在A点右侧7个单位长度，也可以求出B点的数值； （3）运用上边的模型把奶奶与甲同学的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根木棒长为，则这根木棒的长为； 答：这根木棒的长为； （2）解：， ． 所以图中点所表示的数为13，点所表示的数为20． 故答案为：13，20． （3）解：当奶奶像甲同学这样大时，甲同学为岁， 所以奶奶与甲同学的年龄差为：（岁）， 所以奶奶现在的年龄为（岁），甲同学的年龄为：（岁）． 答：奶奶现在的年龄为岁，甲同学的年龄为岁． 【提高题型二 有理数乘除法与绝对值综合问题】 【例1】（25-26七年级上·全国·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【答案】B 【分析】本题考查了有理数比较大小，根据乘法法则判断符号，再用加法法则判断绝对值大小，结合即可作答． 【详解】解：， 异号， ， ， ， ． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·北京通州·阶段检测）绝对值小于2025的所有整数的和是______；绝对值不大于3的负整数的积是______． 【答案】 0 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，根据绝对值的意义，求出符合题意的数，再根据加法法则和乘法法则进行计算即可． 【详解】解：绝对值小于2025的所有整数中，除0外都是成对出现的相反数，故和为0； 绝对值不大于3的负整数有，积为； 故答案为：0，． 1．（25-26七年级上·河北邢台·阶段检测）根据算式，，不能得到的结论是（    ） A．两数相乘，同号得正 B．两数相乘，异号得负 C．两数相乘，积的绝对值等于各因数绝对值的积 D．两数相乘，交换因数的位置，积不变 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则． 根据有理数的乘法法则解题即可． 【详解】解：A：观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，同号得正，故此选项不符合题意； B、观察已知条件中的4个算式可知：两个有理数相乘时，异号得负，故此选项不符合题意； C：观察算式得到两个有理数相乘时，积的绝对值等于各乘数绝对值的积，故此选项不符合题意； D：观察算式可知：没有两个有理数相乘时交换乘数的位置的算式，故此选项符合题意； 故选：D ． 2．（25-26七年级上·全国·课堂例题）（1）计算，先确定结果的符号为______________号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以；_________________________________ （2）计算，先确定结果的符号为______________号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的______________”计算，即；_________________________________ （3）计算，先确定结果的符号为______________号，观察算式将化为假分数______________，所以；______________________ （4）计算，发现被除数为0，所以______________． 【答案】 负 27 9 负 倒数 正 2 0 【分析】根据有理数的除法法则，逐个逐步填写即可． 【详解】解：（1）计算，先确定结果的符号为负号，观察算式发现，绝对值相除，结果是整数，所以； 故答案为：负，27，9，． （2）计算，先确定结果的符号为负号，观察算式发现，绝对值相除，结果不是整数，所以利用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”计算，即； 故答案为：负，倒数，，，． （3）计算，先确定结果的符号为正号，观察算式将化为假分数，所以； 故答案为：正，，，． （4）计算，发现被除数为0，所以； 故答案为：0． 【点睛】此题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则，除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 【提高题型三 裂项相消法解决规律计算问题】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下面每个表格中的五个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定a的值为（   ） A．1584 B．3036 C．1728 D．3630 【答案】B 【分析】本题主要考查了数字规律探索，解题的关键是根据已知数据，得出一般规律．根据给出的已知图形得出规律，求出a的值即可． 【详解】解：由第1个图可知：； 由第2个图可知：； 由第3个图可知：； …… 可得：； ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·河南洛阳·阶段检测）如图，按以下规律，在第四个正方形内填入的数是______． 【答案】 【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现前面三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字， ∴第四个正方形内的数据为：， 故答案为： 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么______． 利用上面的规律计算：_______． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可． 根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 【详解】∵，…， ∴； ∴ ． 故答案为：，． 3．（25-26七年级上·广东江门·阶段检测）观察下列各式，你会发现什么规律？ ，… (1)请你按上述规律写出第5个等式______； (2)利用以上规律计算：的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知所给各式即可得结论； （2）结合（1）的结论即可进行计算． 【详解】（1）观察已知各式可知：第5个等式是； （2） ． 1．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：， ，均为负数，且， 分子相同的两个负分数，分母的绝对值越大，分数值越大， ∴， 故A选项错误； ， ，均为负数， ∵两个负数相乘结果为正，可得，故B错误； ， ，均为负数，且， ∴，故C错误，D正确． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）下列变形中，运用运算律正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、乘法分配律，逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：对选项A，，变形错误； 对选项B，根据乘法交换律与结合律，可得，变形正确； 对选项C，，变形错误； 对选项D，根据乘法分配律，得，变形错误． 3．（25-26七年级上·河北邢台·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数互为倒数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数，倒数的定义，有理数的乘法． 根据正方体相对两个面上的数互为倒数求出，，进而代入计算即可． 【详解】解：由正方体的平面展开图可知，a相对面上的数是3，b相对面上的数是， ∵正方体相对两个面上的数互为倒数， ∴，， ∴． 故选：A． 4．（2026·河南安阳·二模）如图，杆秤是中国传统的计量工具．已知秤钩到提纽的水平距离是，秤砣质量是．用杆秤称苹果，当秤砣与提纽的水平距离为时，杆秤左右平衡，此时苹果质量是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据杠杆原理得：秤钩到提纽的水平距离苹果质量秤砣与提纽的水平距离秤砣质量，即可求解． 【详解】解：苹果质量为：． 5．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）周日，小敏与妈妈一起去买月饼，妈妈买了一盒月饼（共计6枚）．回家后她仔细地看了标签和包装盒上面写着净含量克，她们把6枚月饼的质量称重后统计列表如下：（其中超出标准质量记为正，不足标准质量记为负），则这六枚月饼的总质量为（     ）． 第n枚 1 2 3 4 5 6 质量偏差/克 A．420.3克 B．423克 C．420克 D．417克 【答案】A 【分析】先计算6枚月饼的标准总质量，再计算所有质量偏差的和，两者相加得到实际总质量． 【详解】解：∵由题意得，每枚月饼标准质量为70克，共6枚， ∴6枚月饼的标准总质量为克， 计算6枚月饼的质量偏差和： ， ∴这六枚月饼的实际总质量为克． 6．（25-26六年级上·山东泰安·期中）若一个数的倒数与这个数的相反数的和为0，则这个数是______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，相反数的定义等知识﹒设这个数为，则它的倒数为，相反数为，根据题意得，得到，根据1和的倒数等于它本身即可求解 【详解】解：设这个数为，则它的倒数为，相反数为， 根据题意得， 即 所以， 所以的倒数等于它本身， 所以1和的倒数等于它本身﹒ 故答案为：﹒ 7．（2026七年级下·浙江·模拟预测）若规定，则________． 【答案】 / 【分析】先计算括号内的新运算，再计算括号外的新运算，每次运算先比较两个数的大小，再根据新定义对应的法则计算即可 【详解】解：先计算括号内的 ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ 8．（25-26七年级上·山东聊城·期中）在“”中的每个“□”内，填入“，，，”中的某一个运算符号（不可重复使用），能得到的最大结果是_____________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的法则、全面列举所有运算组合是解题的关键．列出所有“、、、”不重复填入两个“”的组合，分别计算结果，比较得出最大值． 【详解】解：若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“”和“”：； 若填“和”： 比较所有结果，最大结果是． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中），两个港口相距千米，水由流向，水流速度是千米时，甲船由向行驶，乙船由向行驶，两船在，之间往返航行．已知甲在静水中的速度是千米时，乙在静水中的速度是千米时．则甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用__________小时． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，理解题意列出算式是解题关键．分别求出甲船顺水和逆水航行的速度，再根据时间=路程÷速度求解即可，进而求两者的差，即可求解． 【详解】解：甲船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时． 甲船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时， 所以甲往返一趟所需时间是时； 乙船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时． 乙船由向行驶时的速度为千米时， 所以此时时间为时， 所以乙往返一趟所需时间是时． 时． 甲往返一趟所需时间比乙往返一趟所需时间少用小时 故答案为：； 10．（25-26七年级下·北京平谷·期末）某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 11．（26-27七年级·全国·小升初衔接）用简便方法计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察计算式发现与相乘可以凑整，与相乘可以约分，故可用乘法交换律交换这几个乘数，进一步计算即可得答案． （2）观察计算式发现，前两个乘法中都有，可用乘法分配律先计算得，观察发现还可用乘法分配律，进一步计算即可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 12．（26-27七年级·全国·小升初衔接）计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）观察算式可得算式中有个同分母的带分数，可将整数部分与整数部分相加，分数部分与分数部分相加，利用求和公式来简便计算； （2）观察算式发现、、相似，可通过乘数之间扩大和缩小将它们都变成，从而利用乘法分配律来简便计算； （3），，……，，用裂项相消的方法即可计算； （4）分子，分母，分子、分母即可先约分． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 13．（25-26六年级上·山东威海·期末）课堂上老师给出一道计算题：．同学们积极思考，甲、乙、丙三位同学的做法如下： 甲：原式 乙：原式 丙：原式的倒数 故原式． 请认真阅读，解答下列问题： (1)上述三位同学的解法中，正确的是______，错误的是______；(填写“甲”“乙”“丙”) (2)计算： ① ② 【答案】(1)乙、丙；甲； (2)①；② 【分析】本题考查有理数的混合运算，核心知识点为有理数的除法法则与混合运算顺序，关键在于明确除法不满足分配律，对于复杂的除法运算可通过倒数法简化计算． （1）根据除法运算的性质判断：除法没有分配律，甲错误运用分配律导致结果错误；乙按照“先括号内，再括号外”的运算顺序计算，步骤正确；丙利用倒数的性质，先计算原式的倒数再求原式，方法简便且正确． （2）①可先计算括号内的加减运算，再进行除法运算； ②由于括号内的项较多，采用倒数法计算更简便，先求原式的倒数，再通过倒数关系得到原式的值． 【详解】（1）解：除法不具有分配律，甲同学将除法错误地使用分配律，甲的解法错误； 乙同学先计算括号内的有理数加减，再进行除法运算，符合有理数混合运算顺序，解法正确； 丙同学先计算原式的倒数，再根据倒数关系求出原式的值，方法正确；故正确的是乙、丙，错误的是甲； 故答案为：乙、丙；甲． （2）①解： ； ②解：设原式为，则的倒数为， ， 的倒数为， ． 14．（25-26六年级上·山东威海·期末）【材料阅读】计算：． 解法一：原式 ． 解法二：原式的倒数为． ． 所以，原式． 【解法评价】 （1）你认为上述正确的解法是______；(填“解法一”或“解法二”) 【解法应用】 （2）利用上述正确的解法计算：． 【答案】（1）解法二； （2） 【分析】（1）除法没有分配律，解法一错误使用了分配律，解法二通过倒数转化为乘法，运用乘法分配律计算是正确的； （2）先计算原式的倒数，将除法转化为乘法后利用乘法分配律计算，最后取倒数得到原式的结果． 【详解】（1）解：解法一中将拆分为的做法不符合运算法则，除法不满足分配律，是错误的； 解法二先求原式的倒数，利用乘法分配律计算出倒数的值，再取倒数得到原式的结果，运算过程符合法则，是正确的． 正确的解法是解法二． （2）解：原式的倒数为， ． 原式． 15．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）张明将自家的猕猴桃放到网上销售，他原计划每天卖猕猴桃，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值/ (1)根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期_______，有_______；最少的一天是星期_______，有_______． (2)若猕猴桃的售价是元，成本是元，则张明当周销售猕猴桃获得的总利润是多少元？（利润售价成本） 【答案】(1)六，，五， (2)元 【分析】（1）根据正负数的意义，结合表格数据得出销售量最多的和最少的是哪一天，进而用加上与计划量的差值，即可求解； （2）先计算猕猴桃的销售总量，再根据利润售价成本，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：根据上表的数据可知，销售量最多的一天是星期六，有；最少的一天是星期五，有． （2）解：猕猴桃的销售总量为 （元） 答：张明当周销售猕猴桃获得的总利润是元． 学科网（北京）股份有限公司 $